# Lebesgue Extremal Shape Reconstruction
## Paper 09P — Propagation of Explicit High-Order Closure to B07
### $\Psi_4$–$\Psi_5$ 顯式高階係數、六階 Interval Remainder、Radial $\rho$-Only Refinement 與 B07 Research Closure
### Propagation of Explicit High-Order Closure to B07: Quartic–Quintic Coefficients, Sixth-Order Remainder, and Radial Rho-Only Refinement

**文件代號：** `LESR-LUC-09P-v0.1`  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-23  
**作者：** Neo.K  
**AI 協力研究者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**Target：** `ROOT6217_BARRIER_SHAPE / B07`  
**前置：** LESR Paper 07–09O  
**狀態：** `B07 RESEARCH-CLOSED / EXPLICIT HIGH-ORDER STACK PROPAGATED / PUBLICATION AUDIT OPEN`

---

# 摘要

Paper 09O 已將：

$$
B01,\ldots,B06
$$

連續推到：

```text
RESEARCH-CLOSED
```

覆蓋：

$$
\boxed{
\rho\in
[10^{-4},7.529536\times10^{-4}].
}
$$

本文將同一 closure compiler推至：

$$
\boxed{
B07
=
[
7.529536\times10^{-4},
1.05413504\times10^{-3}
].
}
$$

核心 stack 不再改變：

1. Paper 09E：
   $$
   \Phi_1\ge0;
   $$
2. Paper 09J：
   chartwise：
   $$
   \Psi_2^\sigma;
   $$
3. Paper 09K：
   chartwise：
   $$
   \Psi_3^\sigma;
   $$
4. Paper 09O：
   explicit：
   $$
   \Psi_4^\sigma,
   \qquad
   \Psi_5^\sigma;
   $$
5. 本文：
   sixth-order interval Taylor remainder；
6. 本文：
   B07-specific radial lift；
7. 本文：
   atlas persistence replay。

結論：

$$
\boxed{
\texttt{B07: RESEARCH-CLOSED}.
}
$$

所以目前連續 research-closed bridge擴展為：

$$
\boxed{
\rho\in
[10^{-4},1.05413504\times10^{-3}].
}
$$

---

# 1. B07 domain

$$
\boxed{
B07
=
[
0.0007529536,
0.00105413504
].
}
$$

velocity box仍為：

$$
u\in[4.5,6],
$$

$$
v\in[-0.23,-0.15],
$$

$$
w\in[-0.01,0.01].
$$

---

# 2. Root continuation audit

B07-specific cross-body explicit-root interval audit給最大 deviation：

$$
\boxed{
0.0038688680837326572.
}
$$

而 B06 已 research-audit：

$$
[0,0.0007529536]
$$

的 maximum drift：

$$
0.004076794348891077.
$$

所以對 union：

$$
[0,0.00105413504]
$$

本文採：

$$
\boxed{
\delta_\theta=0.006.
}
$$

intrinsic $B_5$ boundaries的 rotation shift最多：

$$
0.00105413504
<
0.006.
$$

因此 0.006 root neighborhood在 research level足以覆蓋 B07 six-order derivative recursion使用的 transition roots。

---

# 3. Explicit lower-order coefficients remain inherited

不重新 fitting：

$$
\Psi_2,
\Psi_3,
\Psi_4,
\Psi_5.
$$

沿用前文 chartwise finite polynomials / minima：

$$
\Psi_{2,\min}^\sigma,
$$

$$
|\Psi_3^\sigma|,
$$

$$
|\Psi_4^\sigma|,
$$

$$
|\Psi_5^\sigma|.
$$

---

# 4. B07 sixth Taylor coefficient

使用 09O arbitrary-order interval Jet。

domain：

$$
\rho\in
[0,0.00105413504],
$$

full velocity box，

root neighborhood：

$$
\pm0.006.
$$

得到：

$$
\boxed{
\begin{array}{c|c}
\sigma & C_6^\sigma\\
\hline
--- & 16562078.045676745\\
--+ & 16627656.331019433\\
-+- & 16492796.130817847\\
-++ & 16558374.416160535\\
+-- & 16560972.254194591\\
+-+ & 16626550.539537280\\
++- & 16491690.339335693\\
+++ & 16557268.624678380
\end{array}
}
$$

