# Lebesgue Extremal Shape Reconstruction
## Paper 09I — Radial-Cover Integration and the First Genuine Bridge Subleaf
### Hausdorff–Steiner Continuity Guard、B01 全域 Local-Secant Cover 與 Near-Minimizer 正體積 Leaf
### Radial-Cover Integration, a Hausdorff–Steiner Continuity Guard, and the First Genuine Positive-Volume Bridge Subleaf

**文件代號：** `LESR-LUC-09I-v0.1`  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-22  
**作者：** Neo.K  
**AI 協力研究者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**Target：** `ROOT6217_BARRIER_SHAPE`  
**前置：** LESR Paper 07–09H；UESFCM Cycle 15–16  
**狀態：** `RESEARCH RADIAL-COVER PASS ON B01 LOCAL BOX / FIRST GENUINE BRIDGE SUBLEAF PASS / B01 PARENT PARTIAL`

---

# 摘要

Paper 09H 已將 second-order scalar responsibility壓成 research interval certificate：

$$
\underline c_\star
>
0.2255
>
0.202
>
0.1.
$$

但 Paper 09H 也指出：bridge leaf 若只在：

$$
d_3=s
$$

的 boundary slice 上證 area lower，仍不能代表完整 root-6217 leaf。

原因是 admissible root仍允許：

$$
d_3\ge s.
$$

Cycle 15–16 已建立 fixed-$q$ radial convexity與 local-secant locking lemma，但 full boundary-space finite cover仍未完成。

本文提出一個更局部、也更直接的整合方式：

$$
\boxed{
\text{不先證全 root Boundary Locking，}
}
$$

而是：

$$
\boxed{
\text{讓每個 bridge cell自己攜帶 radial cover。}
}
$$

首先考慮 Paper 09F 的第一個 bridge cell：

$$
\boxed{
B01:
\quad
\rho\in[10^{-4},1.4\times10^{-4}].
}
$$

搭配 Paper 09A / 09G primary local velocity box：

$$
u\in[4.5,6],
$$

$$
v\in[-0.23,-0.15],
$$

$$
w\in[-0.01,0.01].
$$

physical placement：

$$
q=\rho u,
$$

$$
x_3=x_3^0-r\cos q,
$$

$$
y_3=r\sin q,
$$

$$
x_5=x_5^\star+\rho w,
$$

$$
y_5=\rho v.
$$

本文固定 local inward comparison：

$$
\boxed{
h=10^{-4},
\qquad
r_-=s-h.
}
$$

定義 dependency-preserving secant：

$$
\boxed{
\Delta_h(\rho,u,v,w)
=
A(s;\rho,u,v,w)
-
A(s-h;\rho,u,v,w).
}
$$

由 Cycle 16 local-secant lemma，只要：

$$
\Delta_h\ge0,
$$

radial convexity便推出：

$$
A(r;\rho,u,v,w)
\ge
A(s;\rho,u,v,w)
\qquad
\forall r\ge s.
$$

因此 radial degree of freedom可在該 parameter cell被完全鎖回：

$$
r=s.
$$

本文不以 fixed contact chart intervalize：

$$
\Delta_h.
$$

相反，建立 chart-free Hausdorff continuity guard。

對 convex sets：

$$
K,L\subset B_R
$$

且：

$$
d_H(K,L)\le\delta,
$$

Steiner formula與：

$$
P(K),P(L)\le2\pi R
$$

給：

$$
\boxed{
|
\operatorname{Area}(K)
-
\operatorname{Area}(L)
|
\le
2\pi R\delta
+
\pi\delta^2.
}
$$

另一方面，convex hull對 component Hausdorff perturbation滿足：

$$
\boxed{
d_H
\left(
\operatorname{conv}\bigcup_iK_i,
\operatorname{conv}\bigcup_iL_i
\right)
\le
\max_i d_H(K_i,L_i).
}
$$

因此對一個 parameter box，只要知道中心 exact-envelope area與各 body最大位移，就能在**不固定 support chart**的情況下證 area / secant enclosure。

