# Lebesgue Extremal Shape Reconstruction
## Paper 09H — Outward Observable Enclosures and Bridge-Leaf Preconditions
### 以 Interval Jet 從 Canonical Support 公式重建 $A,T,C_{\rm crit},\gamma_w,c_\star$，並定位第一批 Bridge Leaf 的真正阻塞條件
### Outward Observable Enclosures from Canonical Support Formulas and the True Preconditions for the First Bridge Leaves

**文件代號：** `LESR-LUC-09H-v0.1`  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-22  
**作者：** Neo.K  
**AI 協力研究者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**Target：** `ROOT6217_BARRIER_SHAPE`  
**前置：** LESR Paper 07–09G  
**狀態：** `RESEARCH-INTERVAL OBSERVABLE PASS / CHART-AUDIT OPEN / BRIDGE LEAVES BLOCKED-BY-RADIAL-COVER`

---

# 摘要

Paper 09G 已將：

$$
A,
\qquad
T,
\qquad
C_{\rm crit}
$$

從 finite-$\rho$ extrapolation 提升為 direct analytic-coefficient generation。

本文進一步將同一 canonical generator 替換為 interval scalar arithmetic。

核心原則是：

$$
\boxed{
\text{不以高精度中心值外加人工誤差條帶，}
}
$$

而是：

$$
\boxed{
\text{從最初幾何輸入開始，以 interval operations 重新執行整條生成鏈。}
}
$$

本文使用 point intervals 表示 exact decimal inputs：

$$
x_3^0=-0.01215883209899,
$$

$$
s=0.00882,
$$

並以 interval：

- $+$；
- $-$；
- $\times$；
- $\div$；
- $\sqrt{\cdot}$；
- $\sin$；
- $\cos$；
- $\operatorname{atan2}$；

重建：

$$
\theta_\star,
\quad
\alpha_\star,
\quad
x_5^\star,
$$

再透過 interval second-order Jet：

$$
a_0+a_1\rho+a_2\rho^2
$$

直接生成：

- primary critical velocity；
- pairwise transition second coefficients；
- $A$；
- $T$；
- positive-side 18-piece $C_{\rm crit}$；
- primary 15-piece $\gamma_w$；
- $D,\lambda_S,\lambda_T$；
- $c_0$；
- $c_\star$。

重要的是，本文不再把 Paper 09B 儲存的：

$$
\gamma_w
=
0.183899639\ldots
$$

當作 interval source。

而是重新從 primary 15-piece area derivative，以：

$$
(u,v,w)=(0,0,1)
$$

抽出：

$$
\boxed{
\gamma_w
}
$$

的 interval coefficient。

research interval replay 得到極窄 enclosure：

$$
\boxed{
A
\in
[
2.72111156825759576737256826682974578998210963108992480127262415502697849956,
\,
2.72111156825759576737256826682974578998210963108992480127262415502735887431
].
}
$$

$$
\boxed{
T
\in
[
1.7871076647941088984959222161500326577104236145777847986441791961827584762,
\,
1.78710766479410889849592221615003265771042361457778479864417919618282985307
].
}
$$

$$
\boxed{
C_{\rm crit}
\in
[
0.348026447576134928992976490257461306966789034411918452311809544211046357302,
\,
0.348026447576134928992976490257461306966789034411918452311809544283437596221
].
}
$$

而 independent primary-area regeneration 給：

$$
\boxed{
\gamma_w
\in
[
0.183899639237277194446605947131179425714755349441943402026903525702278018495,
\,
0.18389963923727719444660594713117942571475534944194340202690352570391725941
].
}
$$

進而：

$$
\boxed{
c_0
\in
[
0.258433712604414310659714377623904574484645078642857416571257154945610939142,
\,
0.258433712604414310659714377623904574484645078642857416571257155018011075266
].
}
$$

以及最重要的：

$$
\boxed{
c_\star
\in
[
0.225586332330178749960633126009862760713957238274843736617952627655226865142,
\,
0.225586332330178749960633126009862760713957238274843736617952627727925512671
].
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\underline c_\star
>
0.2255
>
0.202
>
0.1.
}
$$

