# 勒讓德底空間綱領 Phase 5
## 正典擬合纖維、Fixed-Point Depth 與低高阻礙分解
### Canonical Fit-Ordered Fiber, Fixed-Point Depth, and Low/High Obstruction Decomposition

**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-30  
**作者：** Neo.K × AI 協作  
**機構：** EveMissLab / 一言諾科技有限公司  
**研究線：** Legendre Base-Space Prime-Fitting Program  
**前置：** Phase 1–4  
**狀態：** Phase 5 formalization + finite machine audit；非勒讓德猜想完成證明

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# 0. 本階段結論

Phase 5 正式處理「質數擬合算子到底如何在每個平方胞腔中選候選」。

本輪得到三個關鍵結論：

1. 舊 V3 質數位置公式可以正典地生成每個平方胞腔中的 fit center，而且該中心漸近只離左平方邊界 $O(\log n)$；
2. 單純「距 fit center 最近的 $6k\pm1$」不是 prime-valued section，有限測試 rank-1 命中率僅約 **17.1477%**；
3. V3 排序的 fixed-point depth 與單純從左平方邊界開始掃 $M6^*$ 的深度分布幾乎相同，所以純位置擬合沒有展現新的 obstruction-avoidance 信號。

因此本綱領把「質數擬合底空間」從單一點升級成：

$$
\boxed{
\text{fit-ordered local fiber}
}
$$

並加入一個不完成全部 primality test 的低階歷史阻礙預條件器。

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# 1. Source Audit

既有研究可分為三層：

- **V3 / 質數幾何**：提供明確的質數位置近似公式與幾何定位中心；
- **$\varepsilon_{\mathrm{full}}$**：提供尺度修正，但 Phase 3 已確認不能直接當作 open-loop 無限生成元；
- **TCGQT Prime Triplex Lab**：A 為質數殘餘、B 為生成合數、C 為 $6k\pm1$ 車道；但實驗台使用 sieve / factorization 顯示真實 residual，因此它是 verifier / visualization，不是獨立 generator。

所以 Phase 5 採：

$$
\boxed{
\text{V3 作 generator center}
+
T_{\mathrm{top}}\text{ 作 verifier}.
}
$$

---

# 2. V3 全域位置模型

令：

$$
L=\ln N,
\qquad
\Lambda=\ln\ln N.
$$

定義：

$$
\boxed{
V(N)
=
N\left[
L+\Lambda-1
+
\frac{\Lambda-2}{L}
-
\frac{\Lambda^2-6\Lambda+11}{2L^2}
+
\frac{\Lambda^3-9\Lambda^2+26\Lambda-24}{6L^3}
\right].
}
$$

它不需要知道第 $N$ 個真質數才可計算。

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# 3. 平方邊界 Crossing Index

定義：

$$
\boxed{
\nu_3(n)
=
\min\{N:V(N)>n^2\}.
}
$$

以及：

$$
\boxed{
x_3(n)
=
V(\nu_3(n)).
}
$$

此定義不使用 $\pi(n^2)$ 或下一個真質數。

---

# 4. Fit Center 的左邊界局部化

由 $\nu_3(n)$ 的最小性：

$$
V(\nu_3(n)-1)
\le
n^2
<
V(\nu_3(n)).
$$

因此：

$$
0
<
x_3(n)-n^2
\le
V(\nu_3(n))-V(\nu_3(n)-1).
$$

V3 的漸近形為：

$$
V(N)
=
N\left(
\ln N+\ln\ln N-1
+
O\left(
\frac{\ln\ln N}{\ln N}
\right)
\right),
$$

故：

$$
V(N+1)-V(N)
=
O(\ln N).
$$

又由：

$$
V(\nu_3(n)-1)
=
\Theta(\nu_3(n)\ln\nu_3(n))
\le n^2
$$

可得：

$$
\ln\nu_3(n)=O(\ln n).
$$

因此：

$$
\boxed{
x_3(n)-n^2
=
O(\ln n).
}
$$

所以對充分大的 $n$：

$$
n^2<x_3(n)<(n+1)^2.
$$

---

# 5. 有限 Center Audit

在：

$$
10\le n\le20000
$$

上，V3 center 全部落在平方胞腔內。

有限偏移 $x_3(n)-n^2$：

- 最小：0.000225
- 中位數：8.783453
- P90：16.188990
- 最大：19.764347

---

# 6. Canonical Fit-Ordered Local Fiber

令：

$$
C_n^{(6)}
=
(n^2,(n+1)^2)\cap M6^*.
$$

定義 fitting score：

$$
\boxed{
S_n(q)=|q-x_3(n)|.
}
$$

依 score 由小到大，平手時依 $q$ 由小到大，得到：

$$
\boxed{
J_n(1),J_n(2),\dots,J_n(m_n).
}
$$

這整條有序 fiber，而不是 $J_n(1)$ 單點，才是目前的 canonical fit object。

---

# 7. Rank-1 Section 失敗

令：

$$
F_3^{(1)}(n)=J_n(1).
$$

有限實驗中：

$$
\boxed{
\Pr[
T_{\mathrm{top}}(F_3^{(1)}(n))
=
F_3^{(1)}(n)
]
\approx
17.1477\%.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
J_n(1)
\text{ 不是全域 prime-valued section。}
}
$$