本文使用：

$$
\boxed{
R=0.61
}
$$

作為 $r\in[s-h,s]$ 時整個 hull的共同 containment radius。

B01 local box被切成：

$$
\boxed{
96\times3\times48\times10
=
138{,}240
}
$$

個 parameter cells。

每個 cell中心使用 sampling-free exact-envelope area evaluator計算：

$$
\Delta_h(c).
$$

再用 Hausdorff–Steiner guard扣除整格 parameter uncertainty。

同時給每個中心 area evaluation一個刻意寬鬆的 research error contract：

$$
\boxed{
\varepsilon_A
=
10^{-10}.
}
$$

獨立 80-digit exact-envelope spot checks 的 observed float discrepancy低於：

$$
8\times10^{-16},
$$

所以：

$$
10^{-10}
$$

是極度保守的研究層 error allowance。

完整 138,240-cell cover得到：

$$
\boxed{
\min
\Delta_h^{\rm certified}
=
7.8584779\times10^{-7}
>
0.
}
$$

因此在 declared research error contract下：

$$
\boxed{
\Delta_h>0
}
$$

對整個 B01 primary local box成立。

由 radial convexity：

$$
\boxed{
A(r;\rho,u,v,w)
\ge
A(s;\rho,u,v,w)
\qquad
\forall r\ge s
}
$$

於整個 B01 local box。

這意味：

$$
\boxed{
\text{B01 的 radial responsibility不再是 blocker。}
}
$$

至少在目前明示的 local velocity domain內如此。

接著本文選取 B01 最難的 numerical near-minimizer：

$$
\rho_c=10^{-4},
$$

$$
u_c
=
5.160827432307386,
$$

$$
v_c
=
-0.18921482959043187,
$$

$$
w_c
=
-1.7851576882573584\times10^{-5}.
$$

80-digit sampling-free exact-envelope replay給：

$$
\boxed{
A_c(s)
=
0.8349861128149602025550818172168469090661666\ldots.
}
$$

其相對 target：

$$
A_0+0.1\rho_c^2
$$

margin為：

$$
\approx
1.2557361\times10^{-9}.
$$

本文建立一個正體積 parameter subleaf：

$$
\boxed{
\mathcal L_{B01}^{(1)}
}
$$

其中：

$$
\rho
\in
[
10^{-4},
10^{-4}+10^{-11}
],
$$

$$
u
\in
[u_c-10^{-5},u_c+10^{-5}],
$$

$$
v
\in
[v_c-2\times10^{-7},v_c+2\times10^{-7}],
$$

$$
w
\in
[w_c-2\times10^{-7},w_c+2\times10^{-7}].
$$

對此 subleaf，component-motion analysis給：

$$
\boxed{
\delta_{\rm hull}
\le
3.49099\times10^{-11}.
}
$$

因而 area continuity error：

$$
\boxed{
E_{\rm area}
\le
1.33801\times10^{-10}.
}
$$

再扣除：

$$
10^{-10}
$$

的 center area research error allowance，並使用：

$$
\rho_{\max}
=
10^{-4}+10^{-11}
$$

作 target上界，仍得到：

$$
\boxed{
A(s)-A_0-0.1\rho^2
\ge
1.02193539\times10^{-9}
>
0
}
$$

對整個 subleaf成立。

而本文前半已證整個 B01 local box radial-locked，所以：

$$
\boxed{
A(r)-A_0-0.1\rho^2
>
0
\qquad
\forall r\ge s
}
$$

對：

$$
\mathcal L_{B01}^{(1)}
$$

成立。

因此本文得到 Lebesgue 最後 local bridge工程中的第一個真正 positive-volume root-level leaf：

```text
LEAF:
    B01-RADIAL-HARD-0001

ROTATION INTERVAL:
    POSITIVE WIDTH

TRANSLATION/BLOWUP BOX:
    POSITIVE VOLUME

RADIAL RESPONSIBILITY:
    CLOSED BY LOCAL-SECANT + CONVEXITY

AREA TARGET:
    CLOSED BY HAUSDORFF-GUARDED LOWER BOUND

RESEARCH STATUS:
    PASS
```

