# 勒讓德底空間綱領 Phase 13
## Square-Anchored $P_2$ Constant Ledger
### Rough-Lower Gate、Bilinear Semiprime Upper 與 Parity-Signed Reformulation

**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-10-02  
**作者：** Neo.K × AI 協作  
**機構：** EveMissLab / 一言諾科技有限公司  
**研究線：** Legendre Base-Space Prime-Fitting Program  
**前置：** Phase 1–12；SRBRD-13～20 provider audit  
**狀態：** Phase 13 constant-ledger audit；主項 crossing PASS，現有黑箱 provider crossing FAIL；勒讓德猜想仍未證明

---

# 0. 本階段只做一件事

Phase 12 已建立 exact $P_2$ boundary：

$$
\boxed{
P_\square(n)
=
S_3(n)-E_2(n),
}
$$

其中：

- $P_\square(n)$：平方胞腔中的 prime count；
- $S_3(n)$：cube-root RootRough survivor count；
- $E_2(n)$：其中的 semiprime count。

Phase 13 不再增加新的本體層。

唯一問題：

> 把兩邊全部 normalize 到 $H/\log X$ 後，現有 analytic providers 的常數能不能證明
>
> $$
> S_3(n)-E_2(n)>0?
> $$

---

# 1. 標準尺度

令：

$$
X=n^2,
$$

$$
H=2n\asymp X^{1/2},
$$

以及：

$$
z=X^{1/3}.
$$

忽略 integer rounding 時：

$$
\log z
=
\frac13\log X.
$$

---

# 2. Exact Boundary Identity

Phase 12 已證：

$$
\boxed{
S_3(n)
=
P_\square(n)+E_2(n).
}
$$

所以：

$$
\boxed{
P_\square(n)
=
S_3(n)-E_2(n).
}
$$

這是 Phase 13 唯一 ledger identity。

---

# 3. Ideal Prime Constant

短區間 prime heuristic / PNT main scale：

$$
\boxed{
P_\square(n)
\sim
\frac H{\log X}.
}
$$

因此 normalize：

$$
\boxed{
C_P^*=1.
}
$$

---

# 4. Ideal Semiprime Constant

semiprime least factor：

$$
p=X^t,
\qquad
\frac13<t\le\frac12.
$$

switched cofactor interval長度：

$$
\frac Hp.
$$

prime-density diagnostic 給：

$$
dE_2
\sim
\frac H{\log X}
\frac{dt}{t(1-t)}.
$$

所以：

$$
C_{SP}^*
=
\int_{1/3}^{1/2}
\frac{dt}{t(1-t)}
=
\boxed{
\log2.
}
$$

數值：

$$
\boxed{
C_{SP}^*
\approx
0.69314718056.
}
$$

---

# 5. Ideal Rough Constant

因此：

$$
C_R^*
=
C_P^*+C_{SP}^*.
$$

即：

$$
\boxed{
C_R^*
=
1+\log2
\approx
1.69314718056.
}
$$

這亦等於：

$$
3\omega(3).
$$

---

# 6. Ideal Constant Ledger

所以理想 ledger：

$$
\boxed{
(1+\log2)-\log2=1.
}
$$

這表示：

> 主項層面沒有任何 constant deficit。

真正困難全部在 pointwise error / provider loss。

---

# 7. Band Split

將 semiprime least-factor exponent分成：

## Low band

$$
\boxed{
\frac13
\le t\le
\frac25.
}
$$

其 ideal coefficient：

$$
C_A^*
=
\int_{1/3}^{2/5}
\frac{dt}{t(1-t)}
=
\boxed{
\log\frac43
}
$$

所以：

$$
\boxed{
C_A^*
\approx
0.28768207245.
}
$$

## Middle / high / balanced aggregate

$$
\boxed{
\frac25
\le t\le
\frac12.
}
$$

其 ideal coefficient：

$$
C_H^*
=
\int_{2/5}^{1/2}
