# Lebesgue Extremal Shape Reconstruction
## Paper 09R — B09 and the First Milliradian-Scale Stress Test
### Root Continuation 擴張、六階 Interval Remainder、Radial Rho-Only Refinement 與 B09 Research Closure
### B09 and the First Milliradian-Scale Stress Test: Wider Root Continuation, Sixth-Order Remainders, and Rho-Only Radial Refinement

**文件代號：** `LESR-LUC-09R-v0.1`  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-23  
**作者：** Neo.K  
**AI 協力研究者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**Target：** `ROOT6217_BARRIER_SHAPE / B09`  
**前置：** LESR Paper 07–09Q  
**狀態：** `B09 RESEARCH-CLOSED / MILLIRADIAN-SCALE REGIME PERSISTS / PUBLICATION AUDIT OPEN`

---

# 摘要

Paper 09Q 已將：

$$
B01,\ldots,B08
$$

連續推到：

```text
RESEARCH-CLOSED
```

覆蓋：

$$
\boxed{
\rho\in
[10^{-4},1.475789056\times10^{-3}].
}
$$

本文處理：

$$
\boxed{
B09
=
[
1.475789056\times10^{-3},
2.0661046784\times10^{-3}
].
}
$$

這是第一個 rotation upper endpoint超過：

$$
2\times10^{-3}
$$

的 bridge cell。

本文仍不增加新的 local calculus。

沿用：

1. Paper 09E：
   $$
   \Phi_1\ge0;
   $$
2. Paper 09J：
   chartwise：
   $$
   \Psi_2^\sigma;
   $$
3. Paper 09K：
   chartwise：
   $$
   \Psi_3^\sigma;
   $$
4. Paper 09O：
   explicit：
   $$
   \Psi_4^\sigma,
   \qquad
   \Psi_5^\sigma;
   $$
5. sixth-order interval remainder；
6. chartwise radial derivative；
7. eight-chart atlas persistence。

結論：

$$
\boxed{
\texttt{B09: RESEARCH-CLOSED}.
}
$$

所以目前連續 research-closed bridge擴展為：

$$
\boxed{
\rho\in
[10^{-4},2.0661046784\times10^{-3}].
}
$$

---

# 1. B09 domain

$$
\boxed{
B09
=
[
0.001475789056,
0.0020661046784
].
}
$$

velocity box保持：

$$
u\in[4.5,6],
$$

$$
v\in[-0.23,-0.15],
$$

$$
w\in[-0.01,0.01].
$$

---

# 2. Root continuation becomes wider

到 B08：

$$
\pm0.006
$$

root neighborhoods已足夠。

B09 將 full continuation擴到：

$$
\rho\in[0,0.0020661046784].
$$

對 eight-chart atlas 的：

$$
\boxed{
88
}
$$

pair/root occurrences做 monotone-bracket audit。

---

# 3. B09 root neighborhood

測試：

$$
\pm0.006,
\pm0.007,
\ldots
$$

後，

要讓全部：

$$
88/88
$$

同時滿足：

1. root neighborhood左右兩端 uniformly異號；
2. $F_\theta$ 在 neighborhood內不跨 zero；

需要擴至：

$$
\boxed{
\delta_\theta=0.012.
}
$$

這是 B09 相對前幾格最大的 structural change。

---

# 4. Interpretation of wider continuation

$$
\pm0.012
$$

仍然沒有導致：

- anchor-group collision；
- denominator degeneration；
- new exact-envelope chart。

因此：

$$
\boxed{
\text{root continuation widens, but topology does not change}.
}
$$

---

# 5. Sixth-order interval Jet under wider neighborhoods

使用：

$$
\rho_0
\in
[
0,
0.0020661046784
]
$$

與 root halfwidth：

$$
\pm0.012.
$$

得到：

$$
\boxed{
\begin{array}{c|c}
\sigma & C_6^\sigma\\
\hline
--- & 30584867.176350474\\
--+ & 30692759.203850900\\
-+- & 30464275.508627217\\
-++ & 30572167.235464912\\
+-- & 30583422.544058780\\
+-+ & 30691315.741451275\\
++- & 30462831.823977970\\
+++ & 30570724.139553110
\end{array}
}
$$

