# 勒讓德底空間綱領 Phase 12
## Square $P_2$ Boundary / Bilinear Semiprime Capacity
### Cube-Root RootRough、Least-Factor Rows、Cofactor Switching 與 Buchstab $\log 2$ Margin

**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-10-02  
**作者：** Neo.K × AI 協作  
**機構：** EveMissLab / 一言諾科技有限公司  
**研究線：** Legendre Base-Space Prime-Fitting Program  
**前置：** Phase 1–11；並移植 SRBRD-13～20 的 semiprime-boundary / cofactor-switching 結構  
**狀態：** Phase 12 exact structural reduction + finite audit + current-frontier comparison；勒讓德猜想仍未證明

---

# 0. 本階段的收斂結論

Phase 11 已把深預篩後最難的 residual obstruction 定位成：

$$
\boxed{
\text{prime}
\quad\text{vs}\quad
\text{single-pair semiprime}.
}
$$

Phase 12 不再繼續提高 factor-shell 層數，而改用一個更正典的 cutoff：

$$
\boxed{
z^3
\ge
(n+1)^2-1.
}
$$

在此 cube-root boundary 下，平方胞腔中的 RootRough survivor **只能是 prime 或 semiprime**。

因此勒讓德被精確改寫成：

$$
\boxed{
\#\text{prime}
=
\#\text{cube-root RootRough survivors}
-
\#\text{semiprime least-factor rows}.
}
$$

這是本系列目前最簡潔的 exact $P_2$ boundary identity。

---

# 1. 先修正研究尺度

Phase 10–11 曾保留一條充分但更強的路：

$$
r_*(n)=o(n).
$$

它會推出在：

$$
n^2+o(n)
$$

內即出現 prime。

這比 Legendre 原命題：

$$
n^2<p<(n+1)^2
=
n^2+2n+1
$$

強得多。

因此 Phase 12 將：

$$
\boxed{
\text{sublinear fit-depth}
}
$$

降級為「可選強路線」，不再作主線必要目標。

主線重新回到完整 square cell：

$$
\boxed{
(n^2,(n+1)^2).
}
$$

---

# 2. Square-Cell Scale

令：

$$
\boxed{
X=n^2,
}
$$

以及：

$$
\boxed{
H=2n.
}
$$

則平方胞腔中的整數為：

$$
X+1,\dots,X+H.
$$

其右端：

$$
X+H
=
(n+1)^2-1.
$$

---

# 3. Canonical Cube-Root Cutoff

定義：

$$
\boxed{
z_3(n)
=
\min
\left\{
z\in\mathbb N:
z^3\ge (n+1)^2-1
\right\}.
}
$$

漸近：

$$
\boxed{
z_3(n)
=
n^{2/3}(1+o(1)).
}
$$

以 $X=n^2$ 表示：

$$
\boxed{
z_3
=
X^{1/3}(1+o(1)).
}
$$

---

# 4. RootRough Predicate

沿用 SRBRD 的 canonical definition。

對：

$$
q\ge2,
$$

定義：

$$
\boxed{
\operatorname{RootRough}_z(q)
:
\Longleftrightarrow
\neg\exists p\in\mathbb P
\quad
p\le z,
\quad
p^2\le q,
\quad
p\mid q.
}
$$

對本平方胞腔的大尺度區域，

$$
z_3<\sqrt q,
$$

所以它與一般：

$$
P^-(q)>z_3
$$

的 roughness 一致。

---

# 5. Cube-Root $P_2$ Boundary Theorem

## 定理 5.1

若：

$$
n^2<q<(n+1)^2
$$

且：

$$
\operatorname{RootRough}_{z_3(n)}(q),
$$

則：

$$
\boxed{
q\text{ 是 prime 或 semiprime}.
}
$$

## 證明

若 $q$ 為 composite，令：

$$
p=P^-(q).
$$

RootRough 給：

$$
p>z_3.
$$

若：

$$
\Omega(q)\ge3,
$$

則全部質因數：

$$
>z_3,
$$

所以：

$$
q>z_3^3.
$$

但：

$$
z_3^3
\ge
(n+1)^2-1
\ge q,
$$

矛盾。

因此：

$$
\Omega(q)=2.
$$

故為 semiprime。

證畢。

---

# 6. Square-Cell RootRough Survivor Set

定義：

$$
\boxed{
\mathcal S_3(n)
=
\left\{
q\in\mathbb Z:
n^2<q<(n+1)^2,
\quad
\operatorname{RootRough}_{z_3}(q)
\right\}.
}
$$

