# 勒讓德底空間綱領 Phase 2
## 自主質數擬合算子、廣義逆索引橋與平方胞腔商等價
### Autonomous Prime-Fitting Operator, Generalized-Inverse Index Bridge, and Square-Cell Quotient Equivalence

**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-30  
**作者：** Neo.K × AI 協作  
**機構：** EveMissLab / 一言諾科技有限公司  
**研究線：** Legendre Base-Space Prime-Fitting Program  
**前置：** Phase 1 — Canonical Algebraic Consecutive-Square Base Space  
**狀態：** Phase 2 formalization；非勒讓德猜想完成證明

---

# 0. 本階段目標

Phase 1 已建立正典平方底空間：

$$
\mathcal T_{\square}
=
\{(n,k)\in\mathbb Z_{>0}^2:
1\le k\le2n\},
$$

評價映射：

$$
E(n,k)=n^2+k,
$$

以及真質數拉回子空間：

$$
\mathcal P_{\square}
=
E^{-1}(\mathbb P).
$$

勒讓德猜想被重構為：

$$
\pi_{\square}(\mathcal P_{\square})
=
\mathbb Z_{>0}.
$$

Phase 2 處理兩個核心問題：

1. 如何把既有質數幾何公式閉成一個**不需逐步查詢真實質數歷史**的自主全域算子；
2. 如何從平方胞腔索引 $n$ 自動生成相應的「下一個擬合質數索引」，而不使用 $\pi(n^2)$ 作 oracle。

本階段另外得到一個重要簡化：

> 對勒讓德而言，不一定需要證明擬合算子與真質數位置算子在實數位置上完全相等；只要證明它們在「平方胞腔商空間」中等價即可。

---

# 1. 真質數位置算子

定義真質數位置算子：

$$
P:
\mathbb Z_{>0}
\to
\mathbb P,
$$

$$
\boxed{
P(N)=p_N.
}
$$

其廣義逆就是質數計數函數：

$$
\pi(x)
=
\max\{N:p_N\le x\}.
$$

因此：

$$
P
\quad\text{與}\quad
\pi
$$

是一對離散位置／計數對偶。

本研究的目的不是直接調用 $\pi(n^2)$，而是從候選擬合位置算子自身建立其逆。

---

# 2. 既有全尺度修正函數

沿用前置研究，設：

$$
\varepsilon_{\mathrm{full}}(N)
=
\begin{cases}
\varepsilon_{\mathrm{table}}(N),
&2\le N<1000,\\[4pt]
\varepsilon_{\mathrm{mid}}(N),
&1000\le N<5\times10^6,\\[4pt]
\varepsilon_{\mathrm{asy}}(N),
&N\ge5\times10^6.
\end{cases}
$$

其中：

$$
L=\ln N,
\qquad
\Lambda=\ln\ln N,
$$

$$
\varepsilon_{\mathrm{mid}}(N)
=
\frac1L
+
\frac{\beta_1\Lambda+\beta_2}{L^2}
+
\frac{\beta_3\Lambda^2+\beta_4\Lambda+\beta_5}{L^3},
$$

候選係數為：

$$
\beta_1=160.2971,
\qquad
\beta_2=-845.5678,
$$

$$
\beta_3=763.7534,
\qquad
\beta_4=-359.9259,
\qquad
\beta_5=1546.2420.
$$

大尺度段：

$$
\varepsilon_{\mathrm{asy}}(N)
=
\frac1L
+
\frac{1-\Lambda}{L^2}
+
\frac{\Lambda^2-\Lambda-1}{2L^3}.
$$

---

# 3. 從外部平均值輸入改成自主遞推

原始質數幾何預測器可寫成：

$$
y_N
=
\log_{10}\operatorname{Avg}(N),
$$

$$
y_{N+1}
=
y_N
+
\left(
1+\varepsilon_{\mathrm{full}}(N)
\right)
\left[
\log_{10}(N+1)-\log_{10}N
\right].
$$

若每一步都把真實：

$$
\operatorname{Avg}(N)
$$

餵入系統，則預測器仍使用真實質數歷史。

因此 Phase 2 將其閉成自主系統。

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# 4. 自主平均擬合算子

定義：

$$
\widehat A_2
=
\frac{2+3}{2}
=
\frac52.
$$

對所有：

$$
N\ge2,
$$

令：

$$
\boxed{
\widehat A_{N+1}
=
\widehat A_N
\left(
\frac{N+1}{N}
\right)^{
1+\varepsilon_{\mathrm{full}}(N)
}.
}
$$