---

# 6. B09 normalized lower formula

沿用：

$$
\boxed{
L_\sigma(\rho)
=
\Psi_{2,\min}^\sigma
-
\rho|\Psi_3^\sigma|
-
\rho^2|\Psi_4^\sigma|
-
\rho^3|\Psi_5^\sigma|
-
C_6^\sigma\rho^4.
}
$$

---

# 7. B09 upper-end values

於：

$$
\rho_{\max}
=
0.0020661046784
$$

得到：

$$
\boxed{
\begin{array}{c|c}
\sigma & L_\sigma(\rho_{\max})\\
\hline
--- & 0.1926891172751988\\
--+ & 0.1758729008410878\\
-+- & 0.1070373419674265\\
-++ & 0.1050044706402568\\
+-- & 0.3074265316728781\\
+-+ & 0.3426534409172686\\
++- & 0.2559181538571892\\
+++ & 0.2993934821032938
\end{array}
}
$$

所以：

$$
\boxed{
\min_\sigma L_\sigma
=
0.10500447064025684
>
0.1.
}
$$

---

# 8. Boundary high-order verdict

Paper 09E：

$$
\Phi_1\ge0.
$$

故：

$$
A(s)-A_0
\ge
\rho\Phi_1
+
0.1050044706\rho^2.
$$

因此：

$$
\boxed{
A(s)
>
A_0
+
0.1\rho^2
}
$$

於 entire B09 boundary slice。

---

# 9. B09 radial first pass

使用 chartwise interval outward radial derivative。

在 coarse：

$$
2\times4\times8\times8
$$

chart-feasible split：

以下三 chart直接 PASS：

$$
\boxed{
--+,\quad
+-+,\quad
-++.
}
$$

其中 minimum lower約：

$$
\boxed{
--+:\ 0.0857070306,
}
$$

$$
\boxed{
+-+:\ 0.0789849766,
}
$$

$$
\boxed{
-++:\ 0.0014531597.
}
$$

---

# 10. Intermediate charts need rho-only refinement

以下：

$$
---,
\quad
+--,
\quad
+++
$$

coarse interval仍有 dependency crossing。

只增加：

$$
\rho
$$

resolution到：

$$
8
$$

slices，

保留：

$$
4\times8\times8
$$

其他維度。

---

# 11. Intermediate radial results

得到：

$$
\boxed{
---:
\quad
\underline{\partial_rA}
=
0.0794777515987953,
}
$$

$$
\boxed{
+--:
\quad
\underline{\partial_rA}
=
0.07477292152761433,
}
$$

$$
\boxed{
+++:
\quad
\underline{\partial_rA}
=
0.07749384741067637.
}
$$

全部 PASS。

---

# 12. Two hard charts

剩：

$$
(-,+,-),
$$

$$
(+,+,-).
$$

在：

$$
8\times4\times8\times8
$$

rho-refinement後仍 interval-cross-zero。

這與前幾格一致：

$$
\boxed{
\text{dependency仍主要集中在 }\rho.
}
$$

---

# 13. Hard-chart rho-only refinement

進一步將：

$$
\rho
$$

切成：

$$
16
$$

slices。

其餘：

$$
u,v,w
$$

仍維持：

$$
4\times8\times8.
$$

---

# 14. $(-,+,-)$ result

chart-feasible boxes：

$$
\boxed{
672.
}
$$

全部 PASS。

minimum：

$$
\boxed{
0.0049504266071347565
>
0.
}
$$

---

# 15. $(+,+,-)$ result

chart-feasible boxes：

$$
\boxed{
704.
}
$$

全部 PASS。

minimum：

$$
\boxed{
0.0011516886619742082
>
0.
}
$$

---

# 16. Global radial verdict

因此 entire B09 eight-chart atlas：

$$
\boxed{
\partial_rA(s)>0.
