# 勒讓德底空間綱領 Phase 20
## Landing-Graph Moment Hierarchy / GCD Stratification
### 四階 Bulk Mixing、Large-GCD Closure、六階 Closure Gate 與 Primitive Correlation Triangle

**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-10-02  
**作者：** Neo.K × AI 協作  
**機構：** EveMissLab / 一言諾科技有限公司  
**研究線：** Legendre Base-Space Prime-Fitting Program  
**前置：** Phase 1–19  
**狀態：** exact moment decomposition + partial deterministic closure + finite spectral audit；Legendre 猜想仍未證明

---

# 0. 本輪核心結論

Phase 19 將 critical lower-sieve remainder壓成 centered landing matrix：

$$
L_X(r,s)
=
A_X(r,s)-\frac{H}{rs},
$$

其中：

$$
R\asymp S\asymp X^{1/3},
$$

$$
H=X^{1/2},
$$

以及：

$$
A_X(r,s)
=
\mathbf1_{
\exists t\in\mathbb Z:
X<rst\le X+H
}.
$$

Phase 20 的核心結論：

1. landing graph row degree自然尺度：
   $$
   K:=H/R=X^{1/6};
   $$
2. 四階 moment 的 diagonal與 large-gcd off-diagonal 可在：
   $$
   X^{2/3+\varepsilon}
   $$
   尺度關閉；
3. finite data顯示 small-gcd off-diagonal 也在同一尺度，且 row-correlation RMS 為常數級；
4. 但：
   $$
   M_4:=\operatorname{Tr}(LL^*)^2
   \ll X^{2/3+\varepsilon}
   $$
   本身只推出：
   $$
   \|L\|_{op}\ll X^{1/6+\varepsilon},
   $$
   對 sieve remainder是 borderline，不足 closing；
5. **六階 moment是第一個足以 closing 的固定 moment**；
6. 若：
   $$
   \boxed{
   M_6:=\operatorname{Tr}(LL^*)^3
   \ll
   X^{5/6+\varepsilon},
   }
   $$
   則 critical factorable remainder：
   $$
   \ll X^{17/36+\varepsilon},
   $$
   而：
   $$
   \frac{17}{36}
   <
   \frac12;
   $$
7. 六階新增的唯一 nondegenerate term是 centered row-correlation triangle：
   $$
   \boxed{
   \mathcal T_\triangle
   =
   \sum_{\substack{r_1,r_2,r_3\\\text{distinct}}}
   C_{12}C_{23}C_{31}.
   }
   $$

因此下一個真正 analytic target不再是完整 spectral norm，而是：

# Primitive Small-GCD Correlation Triangle

---

# 1. Critical Landing Matrix

令：

$$
\mathcal R
=
[R,2R)\cap\mathbb Z,
$$

$$
\mathcal S
=
[R,2R)\cap\mathbb Z,
$$

其中：

$$
R=X^{1/3+o(1)}.
$$

定義：

$$
\boxed{
A_{r,s}
=
\left\lfloor
\frac{X+H}{rs}
\right\rfloor
-
\left\lfloor
\frac{X}{rs}
\right\rfloor.
}
$$