這就是自主平均擬合遞推。

其後每一步僅依賴：

- 前一個內部狀態 $\widehat A_N$；
- 已固定的 $\varepsilon_{\mathrm{full}}(N)$；
- 整數索引 $N$。

不再需要逐步讀取真實：

$$
\operatorname{Avg}(N).
$$

---

# 5. 閉式乘積表示

由遞推可得：

$$
\widehat A_N
=
\widehat A_2
\prod_{j=2}^{N-1}
\left(
\frac{j+1}{j}
\right)^{
1+\varepsilon_{\mathrm{full}}(j)
}.
$$

將主項分離：

$$
\prod_{j=2}^{N-1}
\frac{j+1}{j}
=
\frac N2.
$$

所以：

$$
\boxed{
\widehat A_N
=
\frac52
\cdot
\frac N2
\cdot
\exp
\left[
\sum_{j=2}^{N-1}
\varepsilon_{\mathrm{full}}(j)
\ln
\left(
\frac{j+1}{j}
\right)
\right].
}
$$

因此，一旦：

$$
\varepsilon_{\mathrm{full}}
$$

被固定，整個 $\widehat A_N$ 序列由有限初始種子唯一決定。

---

# 6. 自主質數位置擬合算子

利用加法錨定，定義：

$$
\boxed{
\widehat P(N+1)
=
(N+1)\widehat A_{N+1}
-
N\widehat A_N.
}
$$

並保留初始：

$$
\widehat P(1)=2,
\qquad
\widehat P(2)=3.
$$

因此得到：

$$
\boxed{
\widehat P:
\mathbb Z_{>0}
\to
\mathbb R_{>0}.
}
$$

這裡 $\widehat P$ 暫時稱為：

## 自主質數位置擬合算子

### Autonomous Prime-Position Fitting Operator

它目前是實值算子，不預先宣稱：

$$
\widehat P(N)=p_N.
$$

---

# 7. 第一個 Phase 2 定理：自主閉包唯一性

## 定理 7.1

若：

$$
\varepsilon_{\mathrm{full}}(N)
$$

對所有 $N\ge2$ 已定義，且給定：

$$
\widehat A_2=\frac52,
$$

則遞推：

$$
\widehat A_{N+1}
=
\widehat A_N
\left(
\frac{N+1}{N}
\right)^{
1+\varepsilon_{\mathrm{full}}(N)
}
$$

唯一決定全部：

$$
\widehat A_N,
$$

進而唯一決定：

$$
\widehat P(N).
$$

## 證明

每一步 $\widehat A_{N+1}$ 是前一步 $\widehat A_N$ 與固定函數值 $\varepsilon_{\mathrm{full}}(N)$ 的確定函數。

由遞迴唯一性，全部 $\widehat A_N$ 唯一。

再由：

$$
\widehat P(N+1)
=
(N+1)\widehat A_{N+1}
-
N\widehat A_N
$$

可唯一決定 $\widehat P$。

證畢。

---

# 8. Runtime Oracle 與 Fixed Calibration 的區別

自主閉包消除了：

$$
\text{runtime prime-history oracle}.
$$

但目前仍不能宣稱完全無資料依賴。

原因是：

- $\varepsilon_{\mathrm{table}}$ 來自有限真實質數資料；
- $\varepsilon_{\mathrm{mid}}$ 的係數來自有限資料擬合。

因此目前結構是：

$$
\boxed{
\text{finite fixed calibration}
+
\text{autonomous infinite rollout}.
}
$$

這與：

$$
\text{每一步查詢真實下一個質數}
$$

不同。

前者可在未來透過有限證書固定；

後者則會造成循環。

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# 9. 單調性是必要的下一個條件

若要從位置算子反推出計數算子，需要：

$$
\widehat P(N)
$$

至少滿足嚴格單調：

$$
\boxed{
\widehat P(N+1)
>
\widehat P(N).
}
$$

以及無界：

$$
\boxed{
\widehat P(N)\to\infty.
}
$$

本文暫不宣稱已證明此兩性質。

將其列為：

$$
\mathbf{M1}:
\quad
\widehat P
\text{ strictly increasing},
$$

$$
\mathbf{M2}:
\quad
\widehat P
\text{ unbounded}.
$$

---

# 10. 擬合計數算子

若 M1、M2 成立，定義：

$$
\boxed{
\widehat\Pi_{\mathcal F}(x)
=
\max
\{
N\in\mathbb Z_{>0}:
\widehat P(N)\le x
\}.
}
$$

