# Lebesgue Extremal Shape Reconstruction
## Paper 09N — B05 Research Closure and the Radius of the Eight-Chart Regime
### 從 B04 到 B05 的完整傳播，以及 B06 的 Zero-Centered Fourth-Order Remainder Frontier
### Research Closure of B05, Persistence of the Eight-Chart Regime, and the First Zero-Centered Remainder Frontier at B06

**文件代號：** `LESR-LUC-09N-v0.1`  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-23  
**作者：** Neo.K  
**AI 協力研究者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**Target：** `ROOT6217_BARRIER_SHAPE / B05 / B06 FRONTIER`  
**前置：** LESR Paper 07–09M  
**狀態：** `B05 RESEARCH-CLOSED / B06 METHOD FRONTIER IDENTIFIED / PUBLICATION AUDIT OPEN`

---

# 摘要

Paper 09M 已將：

$$
B01,\ B02,\ B03,\ B04
$$

連續推到：

```text
RESEARCH-CLOSED
```

覆蓋：

$$
\boxed{
\rho\in
[10^{-4},3.8416\times10^{-4}].
}
$$

本文將同一 closure compiler推入：

$$
\boxed{
B05
=
[
3.8416\times10^{-4},
5.37824\times10^{-4}
].
}
$$

結果：

$$
\boxed{
B05:\ \texttt{RESEARCH-CLOSED}.
}
$$

因此目前連續 research-closed bridge 擴展為：

$$
\boxed{
[10^{-4},5.37824\times10^{-4}].
}
$$

B05 closure仍由同一有限 stack構成：

1. Paper 09E：
   $$
   \Phi_1\ge0;
   $$
2. Paper 09J：
   八個 first-order sign charts；
3. Paper 09J：
   chartwise second-order floors：
   $$
   \Psi_2^\sigma;
   $$
4. Paper 09K：
   chartwise cubic polynomial bounds：
   $$
   \Psi_3^\sigma;
   $$
5. 本文：
   B05-specific fourth Taylor coefficient interval bounds；
6. 本文：
   B05-specific radial lift；
7. 本文：
   finite event / chart persistence audit。

B05 的 full-box pair/root audit得到最大 drift：

$$
\boxed{
2.9068253703\times10^{-3}.
}
$$

因此用：

$$
\boxed{
\pm0.0035
}
$$

作 transition-root zero-order neighborhood仍有正 containment margin。

將 Paper 09K 的 arbitrary-order interval Jet重跑至：

$$
\rho_{\max}=5.37824\times10^{-4},
$$

並使用：

$$
\pm0.0035
$$

root neighborhoods後，八 chart的 finite-radius normalized lower全部仍高於：

$$
0.1.
$$

其中最差為：

$$
\boxed{
(-,+,+):
\quad
0.10079866098381093.
}
$$

第二低為：

$$
\boxed{
(-,+,-):
\quad
0.10301916876738140.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{B05 boundary high-order gate = PASS}.
}
$$

B05 radial responsibility則使用 Paper 09M 已建立的 chartwise interval outward radial derivative compiler。

六個 charts在 full B05 box一次 PASS。

只有：

$$
(-,+,-)
$$

與：

$$
(+,+,-)
$$

兩 chart需要 split。

對每 chart使用：

$$
\boxed{
2\times4\times8\times8
=
512
}
$$

個 boxes，並先用 first-order residual sign inequalities排除 infeasible boxes。

結果：

$$
(-,+,-)
\quad
84
\text{ feasible subboxes},
$$

$$
(+,+,-)
\quad
88
\text{ feasible subboxes},
$$

全部 PASS。

整個 B05 radial derivative最差仍為：

$$
\boxed{
\partial_r A
\ge
2.85505954347\times10^{-4}
>
0.
}
$$

因此由 radial convexity：

$$
\boxed{
A(r)\ge A(s)
\qquad
\forall r\ge s
}
$$

於整個 B05 declared local box成立。

另外，在：

- B05 lower endpoint；
- midpoint；
- upper endpoint；

對八個 Paper 09E canonical chart representatives做 sampling-free exact-envelope structural replay，共：

