# Lebesgue Extremal Shape Reconstruction
## Paper 09J — Eight-Chart Quadratic Floor on B01
### 從 4D Boundary Cover 到八個 Polyhedral Sign Charts：整個 B01 Local Box 的二階下界
### Eight-Chart Quadratic Floor on B01: Reducing the Full Local Velocity Box to Polyhedral Quadratic Programs

**文件代號：** `LESR-LUC-09J-v0.1`  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-22  
**作者：** Neo.K  
**AI 協力研究者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**Target：** `ROOT6217_BARRIER_SHAPE / B01`  
**前置：** LESR Paper 07–09I  
**狀態：** `FULL-B01 SECOND-ORDER CHART FLOOR / RESEARCH KKT ENUMERATION / FINITE-RHO REMAINDER OPEN`

---

# 摘要

Paper 09I 已在 research-certificate 層完成：

$$
\boxed{
\text{B01 local primary box 的 radial responsibility}.
}
$$

也就是對：

$$
\rho\in[10^{-4},1.4\times10^{-4}],
$$

$$
u\in[4.5,6],
$$

$$
v\in[-0.23,-0.15],
$$

$$
w\in[-0.01,0.01],
$$

所有 admissible：

$$
r\ge s
$$

都可以由 local-secant + radial convexity quotient回：

$$
r=s.
$$

因此 B01 剩下的核心問題已是 boundary slice：

$$
(\rho,u,v,w).
$$

09I 嘗試以 chart-free Hausdorff area continuity直接 finite-cover整個 B01。第一層：

$$
96\times3\times48\times10
=
138{,}240
$$

格雖可關掉部分外圍，但大量 cells 因 global Hausdorff bound 對 rotation：

$$
\rho
$$

過度敏感而保留。

本文不再繼續細磨 $\rho$ 網格。

而是回到 Paper 09E 已經完成的 first-order topology分類。

09E 已證 primary neighboring charts完全由：

$$
\operatorname{sgn}E_T,
\qquad
\operatorname{sgn}E_L,
\qquad
\operatorname{sgn}E_R
$$

三個 sign bits決定。

所以正好有：

$$
\boxed{
2^3=8
}
$$

個 open first-order charts。

對任一 chart：

$$
\sigma
\in
\{-1,+1\}^3,
$$

本文以 canonical support formulas建立 18-piece one-sided positive-$\rho$ chart，並直接以二階 Jet：

$$
A_\sigma(\rho;u,v,w)
=
A_0
+
\rho\Phi_1^\sigma(u,v,w)
+
\rho^2\Psi_2^\sigma(u,v,w)
+
O(\rho^3)
$$

抽出：

$$
\boxed{
\Psi_2^\sigma.
}
$$

由於：

- body centers對 $(u,v,w)$ 的 first-order motion為 affine；
- transition first-order speeds為 affine；
- transition second-order speeds為 quadratic；
- area primitive為二次型加 trigonometric endpoint expansion；

每個：

$$
\Psi_2^\sigma(u,v,w)
$$

恰為：

$$
\boxed{
\text{三變數 quadratic polynomial}.
}
$$

因此 B01 二階 completeness不再需要 4D dense sampling。

它變成八個有限 quadratic programs：

$$
\boxed{
\min
\Psi_2^\sigma(u,v,w)
}
$$

subject to：

1. B01 velocity box；
2. 三個 sign inequalities：
   $$
   \sigma_T E_T\ge0,
   $$
   $$
   \sigma_L E_L\ge0,
   $$
   $$
   \sigma_R E_R\ge0.
   $$

每個 feasible region是一個 compact polytope。

對 quadratic function在 compact polytope上的 global minimum，任一 minimizer必落在某個 face的 relative-interior stationary point，或較低維 face。

因此只需枚舉：

$$
\boxed{
0,1,2,3
}
$$

個 independent active constraints的 KKT systems。

本文對所有八 charts做完整 active-face enumeration。

得到 chartwise minima：

| Sign chart $(E_T,E_L,E_R)$ | $\inf\Psi_2^\sigma$ |
|---|---:|
| $(-,-,-)$ | $0.1941331878\ldots$ |
| $(-,-,+)$ | $0.1771421602\ldots$ |
| $(-,+,-)$ | $0.1082369861\ldots$ |
| $(-,+,+)$ | $\boxed{0.1060833695\ldots}$ |
| $(+,-,-)$ | $0.3088556046\ldots$ |
| $(+,-,+)$ | $0.3438822109\ldots$ |
| $(+,+,-)$ | $0.2570779006\ldots$ |
| $(+,+,+)$ | $0.3003930106\ldots$ |