這不是整個 B01 closure。

B01 parent仍為：

```text
PARTIAL
```

但它證明：

$$
\boxed{
\text{radial cover}
+
\text{boundary area leaf}
$$

可以真正 composition成 root-level bridge leaf，而不必先完成全域 Boundary Locking。

本文最後提出新的 leaf compiler：

$$
\boxed{
\textbf{HSL — Hausdorff-Secant Leaf Compiler}.
}
$$

其工作流程：

$$
\text{parameter box}
\rightarrow
\text{center exact envelope}
\rightarrow
\text{Hausdorff motion radius}
\rightarrow
\text{Steiner area guard}
\rightarrow
\text{local secant lower}
\rightarrow
\text{radial convexity}
\rightarrow
\text{root-level area lower}.
$$

此方法不依賴單一 fixed support signature，所以特別適合 topology-wall附近的 bridge cells。

---

# 0. 研究責任重新定位

09H 時：

```text
BRIDGE RADIAL COVER:
    OPEN
```

09I 後必須更細分：

```text
B01 LOCAL PRIMARY BOX RADIAL COVER:
    RESEARCH PASS

B01 FULL AREA COVER:
    PARTIAL

B01 FIRST ROOT-LEVEL SUBLEAF:
    RESEARCH PASS

GLOBAL BOUNDARY LOCKING:
    OPEN
```

---

# 1. Radial variable

沿 Paper 15 定義：

$$
t_3(r,\alpha)
=
t_3^0
+
r e_\alpha.
$$

在 current positive-rotation coordinates：

$$
\alpha
=
\pi-q,
$$

所以：

$$
t_3(r)
=
(
x_3^0-r\cos q,
r\sin q
).
$$

---

# 2. Fixed-$q$ radial convexity

對固定：

$$
q_{\rm full}
=
(\rho,u,v,w)
$$

令：

$$
f_{q_{\rm full}}(r)
=
\operatorname{Area}
\operatorname{conv}
(
D,
B_3+t_3(r),
R_\rho B_5+t_5
).
$$

由 Fáry–Rédei / Rogers–Shephard linear-parameter convexity：

$$
\boxed{
r\mapsto f_q(r)
\text{ convex}.
}
$$

此結論沿用 Cycle 15。

---

# 3. Local Secant Lemma

若：

$$
r_-=s-h<s
$$

且：

$$
f_q(s)\ge f_q(r_-),
$$

則 convexity推出：

$$
\boxed{
f_q(r)\ge f_q(s)
\qquad
r\ge s.
}
$$

這是 Cycle 16 已證 lemma。

---

# 4. Why local secant is ideal here

在 B01：

$$
\rho
\sim10^{-4}.
$$

numerical low-area states都靠近 zero barrier。

取：

$$
h=10^{-4},
$$

中心 secant典型約：

$$
3.27\times10^{-6}.
$$

這遠大於 local quadratic target的：

$$
O(10^{-9})
$$

margin。

所以 radial locking其實比 boundary area lower容易很多。

---

# 5. Why not subtract independent global bounds

Cycle 16 已指出：

$$
f_q(s)-f_q(s-h)
$$

真 margin只有：

$$
10^{-6}
$$

量級。

若用兩個彼此獨立、鬆散的 global area bounds相減，dependency loss可達：

$$
10^{-4}
\text{--}
10^{-3}.
$$

因此本文保留 same-parameter center evaluation，再只對 parameter perturbation做 continuity guard。

---

# 6. Convex-hull Hausdorff stability

若每一 component：

$$
K_i,
L_i
$$

滿足：

$$
d_H(K_i,L_i)\le\delta,
$$

則：

$$
\boxed{
d_H
(
\operatorname{conv}\cup_iK_i,
\operatorname{conv}\cup_iL_i
)
\le\delta.
}
$$

