# Lebesgue Extremal Shape Reconstruction
## Paper 09Q — Stressing the Explicit High-Order Regime on B08
### 顯式 $\Psi_4$–$\Psi_5$、六階 Interval Remainder、Radial $\rho$-Shard Refinement 與 B08 Research Closure
### Stressing the Explicit High-Order Regime on B08: Quartic–Quintic Coefficients, Sixth-Order Remainder, and Radial Rho-Shard Refinement

**文件代號：** `LESR-LUC-09Q-v0.1`  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-23  
**作者：** Neo.K  
**AI 協力研究者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**Target：** `ROOT6217_BARRIER_SHAPE / B08`  
**前置：** LESR Paper 07–09P  
**狀態：** `B08 RESEARCH-CLOSED / EXPLICIT HIGH-ORDER REGIME PERSISTS / PUBLICATION AUDIT OPEN`

---

# 摘要

Paper 09P 已將：

$$
B01,\ldots,B07
$$

連續推到：

```text
RESEARCH-CLOSED
```

覆蓋：

$$
\boxed{
\rho\in
[10^{-4},1.05413504\times10^{-3}].
}
$$

本文處理：

$$
\boxed{
B08
=
[
1.05413504\times10^{-3},
1.475789056\times10^{-3}
].
}
$$

不增加新的 local calculus。

沿用：

1. Paper 09E：
   $$
   \Phi_1\ge0;
   $$
2. Paper 09J：
   chartwise：
   $$
   \Psi_2^\sigma;
   $$
3. Paper 09K：
   chartwise：
   $$
   \Psi_3^\sigma;
   $$
4. Paper 09O：
   explicit：
   $$
   \Psi_4^\sigma,
   \qquad
   \Psi_5^\sigma;
   $$
5. Paper 09O–09P：
   sixth-order interval remainder；
6. chartwise radial derivative；
7. eight-chart atlas persistence。

最終：

$$
\boxed{
\texttt{B08: RESEARCH-CLOSED}.
}
$$

所以目前連續 research-closed bridge：

$$
\boxed{
\rho\in
[10^{-4},1.475789056\times10^{-3}].
}
$$

---

# 1. B08 domain

$$
\boxed{
\rho
\in
[
0.00105413504,
0.001475789056
].
}
$$

velocity box保持：

$$
u\in[4.5,6],
$$

$$
v\in[-0.23,-0.15],
$$

$$
w\in[-0.01,0.01].
$$

---

# 2. Root continuation

本文不以單一 `atan2` interval直接跨完整 rotation interval，

因跨 branch時可能產生 artificial wrapping。

改採：

$$
\boxed{
\text{monotone support-equality bracketing}.
}
$$

對每個 transition：

$$
F(\theta;\rho,u,v,w)=0
$$

要求：

1. $F_\theta$ 在 declared root neighborhood不跨零；
2. neighborhood兩端 uniformly bracket zero。

---

# 3. Root neighborhood

B08 full continuation：

$$
\rho\in[0,0.001475789056]
$$

對 eight-chart atlas 共：

$$
\boxed{
88
}
$$

chart/root family occurrences，

使用：

$$
\boxed{
\delta_\theta=0.006
}
$$

全部通過 bracket test。

所以 09P 的：

$$
\pm0.006
$$

root neighborhood可以直接傳播到 B08。

---

# 4. Explicit lower-order stack

本文繼承：

$$
\Psi_{2,\min}^\sigma,
$$

$$
|\Psi_3^\sigma|,
$$

$$
|\Psi_4^\sigma|,
$$

$$
|\Psi_5^\sigma|.
$$

不重新 fitting。

---

# 5. Sixth-order interval Jet

使用與 Paper 09O–09P 相同 arbitrary-order interval Jet。

domain：

$$
\rho_0
\in
[
0,
0.001475789056
].
$$

root neighborhood：

$$
\pm0.006.
$$

---

# 6. B08 sixth Taylor coefficient

得到：

$$
\boxed{
\begin{array}{c|c}
\sigma & C_6^\sigma\\
\hline
--- & 16986690.198198024\\
--+ & 17052748.647452686\\
-+- & 16915327.125617046\\
-++ & 16981385.574871708\\
+-- & 16985568.508718215\\
+-+ & 17051626.957972877\\
++- & 16914205.436137237\\
+++ & 16980263.885391900
\end{array}
}
$$