因：

$$
rs\asymp X^{2/3}>H,
$$

有：

$$
\boxed{
A_{r,s}\in\{0,1\}.
}
$$

main-density matrix：

$$
\boxed{
P_{r,s}
=
\frac H{rs}.
}
$$

centered matrix：

$$
\boxed{
L=A-P.
}
$$

---

# 2. Unique Quotient

若：

$$
A_{r,s}=1,
$$

則存在唯一：

$$
t=t(r,s)
=
\left\lfloor
\frac X{rs}
\right\rfloor+1
$$

使：

$$
X<rst\le X+H.
$$

定義 landing excess：

$$
\boxed{
e(r,s)
=
rst-X,
}
$$

所以：

$$
1\le e(r,s)\le H.
$$

---

# 3. Row Degree Bound

定義：

$$
d(r)
=
\sum_{s\in\mathcal S}A_{r,s}.
$$

對 edge：

$$
(r,s)
$$

令：

$$
y=st.
$$

則：

$$
\frac Xr
<
y
\le
\frac{X+H}{r}.
$$

此 interval長：

$$
\asymp
\frac Hr
\asymp
K.
$$

每個：

$$
y
$$

可由：

$$
s\,t=y
$$

產生至多：

$$
\tau(y)
\ll_\varepsilon
X^\varepsilon
$$

組 factorization。

所以：

## Lemma 3.1

$$
\boxed{
d(r)
\ll_\varepsilon
KX^\varepsilon.
}
$$

在 critical scale：

$$
\boxed{
K=X^{1/6+o(1)}.
}
$$

---

# 4. Row Correlation Matrix

定義：

$$
\boxed{
C
=
LL^*.
}
$$

即：

$$
C(r_1,r_2)
=
\sum_s
L(r_1,s)L(r_2,s).
$$

記：

$$
C_{12}=C(r_1,r_2).
$$

---

# 5. Exact Correlation Expansion

定義 joint landing count：

$$
\boxed{
J_{12}
=
\sum_s
A_{r_1,s}A_{r_2,s}.
}
$$

以及：

$$
U_r
=
\sum_{\substack{s\\A_{r,s}=1}}
\frac1s,
$$

$$
V_2
=
\sum_{s\in\mathcal S}\frac1{s^2}.
$$

則 exact：

$$
\boxed{
C_{12}
=
J_{12}
-
\frac H{r_2}U_{r_1}
-
\frac H{r_1}U_{r_2}
+
\frac{H^2}{r_1r_2}V_2.
}
$$

---

# 6. Deterministic Correction Terms Are $O(X^\varepsilon)$

由 degree bound：

$$
U_r
\le
\frac{d(r)}R
\ll
\frac KR
X^\varepsilon.
$$

而：

$$
\frac Hr
\asymp K.
$$

所以：

$$
\frac Hr U_{r'}
\ll
\frac{K^2}{R}X^\varepsilon.
$$

critical scale：

$$
K^2=R,
$$

因此：

$$
\boxed{
\frac Hr U_{r'}
\ll
X^\varepsilon.
}
$$

又：

$$
V_2
\asymp
\frac1R,
$$

所以：

$$
\boxed{
\frac{H^2}{r_1r_2}V_2
\asymp1.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
C_{12}
=
J_{12}
+
O_\varepsilon(X^\varepsilon).
}
$$

作為 deterministic size envelope。

注意：

> centered cancellation的真正內容仍在 joint landing相對 main correction的細結構；本式不表示 $C_{12}$ 必為正。

---

# 7. Joint Landing Near-Diagonal Lemma

若同一：

$$
s
$$

使：

$$
A_{r_1,s}
=
A_{r_2,s}
=
1,
$$

令唯一 quotients：

$$
t_1,t_2.
$$

則：

$$
r_i s t_i
=
X+e_i,
$$

其中：

$$
1\le e_i\le H.
$$

相減：

$$
s(r_1t_1-r_2t_2)
=
e_1-e_2.
$$

所以：

## Lemma 7.1

$$
\boxed{
|r_1t_1-r_2t_2|
\le
\frac Hs
\ll
K.
}
$$

這是 landing row-correlation 的 arithmetic core。

---

# 8. GCD Stratification

令：

$$
\boxed{
g=(r_1,r_2).
}
$$

因：

$$
g
\mid
(r_1t_1-r_2t_2),
$$

若：

$$
g>K,
$$

Lemma 7.1強迫：

$$
\boxed{
r_1t_1=r_2t_2.
}
$$

所以：

## High-GCD Rigidity

$$
\boxed{
g>K
\Longrightarrow
\text{near diagonal collapses to exact diagonal}.
}
$$

---

# 9. Large-GCD Joint Landing Bound

令：

$$
L=[r_1,r_2]
=
\frac{r_1r_2}{g}.
$$

若：

$$
r_1t_1=r_2t_2,
$$

可寫：

$$
r_1t_1=r_2t_2=Lm.
$$

joint landing條件變成：

$$
X<Lms\le X+H.
$$

所以：

$$
ms
$$

落在長度：

$$
\frac HL
$$

的 interval。

又：

$$
L\asymp
\frac{R^2}{g}.
$$

所以：

$$
\frac HL
\asymp
\frac gK.
$$

用 divisor bound：

## Lemma 9.1

對：

$$
g>K,
$$

$$
\boxed{
J_{12}
\ll_\varepsilon
\left(
1+\frac gK
\right)
X^\varepsilon.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
|C_{12}|
\ll_\varepsilon
\left(
1+\frac gK
\right)
X^\varepsilon.
}
$$