也就是 Paper 09D 的 broad acceptance target 被大幅通過。

本文將此狀態標記為：

```text
RESEARCH-INTERVAL OBSERVABLE CERTIFICATE: PASS
PUBLICATION BACKEND AUDIT: OPEN
```

原因不是 coefficient uncertainty，而是：

1. interval arithmetic backend 本身尚未做第二套獨立 directed-rounding implementation；
2. Paper 07 zero support signature 尚需 publication-level interval root/winner isolation；
3. positive-side 18-piece chart identity仍需 interval chart-order audit。

因此本文不把目前結果稱作最終 publication theorem。

第二部分處理 Paper 09F 的十一個 bridge cells。

09G 已證明：

```text
11/11 BRIDGE CELLS:
    COMPILER-READY
23/23 DIAGNOSTIC SAMPLES:
    ABOVE TARGET
```

但本文確認：目前不能誠實地把任何 bridge cell 升成 unconditional `PASS`。

根本原因不是 area evaluator。

而是 original root-6217 minimization仍有：

$$
d_3\ge s
$$

的 radial degree of freedom。

Cycle 15–16 已建立 radial convexity與 finite locking criterion，但：

$$
\boxed{
\text{BOUNDARY LOCKING FORMAL CLOSURE = OPEN}.
}
$$

因此只在：

$$
d_3=s
$$

上對 $(u,v,w)$ 做 interval lower bound，最多得到：

$$
\boxed{
\text{boundary-slice bridge leaf},
}
$$

不能直接代表完整 root-6217 cell。

所以 09H 對 bridge 的實質成果不是虛假的：

```text
B01 PASS
```

而是第一次把每一 leaf 的必要 dependency正式編譯為：

$$
\boxed{
\text{ROTATION}
+
\text{LOCAL TRANSLATION}
+
\text{RADIAL COVER/LOCK}
+
\text{SUPPORT CHART}
+
\text{AREA LOWER}.
}
$$

十一格全部被標成：

```text
READY_FOR_INTERVAL
BLOCKED_BY:
    RADIAL_COVER_OR_LOCK
    CHART_ORDER_AUDIT
    AREA_INTERVAL_LEAF
```

這定位了下一個真正阻塞點。

因此下一輪不應再增加 local calculus。

應直接做：

$$
\boxed{
\textbf{Paper 09I — Radial-Cover Integration and First Certified Bridge Leaves}.
}
$$

---

# 0. 研究目標

09H 有兩個問題：

1. 09G scalar compiler能不能真的變成 interval enclosure？
2. 09F bridge cells為什麼還不能正式 PASS？

第一個答案：

$$
\boxed{
\text{可以，scalar arithmetic本身已經不是 blocker。}
}
$$

第二個答案：

$$
\boxed{
\text{真正 blocker是完整 admissible domain 的 radial cover。}
}
$$

---

# 1. Research interval backend

本文使用：

```text
mpmath.iv
```

作為 research interval arithmetic backend。

重要邊界：

$$
\boxed{
\text{research interval}
\neq
\text{independently audited formal arithmetic kernel}.
}
$$

所以：

- 可以用來建立 outward-style enclosure；
- 可以用來確認 acceptance box；
- 可以用來準備 publication artifact；
- 但仍需要第二 backend / formal arithmetic audit才能升 publication authority。