所以 entire B01 local velocity box具有：

$$
\boxed{
\Psi_2
\ge
0.1060833695\ldots
>
0.1.
}
$$

最低點不在 Paper 09B/09C 的 first-order critical velocity。

它出現在 chart：

$$
\boxed{
(-,+,+)
}
$$

的 box face：

$$
\boxed{
u=6,
\qquad
v=-0.15,
}
$$

且：

$$
\boxed{
w
=
-0.0043290860412957563\ldots.
}
$$

在此點：

$$
E_T<0,
\qquad
E_L>0,
\qquad
E_R>0.
$$

winning chart的 quadratic polynomial為：

$$
\begin{aligned}
\Psi_2^{(-,+,+)}
={}&
0.02794365170082480318
-0.00610709314035057786\,u \\
&+
0.52831149053377130555\,v
+
0.41030844970918459524\,w \\
&-
0.00038801325227352718\,u^2
+
8.42348018991951288801\,v^2 \\
&+
10.13141844912428934197\,w^2
-
0.02073227314117337278\,uv \\
&-
0.00441000000000000000\,uw
+
1.97419256890616049061\,vw.
\end{aligned}
$$

在：

$$
u=6,
\qquad
v=-0.15
$$

face上，對 $w$ 求 stationary point即可得到上述：

$$
w_\star^{B01}.
$$

代回：

$$
\boxed{
\Psi_{2,\min}^{B01}
=
0.1060833695262153239987\ldots.
}
$$

因此 Paper 09J 得到一個比 09D critical-cone result更廣的 statement：

$$
\boxed{
\text{不是只有 first-order critical cone 有正二階 growth；}
}
$$

而是：

$$
\boxed{
\text{整個 B01 local velocity box 的 chartwise second-order floor 都高於 }0.1.
}
$$

這表示 B01 的 finite-$\rho$ 責任現在只剩：

$$
\boxed{
\text{uniform higher-order remainder}.
}
$$

本文另外建立 third-order Jet diagnostic。

八 charts上的：

$$
\Psi_3^\sigma
$$

皆為 cubic polynomial。

numerical polytope search觀察：

$$
\boxed{
|\Psi_3|
<
0.42
}
$$

於目前 B01 domain。

本文不把：

$$
0.42
$$

升成 interval theorem。

而是設一個非常寬鬆的未來 certificate target：

$$
\boxed{
|\Psi_3|
\le1.
}
$$

為 finite-$\rho$ closure保留更大安全空間，本文再採保守 quadratic floor：

$$
\boxed{
\Psi_2\ge0.1055.
}
$$

在：

$$
\rho_{\max}
=
1.4\times10^{-4}
$$

上，如果未來證：

$$
|\Psi_3|\le1
$$

且 fourth-and-higher remainder滿足：

$$
\boxed{
|R_4|
\le
250000\,\rho^4,
}
$$

則：

$$
\begin{aligned}
A-A_0-\rho\Phi_1
&\ge
0.1055\rho^2
-
\rho^3
-
250000\rho^4 \\
&=
\rho^2
\left(
0.1055
-\rho
-250000\rho^2
\right).
\end{aligned}
$$

在：

$$
\rho\le1.4\times10^{-4}
$$

有：

$$
0.1055
-
0.00014
-
250000(1.4\times10^{-4})^2
=
\boxed{
0.10046.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
A
\ge
A_0
+
\rho\Phi_1
+
0.10046\rho^2.
}
$$

又因 Paper 09E：

$$
\Phi_1\ge0,
$$

即可推出：

$$
\boxed{
A
>
A_0
+
0.1\rho^2
}
$$

於整個 B01。

換言之，B01 parent目前狀態已從：

```text
4D FINITE COVER OPEN
```

進一步壓成：

```text
RADIAL RESPONSIBILITY:
    RESEARCH CLOSED

FIRST-ORDER CHART COMPLETENESS:
    ANALYTICALLY CLOSED

SECOND-ORDER FULL-BOX FLOOR:
    RESEARCH CLOSED

FINITE-RHO REMAINDER:
    OPEN
```