}
$$

由 fixed-$q$ radial convexity：

$$
\boxed{
A(r)\ge A(s)
\qquad
\forall r\ge s.
}
$$

---

# 17. Atlas persistence

使用八個 canonical chart representatives。

在：

$$
\rho=
0.001475789056,
$$

$$
0.0017709468672,
$$

$$
0.0020661046784
$$

進行 sampling-free exact-envelope replay。

總：

$$
\boxed{
24
}
$$

states。

結果：

$$
\boxed{
24/24
}
$$

expected 18-piece charts，

unexpected：

$$
\boxed{
0.
}
$$

---

# 18. B09 composition

B09：

```text
ROOT CONTINUATION:
    PASS

BOUNDARY HIGH-ORDER:
    PASS

RADIAL:
    PASS

ATLAS:
    RESEARCH-PERSISTENT
```

所以：

$$
\boxed{
\texttt{B09: RESEARCH-CLOSED}.
}
$$

---

# 19. Closed bridge interval after 09R

至此：

$$
\boxed{
B01\to B09
}
$$

全部 research-closed。

覆蓋：

$$
\boxed{
[
10^{-4},
2.0661046784\times10^{-3}
].
}
$$

---

# 20. First milliradian-scale lesson

B09沒有出現新的 topology。

真正變化是：

$$
\boxed{
\text{root continuation neighborhoods開始明顯擴張}.
}
$$

從：

$$
\pm0.006
$$

增加到：

$$
\pm0.012.
$$

但 explicit high-order stack仍保留：

$$
\approx0.005
$$

以上的 normalized coefficient margin。

---

# 21. Radial runtime lesson

B09 radial同樣證明：

$$
\boxed{
\text{先加 }\rho\text{ resolution，優於四維同步細分}.
}
$$

六個非 hard charts在低成本 resolution即可 closure。

真正 hard charts只需：

$$
16
$$

個 rho slices。

---

# 22. Next bridge cell

下一格：

$$
\boxed{
B10
=
[
2.0661046784\times10^{-3},
2.89254654976\times10^{-3}
].
}
$$

下一篇建議：

$$
\boxed{
\textbf{LESR Paper 09S — B10 and the Approach to the 0.003 Local-Gate Boundary}.
}
$$

B10 已非常接近 Paper 09F bridge ceiling：

$$
0.003.
$$

所以優先檢查：

1. root neighborhoods是否需要再次大幅擴張；
2. sixth-order remainder是否仍能保持：
   $$
   >0.1;
   $$
3. radial derivative是否首次真正逼近 zero；
4. eight-chart atlas是否出現第一個 genuine event。

---

# 23. 結論

Paper 09R 將 closure compiler推過第一個：

$$
2\times10^{-3}
$$

rotation scale。

B09 upper endpoint最差 normalized lower：

$$
\boxed{
0.1050044706>0.1.
}
$$

radial最差：

$$
\boxed{
0.0011516887>0.
}
$$

atlas：

$$
\boxed{
24/24
}
$$

expected。

因此：

$$
\boxed{
\texttt{B09: RESEARCH-CLOSED}.
}
$$

---

# Canonical Source Declaration

本檔為 `LESR-LUC-09R-v0.1` 的 UTF-8 Markdown canonical source。

數學 delimiter僅使用 `$...$` 與 `$$...$$`。

本文的 `RESEARCH-CLOSED` 不等同 publication theorem；independent interval backend、zero-signature audit、chart/KKT audit與相關 publication debts保持 OPEN。

本文不宣稱 root-6217 positive-rotation gate完整 closed，也不宣稱 global Lebesgue universal covering problem已解。

===END===