# Moser 歪度場半自主研究：第 1 輪

## ——支撐歪度線性規劃、有限曲線壓力與第一個對抗式搜尋

**日期：** 2026 年 7 月 26 日  
**狀態：** 探索性計算；非形式證明；非普適覆蓋證書  
**程式規模：** 192 個支撐方向、60–120 個旋轉初始相位、固定相位下線性規劃求最佳平移或最小尺度

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# 1. 本輪完成內容

本輪把曲線—凸容器容納問題實作成兩種線性規劃。

## 1.1 固定旋轉下的最小容器尺度

對固定旋轉相位 $\phi$，求：

$$
\min_{t_x,t_y,s\ge0}s
$$

使每個離散支撐方向 $\theta_j$ 滿足：

$$
h_\gamma(\theta_j-\phi)
+
t\cdot u_{\theta_j}
\le
s h_C(\theta_j).
$$

因此，每個旋轉相位不必暴力掃描平移；最佳平移由線性規劃直接求出。

## 1.2 固定尺度下的最小正歪度

對固定 $s$ 與 $\phi$，求：

$$
\min_{t_x,t_y,e\ge0}e
$$

並要求：

$$
h_\gamma(\theta_j-\phi)
+
t\cdot u_{\theta_j}
-
s h_C(\theta_j)
\le e.
$$

這使 $e$ 成為離散角度域中的最小最大正歪度。

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# 2. 基準容器

本輪比較：

| 容器 | 面積 |
|---|---:|
| 半徑 $1/2$ 圓盤 | 0.785398163 |
| 半徑 $1$、$30^\circ$ 扇形 | 0.261799388 |
| Wetzel 三角形的 $1/1.0048$ 縮放版 | 0.260956240 |

Wetzel 三角形使用：

$$
a=\frac{3+4\sqrt3}{18},
\qquad
b=\frac{4+\sqrt3}6,
$$

並按已認證比例：

$$
s_W=\frac1{1.0048}
$$

縮放。

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# 3. 第一輪數值結果

基準與隨機曲線共測試 35 條。對各容器，有限曲線庫中的最大臨界尺度為：

$$
s_{\max}^{\mathrm{circle}}
=
0.99986613,
$$

$$
s_{\max}^{\mathrm{sector}}
=
0.99986614,
$$

$$
s_{\max}^{\mathrm{Wetzel}}
=
0.95783224.
$$

這些數值只表示目前有限曲線庫所施加的壓力，不能作為全體單位弧的覆蓋證明。

## 3.1 Wetzel 三角形的最高壓力曲線

| 排名 | 曲線 | 線段數 | 臨界尺度 | 活動方向數 |
|---:|---|---:|---:|---:|
| 1 | U_equal | 3 | 0.95783224 | 50 |
| 2 | arc_270 | 64 | 0.92558266 | 3 |
| 3 | random_18_5s | 5 | 0.91949625 | 3 |
| 4 | random_11_3s | 3 | 0.91790686 | 66 |
| 5 | semicircle | 64 | 0.91463171 | 3 |
| 6 | random_09_7s | 7 | 0.91106549 | 82 |
| 7 | segment | 1 | 0.91086346 | 145 |
| 8 | V_120 | 2 | 0.91086230 | 113 |
| 9 | random_06_12s | 12 | 0.90486549 | 66 |
| 10 | random_16_6s | 6 | 0.90204401 | 82 |

## 3.2 對抗式搜尋

以 18 條曲線為族群，進行 5 代輕量變異搜尋。最終找到的候選曲線相對已認證 Wetzel 三角形的臨界尺度為：

$$
s_\ast
=
0.9187329185.
$$

其最佳放置具有約 3 個離散活動方向。

將容器縮至該候選臨界尺度的 $98\%$：

$$
s_{\mathrm{test}}
=
0.9003582601,
$$

最佳放置後仍留下最大正歪度：

$$
E
=
3.6918923462e-03.
$$

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# 4. 初步結構發現

## 4.1 平移確實可被視為一階模態消除

固定相位下，平移項為：

$$
t_x\cos\theta+t_y\sin\theta.
$$

它只占據 Fourier 的一階正弦與餘弦模態。因此，最佳平移可被理解為消除支撐歪度場的一階成分。

## 4.2 旋轉是支撐場相位平移

曲線旋轉只改變：

$$
h_\gamma(\theta-\phi).
$$

所以旋轉搜尋不是普通二維幾何搜尋，而是週期支撐訊號的相位對齊。

## 4.3 真正壓迫容器的是平移後仍存在的高階峰值

當一階模態已由平移吸收後，剩餘高階正歪度峰值對應：

- 曲線凸包的角、長邊與非對稱結構；
- 容器法向扇區與曲線法向扇區失配；
- 最佳接觸集合的跳轉。

這比只保存「能否放入」提供更多研究資訊。

## 4.4 現階段最硬的有限曲線不等於全域最難曲線

目前曲線族主要是低線段數多折線與平滑弧近似。既有研究已指出，限制固定線段數不足以解決完整 Moser 問題。因此，這套搜尋的正確用途是發現壓力模式與接觸拓撲，而不是把最高分曲線當成全域極值。

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# 5. 本輪沒有宣稱的事項

1. 沒有提出新的 Moser 上界或下界；
2. 沒有驗證所有單位弧；
3. 沒有重做 599 個 SOCP 模型；
4. 沒有使用區間證書；
5. 沒有完成形式化；
6. 沒有證明目前對抗曲線是臨界曲線。

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# 6. 第 2 輪研究節點

下一輪由以下方向中自主選擇最有信息量的一項：

1. **活動接觸拓撲分類**：將活動支撐方向聚類，研究接觸數與順序；
2. **相位跳躍場**：掃描旋轉相位，記錄最佳平移與活動方向何時突變；
3. **支撐頻譜對抗生成**：直接在高階 Fourier 模態上生成曲線壓力；
4. **容器局部收縮測試**：尋找有限曲線庫長期未使用的支撐方向；
5. **更強曲線生成器**：引入可變線段數、曲率片段及分支保留。

本輪結果傾向優先進行第 2 項與第 1 項：先理解最佳放置的相位跳躍與接觸拓撲，再擴大曲線生成。