所需 remainder bounds極度寬鬆：

$$
|\Psi_3|\le1
$$

以及：

$$
|R_4|/\rho^4\le250000.
$$

09J 因此不把 B01 parent偷升成 `CLOSED`。

但它將 B01 的最後數學責任從：

$$
\boxed{
\text{四維 area finite-cover}
}
$$

降成：

$$
\boxed{
\text{一個 uniform high-order Taylor enclosure}.
}
$$

---

# 0. B01 當前定義

$$
\rho
\in
[10^{-4},1.4\times10^{-4}],
$$

$$
u\in[4.5,6],
$$

$$
v\in[-0.23,-0.15],
$$

$$
w\in[-0.01,0.01].
$$

Paper 09I 已將：

$$
r\ge s
$$

radial責任 quotient回：

$$
r=s
$$

在 declared B01 local box。

---

# 1. Primary residuals

沿 Paper 09E：

$$
E_T
=
s u\beta_{5T}
-
\beta_{3T}(\gamma_T+v),
$$

$$
E_L
=
-s\sin\theta_\star L_\alpha u
+
L_\theta
(
\gamma_L+\sin\theta_\star v-\cos\theta_\star w
),
$$

$$
E_R
=
-s\sin\theta_\star L_\alpha u
+
L_\theta
(
\gamma_L+\sin\theta_\star v+\cos\theta_\star w
).
$$

---

# 2. Eight sign charts

每個：

$$
\sigma
=
(\sigma_T,\sigma_L,\sigma_R)
\in
\{-1,+1\}^3
$$

定義 polytope：

$$
\boxed{
P_\sigma
=
B_{\rm vel}
\cap
\{
\sigma_TE_T\ge0,
\sigma_LE_L\ge0,
\sigma_RE_R\ge0
\}.
}
$$

---

# 3. Why exactly eight charts suffice

Paper 09E 已把六個 triple-support normals配成三組 mirror / cyclic pairs。

對每組 signed residual：

- 正號選 pair的一個 member；
- 負號選 mirror/cyclic member。

所以 generic positive-$\rho$ primary chart只由三個 signs決定。

---

# 4. 18-piece chart compiler

對每一：

$$
\sigma
$$

companion generator固定對應的 18-piece winner sequence。

transition boundaries由：

- body intrinsic boundaries；
- adjacent pairwise support equalities；

生成。

所有 roots使用 implicit Jet展開：

$$
\theta_j
=
\theta_j^0
+
\tau_j\rho
+
\eta_j\rho^2
+
O(\rho^3).
$$

---

# 5. Area expansion

對每個 chart：

$$
A_\sigma
=
\sum_j
\left[
\mathcal F_j(\theta_{j+1})
-
\mathcal F_j(\theta_j)
\right].
$$

直接抽係數：

$$
A_\sigma
=
A_0
+
\rho\Phi_1^\sigma
+
\rho^2\Psi_2^\sigma
+
O(\rho^3).
$$

---

# 6. $\Psi_2^\sigma$ is quadratic

每個：

$$
\Psi_2^\sigma
$$

由 companion generator直接重建成：

$$
\boxed{
c
+
\ell^Tx
+
\frac12x^THx,
\qquad
x=(u,v,w).
}
$$

不是 finite-$\rho$ fitting。

---

# 7. Coefficient extraction

因 function已知是 quadratic，

只需要 analytic Jet evaluator在：

$$
0,
\quad
\pm e_1,
\quad
\pm e_2,
\quad
\pm e_3,
\quad
e_1+e_2,
\quad
e_1+e_3,
\quad
e_2+e_3
$$

上的值。

例如：

$$
\ell_u
=
\frac{
q(e_1)-q(-e_1)
}{2},
$$

$$
q_{uu}
=
\frac{
q(e_1)+q(-e_1)
}{2}
-q(0),
$$

$$
q_{uv}
=
q(e_1+e_2)
-q(e_1)
-q(e_2)
+q(0).
$$

因此 coefficient generation是 finite analytic reconstruction。

---

# 8. Quadratic global minimum on a polytope

對 compact polytope：

$$
P
$$

與 quadratic：

$$
q,
$$

任一 global minimizer：

1. 在 interior stationary；
2. 或在某個 codimension-1 face的 relative interior stationary；
3. 或更低維 face。

在三維中只需枚舉最多三個 independent active constraints。

---

# 9. B01 constraints

每 chart共有：

- $u$ lower / upper；
- $v$ lower / upper；
- $w$ lower / upper；
- 三個 residual sign inequalities。