\frac{dt}{t(1-t)}
=
\boxed{
\log\frac32
}
$$

所以：

$$
\boxed{
C_H^*
\approx
0.40546510811.
}
$$

驗證：

$$
\boxed{
C_A^*+C_H^*
=
\log2.
}
$$

---

# 8. Abstract Provider Multipliers

設 rough lower provider 給：

$$
\boxed{
S_3(n)
\ge
C_R^-
\frac H{\log X}.
}
$$

設 semiprime low / high band upper providers給：

$$
E_{2,A}(n)
\le
R_A
C_A^*
\frac H{\log X},
$$

$$
E_{2,H}(n)
\le
R_H
C_H^*
\frac H{\log X}.
$$

則：

$$
\boxed{
P_\square(n)
\ge
\left[
C_R^-
-
R_A\log\frac43
-
R_H\log\frac32
\right]
\frac H{\log X}.
}
$$

所以 crossing gate 是：

$$
\boxed{
C_R^-
>
R_A\log\frac43
+
R_H\log\frac32.
}
$$

---

# 9. Common-Multiplier Threshold

若：

$$
R_A=R_H=R,
$$

則只需：

$$
R\log2<C_R^-.
$$

也就是：

$$
\boxed{
R
<
\frac{C_R^-}{\log2}.
}
$$

threshold table：

| rough lower constant $C_R^-$ | largest common semiprime multiplier $R$ allowed by $C_R^- > R\log2$ |
|---:|---:|
| 0.800000 | 1.154156 |
| 1.000000 | 1.442695 |
| 1.200000 | 1.731234 |
| 1.400000 | 2.019773 |
| 1.500000 | 2.164043 |
| 1.600000 | 2.308312 |
| 1.693147 | 2.442695 |

若 rough lower 能接近理想：

$$
C_R^*=1+\log2,
$$

則 semiprime upper 可容許：

$$
\boxed{
R<2.44269504089.
}
$$

換言之：

> semiprime provider 並不需要接近 asymptotic constant $1$ 才有可能 crossing。

---

# 10. Band-Specific Slack

若 high band 已達 ideal：

$$
R_H=1,
$$

則 low band仍可容許：

$$
R_A
<
\frac{
1+\log2-\log(3/2)
}{
\log(4/3)
}.
$$

即：

$$
\boxed{
R_A<4.47605949678.
}
$$

反之，若 low band ideal：

$$
R_A=1,
$$

則：

$$
\boxed{
R_H<3.46630346238.
}
$$

這再次顯示：

$$
\boxed{
\text{Semiprime upper constant並不是第一個卡死點。}
}
$$

---

# 11. Provider A：Square-Anchored Rough Lower

我們真正首先需要的是：

$$
\boxed{
S_3(n)
\ge
C_R^-
\frac H{\log X}
}
$$

對**每一個平方錨點**成立。

這裡：

$$
H=X^{1/2},
\qquad
z=X^{1/3}.
$$

---

# 12. Standard Linear-Sieve Gate

對 consecutive interval：

$$
(X,X+H],
$$

有 local model：

$$
A_d
=
\frac Hd+O(1).
$$

自然 level：

$$
D\lesssim X^{1/2-o(1)}.
$$

因此：

$$
s
=
\frac{\log D}{\log z}
=
\frac32+o(1).
$$

但 standard linear-sieve lower function：

$$
f(s)=0
\qquad
(s\le2).
$$

所以：

$$
\boxed{
C_R^-=0
}
$$

是這個 black-box provider 在此尺度能保證的結果。

因此：

$$
\boxed{
\text{standard linear lower sieve}
\text{ 在 ledger 第一格就直接 FAIL。}
}
$$

---

# 13. 這比 Semiprime Constant 問題更早

就算 semiprime upper 完美：

$$
R_A=R_H=1,
$$

若：

$$
C_R^-=0,
$$

仍有：

$$
0-\log2<0.
$$

所以：

> 在目前 architecture 中，第一優先 missing theorem 不是更精確的 $E_2$ upper，而是 square-anchored cube-root rough lower。