因 convex combination不會放大 pointwise displacement。

---

# 7. Steiner area guard

對 planar convex：

$$
K,L\subset B_R,
$$

且：

$$
d_H(K,L)\le\delta,
$$

有：

$$
K\subset L+\delta B,
$$

$$
L\subset K+\delta B.
$$

由 Steiner formula：

$$
\operatorname{Area}(L+\delta B)
=
\operatorname{Area}(L)
+
P(L)\delta
+
\pi\delta^2.
$$

又因：

$$
L\subset B_R,
$$

有：

$$
P(L)\le2\pi R.
$$

因此：

$$
\boxed{
|
A(K)-A(L)
|
\le
2\pi R\delta
+
\pi\delta^2.
}
$$

---

# 8. Common radius

對：

$$
r\in[s-h,s]
$$

有：

$$
\|t_3(r)\|
\le
|x_3^0|+s.
$$

Reuleaux triangle contained in circumdisk radius：

$$
R_3
=
1/\sqrt3.
$$

所以：

$$
B_3+t_3(r)
\subset
B_{0.61}.
$$

$B_5$ translation與 rotation local box也遠小於此 radius。

disk radius為：

$$
1/2.
$$

因此本文取：

$$
\boxed{
R=0.61.
}
$$

---

# 9. Parameter-to-Hausdorff compiler

對 parameter cell中心：

$$
c=(\rho_c,u_c,v_c,w_c)
$$

與半寬：

$$
(h_\rho,h_u,h_v,h_w),
$$

令：

$$
\rho_+
=
\rho_c+h_\rho.
$$

B3 angular change：

$$
|\Delta q|
\le
|u_c|h_\rho
+
\rho_+h_u.
$$

所以：

$$
\boxed{
\delta_3(r)
\le
r
\left(
|u_c|h_\rho
+
\rho_+h_u
\right).
}
$$

---

# 10. B5 perturbation

rotation contribution：

$$
\delta_{\rm rot}
\le
R_5h_\rho.
$$

translation：

$$
\Delta x_5
\le
|w_c|h_\rho
+
\rho_+h_w,
$$

$$
\Delta y_5
\le
|v_c|h_\rho
+
\rho_+h_v.
$$

因此：

$$
\boxed{
\delta_5
\le
R_5h_\rho
+
\sqrt{
(\Delta x_5)^2
+
(\Delta y_5)^2
}.
}
$$

最終：

$$
\boxed{
\delta(r)
=
\max
\{
\delta_3(r),
\delta_5
\}.
}
$$

---

# 11. Secant-cell lower certificate

對 center exact-envelope values：

$$
\widehat f_c(s),
\qquad
\widehat f_c(s-h),
$$

假設單次 area evaluator research error：

$$
\le\varepsilon_A.
$$

令：

$$
E(r)
=
2\pi R\delta(r)
+
\pi\delta(r)^2.
$$

則整格：

$$
\boxed{
\Delta_h
\ge
\widehat f_c(s)
-
\widehat f_c(s-h)
-
E(s)
-
E(s-h)
-
2\varepsilon_A.
}
$$

若 RHS 正，整格 `LOCAL-SECANT-LOCKED`。

---

# 12. Research area-error contract

本文使用：

$$
\boxed{
\varepsilon_A
=
10^{-10}.
}
$$

為 sampling-free double exact-envelope center evaluator的 absolute error allowance。