---

# 2. Avoiding direct $\arccos$

interval context不依賴 inverse cosine primitive。

對：

$$
x\in[-1,1]
$$

使用：

$$
\boxed{
\arccos x
=
\operatorname{atan2}
\left(
\sqrt{1-x^2},
x
\right).
}
$$

在本問題 relevant branch：

$$
x>0
$$

時無 branch ambiguity。

---

# 3. Interval $\theta_\star$

由：

$$
c_3
=
\frac1{\sqrt3}
+
x_3^\star
$$

與：

$$
\theta_\star
=
\arccos\frac1{2c_3}
$$

直接生成 narrow interval。

不從 Paper 07 stored decimal回灌。

---

# 4. Interval $x_5^\star$

使用 triple-contact equation：

$$
h_{B_5+x_5e_x}(\theta_\star)
=
\frac12
$$

直接 interval solve explicit linear expression in：

$$
x_5.
$$

---

# 5. Interval $\alpha_\star$

$B_5$ active arc crossing equation：

$$
c_x\cos\alpha+c_y\sin\alpha
=
-\frac12
$$

可改寫為：

$$
R\cos(\alpha-\phi)
=
-\frac12.
$$

利用：

$$
\operatorname{atan2}
$$

與 branch selection，直接 interval重建第二個 root：

$$
\alpha_\star.
$$

---

# 6. Interval Jet

定義二階 truncated Jet：

$$
X(\rho)
=
X_0+X_1\rho+X_2\rho^2.
$$

對 Jet 做：

- addition；
- multiplication；
- reciprocal；
- division；
- sine；
- cosine。

每個 coefficient本身是 interval。

例如：

$$
\sin
(
a+b\rho+c\rho^2
)
$$

二階 coefficient：

$$
\boxed{
\cos(a)c
-
\frac12\sin(a)b^2.
}
$$

所有 operation以 interval arithmetic執行。

---

# 7. Interval implicit-root compiler

對：

$$
F(\theta(\rho),\rho)=0
$$

不直接對 interval symbolic derivatives求值。

而是利用 Jet coefficient對：

$$
\tau,
\eta
$$

的 affine dependence。

## First order

計算：

$$
[F_1]_{\tau=0}
$$

與：

$$
[F_1]_{\tau=1}.
$$

因此：

$$
F_1=A_1+B_1\tau.
$$

解：

$$
\boxed{
[\tau]
=
-[A_1]/[B_1].
}
$$

## Second order

固定：

$$
[\tau],
$$

再計算：

$$
[F_2]_{\eta=0},
$$

$$
[F_2]_{\eta=1}.
$$

得到：

$$
F_2=A_2+B_2\eta.
$$

解：

$$
\boxed{
[\eta]
=
-[A_2]/[B_2].
}
$$

---

# 8. Interval $A$

於：

$$
\theta_\star
$$

wall：

$$
A
=
\eta_{B_5,D}
-
\eta_{B_3,B_5}.
$$

research interval結果如摘要。

其寬度約：

$$
3.8\times10^{-67}.
$$

---

# 9. Interval $T$

於 vertical wall：

$$
T
=
\eta_{D,B_3}
-
\eta_{B_5,D}.
$$

interval寬度約：

$$
7.1\times10^{-68}.
$$

---

# 10. Interval $C_{\rm crit}$

使用 Paper 09G positive-side 18-piece chart。

每個 transition boundary表示為 interval Jet：

$$
\theta_j
=
[\theta_j^0]
+
[\tau_j]\rho
+
[\eta_j]\rho^2.
$$

每個 moving support center也是 interval Jet。

將其代入 elementary area primitive。

直接取 area Jet 的：

$$
\rho^2
$$

coefficient。

結果為摘要中的 narrow：

$$
[C_{\rm crit}].
$$

---

# 11. Interval $\gamma_w$ from scratch

Paper 09B 曾儲存：

$$
\gamma_w
=
0.18389963923727759\ldots.
$$

09H 不將此值作 interval source。

而是建立 primary 15-piece collapsed chart。

令：

$$
(u,v,w)
=
(0,0,1).
$$

對每個 primary transition用 first-order implicit-root solver生成：

$$
[\tau_j].
$$

再直接取 area Jet的：

$$
\rho
$$

coefficient。

得到：

$$
\boxed{
[\gamma_w]
}
$$

如摘要。

同一 compiler以：

$$
(u,v,w)=(1,0,0)
$$

及：

$$
(0,1,0)
$$

重播，

相應 first derivative interval都包住：

$$
0,
$$

確認 Paper 09B 的：

$$
u,v
$$

cancellation。

---

# 12. Interval zero-derived constants

由：

$$
[L_\theta],
[L_\alpha],
[\theta_\star]
$$

直接生成：

$$
[\lambda_S]
=
\frac12
[L_\alpha]
(
[L_\theta]-[L_\alpha]
),
$$

$$
[D]
=
\frac{
[L_\theta]\cos[\theta_\star]
}{
[L_\alpha]
(
[L_\theta]-[L_\alpha]
)
}.
$$