---

# 10. Large-GCD Fourth-Moment Closure

gcd exactly為：

$$
g
$$

的 row pairs數至多：

$$
\ll
\left(
\frac Rg+1
\right)^2.
$$

所以：

$$
\sum_{\substack{r_1\ne r_2\\(r_1,r_2)>K}}
|C_{12}|^2
$$

$$
\ll
X^\varepsilon
\sum_{g>K}
\frac{R^2}{g^2}
\left(
1+\frac gK
\right)^2.
$$

因此：

$$
\ll
X^\varepsilon
\left[
\frac{R^2}{K}
+
\frac{R^3}{K^2}
\right].
$$

因：

$$
R=X^{1/3},
$$

$$
K=X^{1/6},
$$

得到：

## Theorem 10.1

$$
\boxed{
\sum_{\substack{r_1\ne r_2\\(r_1,r_2)>K}}
|C_{12}|^2
\ll_\varepsilon
X^{2/3+\varepsilon}.
}
$$

所以 large-gcd sector 已達 random-bulk fourth-moment尺度。

---

# 11. Diagonal Fourth-Moment Closure

由：

$$
C_{rr}
=
\sum_sL(r,s)^2
$$

以及：

$$
A_{r,s}\in\{0,1\},
$$

有：

$$
C_{rr}
\ll
d(r)+1.
$$

Lemma 3.1給：

$$
C_{rr}
\ll
KX^\varepsilon.
$$

所以：

$$
\boxed{
\sum_rC_{rr}^2
\ll
RK^2X^\varepsilon
=
X^{2/3+\varepsilon}.
}
$$

---

# 12. Small-GCD Fourth-Moment Target

因此四階 moment真正剩下：

$$
\boxed{
\mathcal M_4^{small}
=
\sum_{\substack{
r_1\ne r_2\\
(r_1,r_2)\le K
}}
|C_{12}|^2.
}
$$

需要：

$$
\boxed{
\mathcal M_4^{small}
\ll
X^{2/3+\varepsilon}.
}
$$

這等價於：

> small-gcd off-diagonal row correlations具有 $O(X^\varepsilon)$ RMS。

---

# 13. Crude Small-GCD Envelope 太弱

對：

$$
g\le K,
$$

near-diagonal Diophantine count只給：

$$
J_{12}
\ll
KX^\varepsilon.
$$

所以 crude：

$$
|C_{12}|
\ll
KX^\varepsilon.
$$

row pairs有：

$$
R^2
$$

組，得到：

$$
\mathcal M_4^{small}
\ll
R^2K^2X^\varepsilon
=
\boxed{
X^{1+\varepsilon}.
}
$$

和 target：

$$
X^{2/3}
$$

相比差：

$$
\boxed{
X^{1/3}.
}
$$

因此 small-gcd centered cancellation是真缺口。

---

# 14. Finite Fourth-Moment Audit

| $n$ | $M_4/X^{2/3}$ | diag | large-gcd | small-gcd | actual $\|L\|_{op}$ |
|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| 1000 | 1.4868 | 0.7683 | 0.0602 | 0.6583 | 6.1598 |
| 3000 | 1.7031 | 0.8488 | 0.0997 | 0.7546 | 7.7217 |
| 10000 | 1.8427 | 0.8782 | 0.1324 | 0.8321 | 10.8983 |

finite data：

- total $M_4$ 約為常數倍：
  $$
  X^{2/3};
  $$
- diagonal約：
  $$
  0.8X^{2/3};
  $$
- large-gcd只佔小比例；
- small-gcd也穩定落在：
  $$
  X^{2/3}
  $$
  尺度。

---

# 15. Row-Correlation RMS Audit

| $n$ | offdiag RMS | P99 $|C_{12}|$ | max small-gcd | max large-gcd | $\|L\|_{op}/X^{1/12}$ |
|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| 1000 | 0.8519 | 2.4204 | 5.2793 | 6.0241 | 1.9479 |
| 3000 | 0.9266 | 2.7022 | 5.4896 | 7.9717 | 2.0333 |
| 10000 | 0.9835 | 2.9364 | 6.0845 | 15.5571 | 2.3480 |