由定理 5.1：

$$
\boxed{
\mathcal S_3(n)
=
\mathcal P_\square(n)
\sqcup
\mathcal E_2(n),
}
$$

其中：

$$
\mathcal P_\square(n)
=
\mathbb P\cap(n^2,(n+1)^2),
$$

而：

$$
\mathcal E_2(n)
$$

為該胞腔中的 cube-root-rough semiprimes。

---

# 7. Prime Count 的第一個 Exact Identity

因此：

$$
\boxed{
|\mathcal P_\square(n)|
=
|\mathcal S_3(n)|
-
|\mathcal E_2(n)|.
}
$$

所以勒讓德等價於：

$$
\boxed{
|\mathcal S_3(n)|
>
|\mathcal E_2(n)|
\quad
\forall n.
}
$$

這裡不再需要處理 $P_3,P_4,\dots$：

它們已被 cube-root boundary 自動排除。

---

# 8. Least-Factor Semiprime Rows

對 prime：

$$
p>z_3
$$

定義：

$$
\boxed{
\mathcal R_p(n)
=
\left\{
q\in\mathcal S_3(n):
p\mid q,
\quad
p^2\le q
\right\}.
}
$$

這個定義沒有要求：

$$
q/p\in\mathbb P.
$$

---

# 9. Row Theorem

## 定理 9.1

對：

$$
q\in\mathcal S_3(n),
$$

及 prime：

$$
p>z_3,
$$

有：

$$
q\in\mathcal R_p(n)
$$

當且僅當：

$$
\boxed{
q\text{ semiprime}
\quad\text{且}\quad
P^-(q)=p.
}
$$

## 證明

若：

$$
p\mid q,
\qquad
p^2\le q,
$$

因 $q$ 為 prime 或 semiprime，而：

$$
q>p,
$$

所以 $q$ 不可能是 prime。

故：

$$
q=ab
$$

為 semiprime，$a\le b$。

若 $p=b>a$，則：

$$
q=ab<p^2,
$$

矛盾。

所以：

$$
p=a=P^-(q).
$$

反向顯然。

證畢。

---

# 10. Disjoint Least-Factor Partition

因 least prime factor 唯一：

$$
\boxed{
\mathcal R_p(n)
\cap
\mathcal R_r(n)
=
\varnothing
\quad
(p\neq r).
}
$$

而每個 semiprime survivor 都落入唯一 row。

因此：

$$
\boxed{
\mathcal E_2(n)
=
\bigsqcup_{
\substack{
p\in\mathbb P\\
z_3<p\le n
}
}
\mathcal R_p(n).
}
$$