稱為：

## 擬合計數算子

### Fitted Counting Operator

它不是：

$$
\pi(x)
$$

的直接查詢。

它完全由：

$$
\widehat P
$$

自身反轉得到。

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# 11. 平方邊界索引橋

對每個平方胞腔索引 $n$，定義：

$$
\boxed{
\nu_{\mathcal F}(n)
=
\widehat\Pi_{\mathcal F}(n^2)+1.
}
$$

稱為：

## 平方邊界後繼擬合索引

### Post-Square Fitted Successor Index

這就是 Phase 1 留下的：

$$
n
\longmapsto
N(n)
$$

問題的 canonical answer。

即：

$$
\boxed{
n
\longmapsto
\nu_{\mathcal F}(n).
}
$$

整個映射只使用：

$$
n^2
$$

與：

$$
\widehat P.
$$

不使用：

$$
\pi(n^2).
$$

---

# 12. 第二個 Phase 2 定理：擬合邊界穿越

## 定理 12.1

若 $\widehat P$ 嚴格遞增且無界，則：

$$
\nu_{\mathcal F}(n)
=
\widehat\Pi_{\mathcal F}(n^2)+1
$$

滿足：

$$
\boxed{
\widehat P
\left(
\nu_{\mathcal F}(n)-1
\right)
\le
n^2
<
\widehat P
\left(
\nu_{\mathcal F}(n)
\right).
}
$$

## 證明

由：

$$
\widehat\Pi_{\mathcal F}(n^2)
$$

的最大性可得：

$$
\widehat P
\left(
\widehat\Pi_{\mathcal F}(n^2)
\right)
\le
n^2.
$$

而下一索引不再滿足：

$$
\widehat P(N)\le n^2.
$$

故：

$$
\widehat P
\left(
\widehat\Pi_{\mathcal F}(n^2)+1
\right)
>
n^2.
$$

代入：

$$
\nu_{\mathcal F}(n)
=
\widehat\Pi_{\mathcal F}(n^2)+1
$$

即得。

證畢。

---

# 13. 擬合平方胞腔候選

定義：

$$
\boxed{
\widehat Q_{\mathcal F}(n)
=
\widehat P
\left(
\nu_{\mathcal F}(n)
\right).
}
$$

由定理 12.1：

$$
\widehat Q_{\mathcal F}(n)
>
n^2.
$$

再定義連續偏移：

$$
\boxed{
\widehat\kappa_{\mathcal F}(n)
=
\widehat Q_{\mathcal F}(n)-n^2.
}
$$

則自動：

$$
\widehat\kappa_{\mathcal F}(n)>0.
$$

---

# 14. 標準化平方胞腔座標

定義：

$$
\boxed{
\widehat\gamma_{\mathcal F}(n)
=
\frac{
\widehat Q_{\mathcal F}(n)-n^2
}{
2n+1
}.
}
$$

因為平方胞腔寬度為：

$$
2n+1,
$$

所以：

$$
\boxed{
0<
\widehat\gamma_{\mathcal F}(n)
<
1
}
$$

等價於：

$$
\boxed{
n^2
<
\widehat Q_{\mathcal F}(n)
<
(n+1)^2.
}
$$

這就是：

## 擬合平方胞腔內部性

### Fitted Square-Cell Internality

---

# 15. 擬合勒讓德裕度

定義：

$$
\boxed{
\widehat M_{\mathcal F}(n)
=
(n+1)^2
-
\widehat Q_{\mathcal F}(n).
}
$$