最值得注意：

$$
\boxed{
\text{off-diagonal RMS}
\approx
1.
}
$$

且 small-gcd P99 仍只是常數級。

這正是 pseudorandom centered matrix的二階 mixing scale。

---

# 16. Phase 19 Spectral Target 的修正

Phase 19 提出 natural random target：

$$
\|L\|_{op}
\asymp
X^{1/12}.
$$

這仍是合理的 conjectural natural scale。

但它比 proof closure真正需要的更強。

對 factorable weights：

$$
\|\alpha\|_2,
\|\beta\|_2
\ll
X^{1/6+\varepsilon}.
$$

所以：

$$
|\alpha^TL\beta|
\le
\|L\|_{op}
X^{1/3+\varepsilon}.
$$

只要：

$$
\boxed{
\|L\|_{op}
=
o\left(
\frac{X^{1/6}}{\log X}
\right),
}
$$

就已足以使 remainder：

$$
o(H/\log X).
$$

所以：

$$
X^{1/12}
$$

是 natural random-scale target，

不是 minimal closure threshold。

---

# 17. 為什麼四階 Moment 不足？

令：

$$
M_4
=
\operatorname{Tr}(LL^*)^2.
$$

若成功證：

$$
M_4
\ll
X^{2/3+\varepsilon},
$$

則：

$$
\|L\|_{op}^4
\le
M_4.
$$

所以只得：

$$
\boxed{
\|L\|_{op}
\ll
X^{1/6+\varepsilon}.
}
$$

這正卡在 minimal threshold：

$$
X^{1/6}.
$$

缺少 log / power saving。

因此：

$$
\boxed{
\text{第四階 moment是 bulk gate，但不是 closure gate。}
}
$$

---

# 18. General Random-Bulk Moment Scale

對平均 degree：

$$
K=X^{1/6},
$$

random sparse centered matrix的 squared singular-value尺度：

$$
\asymp K.
$$

rank：

$$
R=X^{1/3}.
$$

所以自然 moment scale：

$$
\boxed{
M_{2k}
:=
\operatorname{Tr}(LL^*)^k
\asymp
RK^k
=
X^{1/3+k/6}.
}
$$

若證：

$$
M_{2k}
\ll
X^{1/3+k/6+\varepsilon},
$$

則：

$$
\|L\|_{op}
\ll
X^{
1/12+1/(6k)+\varepsilon
}.
$$

---

# 19. Minimal Fixed Moment Order

factorable remainder exponent為：

$$
\frac13
+
\frac1{12}
+
\frac1{6k}
=
\frac5{12}
+
\frac1{6k}.
$$

需要：

$$
\frac5{12}
+
\frac1{6k}
<
\frac12.
$$

等價：

$$
\boxed{
k>2.
}
$$

所以：

## Theorem 19.1

第一個理論上足以 crossing 的固定 moment是：

$$
\boxed{
k=3,
}
$$

即：

$$
\boxed{
\operatorname{Tr}(LL^*)^3.
}
$$

也就是六階 moment。

---

# 20. Sixth-Moment Closure Theorem

## Theorem 20.1

若對 critical landing blocks可證：

$$
\boxed{
M_6
=
\operatorname{Tr}(LL^*)^3
\ll_\varepsilon
X^{5/6+\varepsilon},
}
$$

則：

$$
\|L\|_{op}
\le
M_6^{1/6}
\ll
X^{5/36+\varepsilon}.
$$

因此對 divisor-bounded factorable coefficients：

$$
|\alpha^TL\beta|
\ll
X^{5/36}
X^{1/3}
X^\varepsilon.
$$

亦即：

$$
\boxed{
|\alpha^TL\beta|
\ll
X^{17/36+\varepsilon}.
}
$$

而：

$$
\boxed{
\frac{17}{36}
\approx
0.472222
<
\frac12.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
X^{17/36+\varepsilon}
=
o(H/\log X)
}
$$

對充分小 $\varepsilon$。

因此：

> 六階 random-bulk moment bound 足以關閉 Phase 18 critical balanced factorable remainder。