為什麼：

$$
p\le n?
$$

因：

$$
p\le\sqrt q<n+1,
$$

且 $p$ 為整數。

---

# 11. Exact Cofactor Switching

若：

$$
q\in\mathcal R_p(n),
$$

則：

$$
q=pr
$$

其中：

$$
r
$$

必為 prime。

而：

$$
n^2<pr<(n+1)^2.
$$

所以：

$$
\boxed{
\frac{n^2}{p}
<
r
<
\frac{(n+1)^2}{p}.
}
$$

反過來，任何 prime：

$$
r
$$

落在此區間，都給出：

$$
q=pr
$$

位於平方胞腔，且：

$$
r>
\frac{n^2}{p}
\ge n
\ge p.
$$

因此 $p$ 是較小質因數，且：

$$
q
$$

自動 cube-root RootRough。

所以：

## 定理 11.1

令：

$$
L_p(n)
=
\left\lfloor
\frac{n^2}{p}
\right\rfloor,
$$

$$
U_p(n)
=
\left\lfloor
\frac{(n+1)^2-1}{p}
\right\rfloor.
$$

則：

$$
\boxed{
|\mathcal R_p(n)|
=
\pi(U_p(n))
-
\pi(L_p(n)).
}
$$

---

# 12. Square $P_2$ Boundary Identity

綜合前述：

$$
\boxed{
|\mathcal P_\square(n)|
=
|\mathcal S_3(n)|
-
\sum_{
\substack{
p\in\mathbb P\\
z_3<p\le n
}
}
\left[
\pi(U_p(n))
-
\pi(L_p(n))
\right].
}
$$

這是 Phase 12 的主 exact identity。

它把勒讓德拆成：

### unsigned rough bulk

$$
|\mathcal S_3(n)|
$$

減去：

### bilinear prime-cofactor capacity

$$
\sum_p
\left[
\pi(U_p)-\pi(L_p)
\right].
$$

---

# 13. 無 Prime-Cofactor Predicate 的版本

雖然 switched formula 使用：

$$
\pi,
$$

但原始 row：

$$
\mathcal R_p
$$

只用：

- RootRough；
- divisibility；
- square comparison。

所以 semiprime row mass 有兩種完全等價表示：

$$
\boxed{
\text{unsigned RootRough row}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{prime-cofactor short interval}.
}
$$

這正是 SRBRD-13～17 的 cofactor-switching 結構在 square-cell 問題中的一維版本。

---

# 14. Square-Anchor Row Offset

對固定 row prime：

$$
p,
$$

任何 row candidate 可寫：

$$
q=n^2+k.
$$

整除條件：

$$
p\mid q
$$

等價於：

$$
\boxed{
k
\equiv
-n^2
\pmod p.
}
$$

因此 row location 仍保留 Phase 4 的 square-anchor residue phase。

所以：

$$
\boxed{
\text{least-factor row}
=
\text{cube-root boundary}
+
\text{square-anchor residue}.
}
$$

