# 勒讓德底空間綱領 Phase 6
## 動態阻礙地平線、因數殼層與篩法臨界斷層
### Dynamic Obstruction Horizon, Factor Shells, and the Sieve-Critical Gap

**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-30  
**作者：** Neo.K × AI 協作  
**機構：** EveMissLab / 一言諾科技有限公司  
**研究線：** Legendre Base-Space Prime-Fitting Program  
**前置：** Phase 1–5  
**狀態：** Phase 6 formalization + finite audit + literature-boundary audit；非勒讓德猜想完成證明

---

# 0. 本階段結論

Phase 5 把問題壓成：

$$
\text{Position Fit}
+
\text{Low-Obstruction Avoidance}
+
\text{High-Obstruction Closure}.
$$

Phase 6 第一次把「Position Fit」與「High Obstruction」直接連接。

若：

$$
q=n^2+k
$$

位於平方胞腔左側，則 composite obstruction 並不能來自任意：

$$
a\le n.
$$

偏移 $k$ 自己會強迫一個更低的最大必要因數上界：

$$
\boxed{
B(n,k)
<
n.
}
$$

對：

$$
k=o(n),
$$

更有：

$$
\boxed{
B(n,k)
=
n-\sqrt n
+
O\left(
1+\frac{k}{\sqrt n}
\right).
}
$$

因此，一個貼近左平方邊界的 fit candidate 自動免疫於最靠近 $n$ 的一整條 obstruction strip。

本階段另外建立：

1. 因數對跨越平方根的 exact shell coordinate；
2. composite obstruction 的 discriminant-square characterization；
3. $z=n^\alpha$ 預篩下的 roughness ladder；
4. standard linear sieve 與 $P_3/P_2$ 結構化之間在 $\alpha=\frac12$ 的臨界斷層。

---

# 1. 平方胞腔中的因數對座標

令：

$$
q=n^2+k,
\qquad
1\le k\le2n.
$$

假設 $q$ 為合數。

取一個非平凡因數：

$$
a\le\sqrt q.
$$

因：

$$
q<(n+1)^2,
$$

故：

$$
a<n+1.
$$

因此：

$$
a\le n.
$$

寫成：

$$
\boxed{
a=n-u,
\qquad
u\ge0.
}
$$

令另一因數：

$$
b=\frac qa.
$$

因：

$$
q>n^2
$$

且：

$$
a\le n,
$$

必有：

$$
b>n.
$$

寫：

$$
b=n+v,
\qquad
v\ge1.
$$

---

# 2. 因數跨平方根的方向性

由：

$$
(n-u)(n+v)>n^2
$$

得到：

$$
n(v-u)>uv.
$$

因此：

$$
v>u.
$$

令：

$$
\boxed{
\delta=v-u\ge1.
}
$$

所以任何跨過 $n$ 的因數對都可唯一寫成：

$$
\boxed{
(a,b)
=
(n-u,\,
n+u+\delta).
}
$$

---

# 3. Factor-Shell Identity

將上式代入：

$$
q=ab
$$

得到：

$$
n^2+k
=
(n-u)(n+u+\delta).
$$

展開：

$$
\boxed{
k
=
(n-u)\delta-u^2.
}
$$

亦即：

$$
\boxed{
k
=
n\delta-u(u+\delta).
}
$$

這是 Phase 6 的第一個核心恆等式。

它把「整除」轉成：

$$
(n,u,\delta)
$$

三個幾何量。

---

# 4. 動態阻礙地平線

由：

$$
\delta\ge1,
$$

有：

$$
k
=
(n-u)\delta-u^2
\ge
n-u-u^2.
$$

因此：

$$
u^2+u
\ge
n-k.
$$

當：

$$
k<n,
$$

定義：

$$
\boxed{
u_*(n,k)
=
\left\lceil
\frac{
\sqrt{1+4(n-k)}-1
}{2}
\right\rceil.
}
$$