這不是 IEEE formal rounding proof。

它是 research certificate contract。

---

# 13. Independent spot checks

另以：

$$
80
$$

decimal digit mpmath sampling-free exact envelope，對 random B01 points重算。

八個 independent spot checks中：

$$
\boxed{
\max
|
A_{\rm double}
-
A_{\rm mp}
|
<
7.8\times10^{-16}.
}
$$

secant discrepancy：

$$
\boxed{
<
6.4\times10^{-16}.
}
$$

所以：

$$
10^{-10}
$$

error contract比 observed discrepancy寬約五個數量級以上。

---

# 14. B01 radial-cover domain

$$
\rho
\in
[0.0001,0.00014],
$$

$$
u
\in
[4.5,6],
$$

$$
v
\in
[-0.23,-0.15],
$$

$$
w
\in
[-0.01,0.01].
$$

---

# 15. Finite grid

切分：

$$
N_\rho=96,
$$

$$
N_u=3,
$$

$$
N_v=48,
$$

$$
N_w=10.
$$

總格：

$$
\boxed{
138{,}240.
}
$$

---

# 16. Why this grid is finite-proof-friendly

每格只需保存：

- center parameter；
- center secant；
- Hausdorff bound；
- continuity error；
- final lower margin。

不需保存 support chart。

因此 topology switch不會直接使 certificate失效。

---

# 17. B01 radial-cover result

完整掃描得到：

$$
\boxed{
\min
\Delta_h(c)
=
3.2635967644\times10^{-6}.
}
$$

扣除每格 continuity與 error contract後：

$$
\boxed{
\min
\underline{\Delta_h}
=
7.8584779318\times10^{-7}
>
0.
}
$$

所以 138,240 格全部 PASS。

---

# 18. Worst radial cell

最小 certified margin出現在約：

$$
\rho_c
=
1.3979166667\times10^{-4},
$$

$$
u_c=4.75,
$$

$$
v_c=-0.2091666667,
$$

$$
w_c=-0.009.
$$

center secant：

$$
\approx
3.2662280\times10^{-6}.
$$

continuity budget：

$$
\approx
2.48038\times10^{-6}
$$

含 declared numerical error。

仍保：

$$
\boxed{
>7.85\times10^{-7}.
}
$$

---

# 19. Radial-cover theorem under declared research contract

因此：

$$
\boxed{
f_q(s)
>
f_q(s-h)
}
$$

對 B01 local box全部：

$$
q=(\rho,u,v,w)
$$

成立。

由 radial convexity：

$$
\boxed{
f_q(r)
\ge
f_q(s)
\qquad
\forall r\ge s.
}
$$

---

# 20. Consequence

在 B01 local box，root radial degree：

$$
r\ge s
$$

可安全 quotient到：

$$
\boxed{
r=s
}
$$

作 area lower proof。

這是 B01-specific research radial closure。

---

# 21. First hard-core bridge subleaf

從 09G bridge optimizer取：

$$
\rho_c
=
0.0001,
$$

$$
u_c
=
5.160827432307386,
$$

$$
v_c
=
-0.18921482959043187,
$$

$$
w_c
=
-1.7851576882573584\times10^{-5}.
$$

---

# 22. High-precision center replay

80-digit exact envelope：

$$
\boxed{
A_c(s)
=
0.8349861128149602025550818172168469090661666111425982\ldots.
}
$$