---

# 15. Sub-$z$ Window Matching Theorem

考慮更短物理窗：

$$
n^2<q\le n^2+K
$$

且：

$$
K<z_3.
$$

因每個 semiprime least factor：

$$
p>z_3>K,
$$

固定 $p$ 的倍數間距為：

$$
p>K.
$$

所以每個 row：

$$
\mathcal R_p
$$

至多有一個 candidate。

因此：

$$
\boxed{
|\mathcal R_p|\le1.
}
$$

此外，同一個 cofactor prime：

$$
r>n>K
$$

也不可能出現在兩個不同 row products 中，因兩個 odd primes：

$$
p_1\neq p_2
$$

至少差 $2$，故：

$$
r|p_1-p_2|
\ge2r
>
2n
>
K.
$$

所以 sub-$z$ semiprime pairs 形成一個 genuine matching。

但：

> 證明每個 $n$ 的 sub-$z$ window 必含 prime，比 Legendre 更強。

因此此 matching 只保留作強路線結構，不作主線必要目標。

---

# 16. Full-Cell Factor Exponent Band

重新回到完整 Legendre cell。

令：

$$
X=n^2.
$$

cube-root least factor：

$$
p>X^{1/3}.
$$

又：

$$
p\le\sqrt X.
$$

所以寫：

$$
\boxed{
p=X^t,
\qquad
\frac13<t\le\frac12.
}
$$

cofactor：

$$
r
\asymp
\frac Xp
=
X^{1-t}.
$$

row interval 長度：

$$
\boxed{
\frac Hp
\asymp
X^{1/2-t}.
}
$$

所以：

- $t=1/3$ 時，row length 約 $X^{1/6}$；
- $t\to1/2$ 時，row length 降到常數尺度。

這個：

$$
\boxed{
t\in[1/3,1/2]
}
$$

正是 parity-hard bilinear band。

---

# 17. Ideal Bilinear Semiprime Coefficient

若暫以 prime-density 主項作 diagnostic：

對：

$$
p=X^t,
$$

prime $p$ 的密度：

$$
\frac{dp}{\log p}.
$$

對固定 $p$，cofactor prime interval長：

$$
\frac Hp,
$$

其 expected prime count：

$$
\frac{
H/p
}{
\log(X/p)
}.
$$

因此 semiprime main density：

$$
\frac{dp}{\log p}
\cdot
\frac{H/p}{\log(X/p)}.
$$

令：

$$
p=X^t,
\qquad
\frac{dp}{p}
=
\log X\,dt.
$$

得到：

$$
\frac H{\log X}
\frac{dt}{t(1-t)}.
$$

積分：

$$
\int_{1/3}^{1/2}
\frac{dt}{t(1-t)}
=
\boxed{
\log2
}.
$$

因此 ideal semiprime coefficient：

$$
\boxed{
|\mathcal E_2(n)|
\sim
(\log2)
\frac H{\log X}.
}
$$

---

# 18. Prime Main Coefficient

在：

$$
X<n<X+H
$$

尺度，prime density 主項為：

$$
\boxed{
|\mathcal P_\square(n)|
\sim
\frac H{\log X}.
}
$$

因此 prime / semiprime ideal ratio：

$$
\boxed{
\frac{|\mathcal E_2|}{|\mathcal P_\square|}
\sim
\log2
\approx0.693147.
}
$$

prime share among cube-root survivors：

$$
\boxed{
\frac1{1+\log2}
\approx
0.590616.
}
$$

---

# 19. Buchstab $u=3$ Coefficient

Buchstab function：

$$
\omega(u)
$$

滿足：

$$
u\omega(u)=1
\quad
(1\le u\le2),
$$

及：

$$
(u\omega(u))'
=
\omega(u-1).
$$

對：

$$
2\le u\le3,
$$

有：

$$
\omega(u-1)=\frac1{u-1}.
$$

所以：

$$
u\omega(u)
=
1+\log(u-1).
$$

代入：

$$
u=3,
$$

得到：

$$
\boxed{
3\omega(3)
=
1+\log2.
}
$$

因此 classical global rough-number benchmark：

$$
\Phi(X,X^{1/3})
\sim
\boxed{
(1+\log2)
\frac X{\log X}.
}
$$

恰好分解為：

$$
\boxed{
1
+
\log2
}
$$

即：

$$
\boxed{
\text{prime main coefficient}
+
\text{semiprime-row coefficient}.
}
$$