$$
\boxed{
24
}
$$

個 states。

結果：

$$
\boxed{
0
}
$$

unexpected charts。

所以 eight-chart atlas在 B05 仍 research-persistent。

---

# 1. B05 domain

本文處理：

$$
\boxed{
B05=
[
0.00038416,
0.000537824
].
}
$$

velocity box保持：

$$
u\in[4.5,6],
$$

$$
v\in[-0.23,-0.15],
$$

$$
w\in[-0.01,0.01].
$$

---

# 2. Why B05 is not a fresh problem

B05 不重新建立 local calculus。

以下全部直接繼承：

- zero barrier geometry；
- six-wall first-order atlas；
- eight primary sign charts；
- chartwise $\Psi_2$ polynomials；
- chartwise $\Psi_3$ polynomials；
- radial convexity；
- chartwise transition-root compiler。

真正需更新的只有：

1. root continuation radius；
2. fourth derivative interval；
3. radial positivity；
4. topology persistence。

---

# 3. B05 root continuation audit

對 eight-chart atlas 中所有 pairwise transition continuations重新 intervalize：

$$
a\cos\theta+b\sin\theta+c=0.
$$

full parameter box：

$$
\rho\in[0,0.000537824],
$$

$$
u\in[4.5,6],
$$

$$
v\in[-0.23,-0.15],
$$

$$
w\in[-0.01,0.01].
$$

最大 deviation from zero anchor：

$$
\boxed{
0.0029068253703119495.
}
$$

---

# 4. Adopted B05 root neighborhood

因此本文採：

$$
\boxed{
\delta_\theta^{B05}
=
0.0035.
}
$$

有：

$$
0.00290683
<
0.0035.
$$

所以所有 audited root continuations都在 declared neighborhoods內。

---

# 5. B05 fourth-order bounds

用同一 arbitrary-order interval Jet，計算：

$$
\left|
\frac{
A_\sigma^{(4)}
}{
4!
}
\right|
$$

over：

$$
\rho\in[0,0.000537824].
$$

結果：

$$
\boxed{
\begin{array}{c|c}
\sigma & c_{4,\sigma}^{B05}\\
\hline
--- & 17813.1933311\\
--+ & 18156.8226740\\
-+- & 17463.5414153\\
-++ & 17807.1708209\\
+-- & 17787.8885974\\
+-+ & 18131.5183830\\
++- & 17438.2369706\\
+++ & 17781.8664568
\end{array}
}
$$

---

# 6. B05 finite-radius lower

每 chart使用：

$$
L_\sigma(\rho)
=
\Psi_{2,\min}^\sigma
-
|\Psi_3^\sigma|\rho
-
c_{4,\sigma}^{B05}\rho^2.
$$

於：

$$
\rho_{\max}=0.000537824.
$$

結果：

$$
\boxed{
\begin{array}{c|c}
\sigma & L_\sigma(\rho_{\max})\\
\hline
--- & 0.1887517286\\
--+ & 0.1717077317\\
-+- & 0.1030191688\\
-++ & 0.1007986610\\
+-- & 0.3034848684\\
+-+ & 0.3384650180\\
++- & 0.2518773189\\
+++ & 0.2951357730
\end{array}
}
$$

所以：

$$
\boxed{
\min_\sigma L_\sigma
=
0.10079866098381093
>
0.1.
}
$$

---

# 7. Boundary verdict

Paper 09E：

$$
\Phi_1\ge0.
$$

所以：

$$
A(s)
-
A_0
\ge
\rho\Phi_1
+
0.10079866\rho^2
\ge
0.10079866\rho^2.
$$

因此：

$$
\boxed{
A(s)
>
A_0+0.1\rho^2
}
$$

於整個 B05 boundary slice。

---

# 8. B05 radial compiler

固定 chart與：

$$
(\rho,u,v,w)
$$

在：

$$
r=s
$$

求：

$$
\partial_r A.
$$

transition roots 的 radial derivative由 implicit support equality求得。

若：

$$
\partial_r A(s)>0,
$$

radial convexity推出：

$$
A(r)\ge A(s)
\qquad
r\ge s.
$$

---

# 9. Six full-box radial passes

以下六 charts在 full B05 parameter box直接有正 interval lower：

$$
\boxed{
\begin{array}{c|c}
\sigma & \underline{\partial_r A}\\
\hline
--- & 0.0462214862\\
--+ & 0.1340098690\\
-++ & 0.0465385623\\
+-- & 0.0432980255\\
+-+ & 0.1310864083\\
+++ & 0.0436151016
\end{array}
}
$$