其中：

$$
C_6^\sigma
=
\sup
\left|
A_\sigma^{(6)}/6!
\right|.
$$

---

# 7. B08 normalized lower

每 chart使用：

$$
\boxed{
L_\sigma(\rho)
=
\Psi_{2,\min}^\sigma
-
\rho|\Psi_3^\sigma|
-
\rho^2|\Psi_4^\sigma|
-
\rho^3|\Psi_5^\sigma|
-
C_6^\sigma\rho^4.
}
$$

---

# 8. B08 upper-end values

在：

$$
\rho_{\max}
=
0.001475789056
$$

得到：

$$
\boxed{
\begin{array}{c|c}
\sigma & L_\sigma(\rho_{\max})\\
\hline
--- & 0.19342074183395160\\
--+ & 0.17655599057526014\\
-+- & 0.10769746328029034\\
-++ & 0.10563162534105950\\
+-- & 0.30815346918384584\\
+-+ & 0.34332446384394893\\
++- & 0.25656649828312130\\
+++ & 0.29999755304074270
\end{array}
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\min_\sigma L_\sigma
=
0.1056316253410595
>
0.1.
}
$$

---

# 9. Boundary verdict

Paper 09E：

$$
\Phi_1\ge0.
$$

所以：

$$
A(s)-A_0
\ge
\rho\Phi_1
+
0.1056316253\rho^2.
$$

因此：

$$
\boxed{
A(s)
>
A_0+0.1\rho^2
}
$$

於 entire B08 boundary slice。

---

# 10. B08 radial full-box attempt

chartwise outward radial derivative interval在 full B08 box上：

$$
--+
$$

直接 PASS：

$$
\boxed{
\underline{\partial_rA}
=
0.0030705875980715945
>
0.
}
$$

其餘 charts需要 finite dependency reduction。

---

# 11. Coarse chart-feasible split

使用：

$$
2\times4\times8\times8
$$

split。

以下五 charts全部 PASS：

$$
\boxed{
\begin{array}{c|c}
+-+ & 0.12022353896624983\\
--- & 0.037545352141724095\\
-++ & 0.039160878754784766\\
+-- & 0.031456762565571256\\
+++ & 0.036061380189687900
\end{array}
}
$$

---

# 12. Two hard radial charts

剩：

$$
(-,+,-),
$$

$$
(+,+,-).
$$

coarse boxes全部 interval-cross-zero。

這與 B07 相同：

$$
\boxed{
\text{dependency concentrated in }\rho.
}
$$

---

# 13. Rho-shard refinement

將 B08 的 $\rho$ interval切成：

$$
\boxed{
8
}
$$

shards。

每 shard只在：

$$
u,v,w
$$

使用：

$$
8\times16\times16
$$

chart-feasible split。

所以每次 finite certificate可以獨立完成並 checkpoint。

---

# 14. $(-,+,-)$ rho-shards

八 shard minimum lowers：

$$
\boxed{
\begin{array}{c|c}
1 & 0.010286214341058880\\
2 & 0.010192212183348419\\
3 & 0.010145622928826169\\
4 & 0.009673206870343266\\
5 & 0.009604099057333063\\
6 & 0.009480636875396740\\
7 & 0.009035598158122942\\
8 & 0.009014468229636724
\end{array}
}
$$

全部 PASS。

所以：

$$
\boxed{
\underline{\partial_rA}^{-+-}
\ge
0.009014468229636724.
}
$$

---

# 15. $(+,+,-)$ rho-shards

八 shard minimum lowers：

$$
\boxed{
\begin{array}{c|c}
1 & 0.008238493645415120\\
2 & 0.008087510486677450\\
3 & 0.007625201491464595\\
4 & 0.007417488016062531\\
5 & 0.006922930379187832\\
6 & 0.006743676445051162\\
7 & 0.006616970831107259\\
8 & 0.006436093159830518
\end{array}
}
$$