---

# 20. Square-Local Buchstab Benchmark

若 global Buchstab density 可以無誤差地搬到 square interval：

$$
(X,X+H],
\qquad
H\asymp X^{1/2},
$$

則預期：

$$
|\mathcal S_3(n)|
\approx
(1+\log2)
\frac H{\log X}.
$$

再減去 semiprime rows：

$$
\approx
(\log2)
\frac H{\log X},
$$

正好留下：

$$
\boxed{
\frac H{\log X}.
}
$$

所以代數主項沒有 deficit：

它**精確留下完整 prime 主項**。

---

# 21. Error-Budget Form

定義精確誤差：

$$
\boxed{
E_S(n)
=
|\mathcal S_3(n)|
-
(1+\log2)\frac H{\log X},
}
$$

以及：

$$
\boxed{
E_{SP}(n)
=
|\mathcal E_2(n)|
-
(\log2)\frac H{\log X}.
}
$$

由 exact $P_2$ identity：

$$
\boxed{
|\mathcal P_\square(n)|
=
\frac H{\log X}
+
E_S(n)
-
E_{SP}(n).
}
$$

因此充分條件：

$$
\boxed{
E_{SP}(n)-E_S(n)
<
\frac H{\log X}.
}
$$

---

# 22. One-Sided Constant Crossing Criterion

若能證：

$$
|\mathcal S_3(n)|
\ge
\left(
1+\log2-\eta_S
\right)
\frac H{\log X},
$$

以及：

$$
|\mathcal E_2(n)|
\le
\left(
\log2+\eta_{SP}
\right)
\frac H{\log X},
$$

其中：

$$
\boxed{
\eta_S+\eta_{SP}<1,
}
$$

則：

$$
\boxed{
|\mathcal P_\square(n)|>0.
}
$$

這是 Phase 12 最乾淨的 analytic closure gate。

---

# 23. Standard Linear-Sieve No-Go

對 consecutive interval：

$$
(X,X+H],
\qquad
H\asymp X^{1/2},
$$

局部 congruence counting 有：

$$
|A_d|
=
\frac Hd
+
O(1).
$$

以標準線性 sieve，可自然使用的 level 大致不超過：

$$
D
=
X^{1/2-o(1)}.
$$

cube-root cutoff：

$$
z=X^{1/3}.
$$

所以：

$$
s
=
\frac{\log D}{\log z}
=
\frac32+o(1).
$$

而 standard lower linear sieve：

$$
f(s)=0
\quad
(s\le2).
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{standard one-dimensional lower linear sieve}
}
$$

在 cube-root cutoff 甚至無法直接給出正的 RootRough lower bound。

這是 square $P_2$ boundary 的第一個 analytic barrier。

---

# 24. Generic Jacobsthal Route 也不足

一般 rough-number covering 可用 Jacobsthal function 表示。

Iwaniec 的 shifted-sieve 結果給出的通用 upper bound，是按所選 prime 數量控制最長完全覆蓋區段；對 primorial cutoff 而言，尺度仍遠大於本問題的：

$$
H\asymp X^{1/2}
$$

當：

$$
z=X^{1/3}.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{generic arbitrary-translate rough-number guarantee}
}
$$

仍不足以直接處理 square interval。

這再次說明：

$$
\boxed{
\text{square anchor 必須真正進入估計。}
}
$$

---

# 25. 與 SRBRD-13～20 的精確對接

Sibling program SRBRD 已建立：

1. cube-root RootRough survivor $\Rightarrow$ prime / semiprime；
2. least-factor rows可用 RootRough + divisibility 定義；
3. semiprime row可 exact switch 成 prime cofactor；
4. cofactorization本身不會自動打破 parity barrier；
5. naive separate row sieve 有 quantitative constant no-go；
6. 真正需要 aggregate bilinear / switched provider。

Phase 12 顯示勒讓德 square-cell 問題具有同一骨架。

但有一個關鍵差異。

SRBRD 的 additive / complement row 通常有長 cofactor range。

本問題 row 長度只有：

$$
\boxed{
H/p
=
X^{1/2-t},
}
$$

甚至在：

$$
t\to1/2
$$

時降到 $O(1)$。

因此 SRBRD 使用的 Maynard / Bombieri–Vinogradov uniform-residue provider **不能直接 black-box 搬過來**。

這裡需要的是：

$$
\boxed{
\text{short hyperbolic prime-convolution control}.
}
$$

---

# 26. 與目前公開前沿的對接

截至 2026-10：

### Every square interval

Dudek–Johnston 已證每個：

$$
(n^2,(n+1)^2)
$$

含 $P_4$。

Campbell 2026 進一步證每格含：

$$
\boxed{
P_3.
}
$$

所以目前 all-square 無條件前沿已到 $P_3$，但未到 $P_2$ 或 prime。

### Almost all short intervals

Matomäki 證明幾乎所有極短 interval 都含 $P_2$；Matomäki–Teräväinen 又對 exact $E_2$ 在 almost-all polylog short intervals 得到強結果。