---

# 10. Two charts require finite split

兩個 full-box derivative intervals跨零：

$$
(-,+,-),
$$

$$
(+,+,-).
$$

本文不重新使用 million-cell exact-envelope grid。

而是利用 first-order chart sign constraints先排除 infeasible states，再切：

$$
\boxed{
2\times4\times8\times8
=
512
}
$$

parameter boxes / chart。

---

# 11. $(-,+,-)$ radial split

512 boxes 中：

$$
\boxed{
84
}
$$

boxes與該 chart sign polytope相交。

全部通過。

minimum lower：

$$
\boxed{
0.0020340721236459004
>
0.
}
$$

---

# 12. $(+,+,-)$ radial split

512 boxes 中：

$$
\boxed{
88
}
$$

feasible。

全部通過。

minimum：

$$
\boxed{
0.0002855059543473803
>
0.
}
$$

---

# 13. B05 radial verdict

因此：

$$
\boxed{
\partial_r A>0
}
$$

在整個 B05 eight-chart atlas。

由 radial convexity：

$$
\boxed{
A(r)\ge A(s)
\qquad
\forall r\ge s.
}
$$

---

# 14. B05 structural replay

使用八個 canonical chart representative velocities。

對：

$$
\rho=
0.00038416,
$$

$$
0.000460992,
$$

$$
0.000537824
$$

做 sampling-free exact-envelope replay。

共：

$$
8\times3=24
$$

states。

全部重現相應 18-piece chart。

unexpected：

$$
\boxed{
0.
}
$$

---

# 15. B05 research closure

因此：

```text
B05 ROOT CONTINUATION:
    PASS

B05 EIGHT-CHART ATLAS:
    RESEARCH-PERSISTENT

B05 BOUNDARY HIGH-ORDER:
    PASS

B05 RADIAL:
    PASS

B05 FULL PARENT:
    RESEARCH-CLOSED
```

---

# 16. Closed bridge interval after 09N

所以目前：

$$
\boxed{
B01\to B05
}
$$

全部 research-closed。

連續範圍：

$$
\boxed{
[
10^{-4},
5.37824\times10^{-4}
].
}
$$

---

# 17. First probe into B06

下一 bridge cell：

$$
\boxed{
B06
=
[
5.37824\times10^{-4},
7.529536\times10^{-4}
].
}
$$

本文不嘗試宣稱 B06 closed。

只先做 frontier diagnosis。

---

# 18. B06 root continuation

對：

$$
\rho\in[0,0.0007529536]
$$

做同一 pair/root interval audit。

最大 root drift：

$$
\boxed{
0.004076794348891077.
}
$$

所以：

$$
\pm0.0045
$$

仍可包住目前 audited continuations。

---

# 19. Zero-centered fourth-order inheritance fails at B06

若將同一 zero-centered fourth-order interval Jet直接推至：

$$
\rho_{\max}^{B06}=0.0007529536,
$$

即使將 root neighborhoods收至：

$$
\pm0.0045,
$$

仍得到：

$$
\boxed{
\begin{array}{c|c}
\sigma & L_\sigma^{\rm inherited}\\
\hline
-+- & 0.0972780550\\
-++ & 0.0949629280
\end{array}
}
$$

因此舊 contract已不能證：

$$
>0.1.
$$

---

# 20. This is not yet a geometric failure

在 09J 的危險：

$$
(-,+,+)
$$

second-order minimizer：

$$
u=6,
$$

$$
v=-0.15,
$$

$$
w=-0.004329086041295756
$$

直接 sampling-free finite-$\rho$ replay至：

$$
\rho=0.0007529536
$$

得到：

$$
\boxed{
\frac{
A-A_0-\rho\Phi_1
}{
\rho^2
}
=
0.10605141782867145
>
0.1.
}
$$

所以目前沒有 B06 counter-candidate。

---

# 21. B06 failure mode

目前 failure是：

$$
\boxed{
\text{zero-centered fourth-order remainder over-enclosure}.
}
$$

原因是 Taylor theorem一直從：

$$
\rho=0
$$

累積到：

$$
\rho=7.53\times10^{-4}.
$$

即使：

$$
A^{(4)}/4!
$$

的 interval bound不算大，

乘上：

$$
\rho^2
$$

後，normalized remainder開始吃掉 second-order slack。

---

# 22. B06 is therefore a method frontier

B06目前狀態：

```text
NEW GEOMETRIC CHART:
    NOT OBSERVED

COUNTEREXAMPLE:
    NOT OBSERVED

ZERO-CENTERED ORDER-4 PROOF:
    INSUFFICIENT

METHOD FRONTIER:
    YES
```