全部 PASS。

因此：

$$
\boxed{
\underline{\partial_rA}^{++-}
\ge
0.006436093159830518.
}
$$

---

# 16. Global radial lower

整個 B08 eight-chart atlas的 radial lower最差為：

$$
\boxed{
0.0030705875980715945
>
0.
}
$$

若只看兩個 hard refined charts，

其最差為：

$$
0.006436093159830518.
$$

因此：

$$
\boxed{
\partial_rA(s)>0
}
$$

於 full B08 declared local domain。

---

# 17. Radial lift

由 fixed-$q$ radial convexity：

$$
\boxed{
A(r)\ge A(s)
\qquad
\forall r\ge s.
}
$$

所以 boundary lower可 lift到完整 root radial responsibility。

---

# 18. Atlas persistence

使用八個 canonical sign-chart representatives。

在：

$$
\rho=
0.00105413504,
$$

$$
0.001264962048,
$$

$$
0.001475789056
$$

做 sampling-free exact-envelope replay。

總：

$$
\boxed{
24
}
$$

states。

結果：

$$
\boxed{
24/24
}
$$

expected 18-piece charts，

unexpected：

$$
\boxed{
0.
}
$$

---

# 19. B08 composition

B08：

```text
ROOT CONTINUATION:
    PASS

BOUNDARY HIGH-ORDER:
    PASS

RADIAL:
    PASS

ATLAS:
    RESEARCH-PERSISTENT
```

所以：

$$
\boxed{
\texttt{B08: RESEARCH-CLOSED}.
}
$$

---

# 20. Closed bridge interval after 09Q

至此：

$$
\boxed{
B01\to B08
}
$$

全部 research-closed。

覆蓋：

$$
\boxed{
[
10^{-4},
1.475789056\times10^{-3}
].
}
$$

---

# 21. Runtime consequence

B08再次顯示：

$$
\boxed{
\text{radial dependency grows mainly along }\rho,
}
$$

不是平均分布於：

$$
(u,v,w).
$$

因此下一格若 radial interval再變寬，

優先策略應是：

$$
\boxed{
\text{rho-shard first},
}
$$

而不是四維同步倍增解析度。

---

# 22. Next bridge cell

下一格：

$$
\boxed{
B09
=
[
1.475789056\times10^{-3},
2.0661046784\times10^{-3}
].
}
$$

下一篇建議：

$$
\boxed{
\textbf{LESR Paper 09R — B09 and the First Milliradian-Scale Stress Test}.
}
$$

優先檢查：

1. $\pm0.006$ root neighborhood是否仍足夠；
2. sixth-order remainder是否仍保持 large margin；
3. radial rho-sharding是否仍能 finite-close；
4. eight-chart atlas是否出現第一個真正新 event。

---

# 23. 結論

Paper 09Q 將 explicit higher-order closure regime再向外推一格。

B08 upper endpoint最差 boundary normalized lower：

$$
\boxed{
0.1056316253>0.1.
}
$$

radial：

$$
\boxed{
\partial_rA>0
}
$$

於全部 eight charts。

atlas：

$$
\boxed{
24/24
}
$$

expected。

因此：

$$
\boxed{
\texttt{B08: RESEARCH-CLOSED}.
}
$$

---

# Canonical Source Declaration

本檔為 `LESR-LUC-09Q-v0.1` 的 UTF-8 Markdown canonical source。

數學 delimiter僅使用 `$...$` 與 `$$...$$`。

本文的 `RESEARCH-CLOSED` 不等同 publication theorem；independent interval backend、zero-signature audit、chart/KKT audit與相關 publication debts保持 OPEN。

本文不宣稱 root-6217 positive-rotation gate完整 closed，也不宣稱 global Lebesgue universal covering problem已解。

===END===