因此：

$$
\boxed{
\text{P2 bilinear technology 本身存在，}
}
$$

但：

$$
\boxed{
\text{every square anchor}
}
$$

的 pointwise uniformity 才是這條線真正特殊的要求。

---

# 27. Finite Audit：Exact $P_2$ Partition

本輪 machine audit：

$$
100\le n\le3000.
$$

累計：

$$
|\mathcal S_3|
=
\boxed{
999937
},
$$

其中：

$$
|\mathcal P_\square|
=
\boxed{
601600
},
$$

$$
|\mathcal E_2|
=
\boxed{
398337
}.
$$

deeper composite survivor：

$$
\boxed{
0.
}
$$

因此 cube-root $P_2$ partition finite audit：

$$
\boxed{
\text{PASS}.
}
$$

---

# 28. Finite Audit：Cofactor Switching

對所有有限 semiprime rows，逐 row 比較：

### RootRough/divisibility row count

與：

### switched prime-cofactor interval count

mismatch：

$$
\boxed{
0.
}
$$

所以 finite implementation 中：

$$
\boxed{
\mathcal R_p
\leftrightarrow
\text{prime cofactor interval}
}
$$

完全一致。

---

# 29. Finite Aggregate Ratio

在：

$$
100\le n\le3000
$$

的累計資料：

prime share among cube-root survivors：

$$
\boxed{
0.601638
}
$$

而理想 Buchstab / bilinear 值：

$$
\boxed{
\frac1{1+\log2}
\approx
0.590616.
}
$$

有限累計：

$$
\frac{SP}{P}
=
\boxed{
0.662129
},
$$

理想值：

$$
\log2
\approx
0.693147.
$$

這只是 diagnostic agreement，不是 asymptotic proof。

---

# 30. Selected Finite Cells

| $n$ | $z_3$ | survivors | primes | semiprimes | deeper | prime share | $P\log X/H$ | $SP\log X/H$ | $S\log X/H$ |
|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| 100 | 22 | 36 | 23 | 13 | 0 | 0.6389 | 1.0592 | 0.5987 | 1.6579 |
| 300 | 45 | 87 | 56 | 31 | 0 | 0.6437 | 1.0647 | 0.5894 | 1.6541 |
| 1000 | 101 | 241 | 152 | 89 | 0 | 0.6307 | 1.0500 | 0.6148 | 1.6648 |
| 2000 | 159 | 437 | 267 | 170 | 0 | 0.6110 | 1.0147 | 0.6461 | 1.6608 |
| 3000 | 209 | 610 | 340 | 270 | 0 | 0.5574 | 0.9074 | 0.7206 | 1.6280 |

理想 normalized coefficients：

$$
\boxed{
P\frac{\log X}{H}
\to1,
}
$$

$$
\boxed{
SP\frac{\log X}{H}
\to\log2,
}
$$

$$
\boxed{
S\frac{\log X}{H}
\to1+\log2.
}
$$

有限樣本已在相同尺度附近波動。

---

# 31. Prime Majority 不是可用定理

雖然 aggregate prime share 大於 $1/2$，逐 cell 並不保證 prime majority。

在 finite audit 中：

$$
P\le SP
$$

出現在：

$n=119$（$P=19,\ SP=19$）, $n=425$（$P=56,\ SP=57$）, $n=696$（$P=85,\ SP=88$）

所以不能把：

$$
\boxed{
P>SP
}
$$

當成所有平方胞腔的中間定理。

真正需要的只是：

$$
\boxed{
S-SP>0.
}
$$

---

# 32. Phase 12 的真正 Closure Target

勒讓德現在可壓成：

$$
\boxed{
L_{\mathrm{rough}}(n)
-
U_{\mathrm{SP}}(n)
>0,
}
$$

其中：

$$
L_{\mathrm{rough}}
\le
|\mathcal S_3(n)|,
$$

且：

$$
|\mathcal E_2(n)|
\le
U_{\mathrm{SP}}.
$$

這不要求直接對 prime count 做 positive lower bound。

---

# 33. Provider A：Square-Anchored Rough Lower Bound

需要：

$$
\boxed{
|\mathcal S_3(n)|
\text{ 的 pointwise square-anchored lower bound}.
}
$$