則：

$$
u\ge u_*(n,k).
$$

所以：

$$
a=n-u
\le
n-u_*(n,k).
$$

定義：

$$
\boxed{
B(n,k)
=
n-u_*(n,k).
}
$$

稱為：

## Candidate-Dependent Obstruction Horizon

---

# 5. Obstruction Horizon Theorem

## 定理 5.1

令：

$$
1\le k<n
$$

且：

$$
q=n^2+k\in M6^*.
$$

若 $q$ 為合數，則它存在一個原子因數：

$$
a\le B(n,k).
$$

換言之：

$$
\boxed{
q\text{ composite}
\Longrightarrow
\exists a\in\mathfrak A:
a\mid q,\;
a\le B(n,k).
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\gcd
\left(
q,
\prod_{\substack{a\in\mathfrak A\\a\le B(n,k)}}a
\right)=1
\Longrightarrow
q\text{ prime}.
}
$$

這是一個 exact candidate-dependent prime certificate horizon。

---

# 6. 左邊界候選的漸近地平線

若：

$$
k=o(n),
$$

則：

$$
u_*(n,k)
=
\sqrt n
-
\frac{k}{2\sqrt n}
+
O(1)
+
O\left(
\frac{k^2}{n^{3/2}}
\right).
$$

因此：

$$
\boxed{
B(n,k)
=
n-\sqrt n
+
\frac{k}{2\sqrt n}
+
O(1)
+
O\left(
\frac{k^2}{n^{3/2}}
\right).
}
$$

特別地，若：

$$
k=O(\log n),
$$

則：

$$
\boxed{
B(n,k)
=
n-\sqrt n+O(1).
}
$$

所以 V3 型左邊界 fit candidate 不需要考慮：

$$
(n-\sqrt n+O(1),\,n]
$$

中的因數 obstruction。

---

# 7. High-Top Strip Exclusion

更一般地，令：

$$
0<c<1.
$$

若某因數滿足：

$$
a>n-c\sqrt n,
$$

則：

$$
u<c\sqrt n.
$$

由：

$$
k\ge n-u-u^2,
$$

得到：

$$
\boxed{
k
>
(1-c^2)n-c\sqrt n.
}
$$

因此：

> 最高階、最靠近 $n$ 的因數只可能擊中平方胞腔的右側區域。

若：

$$
k=o(n),
$$

則對任意固定：

$$
c<1,
$$

充分大 $n$ 時這類因數完全無法擊中 candidate。

---

# 8. Discriminant Shell

由：

$$
k
=
n\delta-u(u+\delta),
$$

得到二次方程：

$$
u^2+\delta u+(k-n\delta)=0.
$$

其判別式：

$$
\boxed{
D_\delta(n,k)
=
\delta^2+4n\delta-4k.
}
$$

由 factor-shell identity：

$$
\boxed{
D_\delta(n,k)
=
(2u+\delta)^2.
}
$$

所以 composite obstruction 會在：

$$
(n,k,\delta)
$$

空間中留下 perfect-square discriminant certificate。

---

# 9. Discriminant-Square Characterization

若存在：

$$
\delta\ge1
$$

使：

$$
D_\delta(n,k)
$$

是完全平方：

$$
r^2,
$$

且：

$$
r\equiv\delta\pmod2,
$$

則：

$$
u=\frac{r-\delta}{2}
$$

為整數。

若另外：

$$
1<n-u<n^2+k,
$$

則：

$$
\boxed{
n^2+k
=
(n-u)(n+u+\delta),
}
$$

故 candidate 為合數。

因此整除 obstruction 可重新讀成：

$$
\boxed{
\text{square-discriminant shell hit}.
}
$$

---

# 10. 前兩個殼層

## $\delta=1$

$$
k
=
n-u(u+1).
$$

所以：

$$
\boxed{
4(n-k)+1
=
(2u+1)^2.
}
$$

第一殼層是一條三角數／奇平方曲線。

## $\delta=2$

$$
k
=
2n-u(u+2)
=
2n+1-(u+1)^2.
$$

所以：

$$
\boxed{
2n+1-k
=
(u+1)^2.
}
$$

第二殼層直接是一條平方曲線。

這說明最靠近 $n$ 的高階 factor obstructions 並不是任意 residue noise，而落在顯式二次殼層。

---

# 11. 與 Phase 4 Residue Field 的等價

Phase 4 的 obstruction condition 是：

$$
a\mid n^2+k
$$

等價於：

$$
k\equiv-n^2\pmod a.
$$

Phase 6 寫：

$$
a=n-u
$$

時，

$$
n\equiv u\pmod a,
$$

所以：

$$
k
\equiv
-u^2
\pmod{n-u}.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{residue obstruction}
\equiv
\text{factor-shell obstruction}.
}
$$