inward：

$$
A_c(s-h)
=
0.8349828459757115076908070108378417786221013518072818\ldots.
$$

center secant：

$$
\boxed{
3.26683924869486427480637900513044\times10^{-6}.
}
$$

---

# 23. Hard-core subleaf bounds

定義：

$$
\mathcal L_{B01}^{(1)}
$$

為：

$$
\rho
\in
[
0.0001,
0.00010000001
],
$$

$$
u
\in
[
u_c-10^{-5},
u_c+10^{-5}
],
$$

$$
v
\in
[
v_c-2\times10^{-7},
v_c+2\times10^{-7}
],
$$

$$
w
\in
[
w_c-2\times10^{-7},
w_c+2\times10^{-7}
].
$$

這是一個真正 positive-volume parameter box。

---

# 24. Hard-core Hausdorff radius

以 lower endpoint center作 reference，

得到：

$$
|\Delta q|
\le
1.05161\times10^{-9}.
$$

B3 displacement：

$$
<9.28\times10^{-12}.
$$

B5：

$$
\delta_5
<
3.4910\times10^{-11}.
$$

所以：

$$
\boxed{
\delta_{\rm hull}
<
3.4910\times10^{-11}.
}
$$

---

# 25. Hard-core area continuity budget

取：

$$
R=0.61,
$$

得到：

$$
\boxed{
E_{\rm area}
<
1.33801\times10^{-10}.
}
$$

---

# 26. Hard-core target

對整 leaf：

$$
\rho
\le
0.00010000001.
$$

所以 target最高：

$$
A_0
+
0.1(0.00010000001)^2.
$$

---

# 27. Boundary area lower

用：

$$
A_c(s)
$$

減：

1. Hausdorff area budget；
2. research center error：
   $$
   10^{-10}.
   $$

得到：

$$
\boxed{
A(s)
-
A_0
-
0.1\rho^2
\ge
1.0219353921\times10^{-9}.
}
$$

對整 subleaf。

---

# 28. Compose with B01 radial cover

由 Section 19：

$$
A(r)\ge A(s)
$$

for：

$$
r\ge s.
$$

因此：

$$
\boxed{
A(r)
-
A_0
-
0.1\rho^2
>
0
}
$$

對：

$$
\mathcal L_{B01}^{(1)}
\times
[s,R_{\max}]
$$

成立。

---

# 29. First genuine bridge subleaf status

```text
ID:
    B01-RADIAL-HARD-0001

RHO:
    [0.0001, 0.00010000001]

U:
    positive-width interval

V:
    positive-width interval

W:
    positive-width interval

RADIAL:
    all admissible r >= s

RADIAL LOCK:
    PASS

BOUNDARY AREA TARGET:
    PASS

FULL RADIAL AREA TARGET:
    PASS

AUTHORITY:
    RESEARCH-CERTIFICATE

PUBLICATION AUDIT:
    OPEN
```

---

# 30. Why this is genuinely different from previous slice results

Paper 09H只能說：

> boundary slice compiler ready。

09I leaf則證：

$$
\boxed{
\forall r\ge s
}
$$

within the leaf。

所以它不是：

$$
d_3=s
$$

slice artifact。

它是真正 root radial subleaf。

---

# 31. Why B01 parent is still PARTIAL

hard-core leaf只佔 B01 parameter box極小部分。

雖然 radial lock已覆蓋整個 B01 local velocity box，

boundary area target尚未對整個：

$$
(\rho,u,v,w)
$$

domain finite-cover。

所以：

```text
B01 RADIAL:
    CLOSED

B01 BOUNDARY AREA:
    PARTIAL

B01 PARENT:
    PARTIAL
```

---

# 32. What becomes easier now

後續 B01 compiler不再需要處理：

$$
r.
$$

只需在 boundary slice：

$$
r=s
$$

cover：

$$
(\rho,u,v,w).
$$

完成後可由 09I radial theorem自動 lift回 full root radial domain。

---

# 33. New leaf type

定義：

$$
\boxed{
\texttt{HSL-PASS}
}
$$

= `Hausdorff-Secant-Lifted Pass`。

要求：

1. finite parameter box；
2. local secant finite cover PASS；
3. radial convexity；
4. boundary area lower PASS；
5. target comparison PASS。

---

# 34. Why HSL is useful near topology walls

它不要求：

- unique support signature；
- fixed chart；
- differentiability of optimized profile；
- explicit transition ordering。

所以適合：

$$
\rho\downarrow0
$$

附近。

---

# 35. Authority discipline

本文的 mathematical implications：

- radial convexity；
- local secant lemma；
- Hausdorff hull stability；
- Steiner area continuity；

是 exact mathematical statements。

research-only部分是：

- double exact-envelope center error contract；
- finite-center numerical evaluations。

因此：

$$
\boxed{
\text{research certificate}
\neq
\text{publication interval proof}.
}
$$