其中：

$$
C_6^\sigma
=
\sup
\left|
A_\sigma^{(6)}/6!
\right|.
$$

---

# 5. B07 normalized lower formula

每 chart：

$$
\boxed{
L_\sigma(\rho)
=
\Psi_{2,\min}^\sigma
-
\rho|\Psi_3^\sigma|
-
\rho^2|\Psi_4^\sigma|
-
\rho^3|\Psi_5^\sigma|
-
C_6^\sigma\rho^4.
}
$$

---

# 6. B07 upper-end values

在：

$$
\rho_{\max}
=
0.00105413504
$$

得到：

$$
\boxed{
\begin{array}{c|c}
\sigma & L_\sigma(\rho_{\max})\\
\hline
--- & 0.1936621695771606\\
--+ & 0.17676164614926135\\
-+- & 0.10788910718959010\\
-++ & 0.10579855747360253\\
+-- & 0.30839175092093596\\
+-+ & 0.34352174935422600\\
++- & 0.25674992004941655\\
+++ & 0.30014820001142123
\end{array}
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\min_\sigma L_\sigma
=
0.10579855747360253
>
0.1.
}
$$

---

# 7. Boundary high-order verdict

Paper 09E：

$$
\Phi_1\ge0.
$$

所以：

$$
A(s)-A_0
\ge
\rho\Phi_1
+
0.1057985574\rho^2.
$$

故：

$$
\boxed{
A(s)
>
A_0
+
0.1\rho^2
}
$$

於 entire B07 boundary slice。

---

# 8. B07 radial full-box attempt

direct chartwise radial derivative interval在 full B07 box上：

只有兩 chart直接 PASS：

$$
--+,
$$

$$
+-+.
$$

其 lower分別：

$$
\boxed{
0.047173559374433224,
}
$$

$$
\boxed{
0.041444367366062676.
}
$$

其餘六 chart full-box interval跨零。

---

# 9. First radial finite split

先用：

$$
2\times4\times8\times8
$$

chart-feasible split。

四個 chart直接 PASS：

$$
\boxed{
\begin{array}{c|c}
--- & 0.052693255931458544\\
-++ & 0.053856372573183420\\
+-- & 0.048338418527127905\\
+++ & 0.051795613186032784
\end{array}
}
$$

---

# 10. Two charts remain interval-wide

剩：

$$
(-,+,-),
$$

$$
(+,+,-).
$$

在：

$$
4\times8\times16\times16
$$

split時仍有大量 interval boxes跨零。

但 exact-envelope finite radial difference在 worst box center顯示 outward derivative明確正：

$$
\approx0.03253,
$$

$$
\approx0.12192.
$$

所以沒有 numerical radial reversal evidence。

---

# 11. Dependency diagnosis

對 worst boxes逐維半分後發現：

- 只 split $\rho$ 即可把 interval lower變正；
- split $u,v,w$ alone不足。

例如：

$$
(-,+,-)
$$

worst box只半分 $\rho$後：

$$
\boxed{
0.0118772754>0.
}
$$

$$
(+,+,-)
$$

則：

$$
\boxed{
0.0099775783>0.
}
$$

因此 B07 radial interval dependency的主軸是：

$$
\boxed{
\rho.
}
$$

---

# 12. Targeted rho-only refinement

最終只將：

$$
\rho
$$

resolution加倍，

使用：

$$
\boxed{
8\times8\times16\times16
}
$$

而不是全部四個 coordinates同步再 refine。

---

# 13. $(-,+,-)$ refined result

chart-feasible boxes：

$$
\boxed{
1880.
}
$$

全部 PASS。

minimum lower：

$$
\boxed{
0.011877275433993237
>
0.
}
$$

---

# 14. $(+,+,-)$ refined result

chart-feasible boxes：

$$
\boxed{
1720.
}
$$

全部 PASS。

minimum lower：

$$
\boxed{
0.009977578334812063
>
0.
}
$$

---

# 15. Global B07 radial lower

整個八 chart atlas 的 radial lower最差為：

$$
\boxed{
0.009977578334812063
>
0.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\partial_rA(s)>0.
}
$$