---

# 14. Generic Jacobsthal 仍不足

$z$-rough 等價於避開 primorial：

$$
P(z)=\prod_{p\le z}p
$$

的所有 prime divisors。

generic arbitrary-translate existence 由 Jacobsthal function 控制。

Iwaniec 型一般 upper bound 的自然尺度約為：

$$
O(z^2)
$$

up to logarithmic / $\omega(P(z))$ reformulation。

對：

$$
z=X^{1/3},
$$

這是：

$$
X^{2/3+o(1)},
$$

仍大於：

$$
H=X^{1/2}.
$$

所以 generic Jacobsthal guarantee 無法給本問題所需的 pointwise rough survivor。

---

# 15. Campbell $P_3$ 也不是 Raw Rough Lower

2026 的 all-square $P_3$ theorem 使用：

- Richert logarithmic weights；
- explicit linear sieve；
- finite verification。

它證：

$$
\boxed{
\forall n,
\quad
(n^2,(n+1)^2)
\text{ 含 }P_3.
}
$$

但：

$$
P_3\text{ existence}
$$

不等價於：

$$
\boxed{
S_3(n)
\gg
\frac H{\log X}.
}
$$

所以 Campbell theorem 不能直接填 Provider A。

---

# 16. Provider A 的正確新 target

需要建立某個：

$$
\boxed{
C_R^->0
}
$$

的 pointwise lower bound。

理想目標：

$$
\boxed{
C_R^-
=
1+\log2-o(1).
}
$$

但為了 constant crossing，並不一定要到理想值。

只要和 Provider B 的 upper constants共同滿足：

$$
\boxed{
C_R^-
>
R_A\log\frac43
+
R_H\log\frac32.
}
$$

即可。

---

# 17. Square Anchor 為何必須使用？

generic interval rough sieve 只看：

$$
X+k.
$$

本問題有：

$$
X=n^2
$$

以及：

$$
n^2+k
\equiv0\pmod p
\iff
k\equiv-n^2\pmod p.
$$

所以每個 local obstruction class 都帶著：

$$
\boxed{
-n^2\pmod p
}
$$

的 quadratic phase。

Phase 4 已證不同 prime obstruction 的交會仍保持同一 square anchor：

$$
k\equiv-n^2\pmod d.
$$

因此 Provider A 的唯一合理突破口不是 generic sieve constant 微調，而是：

$$
\boxed{
\text{square-anchored discrepancy / phase cancellation}.
}
$$

---

# 18. Provider B：Exact Bilinear Semiprime Upper

Phase 12 exact switching：

$$
E_2(n)
=
\sum_{z<p\le n}
\left[
\pi(U_p)-\pi(L_p)
\right].
$$

等價於：

$$
\boxed{
E_2(n)
=
\#\{
(p,r)\in\mathbb P^2:
z<p\le r,
\quad
X<pr<X+H
\}.
}
$$

所以 Provider B 是：

## Short Hyperbolic Prime-Convolution Upper Bound

---

# 19. SRBRD 技術可移植的部分

SRBRD-18～20 已審計：

- Maynard-II：low Type-II factor range可到 $X^{2/5}$，但原 theorem residue $a$ fixed；
- Maynard-III：middle/high factor convolution有 uniform residue estimates；
- near $2/5$ 有 bridge proposition；
- balanced convolution有 restricted-uniform result；
- prime indicators符合相關 coefficient class；
- Pascadi / Yang 提供更強 structured-weight distribution technology。

所以在：

$$
t\in[1/3,1/2]
$$

的**factor-size geometry**上，現有 Type-II / convolution technology 與本問題有高度重疊。

---

# 20. 但 Square Cell 多一個 Localization Gate

SRBRD Goldbach 型 convolution 的核心條件是 additive / congruence relation。

勒讓德 square-cell semiprime則要求：

$$
\boxed{
X<pr<X+H,
\qquad
H=X^{1/2}.
}
$$

這是一個 relative thickness：

$$
\boxed{
H/X
=
X^{-1/2}.
}
$$

的超短 hyperbolic strip。

一般 dyadic：

$$
pr\asymp X
$$

convolution theorem並不自動保留這個 pointwise localization。

若用 smooth weight替代 indicator：

$$
\mathbf1_{(X,X+H]},
$$

其 derivatives / Fourier scale會帶入：

$$
X/H
=
X^{1/2}
$$

的 localization cost。

所以：

$$
\boxed{
\text{AP uniformity}
\neq
\text{short-product-window uniformity}.
}
$$