Phase 4 看的是模空間；

Phase 6 看的是跨平方根因數對的幾何。

---

# 12. V3 Fit 與 Obstruction Horizon 的真正接點

Phase 5 得到：

$$
x_3(n)-n^2
=
O(\log n).
$$

而距離 $x_3(n)$ 最近的 $M6^*$ candidate 與 $x_3(n)$ 相差至多常數量。

所以 rank-1 V3 candidate 偏移：

$$
k_3(n)
=
O(\log n).
$$

因此：

$$
\boxed{
B(n,k_3(n))
=
n-\sqrt n+O(1).
}
$$

這是本系列第一次得到：

$$
\boxed{
\text{Position Fit}
\Longrightarrow
\text{Obstruction Domain Shrinkage}.
}
$$

---

# 13. Roughness Ladder

現在改看低階預篩尺度：

$$
z(n)=n^\alpha,
\qquad
0<\alpha<1.
$$

假設 candidate：

$$
q<(n+1)^2
$$

沒有任何：

$$
p\le n^\alpha
$$

的質因數。

若：

$$
\Omega(q)\ge r
$$

（質因數計重數），則：

$$
q
>
n^{\alpha r}.
$$

若：

$$
\alpha r>2,
$$

則充分大 $n$ 時：

$$
n^{\alpha r}
>
(n+1)^2,
$$

矛盾。

因此：

## Roughness Ladder Theorem

對任意整數 $r\ge2$，若：

$$
\alpha r>2,
$$

則充分大 $n$ 時：

$$
\boxed{
\Omega(q)\le r-1.
}
$$

---

# 14. 兩個重要門檻

若：

$$
\alpha>\frac12,
$$

取：

$$
r=4,
$$

則：

$$
\boxed{
\Omega(q)\le3.
}
$$

所以 survivor 至多是 $P_3$。

若：

$$
\alpha>\frac23,
$$

取：

$$
r=3,
$$

則：

$$
\boxed{
\Omega(q)\le2.
}
$$

若 candidate 非質數，它只能是 semiprime。

---

# 15. 與 2026 $P_3$ 前沿的關係

Peter J. Campbell 在 2026 年證明：

$$
\boxed{
\text{每個 }(n^2,(n+1)^2)
\text{ 都含有一個至多三個質因數的整數。}
}
$$

這改善 Dudek–Johnston 的 $P_4$ 結果。

本節的 roughness ladder 不是 Campbell 定理的替代證明。

它只指出：

> 如果一個 square-cell survivor 可以被篩到超過 $n^{1/2}$ 的 roughness，則其剩餘乘法複雜度自然落入 $P_3$ 層。

Campbell 的真正工作是無條件地保證這種 almost-prime object 在**每一格**存在，而非只給 conditional factor-count implication。

---

# 16. Linear Sieve 的臨界斷層

對平方區間序列：

$$
\mathcal A_n
=
\{n^2+1,\dots,n^2+2n\},
$$

對 squarefree $d$ 有：

$$
|\mathcal A_{n,d}|
=
\frac{2n}{d}
+
O(1).
$$

若採 dimension-one linear sieve，令篩水平：

$$
D
=
\frac{n}{(\log n)^B},
$$

則：

$$
\log D
=
(1+o(1))\log n.
$$

若：

$$
z=n^\alpha,
$$

linear sieve 參數：

$$
s
=
\frac{\log D}{\log z}
=
\frac1\alpha+o(1).
$$

標準 lower linear sieve function 滿足：

$$
f(s)=0
\quad
(0<s\le2),
$$

且：

$$
f(s)>0
\quad
(s>2).
$$

所以正的標準 lower-sieve main term 要求：

$$
\boxed{
\alpha<\frac12.
}
$$

---

# 17. Sieve-Critical Gap

但 roughness ladder 要自動得到 $P_3$：

$$
\boxed{
\alpha>\frac12.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\alpha=\frac12
}
$$