總共：

$$
9
$$

個 linear inequalities。

KKT compiler枚舉：

$$
\sum_{k=0}^3
\binom9k
=
130
$$

個 active-set patterns / chart，

再刪除 rank-deficient與 infeasible candidates。

---

# 10. Complete active-face ledger

八 charts全部執行相同程序。

companion JSON保存：

- quadratic coefficients；
- Hessian eigenvalues；
- winning active set；
- candidate point；
- sign residuals；
- direct analytic-Jet replay值。

---

# 11. Per-chart minima

結果：

$$
\boxed{
\begin{array}{c|c}
\sigma & \inf_{P_\sigma}\Psi_2^\sigma\\
\hline
(-,-,-)&0.1941331878\ldots\\
(-,-,+)&0.1771421602\ldots\\
(-,+,-)&0.1082369861\ldots\\
(-,+,+)&0.1060833695\ldots\\
(+,-,-)&0.3088556046\ldots\\
(+,-,+)&0.3438822109\ldots\\
(+,+,-)&0.2570779006\ldots\\
(+,+,+)&0.3003930106\ldots
\end{array}
}
$$

---

# 12. Global B01 second-order floor

因此：

$$
\boxed{
\inf_{\sigma}
\inf_{P_\sigma}
\Psi_2^\sigma
=
0.1060833695262153\ldots.
}
$$

---

# 13. Winning chart

winning sign tuple：

$$
\boxed{
(-,+,+).
}
$$

所以：

$$
E_T<0,
$$

$$
E_L>0,
$$

$$
E_R>0.
$$

---

# 14. Winning active face

KKT active set：

$$
\boxed{
u=6,
\qquad
v=-0.15.
}
$$

$w$不是 box boundary。

它由 face-stationarity決定。

---

# 15. Closed-form $w$

在 winning quadratic上：

$$
\partial_w\Psi_2=0.
$$

所以：

$$
\boxed{
w_\star
=
-\frac{
\ell_w
+
q_{uw}u
+
q_{vw}v
}{
2q_{ww}
}.
}
$$

代入：

$$
u=6,
\qquad
v=-0.15
$$

得到：

$$
\boxed{
w_\star
=
-0.0043290860412957563477567259\ldots.
}
$$

---

# 16. Winning value

再代入：

$$
\boxed{
\Psi_2
=
0.1060833695262153239987374696\ldots.
}
$$

---

# 17. Why this is stronger than 09D

09D處理的是：

$$
\Phi_1=0
$$

critical cone上的 second epi-derivative，

得到約：

$$
0.2255863.
$$

09J允許：

$$
\Phi_1>0
$$

的所有 neighboring charts，

因此它求的是整個 velocity box的 full chartwise second coefficient floor。

最低值自然可以比 critical-cone value低。

但它仍然：

$$
\boxed{
>0.1.
}
$$

---

# 18. Numerical finite-$\rho$ consistency

直接 exact-envelope counter-search曾在 B01高端附近找到 normalized remainder：

$$
\frac{
A-A_0-\rho\Phi_1
}{
\rho^2
}
\approx
0.1060773.
$$

與 asymptotic：

$$
0.10608337
$$

只差約：

$$
6\times10^{-6}.
$$

這表示 finite-$\rho$ correction非常小。

Status：

`NUMERICAL DIAGNOSTIC`

---

# 19. Third-order Jet

companion diagnostic擴展到：

$$
A
=
A_0
+
\rho\Phi_1
+
\rho^2\Psi_2
+
\rho^3\Psi_3
+
O(\rho^4).
$$

各 chart：

$$
\Psi_3^\sigma
$$

為 cubic polynomial。

---

# 20. Cubic diagnostic

目前 polytope counter-search觀察：

$$
\boxed{
\max
|\Psi_3|
<
0.42.
}
$$

最大 observed約：

$$
0.4135
$$

出現在：

$$
(+,-,-)
$$

chart附近。

不宣稱 theorem。

---

# 21. Deliberately broad cubic target

下一步 interval compiler只需證：

$$
\boxed{
|\Psi_3|
\le1.
}
$$

相對 observed：

$$
<0.42
$$

有超過 factor 2 margin。

---

# 22. Conservative second-order floor

雖 research KKT給：

$$
0.10608336\ldots,
$$

finite proof contract只使用：

$$
\boxed{
\Psi_2\ge0.1055.
}
$$

保留：

$$
5.8\times10^{-4}
$$

以上 coefficient slack作 arithmetic audit budget。

---

# 23. Fourth-and-higher remainder target

令：

$$
R_4
=
A
-
A_0
-
\rho\Phi_1
-
\rho^2\Psi_2
-
\rho^3\Psi_3.
$$

本文提出非常寬鬆的 acceptance：

$$
\boxed{
|R_4|
\le
250000\,\rho^4.
}
$$

---

# 24. Why $250000$ is enough

在：

$$
\rho_{\max}
=
1.4\times10^{-4},
$$

若：

$$
\Psi_2\ge0.1055,
$$

$$
|\Psi_3|\le1,
$$

$$
|R_4|\le250000\rho^4,
$$

則：

$$
\frac{
A-A_0-\rho\Phi_1
}{
\rho^2
}
\ge
0.1055
-
0.00014
-
250000(1.4\times10^{-4})^2.
$$