---

# 21. Public Provider Audit

## Maynard III

提供 moduli beyond $X^{1/2}$ 的 prime AP mean-value theorems，且主要特色是 residue-class uniformity。

這有助於：

$$
\boxed{
\text{residue gate}.
}
$$

但不自動證：

$$
X<pr<X+\sqrt X
$$

中的 pointwise prime-product upper。

## Pascadi 2025

primes / smooth numbers 對 triply-well-factorable weights 可到：

$$
X^{5/8-o(1)}
$$

的 distribution exponent。

這改善：

$$
\boxed{
\text{modulus / structured-weight gate}.
}
$$

但仍不是 square-anchor short-hyperbolic localization theorem。

## Yang 2026

建立 convolution-type Bombieri–Vinogradov with well-factorable weights。

這是 Provider B 最接近的 public architecture之一。

但它仍需要額外審計：

$$
\boxed{
\text{sharp product localization to }H=X^{1/2}.
}
$$

---

# 22. Almost-All $E_2$ 結果的意義

Matomäki 已證：

幾乎所有：

$$
(x-h\log X,x]
$$

在：

$$
h\to\infty
$$

時含 $P_2$。

Matomäki–Teräväinen 又把 exact $E_2$ 推到幾乎所有 polylog-length intervals。

所以：

$$
\boxed{
\text{very-short bilinear }E_2\text{ technology存在}.
}
$$

但：

$$
\boxed{
\text{almost all anchors}
\neq
\text{every square anchor}.
}
$$

因此這些結果不能直接完成 Provider B，更不能完成 Legendre。

---

# 23. Gafni–Tao Short-Interval Context

截至目前，PNT in short intervals 對**所有** $x$ 的已知 exponent仍高於：

$$
1/2.
$$

近期 Gafni–Tao 對 exceptional intervals 的工作指出，利用最新 zero-density estimates：

- all-$x$ PNT 已知於 $\theta>17/30$；
- almost-all threshold 可低得多。

我們的：

$$
H=X^{1/2}
$$

正好仍位於 pointwise PNT threshold 以下。

所以 square-cell pointwise constant ledger 本來就位於目前 short-interval analytic frontier。

---

# 24. Band Ledger

Phase 13 採：

### Band A

$$
\frac13\le t\le\frac25,
$$

ideal：

$$
\boxed{
C_A^*=\log\frac43.
}
$$

### Band H

$$
\frac25\le t\le\frac12,
$$

ideal：

$$
\boxed{
C_H^*=\log\frac32.
}
$$

SRBRD-20 顯示：

- Band A 是 Maynard-II fixed-residue / uniformization 最敏感區；
- $t\approx2/5$ 有 Maynard-III bridge；
- middle-high 有 uniform Type-II architecture；
- balanced edge有 restricted uniformity architecture。

但本勒讓德問題對**所有 bands**共同增加：

$$
\boxed{
H=X^{1/2}
\text{ product localization}.
}
$$

---

# 25. Current Constant Ledger

目前能誠實填入的表不是：

| Provider | Constant |
|---|---:|
| Rough lower | $1+\log2$ |
| Semiprime upper | $\log2$ |

因為那只是 ideal asymptotic。

真正 theorem-level ledger：

| Module | Desired constant | Current black-box theorem status |
|---|---:|---|
| Square-anchored cube-root rough lower | $C_R^->0$ | **OPEN at required pointwise scale** |
| SP low band upper | near $\log(4/3)$ | convolution shape available; **short-window localization OPEN** |
| SP high band upper | near $\log(3/2)$ | stronger uniform convolution available; **short-window localization OPEN** |
| Constant crossing | $C_R^- - U_{SP}>0$ | **NOT PROVED** |