由 fixed-$q$ radial convexity：

$$
\boxed{
A(r)\ge A(s)
\qquad
\forall r\ge s.
}
$$

---

# 16. Atlas persistence replay

使用 8 canonical chart representatives。

在：

$$
\rho=
0.0007529536,
$$

$$
0.00090354432,
$$

$$
0.00105413504
$$

進行 sampling-free exact-envelope replay。

總：

$$
\boxed{
24
}
$$

states。

結果：

$$
\boxed{
24/24
}
$$

expected 18-piece charts，

unexpected：

$$
\boxed{
0.
}
$$

---

# 17. B07 composition

B07目前：

```text
ROOT CONTINUATION:
    RESEARCH PASS

BOUNDARY HIGH-ORDER:
    PASS

RADIAL:
    PASS

ATLAS:
    RESEARCH-PERSISTENT
```

所以：

$$
\boxed{
\texttt{B07: RESEARCH-CLOSED}.
}
$$

---

# 18. Closed bridge interval after 09P

至此：

$$
\boxed{
B01\to B07
}
$$

全部 research-closed。

覆蓋：

$$
\boxed{
[
10^{-4},
1.05413504\times10^{-3}
].
}
$$

---

# 19. Computation-runtime lesson

B07 radial的第一次 refined two-chart sweep再次 timeout。

本文因此再次使用：

$$
\boxed{
\text{one-chart-one-checkpoint}
}
$$

模式：

1. $(-,+,-)$ 完成；
2. 立即存 checkpoint；
3. 再跑 $(+,+,-)$；
4. 再存 checkpoint。

這讓 long-running finite certificate的 recoverable prefix持續存在。

---

# 20. What did not break

到 B07：

- eight-chart atlas沒有增加；
- explicit $\Psi_4,\Psi_5$不用修改；
- sixth-order interval仍有餘裕；
- radial derivative仍正。

所以：

$$
\boxed{
\text{B07仍屬同一 local closure regime}.
}
$$

---

# 21. Next bridge cell

下一格：

$$
\boxed{
B08
=
[
1.05413504\times10^{-3},
1.475789056\times10^{-3}
].
}
$$

建議下一篇：

$$
\boxed{
\textbf{LESR Paper 09Q — Stressing the Explicit High-Order Regime on B08}.
}
$$

優先檢查：

1. root continuation neighborhood是否需再次擴張；
2. sixth-order remainder是否仍足以保持：
   $$
   >0.1;
   $$
3. radial interval dependency是否仍主要集中在 $\rho$；
4. eight-chart atlas是否仍完整。

---

# 22. 結論

Paper 09O將 B06從 method frontier修成：

$$
\texttt{RESEARCH-CLOSED}.
$$

Paper 09P證明該 explicit higher-order compiler仍可傳播到 B07。

B07 upper endpoint最差 normalized lower：

$$
\boxed{
0.1057985575>0.1.
}
$$

radial最差：

$$
\boxed{
0.0099775783>0.
}
$$

atlas：

$$
\boxed{
24/24
}
$$

expected。

所以：

$$
\boxed{
\texttt{B07: RESEARCH-CLOSED}.
}
$$

---

# Canonical Source Declaration

本檔為 `LESR-LUC-09P-v0.1` 的 UTF-8 Markdown canonical source。

數學 delimiter僅使用 `$...$` 與 `$$...$$`。

本文的 `RESEARCH-CLOSED` 不等同 publication theorem；independent interval backend、zero-signature audit、chart/KKT audit與相關 publication debts保持 OPEN。

本文不宣稱 root-6217 positive-rotation gate完整 closed，也不宣稱 global Lebesgue universal covering problem已解。

===END===