注意：

> 這仍只是 analytic provider closure，不等於單獨完成 Legendre 的全部 sieve architecture。

---

# 21. Finite High-Moment Audit

| $n$ | $M_4/X^{2/3}$ | $M_6/X^{5/6}$ | $M_8/X$ | $M_6^{1/6}/X^{5/36}$ |
|---:|---:|---:|---:|---:|
| 1000 | 1.4868 | 3.4591 | 9.3237 | 1.2298 |
| 3000 | 1.7031 | 4.2973 | 12.3924 | 1.2751 |
| 10000 | 1.8427 | 5.0563 | 16.3828 | 1.3101 |

finite data：

$$
M_4
\asymp
X^{2/3},
$$

$$
M_6
\asymp
X^{5/6},
$$

$$
M_8
\asymp
X.
$$

和 random-bulk hierarchy完全同 exponent。

---

# 22. Sixth-Moment Exact Decomposition

令：

$$
C=LL^*.
$$

則：

$$
M_6
=
\operatorname{Tr}(C^3)
=
\sum_{r_1,r_2,r_3}
C_{12}C_{23}C_{31}.
$$

拆成：

### A. All same

$$
\boxed{
\mathcal D_3
=
\sum_rC_{rr}^3.
}
$$

### B. Exactly two equal

$$
\boxed{
\mathcal D_{21}
=
3
\sum_{r\ne r'}
C_{rr}
C_{rr'}^2.
}
$$

### C. All distinct

$$
\boxed{
\mathcal T_\triangle
=
\sum_{\substack{
r_1,r_2,r_3\\
\text{pairwise distinct}
}}
C_{12}C_{23}C_{31}.
}
$$

因此 exact：

$$
\boxed{
M_6
=
\mathcal D_3
+
\mathcal D_{21}
+
\mathcal T_\triangle.
}
$$

---

# 23. Degenerate Sixth-Moment Pieces Are Already at Target Scale

degree lemma給：

$$
C_{rr}
\ll
KX^\varepsilon.
$$

所以：

$$
\mathcal D_3
\ll
RK^3X^\varepsilon.
$$

即：

$$
\boxed{
\mathcal D_3
\ll
X^{5/6+\varepsilon}.
}
$$

若四階 mixing target：

$$
\sum_{r\ne r'}C_{rr'}^2
\ll
X^{2/3+\varepsilon}
$$

成立，則：

$$
\mathcal D_{21}
\ll
KX^\varepsilon
X^{2/3+\varepsilon}.
$$

所以：

$$
\boxed{
\mathcal D_{21}
\ll
X^{5/6+\varepsilon}.
}
$$

---

# 24. Primitive Correlation Triangle

因此六階真正新增的 nondegenerate obligation只剩：

$$
\boxed{
\mathcal T_\triangle.
}
$$

需要證：

$$
\boxed{
|\mathcal T_\triangle|
\ll
X^{5/6+\varepsilon}.
}
$$

這就是：

## Landing Correlation Triangle Bound

---

# 25. Finite Sixth-Moment Decomposition

| $n$ | total/$X^{5/6}$ | all-same | exactly-two-equal | all-distinct triangle |
|---:|---:|---:|---:|---:|
| 1000 | 3.4591 | 0.7666 | 1.9993 | 0.6932 |
| 3000 | 4.2973 | 0.8894 | 2.4898 | 0.9181 |
| 10000 | 5.0563 | 0.9159 | 2.8381 | 1.3024 |