恰好把兩個需求切開：

$$
\text{standard lower-sieve positivity}
\quad
\alpha<\frac12,
$$

$$
\text{automatic }P_3\text{ residual structure}
\quad
\alpha>\frac12.
$$

這就是本問題在這套尺度座標中的 **sieve-critical gap**。

對 semiprime：

$$
\alpha>\frac23,
$$

斷層更大。

---

# 18. 這個斷層的意義

這不是偶然的參數不好選。

它是 classical parity/sifting barrier 在本平方底空間中的直接投影。

所以任何只靠：

$$
\boxed{
\text{「篩得夠深」}
}
$$

的策略，都會在「保證 survivor」與「保證 survivor 具有極低乘法階數」之間撞到臨界斷層。

要跨過去，必須加入：

- weighted sieve；
- bilinear structure；
- parity-breaking information；
- fitting non-alignment；
- spectral / residue structure；
- 或其他不是單純 density sieve 的資訊。

---

# 19. 有限 Machine Audit：Horizon

本輪對：

$$
2\le n\le600
$$

的所有 $M6^*$ composite candidates 做 exhaustive 檢查。

Obstruction Horizon Theorem 失敗數：

$$
\boxed{
0.
}
$$

另外對：

$$
20\le n\le5000
$$

的 V3 rank-1 candidates：

- composite 數：3929；
- horizon violation：0；
- 被自動排除的最高階 top strip，中位寬度：約 50；
- 中位：

$$
\frac{B(n,k)}n
\approx
0.980070.
$$

所以 finite data 與：

$$
n-B(n,k)
\asymp
\sqrt n
$$

一致。

---

# 20. 有限 Machine Audit：Roughness Ladder

本輪以 V3 center 為 position score，對候選先排除：

$$
p\le n^\alpha
$$

後，取最近 candidate。

| $\alpha$ | rank-1 prime rate | residual composite max $\Omega$ | median $\Omega$ |
|---:|---:|---:|---:|
| 0.40 | 40.594% | 4 | 2 |
| 0.49 | 47.440% | 3 | 2.0 |
| 0.51 | 48.805% | 3 | 2.0 |
| 0.60 | 56.394% | 3 | 2.0 |
| 0.67 | 61.694% | 2 | 2.0 |
| 0.70 | 63.883% | 2 | 2 |
| 0.75 | 68.239% | 2 | 2.0 |

最重要的有限觀察：

- $\alpha$ 穿過 $1/2$ 後，residual composite 的最大 $\Omega$ 降到 $3$；
- $\alpha$ 約穿過 $2/3$ 後，有限樣本中的 residual composite 全部只剩 $\Omega=2$。

這與 roughness ladder 的理論門檻一致。

但 rank-1 prime rate 本身只是有限經驗，不是存在性定理。

---

# 21. Phase 6 之後真正縮小的 High-Obstruction Domain

Phase 5 的高階域原本是：

$$
z(n)<a\le n.
$$

現在若 candidate offset 為：

$$
k<n,
$$

可直接縮成：

$$
\boxed{
z(n)<a\le B(n,k).
}
$$

對 V3 左邊界 candidate：

$$
\boxed{
z(n)
<
a
\le
n-\sqrt n+O(1).
}
$$

最頂端約：

$$
\sqrt n
$$

寬的原子區域被位置幾何自動消掉。

---

# 22. 新的 High-Obstruction Residue Field

定義：

$$
\boxed{
\mathcal O_{\mathrm{hor}}
=
\left\{
(n,a):
z(n)<a\le B(n,\kappa_{\mathcal F}(n))
\right\}.
}
$$