---

# 8. Fixed-Point Depth

定義：

$$
\boxed{
\tau_3(n)
=
\min
\left\{
r:
T_{\mathrm{top}}(J_n(r))
=
J_n(r)
\right\}.
}
$$

勒讓德等價於：

$$
\boxed{
\tau_3(n)<\infty
\quad
\forall n.
}
$$

因為 $J_n$ 枚舉了胞腔中的全部 $M6^*$ 候選。

---

# 9. Baseline Fixed-Point Depth Audit

有限範圍：

$$
10\le n\le20000.
$$

| 指標 | $\tau_3$ |
|---|---:|
| rank-1 fixed-point rate | 17.1477% |
| median | 4 |
| P90 | 12 |
| P99 | 23 |
| P99.9 | 34 |
| max | 55 |

最壞案例之一：

$$
n=14908,
\qquad
\tau_3(n)=55.
$$

其 fit center：

$$
x_3(n)\approx222248468.330759,
$$

首次 fixed point：

$$
222248627.
$$

---

# 10. Signal–Carrier Audit：V3 vs Left-Edge

另定義完全不使用 V3 的 baseline：

> 從 $n^2+1$ 開始，把胞腔中的 $M6^*$ 整數由小到大排列，直到第一個 fixed point。

記深度為：

$$
\tau_L(n).
$$

有限審計：

| 指標 | V3 fit order | Left-edge order |
|---|---:|---:|
| rank-1 rate | 17.1477% | 17.0377% |
| median | 4 | 4 |
| P90 | 12 | 12 |
| P99 | 23 | 23 |
| P99.9 | 34 | 34 |
| max | 55 | 55 |

且：

$$
\tau_3(n)=\tau_L(n)
$$

的比例為：

$$
52.4686\%.
$$

平均 rank 差：

$$
0.010905.
$$

因此目前沒有證據顯示 V3 的**位置 score 本身**提供額外的 obstruction-avoidance。

---

# 11. 為什麼？

因為：

$$
x_3(n)-n^2=O(\ln n).
$$

而 $M6^*$ 相鄰候選間距只有 $2$ 或 $4$。

所以 V3 fit order 本質上仍在平方左邊界附近進行局部排序。

這證明「位置擬合」與「因數阻礙避開」是兩種不同資訊。

---

# 12. Prime Fit 的三層結構

因此目前最合理的 Prime Fit 應寫成：

$$
\boxed{
\text{Prime Fit}
=
\text{Position Fit}
+
\text{Low-Obstruction Avoidance}
+
\text{High-Obstruction Closure}.
}
$$

---

# 13. 低階 Obstruction Cutoff

取預先指定：

$$
z(n)
$$

使：

$$
5\le z(n)<n
$$

對充分大 $n$ 成立。

定義：

$$
\mathfrak A_{\le z}(n)
=
\{a\in\mathfrak A:a\le z(n)\},
$$

以及：

$$
\boxed{
W_z(n)
=
6\prod_{a\in\mathfrak A_{\le z}(n)}a.
}
$$

---

# 14. Preconditioned Fit Fiber

定義：

$$
\boxed{
C_n^{(z)}
=
\left\{
q\in(n^2,(n+1)^2):
\gcd(q,W_z(n))=1
\right\}.
}
$$

再按：

$$
|q-x_3(n)|
$$

排序：

$$
J_n^{(z)}(1),J_n^{(z)}(2),\dots
$$

這個 generator 只清理低階因數，沒有完成 primality test。

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# 15. Low / High Obstruction Decomposition

高階原子：

$$
\mathfrak A_{>z}(n)
=
\{a\in\mathfrak A:z(n)<a\le n\}.
$$

對 $q\in C_n^{(z)}$，低階 obstruction 已由構造消除。

所以 $q$ 為質數等價於：

$$
\boxed{
q\not\equiv0\pmod a
\quad
\forall a\in\mathfrak A_{>z}(n).
}
$$

---

# 16. Kernel Factorization

令：

$$
Q_n
=
6\prod_{a\in\mathfrak A_n}a.
$$

則：

$$
\boxed{
Q_n
=
W_z(n)R_z(n),
}
$$

其中：

$$
R_z(n)
=
\prod_{a\in\mathfrak A_{>z}(n)}a
$$

且：

$$
\gcd(W_z(n),R_z(n))=1.
$$

因此：

$$
\gcd(q,Q_n)=1
$$

等價於：

$$
\boxed{
\gcd(q,W_z(n))=1
\quad\land\quad
\gcd(q,R_z(n))=1.
}
$$

---

# 17. Preconditioned Fixed-Point Depth

定義：

$$
\boxed{
\tau_{3,z}(n)
=
\min
\left\{
r:
T_{\mathrm{top}}(J_n^{(z)}(r))
=
J_n^{(z)}(r)
\right\}.
}
$$