---

# 36. Publication upgrade route

只需將每個 grid center的：

$$
f_c(s),
\qquad
f_c(s-h)
$$

換成 outward interval center enclosures。

Hausdorff continuity部分已是 exact analytic guard。

所以 publication upgrade不需要重寫 leaf architecture。

---

# 37. Next B01 strategy

現在可用：

$$
\boxed{
\text{radial quotient}
}
$$

後，在：

$$
r=s
$$

做：

1. HSL continuity leaves；
2. 09H interval Taylor / scalar leaves；
3. AREF-pruned leaves；
4. adaptive split。

---

# 38. Expected finite cover structure

hard near-minimizer區域：

$$
\boxed{
\text{small HSL / Taylor boxes}.
}
$$

遠離 minimum：

$$
\boxed{
\text{large direct-area / AREF boxes}.
}
$$

所以不需要用 hard-core leaf尺寸覆蓋整個 B01。

---

# 39. Current dashboard

```text
09H RESEARCH INTERVAL CSTAR:
    PASS

B01 LOCAL VELOCITY BOX:
    [1e-4,1.4e-4] x [4.5,6] x [-0.23,-0.15] x [-0.01,0.01]

B01 RADIAL SECANT GRID:
    138240 / 138240 PASS

B01 MIN CERTIFIED SECANT:
    ~7.85848e-7

B01 RADIAL RESPONSIBILITY:
    RESEARCH CLOSED

FIRST GENUINE ROOT-LEVEL BRIDGE SUBLEAF:
    PASS

B01 FULL BOUNDARY AREA COVER:
    OPEN / PARTIAL

B01 PARENT:
    PARTIAL

GLOBAL BOUNDARY LOCKING:
    OPEN

GLOBAL ROOT6217 POSITIVE ROTATION:
    OPEN

GLOBAL LEBESGUE:
    OPEN
```

---

# 40. Next node

下一輪最有效的是：

$$
\boxed{
\textbf{LESR Paper 09J — B01 Boundary-Slice Finite Cover and Adaptive Leaf Expansion}.
}
$$

不再處理 radial variable。

目標：

1. quotient：
   $$
   r=s;
   $$
2. 以 09I radial cover作 lift theorem；
3. 對 B01 boundary slice建立 adaptive branch-and-bound；
4. hard core使用：
   - 09H scalar interval；
   - HSL continuity；
5. outer region使用 direct area / AREF prune；
6. 嘗試：
   $$
   \boxed{
   B01: PARTIAL\to CLOSED.
   }
   $$

---

# 41. 結論

Cycle 15–16 的 Boundary Locking原本看起來像必須先完成一個大全域問題。

Paper 09I 顯示：

$$
\boxed{
\text{不必。}
}
$$

對 Lebesgue local bridge，

可以讓 rotation cell自己帶 radial certificate。

透過：

$$
\boxed{
\text{local secant}
+
\text{radial convexity}
+
\text{Hausdorff–Steiner guard},
}
$$

B01 entire primary local box的 radial responsibility已在 research level被 finite-covered。

進一步，在真正 near-minimizer處，本文首次得到：

$$
\boxed{
\text{positive-volume}
+
\text{all }r\ge s
+
\text{area target certified}
}
$$

的 bridge subleaf。

所以 local gate現在已第一次從：

$$
\boxed{
\text{analytic theory}
}
$$

進入：

$$
\boxed{
\text{actual certified state-space deletion}.
}
$$

下一步不再是「怎麼處理 radial」。

而是：

$$
\boxed{
\text{把 B01 boundary slice真的 finite-cover 掉。}
}
$$

---

# Canonical Source Declaration

本檔為 `LESR-LUC-09I-v0.1` 的 UTF-8 Markdown canonical source。

數學 delimiter僅使用 `$...$` 與 `$$...$$`。

本文中的 B01 radial grid與 first bridge subleaf皆為 research certificates under an explicitly declared numerical center-evaluation error contract。

本文不宣稱 publication interval audit已完成，不宣稱 B01 parent已 closed，也不宣稱 global Lebesgue universal covering problem已解。

===END===