則：

$$
\widehat M_{\mathcal F}(n)>0
$$

等價於擬合候選沒有越過右平方邊界。

因此：

$$
\boxed{
\widehat M_{\mathcal F}(n)>0
\quad
\forall n
}
$$

是 Phase 2 之後第一個全域 closure target。

---

# 16. 到這裡仍然沒有證明勒讓德

即使：

$$
0<
\widehat\gamma_{\mathcal F}(n)
<
1
$$

對所有 $n$ 成立，也只代表：

> 擬合算子在每一個平方胞腔中都放入一個實值候選點。

仍未證明該點是真質數。

如果要求：

$$
\widehat P(N)=p_N
$$

對所有 $N$ 成立，當然足夠。

但這可能比勒讓德需要的更強。

下一節給出更弱的必要結構。

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# 17. 平方胞腔編碼

對不位於平方邊界上的：

$$
x>1,
$$

定義平方胞腔編碼：

$$
\boxed{
c_{\square}(x)
=
\lfloor\sqrt x\rfloor.
}
$$

只要：

$$
n^2<x<(n+1)^2,
$$

就有：

$$
c_{\square}(x)=n.
$$

因此 $c_{\square}$ 忘掉一個數在胞腔中的精確位置，只保留：

> 它落在哪一對連續平方數之間。

---

# 18. 平方胞腔等價關係

對兩個非平方正實數 $x,y$，定義：

$$
\boxed{
x\sim_{\square}y
\iff
c_{\square}(x)=c_{\square}(y).
}
$$

即：

$$
x\sim_{\square}y
$$

當且僅當它們落在同一個連續平方胞腔。

此關係將實數位置空間壓縮成平方胞腔商空間：

$$
\boxed{
\mathcal Q_{\square}
=
(\mathbb R_{>1}\setminus\{n^2\})
/
\sim_{\square}.
}
$$