all-distinct triangle 本身也穩定落在：

$$
X^{5/6}
$$

尺度。

所以 finite data支持：

$$
\boxed{
\mathcal T_\triangle
\ll
X^{5/6+o(1)}.
}
$$

但目前未證。

---

# 26. Arithmetic Meaning of a Correlation Triangle

一個非零：

$$
C_{12}C_{23}C_{31}
$$

對應三組 row-pair landing correlations：

$$
(r_1,r_2),
$$

$$
(r_2,r_3),
$$

$$
(r_3,r_1).
$$

每組 joint landing都帶一個 near-diagonal relation：

$$
|r_it_i-r_jt_j|
\ll
K.
$$

所以 primitive triangle對應三條互相閉合的 near-multiplicative relations。

這是一個：

$$
\boxed{
\text{multiplicative near-diagonal triangle energy}.
}
$$

---

# 27. Large-GCD vs Primitive Triangle

Phase 20 已證：

$$
(r_i,r_j)>K
$$

時該 pair relation exact化。

因此 triangle可進一步分：

1. 至少一條 large-gcd edge；
2. 三條 gcd 都：
   $$
   \le K.
   $$

最純的新難點是：

$$
\boxed{
(r_1,r_2),
(r_2,r_3),
(r_3,r_1)
\le
K.
}
$$

即：

## Primitive Small-GCD Triangle

---

# 28. Why Generic Multiplicative Energy Is Not Yet Enough

標準 multiplicative energy研究：

$$
ab=cd.
$$

本問題則同時具有：

- near equality；
- landing interval；
- centered subtraction；
- 三個 pairwise-coupled row relations。

所以不能直接把一般：

$$
E^\times(A)
$$

的 bound當作 triangle theorem。

但 energy language仍提供正確的下一個 interface。

---

# 29. Literature Boundary

現有 ternary-divisor / AP technology已能處理：

- unweighted $d_3$ summatory error；
- $d_3$ 在 moduli 上的 distribution beyond $1/2$。

但 landing correlation moments需要：

$$
\boxed{
\text{simultaneous centered row interactions}.
}
$$

本輪未找到可直接黑箱套用的現有 theorem。

所以這是目前 genuinely new analytic interface，而非單純引用缺漏。

---

# 30. Phase 21 Target

下一輪只攻：

# Primitive Landing Triangle / Sixth-Moment Arithmetic

具體：

1. 對每個 correlation edge引入：
   $$
   g_{ij}=(r_i,r_j);
   $$
2. 將：
   $$
   |r_it_i-r_jt_j|\le K
   $$
   parameterize成 reduced lattice equations；
3. 對三條 edge閉合條件求 compatibility；
4. 分：
   - zero-difference cycles；
   - one-zero / two-nonzero；
   - all-nonzero；
5. 尋找 triangle compatibility 是否強迫：
   - large gcd；
   - repeated quotient；
   - low-dimensional parameter set；
6. 目標直接是：
   $$
   |\mathcal T_\triangle|
   \ll
   X^{5/6+\varepsilon}.
   $$

---

# 31. Phase 20 狀態

```text
Legendre Base-Space Program
Phase 20 — Landing Moment Hierarchy

row degree d(r) << X^(1/6+eps):                 PROVED
exact row-correlation expansion:                PROVED
joint landing near-diagonal relation:           PROVED
large-gcd exactification g>K:                   PROVED
large-gcd joint bound:                          PROVED
large-gcd M4 contribution:                      CLOSED at X^(2/3+eps)
diagonal M4 contribution:                       CLOSED at X^(2/3+eps)
small-gcd M4 RMS target:                        OPEN
finite offdiag RMS ~ constant:                  OBSERVED
Phase19 minimal spectral threshold:             CORRECTED
M4 as final closure gate:                       REJECTED / BORDERLINE
random-bulk M_(2k) hierarchy:                   DEFINED
minimal fixed closure moment:                   k=3
sixth-moment closure theorem:                   PROVED
M6 exact decomposition:                         PROVED
degenerate M6 pieces:                           CLOSED conditional on M4 mixing
all-distinct triangle energy:                   OPEN
finite M6 ~ X^(5/6):                            OBSERVED
Legendre proof status:                          OPEN
next phase:                                     PRIMITIVE LANDING TRIANGLE
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# 32. References / boundary sources

1. Classical trace / moment method for spectral norms of sparse matrices and graphs.
2. G. Kolesnik, historical bound:
   $$
   \alpha_3\le43/96
   $$
   for the ternary Piltz divisor problem.
3. Étienne Fouvry, Emmanuel Kowalski, Philippe Michel, *On the exponent of distribution of the ternary divisor function*, Mathematika **61** (2015), 121–144.
4. Prahlad Sharma, *Bilinear sums with GL(2) coefficients and the exponent of distribution of $d_3$*, Proc. London Math. Soc. **128** (2024), e12589.
5. Standard divisor bound:
   $$
   \tau(n)\ll_\varepsilon n^\varepsilon.
   $$
6. Phase 18–19 landing-matrix and sieve-level transfer framework.