真正需要證的 residue non-hit 只剩：

$$
\boxed{
n^2+\kappa_{\mathcal F}(n)
\not\equiv0\pmod a
}
$$

對：

$$
(n,a)\in\mathcal O_{\mathrm{hor}}.
$$

這比 Phase 5 的：

$$
z(n)<a\le n
$$

是嚴格縮小。

---

# 23. Shell 版本的剩餘義務

等價地，不再直接量化 $a$，而量化：

$$
\delta\ge1.
$$

需要排除：

$$
\boxed{
D_\delta
\left(
n,\kappa_{\mathcal F}(n)
\right)
}
$$

為 admissible perfect square 的所有情況。

所以剩餘 composite obstruction 可寫成：

$$
\boxed{
\exists\delta:
D_\delta(n,\kappa_{\mathcal F}(n))
=
r^2.
}
$$

Prime-fit closure 則是：

$$
\boxed{
D_\delta(n,\kappa_{\mathcal F}(n))
\neq
r^2
}
$$

對所有 admissible shell。

---

# 24. 下一階段應該攻什麼？

Phase 7 不應再提高預篩深度。

真正要測的是：

> V3 / fit-derived offset $\kappa_{\mathcal F}(n)$ 是否與 discriminant-square shells 存在可證明的 non-alignment？

也就是研究：

$$
\boxed{
\delta^2
+
4n\delta
-
4\kappa_{\mathcal F}(n)
}
$$

為完全平方的可能性。

若能把它變成：

- 有限殼層；
- 可控殼層密度；
- 不相容同餘族；
- 或一個全域 discriminant gap；

才有機會真正跨過 classical sieve parity barrier。

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# 25. 研究邊界

截至 2026 年，勒讓德猜想仍未解。

目前最接近、保留「每個連續平方區間」量詞的已證無條件結果，是每格存在 $P_3$ almost-prime；Campbell 2026 改善了 Dudek–Johnston 的 $P_4$。

因此本文的：

$$
\text{obstruction horizon},
$$

$$
\text{factor shells},
$$

$$
\text{sieve-critical gap}
$$

應理解為研究重構與證明義務壓縮，而不是已跨越 prime existence barrier。

---

# 26. 參考文獻

1. Peter J. Campbell, *On the Existence of Integers with at Most 3 Prime Factors Between Every Pair of Consecutive Squares*, arXiv:2603.10356, 2026; Journal of Number Theory, DOI: 10.1016/j.jnt.2026.07.014.
2. Adrian W. Dudek and Daniel R. Johnston, *Almost Primes Between All Squares*, Journal of Number Theory 278 (2026), 726–745; DOI: 10.1016/j.jnt.2025.05.009.
3. J. Friedlander and H. Iwaniec, *Opera de Cribro*, AMS Colloquium Publications 57, 2010.
4. Standard Rosser–Iwaniec linear sieve: lower sieve function $f(s)=0$ for $s\le2$ and $f(s)>0$ for $s>2$.

---

# 27. Phase 6 狀態

```text
Legendre Base-Space Program
Phase 6 — Dynamic Obstruction Horizon and Factor Shells

Factor-pair square-crossing coordinates:   DEFINED
Factor-shell identity:                     PROVED
Candidate-dependent obstruction horizon:  PROVED
Left-edge horizon asymptotic:              DERIVED
High-top obstruction strip exclusion:     PROVED
Discriminant shell:                        DEFINED
Discriminant-square obstruction:           PROVED
Route-4 residue/shell equivalence:         DERIVED
V3 position -> obstruction shrinkage:      DERIVED
Roughness ladder:                          PROVED ASYMPTOTICALLY
P3 threshold alpha > 1/2:                  DERIVED
P2 threshold alpha > 2/3:                  DERIVED
Linear-sieve positivity alpha < 1/2:       IDENTIFIED
Sieve-critical gap at alpha = 1/2:         IDENTIFIED
Finite horizon audit:                      PASS
Finite roughness audit:                    CONSISTENT
Legendre proof status:                     OPEN
Next phase:                                DISCRIMINANT-SHELL NON-ALIGNMENT
```