每個等價類正好對應：

$$
(n^2,(n+1)^2).
$$

因此：

$$
\mathcal Q_{\square}
\cong
\mathbb Z_{>0}.
$$

---

# 19. 算子的平方胞腔商像

對任一位置算子：

$$
R:
\mathbb Z_{>0}
\to
\mathbb R_{>1},
$$

定義其平方胞腔商像：

$$
\boxed{
\overline R_{\square}
=
c_{\square}\circ R.
}
$$

對真質數位置算子：

$$
\overline P_{\square}(N)
=
c_{\square}(p_N).
$$

對擬合位置算子：

$$
\overline{\widehat P}_{\square}(N)
=
c_{\square}(\widehat P(N)).
$$

---

# 20. 平方胞腔算子等價

定義：

$$
\boxed{
\widehat P
\equiv_{\square}
P
}
$$

若：

$$
\boxed{
c_{\square}(\widehat P(N))
=
c_{\square}(p_N)
\quad
\forall N.
}
$$

即：

$$
\boxed{
\overline{\widehat P}_{\square}
=
\overline P_{\square}.
}
$$

稱為：

## 平方胞腔算子等價

### Square-Cell Operator Equivalence

這比：

$$
\widehat P(N)=p_N
$$

弱得多。

它允許：

$$
\widehat P(N)\neq p_N,
$$

甚至允許數值誤差相當大，只要兩者始終位於同一對連續平方數之間。

---

# 21. 平方邊界序關係版本

亦可定義平方邊界符號：

$$
\sigma_{\square}[R](N,n)
=
\operatorname{sgn}
\left(
R(N)-n^2
\right).
$$

若：

$$
\boxed{
\sigma_{\square}[\widehat P](N,n)
=
\sigma_{\square}[P](N,n)
}
$$

對所有 $N,n$ 成立，則兩算子對所有平方邊界具有相同左右序關係。

在不命中平方邊界時，此條件與平方胞腔算子等價一致。

---

# 22. 第三個 Phase 2 定理：平方胞腔商等價足夠定理

## 定理 22.1

假設：

### H1

$\widehat P$ 嚴格遞增且無界。

### H2

對所有 $N$：

$$
\widehat P(N)
\equiv_{\square}
p_N.
$$

即：

$$
c_{\square}(\widehat P(N))
=
c_{\square}(p_N).
$$

### H3

對每個 $n\ge1$，擬合算子存在某個索引 $N$ 使：

$$
c_{\square}(\widehat P(N))=n.
$$

則勒讓德猜想成立。

## 證明

由 H3，對任意：

$$
n\ge1,
$$

存在 $N$ 使：

$$
\widehat P(N)
\in
(n^2,(n+1)^2).
$$

因此：

$$
c_{\square}(\widehat P(N))=n.
$$

由 H2：

$$
c_{\square}(p_N)
=
c_{\square}(\widehat P(N))
=
n.
$$

所以：

$$
p_N
\in
(n^2,(n+1)^2).
$$

因此每個連續平方胞腔都包含真質數。

證畢。

---

# 23. 以 canonical index bridge 取代 H3

H3 不需要任意搜尋。

由：

$$
\nu_{\mathcal F}(n)
=
\widehat\Pi_{\mathcal F}(n^2)+1
$$

已經指定第一個擬合穿越點。

若能證明：

$$
\boxed{
0<
\widehat\gamma_{\mathcal F}(n)
<
1
\quad
\forall n,
}
$$

則：

$$
c_{\square}
\left(
\widehat P(\nu_{\mathcal F}(n))
\right)
=
n.
$$

因此 H3 可由一個全域裕度條件取代：

$$
\boxed{
\widehat M_{\mathcal F}(n)>0
\quad
\forall n.
}
$$

---

# 24. Phase 2 主充分條件

結合前述結果，得到：

## 定理 24.1

若候選自主擬合算子 $\widehat P$ 滿足：

$$
\mathbf{M1}:
\quad
\widehat P
\text{ 嚴格遞增},
$$

$$
\mathbf{M2}:
\quad
\widehat P
\text{ 無界},
$$

$$
\mathbf{C1}:
\quad
\widehat M_{\mathcal F}(n)>0
\quad
\forall n,
$$

以及：

$$
\mathbf{C2}:
\quad
\widehat P
\equiv_{\square}
P,
$$

則勒讓德猜想成立。

---

# 25. 這比證明精確質數公式更弱

最強可能目標是：

$$
\boxed{
\widehat P=P.
}
$$

若證成，當然有：

$$
\widehat P
\equiv_{\square}
P.
$$

但勒讓德只需要：

$$
\boxed{
c_{\square}\circ\widehat P
=
c_{\square}\circ P.
}
$$

也就是：

$$
\boxed{
\widehat P
\equiv_{\square}
P.
}
$$

因此：

$$
\widehat P=P
$$

是充分但非必要的超強條件。

Phase 2 把證明目標從「完全數值一致」降低為「平方胞腔商一致」。

---

# 26. 「質數擬合算子就是質數擬合算子」的新精確含義

原始直覺可以有兩種強度。

## 強版本

$$
\boxed{
\widehat P(N)=p_N
\quad
\forall N.
}
$$

這表示擬合算子就是精確真質數位置算子。

## 勒讓德充分版本

$$
\boxed{
\widehat P
\equiv_{\square}
P.
}
$$

亦即：

$$
\boxed{
c_{\square}(\widehat P(N))
=
c_{\square}(p_N)
\quad
\forall N.
}
$$

這表示：

> 擬合算子不必命中每一顆質數的精確數值，但必須永遠把第 $N$ 個質數放進正確的平方胞腔。

對勒讓德而言，後者已足夠。

---

# 27. 全域底空間與局部底空間的重新對齊

Phase 1 的全域底空間：

$$
\mathcal T_{\square}
$$

把所有局部平方胞腔統一。

Phase 2 的商映射：

$$
c_{\square}
$$

則把位置算子投影回胞腔索引。

因此形成：

$$
\boxed{
\mathbb Z_{>0}
\xrightarrow{\widehat P}
\mathbb R_{>1}
\xrightarrow{c_{\square}}
\mathbb Z_{>0}.
}
$$

真質數算子同樣有：

$$
\boxed{
\mathbb Z_{>0}
\xrightarrow{P}
\mathbb P
\xrightarrow{c_{\square}}
\mathbb Z_{>0}.
}
$$

我們真正要證的是兩個複合：

$$
c_{\square}\circ\widehat P
$$

與：

$$
c_{\square}\circ P
$$

相同。

這就是：

$$
\boxed{
\text{global operator}
\longrightarrow
\text{local square-cell identity}.
}
$$