本輪只作一個工程實驗：

$$
\boxed{
z(n)
=
\left\lfloor
(\ln(n+1))^2
\right\rfloor.
}
$$

這不是定理，也不宣稱最佳。

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# 18. Preconditioned Finite Audit

在：

$$
10\le n\le20000
$$

得到：

| 指標 | 原 V3 fiber | $z=(\ln(n+1))^2$ |
|---|---:|---:|
| rank-1 fixed-point rate | 17.1477% | 45.9357% |
| median | 4 | 2 |
| P90 | 12 | 4 |
| P99 | 23 | 8 |
| P99.9 | 34 | 12 |
| max | 55 | 17 |

最壞 preconditioned 案例之一：

$$
n=19079,
\qquad
\tau_{3,z}(n)=17,
$$

其：

$$
z(n)=97.
$$

有限改善來源很清楚：它來自顯式移除低階 composite stripes，而不是 V3 自己獲得 primality。

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# 19. Generator / Verifier 邊界

## Generator 可使用

- $n,n^2$；
- V3 / 位置公式；
- 固定 cutoff $z(n)$；
- $a\le z(n)$ 的 residue exclusion。

## Generator 不可使用

- 真實 primality；
- 下一真質數；
- $\pi(n^2)$ oracle；
- 對全部 $a\le n$ 的完整掃描；
- 完整 $T_{\mathrm{top}}$ 結果。

## Verifier 可使用

$$
T_{\mathrm{top}}
$$

或完整 obstruction field。

---

# 20. Fit-Depth Envelope

真正值得證明的是存在：

$$
\boxed{
\tau_{3,z}(n)\le R(n)
}
$$

且前 $R(n)$ 個 candidates 必定仍在平方胞腔內。

因 $M6^*$ 相鄰候選距離至多 $4$，候選深度 $R$ 的物理寬度為 $O(R)$。

又：

$$
x_3(n)-n^2=O(\ln n).
$$

因此若能證：

$$
\boxed{
\tau_{3,z}(n)=o(n),
}
$$

則充分大 $n$ 時 fixed point 必仍位於：

$$
(n^2,(n+1)^2).
$$

故：

$$
\boxed{
\text{sublinear fit-depth}
\Longrightarrow
\text{Legendre}.
}
$$

目前這個全域 sublinear depth 尚未證明。

---

# 21. Canonical Prime-Fitting Base Space v1

目前最乾淨的質數擬合底空間是：

$$
\boxed{
\mathcal B_{\mathrm{PF}}^{(z)}
=
\bigsqcup_{n\ge2}
\left(
C_n^{(z)},
S_n
\right),
}
$$

其中：

$$
S_n(q)=|q-x_3(n)|.
$$

每條局部 fiber 同時帶有：

- square-cell geometry；
- V3 fit center；
- $M6^*$ lane restriction；
- low-obstruction preconditioning；
- high-obstruction residue field；
- fixed-point verifier。

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# 22. 本輪最重要的負結果

如果不加入 obstruction structure，V3 fit ordering 與最簡單的 left-edge M6 ordering 幾乎同質。

所以：

$$
\boxed{
\text{Prime-Fitting Base Space}
\neq
\text{Position-Fitting Base Space}.
}
$$

真正多出來的資訊必須是：

$$
\boxed{
\text{obstruction geometry}.
}
$$

---

# 23. Phase 6 入口

下一階段直接研究高階 obstruction：

$$
\boxed{
z(n)<a\le n.
}
$$

問題改為：

> 在低階因數已被 generator 排除後，高階原子能否仍把 preconditioned fit fiber 的前段全部覆蓋？

應研究：

1. 每個高階原子對 fit fiber 前段的最大 hit 數；
2. 不同高階原子的 CRT 交會；
3. 高階 obstruction 的 union bound 為何失敗／何時可修正；
4. square anchor 是否能帶來高階 non-alignment；
5. 是否能證明 $\tau_{3,z}(n)=o(n)$。

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# 24. Phase 5 狀態

```text
Legendre Base-Space Program
Phase 5 — Canonical Fit-Ordered Fiber

V3 global fit center:                      DEFINED
Square crossing index from V3:             DEFINED
V3 center left-edge localization:          DERIVED
Finite center-in-cell audit:               PASS
Rank-1 prime section:                      FALSIFIED
Fit-ordered local fiber:                   DEFINED
Fixed-point depth tau_3:                   DEFINED
V3 vs left-edge signal/carrier audit:      NO DISTINCT ADVANTAGE FOUND
Low-obstruction cutoff z(n):               DEFINED PARAMETRICALLY
Preconditioned fit fiber:                  DEFINED
Low/high obstruction factorization:        PROVED
Experimental log^2 cutoff audit:           IMPROVES DEPTH FINITELY
Generator/verifier boundary:               FIXED
Sublinear fit-depth sufficient route:      IDENTIFIED
Global sublinear depth theorem:             OPEN
Legendre proof status:                     OPEN
Next phase:                                HIGH-OBSTRUCTION CLOSURE
```