右側：

$$
\boxed{
0.10046.
}
$$

---

# 25. Composition with first order

Paper 09E：

$$
\Phi_1\ge0.
$$

所以：

$$
A-A_0
\ge
0.10046\rho^2.
$$

故：

$$
\boxed{
A
>
A_0+0.1\rho^2.
}
$$

---

# 26. Composition with radial closure

Paper 09I research radial cover給：

$$
A(r)\ge A(s)
$$

for all：

$$
r\ge s
$$

inside B01 local box。

因此 high-order remainder一旦 certified，

B01 parent即可 full-root close。

---

# 27. Current B01 status

```text
RADIAL DEGREE:
    RESEARCH CLOSED

FIRST-ORDER CHART ATLAS:
    ANALYTICALLY CLOSED

SECOND-ORDER 8-CHART COMPILER:
    PASS

SECOND-ORDER FULL-BOX FLOOR:
    ~0.1060833695

CONSERVATIVE FLOOR TARGET:
    0.1055

THIRD-ORDER OBSERVED MAX ABS:
    <0.42

THIRD-ORDER CERTIFICATE TARGET:
    <=1

FOURTH+ REMAINDER TARGET:
    <=250000*rho^4

FINITE-RHO B01:
    OPEN

B01 PARENT:
    PARTIAL
```

---

# 28. What was removed

Before 09J，B01 looked like：

$$
\boxed{
\text{4D adaptive finite-cover problem}.
}
$$

After 09J：

$$
\boxed{
\text{one broad uniform Taylor remainder problem}.
}
$$

---

# 29. Why this is a real compression

A 4D cover near the critical tube需要極細：

$$
\rho
$$

resolution，因 raw Hausdorff rotation bound忽略 first-order cancellation。

09J把 cancellation直接編入：

$$
\Phi_1+\rho\Psi_2.
$$

因此不再用幾何位移上界代替 area calculus。

---

# 30. Next node

下一輪應直接做：

$$
\boxed{
\textbf{LESR Paper 09K — Uniform Cubic Bound and Fourth-Order B01 Closure}.
}
$$

只需：

1. intervalize八個 cubic polynomials：
   $$
   \Psi_3^\sigma;
   $$
2. 證：
   $$
   |\Psi_3|\le1;
   $$
3. 以 fourth-order Jet / Taylor model證：
   $$
   |R_4|\le250000\rho^4;
   $$
4. compose 09E + 09I + 09J；
5. 若全部 PASS：
   $$
   \boxed{
   B01:\ PARTIAL\to CLOSED.
   }
   $$

---

# 31. 結論

Paper 09I 已移除 B01 radial freedom。

Paper 09J 再移除一個更大的 computational burden：

$$
\boxed{
\text{不需要把 B01 靠極細 4D boxes磨完。}
}
$$

因 Paper 09E 的 finite chart atlas允許直接抽出八個 chartwise quadratic forms。

完整 active-face enumeration得到：

$$
\boxed{
\Psi_2^{B01}
\ge
0.1060833695262153\ldots
>
0.1.
}
$$

所以 B01最後只剩高階小量。

而所需高階 bound極寬：

$$
|\Psi_3|\le1,
$$

$$
|R_4|\le250000\rho^4.
$$

這表示 B01已非常接近真正 finite-radius closure。

---

# Canonical Source Declaration

本檔為 `LESR-LUC-09J-v0.1` 的 UTF-8 Markdown canonical source。

數學 delimiter僅使用 `$...$` 與 `$$...$$`。

本文的 quadratic coefficients由 analytic Jet chart compiler生成；active-face/KKT enumeration目前為 research numerical certificate，publication arithmetic audit仍 open。

本文不宣稱 B01 parent已 closed，不宣稱 root-6217 positive-rotation gate已 closed，也不宣稱 global Lebesgue universal covering problem已解。

===END===