---

# 28. Phase 2 後的證明義務

目前問題被壓成四個主要義務。

## O1 — Autonomous Monotonicity

證明：

$$
\widehat P(N+1)>\widehat P(N).
$$

## O2 — Unboundedness

證明：

$$
\widehat P(N)\to\infty.
$$

## O3 — Fitted Cell Closure

證明：

$$
\boxed{
\widehat M_{\mathcal F}(n)>0
\quad
\forall n.
}
$$

等價於：

$$
0<
\widehat\gamma_{\mathcal F}(n)
<
1.
$$

## O4 — Square-Cell Operator Fidelity

證明：

$$
\boxed{
\widehat P
\equiv_{\square}
P.
}
$$

O4 是目前最關鍵的新核心。

---

# 29. O4 不必直接證完整精確誤差

要證：

$$
\widehat P
\equiv_{\square}
P,
$$

不一定需要：

$$
|\widehat P(N)-p_N|=0.
$$

可以尋找足夠條件。

例如若：

$$
d_{\square}(p_N)
=
\min
\left\{
p_N-\lfloor\sqrt{p_N}\rfloor^2,
(\lfloor\sqrt{p_N}\rfloor+1)^2-p_N
\right\}
$$

表示真質數到最近平方邊界的距離。

若可證：

$$
\boxed{
|\widehat P(N)-p_N|
<
d_{\square}(p_N),
}
$$

則：

$$
\widehat P(N)
$$

與：

$$
p_N
$$

不可能跨越任何平方邊界。

因此：

$$
\widehat P
\equiv_{\square}
P.
$$

這提供「誤差界」與「商等價」之間的橋。

---

# 30. 更適合本綱領的誤差量

定義平方邊界正規化誤差：

$$
\boxed{
\delta_{\square}(N)
=
\frac{
|\widehat P(N)-p_N|
}{
d_{\square}(p_N)
}.
}
$$

若：

$$
\boxed{
\delta_{\square}(N)<1
\quad
\forall N,
}
$$

則：

$$
\widehat P
\equiv_{\square}
P.
$$

因此，相對於一般百分比誤差：

$$
\frac{|\widehat P(N)-p_N|}{p_N},
$$

本研究更在乎：

$$
\boxed{
\text{誤差相對於最近平方邊界有多大。}
}
$$

這是勒讓德特化的 fidelity metric。

---

# 31. Phase 2 的重大簡化

傳統想法可能要求：

$$
\widehat P(N)
=
p_N.
$$

Phase 2 顯示：

勒讓德真正需要的是：

$$
\boxed{
\widehat P(N)
\text{ 與 }
p_N
\text{ 永遠位於同一平方胞腔。}
}
$$

也就是：

$$
\boxed{
\widehat P
\equiv_{\square}
P.
}
$$

因此證明義務從：

$$
\text{exact prime reconstruction}
$$

降低為：

$$
\text{square-cell classification fidelity}.
$$

這是本階段最重要的結構性結果。

---

# 32. 下一階段：Phase 3

Phase 3 不再處理索引橋。

索引橋已由：

$$
\boxed{
\nu_{\mathcal F}(n)
=
\widehat\Pi_{\mathcal F}(n^2)+1
}
$$

正典化。

下一階段應同時做兩件事：

### Phase 3A

對自主遞推：

$$
\widehat A_{N+1}
=
\widehat A_N
\left(
\frac{N+1}{N}
\right)^{
1+\varepsilon_{\mathrm{full}}(N)
}
$$

分析：

$$
\widehat P(N)
$$

的單調性、無界性與漸近。

### Phase 3B

建立：

$$
\delta_{\square}(N)
$$

的有限計算實驗，尋找：

$$
\delta_{\square}(N)<1
$$

是否具有可延伸結構。

這一步會首次真正測試：

$$
\widehat P
\equiv_{\square}
P
$$

是否有可能成立。

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# 33. Phase 2 狀態

```text
Legendre Base-Space Program
Phase 2 — Operator Extraction and Index Bridge

Autonomous average recurrence:        DEFINED
Autonomous prime-position operator:   DEFINED
Finite-calibration boundary:          IDENTIFIED
Runtime prime-history oracle:         REMOVED
Monotonicity:                         OPEN
Unboundedness:                        OPEN
Fitted counting inverse:              DEFINED CONDITIONALLY
Square index bridge ν_F(n):           DEFINED
Boundary-crossing theorem:            PROVED
Normalized fitted cell coordinate:    DEFINED
Fitted Legendre margin:               DEFINED
Square-cell quotient:                 DEFINED
Square-cell operator equivalence:     DEFINED
Quotient-equivalence sufficiency:     PROVED
Exact operator equality requirement:  WEAKENED
Square-boundary normalized error:     DEFINED

Phase 2 verdict:                      CLOSED AS FORMAL BRIDGE
Legendre proof status:                OPEN
Next phase:                           MONOTONICITY + FIDELITY TEST
```