所以：

$$
\boxed{
\mathrm{PHASE13\ CURRENT\ BLACKBOX\ CROSSING=FAIL}.
}
$$

---

# 26. 但 Main-Term Ledger 是 PASS

代數／heuristic 主項：

$$
\boxed{
(1+\log2)
-
\log\frac43
-
\log\frac32
=
1.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
\mathrm{MAIN\ TERM\ CONSTANT\ LEDGER=PASS}.
}
$$

failure 來自 provider strength，而不是 architecture 的主項常數。

---

# 27. Finite Constant Audit

本輪 machine audit：

$$
100\le n\le5000.
$$

normalize：

$$
\frac{\log X}{H}.
$$

selected / block-averaged diagnostics 如下：

| $n$ block start | avg prime coeff | avg low-SP coeff | avg high-SP coeff | avg rough coeff |
|---:|---:|---:|---:|---:|
| 100 | 0.999601 | 0.252560 | 0.372447 | 1.624608 |
| 600 | 0.999536 | 0.263867 | 0.386541 | 1.649943 |
| 1100 | 0.999579 | 0.266532 | 0.389826 | 1.655937 |
| 1600 | 0.999699 | 0.272625 | 0.393978 | 1.666302 |
| 2100 | 1.000528 | 0.275382 | 0.392526 | 1.668436 |
| 2600 | 1.000066 | 0.269289 | 0.397740 | 1.667096 |
| 3100 | 1.000157 | 0.280463 | 0.394574 | 1.675195 |
| 3600 | 0.999593 | 0.276875 | 0.396038 | 1.672506 |
| 4100 | 0.999992 | 0.275574 | 0.398047 | 1.673613 |
| 4600 | 1.000218 | 0.272544 | 0.397061 | 1.669824 |

理想 constants：

$$
C_P^*=1,
$$

$$
C_A^*=\log\frac43\approx0.287682,
$$

$$
C_H^*=\log\frac32\approx0.405465,
$$

$$
C_R^*=1+\log2\approx1.693147.
$$

有限 block averages 已在這些尺度附近穩定。

這只是 diagnostic，不是 uniform theorem。

---

# 28. 一個更直接的 Parity-Signed Identity

cube-root survivor只有：

- prime：$\Omega=1$；
- semiprime：$\Omega=2$。

令 Liouville：

$$
\lambda(q)=(-1)^{\Omega(q)}.
$$

所以在：

$$
q\in\mathcal S_3,
$$

有：

$$
\lambda(q)
=
\begin{cases}
-1,&q\text{ prime},\\
+1,&q\text{ semiprime}.
\end{cases}
$$

定義：

$$
\boxed{
L_3(n)
=
\sum_{q\in\mathcal S_3(n)}
\lambda(q).
}
$$

則：

$$
\boxed{
L_3(n)
=
E_2(n)-P_\square(n).
}
$$

而：

$$
S_3=P_\square+E_2.
$$

解得：

$$
\boxed{
P_\square(n)
=
\frac{
S_3(n)-L_3(n)
}{2}.
}
$$

---

# 29. Ideal Parity Coefficient

由：

$$
P^*=1,
$$

$$
E_2^*=\log2,
$$

得到：

$$
\boxed{
C_L^*
=
\log2-1
=
-(1-\log2).
}
$$

即：

$$
\boxed{
C_L^*
\approx
-0.30685281944.
}
$$

所以 ideal cube-root rough population 本身具有負 Liouville bias。

---

# 30. 這精確暴露 Parity Barrier

standard sieve 可以研究：

$$
S_3(n)
$$

的 unsigned rough mass。

但要從：

$$
P_2
$$

跨到：

$$
P_1,
$$

必須控制：

$$
\boxed{
L_3(n).
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{parity barrier}
=
\text{lack of pointwise control of the signed rough Liouville mass}.
}
$$