---

# 23. Three candidate next methods

B06應優先測：

## Route A — Positive-$\rho$ local re-centering

在：

$$
\rho_c>0
$$

重新作：

$$
A(\rho)
=
A(\rho_c)
+
A'(\rho_c)\Delta\rho
+
\cdots
$$

remainder按：

$$
|\Delta\rho|^4
$$

而不是：

$$
\rho^4.
$$

## Route B — Explicit quartic coefficient

重建：

$$
\Psi_4^\sigma(u,v,w)
$$

的 quartic polynomial，

再把 remainder推到第五階。

## Route C — Direct interval bridge leaves

對 B06 直接在 finite：

$$
\rho
$$

slabs做 interval area lower。

---

# 24. Recommended next node

最自然下一篇：

$$
\boxed{
\textbf{LESR Paper 09O — Positive-Rho Re-Centering and B06 Local Taylor Closure}.
}
$$

先測 Route A。

理由：

- 不改 chart atlas；
- 不重建全部 quartic polynomial；
- B05 endpoint已有 closed lower可作 anchor；
- B06 interval寬度只約：
  $$
  2.15\times10^{-4}.
  $$

若 local recenter可用，

將比繼續提高 global Taylor order更便宜。

---

# 25. Timeout-resilient checkpoint state

本輪重要節點已同步至研究 Drive：

```text
LESR_CHECKPOINT_2026-09-23_09N_B05_CLOSED.txt
LESR_CHECKPOINT_2026-09-23_09N_B06_FRONTIER.txt
```

位置：

```text
AMRAL_Lebesgue_Finite_Closure/
  01_Verification_Expansion/
    LESR_Final_Stress_Checkpoints/
```

因此下一輪即使對 B06 re-centering計算逾時，也可以從：

```text
B05 CLOSED
B06 = method frontier
```

直接恢復。

---

# 26. Current dashboard

```text
B01:
    RESEARCH-CLOSED

B02:
    RESEARCH-CLOSED

B03:
    RESEARCH-CLOSED

B04:
    RESEARCH-CLOSED

B05:
    RESEARCH-CLOSED

CLOSED BRIDGE:
    [1e-4, 5.37824e-4]

B06:
    OPEN — ZERO-CENTERED REMAINDER FRONTIER

MICRO [0,1e-4]:
    SEPARATE GATE

PUBLICATION AUDIT:
    OPEN

ROOT6217 POSITIVE ROTATION:
    OPEN

GLOBAL LEBESGUE:
    OPEN
```

---

# 27. 結論

Paper 09N 證明八-chart closure regime至少可穩定傳播到：

$$
\boxed{
\rho=5.37824\times10^{-4}.
}
$$

B05 中：

- roots仍在有限 neighborhoods；
- eight-chart atlas仍穩定；
- high-order lower仍大於 $0.1$；
- radial derivative仍嚴格正。

因此：

$$
\boxed{
\texttt{B05: RESEARCH-CLOSED}.
}
$$

B06第一次讓 zero-centered fourth-order strategy失去證明力。

但 direct finite replay仍顯示：

$$
\boxed{
0.1060514\ldots>0.1.
}
$$

所以目前真正的新 frontier不是幾何，

而是：

$$
\boxed{
\text{Taylor expansion center}.
}
$$

下一輪應把 local expansion center從：

$$
0
$$

移到正：

$$
\rho.
$$

---

# Canonical Source Declaration

本檔為 `LESR-LUC-09N-v0.1` 的 UTF-8 Markdown canonical source。

數學 delimiter僅使用 `$...$` 與 `$$...$$`。

本文的 `RESEARCH-CLOSED` 不等同 publication theorem；independent interval backend、zero-signature audit、chart/KKT audit等 publication debts保持 OPEN。

本文不宣稱 B06 closed，不宣稱 root-6217 positive-rotation gate完整 closed，也不宣稱 global Lebesgue universal covering problem已解。

===END===