vertical：

$$
[\lambda_T]
=
\frac12
[\beta_{3T}]
(
-[\beta_{5T}]
).
$$

---

# 13. Interval $c_0$

直接：

$$
[c_0]
=
[C_{\rm crit}]
-
2[\lambda_S][A]
-
[\lambda_T][T].
$$

得到摘要 enclosure。

---

# 14. Interval $c_\star$

$$
[c_\star]
=
[c_0]
-
\frac{
[\gamma_w][A]
}{
[D]
}.
$$

得到：

$$
\boxed{
\underline c_\star
=
0.2255863323301787499606\ldots.
}
$$

---

# 15. Comparison with 09D broad box

09D acceptance只要求 roughly：

$$
c_0\ge0.24,
$$

$$
\gamma_w\le0.19,
$$

$$
A\le3,
$$

$$
D\ge15,
$$

$$
\lambda_S\ge0.0068.
$$

09H research intervals遠在其 interior。

所以：

$$
\boxed{
\text{coefficient uncertainty已不再是 proof-engineering risk。}
}
$$

---

# 16. Coefficient-level verdict

```text
A_INTERVAL:
    PASS

T_INTERVAL:
    PASS

CCRIT_INTERVAL:
    PASS

GAMMA_W_REGENERATED_INTERVAL:
    PASS

C0_INTERVAL:
    PASS

CSTAR_INTERVAL:
    PASS

CSTAR_LOWER > 0.202:
    PASS
```

---

# 17. Why not call it publication-certified?

仍有三個 authority debt：

## A. Backend debt

`mpmath.iv`尚未與第二 directed-rounding backend逐項比對。

## B. Chart debt

18-piece positive-side chart的 interval winner ordering尚未獨立 root-isolate。

## C. Zero-signature debt

Paper 07 的 13-piece support signature仍是 high-precision structural replay + finite checks，publication interval audit尚未完全 seal。

因此：

$$
\boxed{
\text{RESEARCH-INTERVAL PASS}
}
$$

是目前最準確狀態。

---

# 18. Bridge leaf的完整 domain

Paper 09F bridge只寫：

$$
\rho
$$

cells。

但 full root-6217 state還包含：

$$
d_3\ge s.
$$

因此一個真正 bridge leaf不是：

$$
I_\rho.
$$

而至少是：

$$
\boxed{
I_\rho
\times
I_{\rm radial}
\times
I_{\rm local\ translation}.
}
$$

---

# 19. Why $d_3=s$ cannot be silently assumed

Cycle 12 numerical minimizers都落在：

$$
d_3=s.
$$

Paper 07 zero-rotation KKT也支持 boundary solution。

但 Cycle 15 已發現：

$$
\boxed{
\text{global radial monotonicity is false}.
}
$$

所以不能把：

> profile optimizer看起來都在 boundary

直接升成：

$$
d_3=s
$$

的 global theorem。

---

# 20. What Cycle 15–16 did establish

它們建立：

- fixed-$q$ radial convexity；
- secant-lock criterion；
- AREF-pruned criterion；
- dependency-preserving radial compiler architecture。

但 full boundary-space finite cover仍未完成。

因此：

$$
\boxed{
\text{BOUNDARY LOCKING FORMAL CLOSURE = OPEN}.
}
$$

---

# 21. Bridge leaf dependency graph

每個 bridge leaf：

$$
B_j
$$

現在編譯為：

$$
\boxed{
B_j
=
(
R_j,
Q_j,
C_j,
A_j
).
}
$$

其中：

## $R_j$

radial responsibility：

- `RADIAL-LOCKED`；
- 或 explicit radial interval lower cover。

## $Q_j$

local translation / critical-tube responsibility。

## $C_j$

support chart / transition root ordering。

## $A_j$

area lower certificate。

---

# 22. Leaf PASS condition

只有：

$$
\boxed{
R_j=PASS
\land
Q_j=PASS
\land
C_j=PASS
\land
A_j=PASS
}
$$

才允許：

```text
BRIDGE-LEAF: PASS
```

---

# 23. Current 11-cell state

09G 已讓：

$$
Q_j
$$

與：

$$
A_j
$$

具有：

- deterministic exact-envelope evaluator；
- numerical minimizer seed；
- diagnostic margin。