這比「sieve 分不出 prime / semiprime」更精確。

---

# 31. Signed Route

除了 two-provider ledger：

$$
S_3-E_2,
$$

還可走：

$$
\boxed{
P_\square
=
\frac{S_3-L_3}{2}.
}
$$

若有：

$$
S_3(n)
\ge
C_R^-\frac H{\log X},
$$

以及：

$$
L_3(n)
\le
C_L^+\frac H{\log X},
$$

只要：

$$
\boxed{
C_L^+<C_R^-,
}
$$

就得到 prime。

ideal gap：

$$
C_R^*-C_L^*
=
2.
$$

但現有 pointwise signed provider更缺乏，因此這是：

$$
\boxed{
\text{parity-explicit strong route},
}
$$

不是目前容易路線。

---

# 32. Phase 13 的最小缺口排序

目前優先順序已可明確排出。

## Gap 1 — PRIMARY

$$
\boxed{
\text{Square-Anchored Cube-Root Rough Lower}
}
$$

需要：

$$
C_R^->0.
$$

standard lower sieve在 $s=3/2$ 為零。

## Gap 2 — SECONDARY

$$
\boxed{
\text{Pointwise Short Hyperbolic }P\times P\text{ Upper}
}
$$

需要 sharp enough bandwise constants。

## Gap 3 — PARITY DIRECT

$$
\boxed{
\text{Signed RootRough–Liouville Control}.
}
$$

這可能直接跨過 prime/semiprime parity，但目前最深。

---

# 33. Phase 14 應該停止追 Semiprime 常數

由 threshold audit：

如果 Provider A 接近理想值，Provider B 有很大 constant slack。

所以 Phase 14 不應先花大量成本把：

$$
R_A,R_H
$$

從例如 $1.5$ 改成 $1.2$。

真正應先回答：

> square anchor 是否足以讓 cube-root rough survivors 在每一格得到正的、最好是接近 Buchstab 主項的 lower bound？

---

# 34. Phase 14 Target

## Square-Anchored Cube-Root Rough Lower

研究：

$$
\boxed{
S_3(n)
=
\sum_{1\le k\le2n}
\mathbf1_{
P^-(n^2+k)>n^{2/3+o(1)}
}.
}
$$

需要利用：

$$
\boxed{
k\equiv-n^2\pmod p
}
$$

而不是只把它視為 generic interval sieve。

候選工具：

1. exact square-phase inclusion–exclusion；
2. Möbius-weighted discrepancy；
3. quadratic phase averaging across divisor scale；
4. shifted sieve；
5. Selberg / beta-sieve weights adapted to anchored residue phases；
6. square-anchor spectral / Poisson transform；
7. comparison with rough-number variance technology；
8. finite exceptional-$n$ verification only after analytic large-$n$ threshold is obtained.

---

# 35. Phase 13 Verdict

```text
Legendre Base-Space Program
Phase 13 — Square-Anchored P2 Constant Ledger

Exact P2 ledger:                            CLOSED
Ideal prime constant:                       1
Ideal semiprime constant:                   log 2
Ideal rough constant:                       1 + log 2
Low-band coefficient:                       log(4/3)
High-band coefficient:                      log(3/2)
Main-term crossing margin:                  +1
Band multiplier crossing region:            DERIVED
Finite constant diagnostics:                CONSISTENT
Standard linear rough lower at s=3/2:       ZERO / FAIL
Generic Jacobsthal route:                   TOO WEAK
Campbell P3 -> raw rough lower:              DOES NOT TRANSFER
Maynard/Pascadi/Yang factor geometry:        RELEVANT
Short hyperbolic localization gate:         OPEN
Current black-box constant crossing:         NOT PROVED
Parity-signed Liouville identity:            DERIVED
Primary missing provider:                   SQUARE-ANCHORED ROUGH LOWER
Legendre proof status:                      OPEN
Next phase:                                 SQUARE-ANCHORED CUBE-ROOT ROUGH LOWER
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# 36. 參考文獻

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10. EveMissLab internal SRBRD-13～20, 2026-09-30.