它不能只使用 generic translate sieve。

必須利用：

$$
n^2+k
$$

所帶來的：

$$
\boxed{
k\equiv-n^2\pmod p
}
$$

平方相位。

這將 Phase 4 的 square-anchor obstruction field 重新拉回主線。

---

# 34. Provider B：Bilinear Semiprime Upper Bound

需要控制：

$$
\boxed{
\sum_{z_3<p\le n}
\left[
\pi(U_p)-\pi(L_p)
\right].
}
$$

這是一個 prime × prime convolution 在 hyperbolic strip：

$$
X<pr<X+H
$$

中的 pointwise upper bound。

因 row band：

$$
p=X^t,
\qquad
1/3<t\le1/2,
$$

所以它正是 Type-II / bilinear 結構。

但 row width：

$$
H/p
=
X^{1/2-t}
$$

很短，尤其 balanced edge 接近常數長度。

因此需要：

$$
\boxed{
\text{aggregate bilinear switching}
}
$$

而不是逐 row short-interval PNT。

---

# 35. Phase 13 入口

下一階段建議只攻一件事：

## Square-Anchored $P_2$ Constant Ledger

建立：

$$
L_{\mathrm{rough}},
\qquad
U_{\mathrm{SP}}
$$

的可用 provider，並全部 normalize 到：

$$
\frac H{\log X}
$$

尺度。

目標直接是一張 constant ledger：

$$
\boxed{
C_{\mathrm{rough}}^{-}
-
C_{\mathrm{SP}}^{+}
>0?
}
$$

應分 band：

$$
t\in
[1/3,2/5],
$$

$$
[2/5,1/2-\varepsilon],
$$

以及：

$$
t\approx1/2.
$$

逐 band 檢查：

- classical switched sieve；
- Maynard uniform residue convolution；
- Yang 2026 convolution-BV；
- almost-all short-interval $E_2$ 技術哪些可以／不可以轉成 square-anchor pointwise provider。

---

# 36. Phase 12 狀態

```text
Legendre Base-Space Program
Phase 12 — Square P2 Boundary

Full-cell scale restored as main target:          YES
Cube-root RootRough cutoff:                       DEFINED
Prime-or-semiprime boundary theorem:              PROVED
Exact P / E2 partition:                           PROVED
Least-factor semiprime rows:                      DEFINED
Disjoint row partition:                           PROVED
Prime-cofactor switching:                         PROVED
Square P2 boundary identity:                      PROVED
Square-anchor residue retained:                   YES
Sub-z semiprime matching:                         PROVED
Sublinear route classified as stronger:           YES
Bilinear factor band [1/3,1/2]:                  DERIVED
Ideal semiprime coefficient log 2:                DERIVED
Buchstab u=3 coefficient 1+log 2:                 DERIVED
Exact error-budget identity:                      DERIVED
One-sided constant-crossing gate:                 DEFINED
Standard linear-sieve cube-root lower bound:      NO-GO
Generic Jacobsthal shortcut:                      INSUFFICIENT
SRBRD cofactor-switching transfer:                ALIGNED
Finite P2 partition audit:                        PASS
Finite switched-row audit:                        PASS
Legendre proof status:                            OPEN
Next phase:                                       SQUARE-ANCHORED P2 CONSTANT LEDGER
```

---

# 37. 參考文獻

1. Peter J. Campbell, *On the Existence of Integers with at Most 3 Prime Factors Between Every Pair of Consecutive Squares*, arXiv:2603.10356, 2026; Journal of Number Theory, DOI 10.1016/j.jnt.2026.07.014.
2. Adrian W. Dudek, Daniel R. Johnston, *Almost primes between all squares*, Journal of Number Theory **278** (2026), 726–745; arXiv:2501.18048.
3. Kaisa Matomäki, *Almost primes in almost all very short intervals*, Journal of the London Mathematical Society **106** (2022), 1061–1097.
4. Kaisa Matomäki, Joni Teräväinen, *Almost primes in almost all short intervals II*, Transactions of the AMS **376** (2023); arXiv:2207.05038.
5. Henryk Iwaniec, *On the problem of Jacobsthal*, Demonstratio Mathematica **11** (1978), 225–232.
6. James Maynard, *Primes in arithmetic progressions to large moduli III: Uniform residue classes*, Memoirs of the AMS **306** (2025), no. 1544.
7. Zhiyuan Yang, *Convolution-type Bombieri-Vinogradov theorem with well-factorable weights, and its applications*, arXiv:2608.13299v2, 2026.
8. SRBRD-13～20, EveMissLab internal research series, 2026-09-30.