但：

$$
R_j
$$

尚未 formal closed。

而：

$$
C_j
$$

仍需要 interval ordering。

因此十一格目前全部：

```text
READY_FOR_INTERVAL
BLOCKED
```

---

# 24. Why refusing a fake first PASS is progress

如果只在：

$$
d_3=s
$$

切片上證：

$$
A>A_0+0.1\rho^2,
$$

但沒有 radial theorem，

那是：

$$
\boxed{
\text{slice theorem},
}
$$

不是：

$$
\boxed{
\text{root-6217 bridge theorem}.
}
$$

09H 將兩者正式分離，避免未來 local verifier誤標全域 leaf。

---

# 25. Bridge leaf manifest

companion JSON 對每個：

$$
B01,\ldots,B11
$$

明示：

```text
rho interval
diagnostic state
radial dependency
chart dependency
area dependency
final status
```

final status全部保持：

```text
BLOCKED
```

直到 radial cover被接入。

---

# 26. First bridge leaf最短路徑

下一步不需要一次證 full boundary locking。

對：

$$
B01
$$

可以建立 local radial cover：

$$
r\in[s,r_{\max}]
$$

並用 fixed-$q$ convexity分兩種：

1. secant-locked；
2. direct area-pruned。

只要覆蓋 B01 的 local $q$ tube即可。

因此第一個 genuine bridge PASS不要求先完成所有 root6217 boundary locking。

---

# 27. This suggests a local composition strategy

不是：

$$
\boxed{
\text{先做全域 Boundary Locking，再做 11 cells}.
}
$$

而是：

$$
\boxed{
\text{每個 bridge cell攜帶自己的 radial cover}.
}
$$

如果最後 11 cells都完成，

它們本身也會對 local rotation domain形成 boundary-locking certificate。

---

# 28. Radial-coupled leaf compiler

建議每個 leaf state：

```text
rho_interval
u/v/w_or_translation_interval
radial_interval
radial_leaf_type
support_signature
transition_roots
area_lower
target_upper
margin
```

`radial_leaf_type`：

```text
SECANT_LOCKED
DIRECT_AREA_PRUNED
REFINE
```

---

# 29. Reuse Cycle 15/16 infrastructure

這正好能重用：

$$
\Delta_{r_-}(q)
=
f_q(s)-f_q(r_-)
$$

的 dependency-preserving secant思想。

不同之處是 09I 只需要處理：

$$
\rho\le0.003
$$

的 local critical tube，

不是全 root6217 parameter space。

---

# 30. Why local radial cover should be cheaper

09E 已證 first-order coercivity。

low-area candidate必須靠近：

$$
(u_\star,v_\star,0).
$$

因此 09I radial compiler只需處理一條窄 local tube。

這比 Cycle 16 面對整個 68-cell frontier更小。

---

# 31. Micro remainder remains separate

即使 09H scalar enclosure PASS，

$$
[0,10^{-4}]
$$

仍需：

$$
C_3
$$

remainder bound。

這與 bridge radial cover是不同責任。

所以 local gate目前分：

```text
MICRO:
    scalar interval PASS
    remainder OPEN

BRIDGE:
    scalar/topology compiler READY
    radial cover OPEN
    rigorous leaves 0/11

TAIL:
    existing AREF architecture
```

---

# 32. Current status

```text
CANONICAL ZERO GEOMETRY:
    INTERVAL-REGENERATED

A:
    RESEARCH-INTERVAL PASS

T:
    RESEARCH-INTERVAL PASS

CCRIT:
    RESEARCH-INTERVAL PASS

GAMMA_W:
    REGENERATED RESEARCH-INTERVAL PASS

C0:
    RESEARCH-INTERVAL PASS

CSTAR:
    RESEARCH-INTERVAL PASS

CSTAR LOWER > 0.202:
    PASS

SECOND INTERVAL BACKEND:
    OPEN

ZERO-SIGNATURE PUBLICATION AUDIT:
    OPEN

POSITIVE 18-PIECE CHART INTERVAL AUDIT:
    OPEN

MICRO REMAINDER:
    OPEN

BRIDGE COMPILER:
    READY

BRIDGE RADIAL COVER:
    OPEN

BRIDGE RIGOROUS LEAVES:
    0/11

GLOBAL LEBESGUE:
    OPEN
```

---

# 33. Next node

下一輪：

$$
\boxed{
\textbf{LESR Paper 09I — Radial-Cover Integration and First Certified Bridge Leaves}.
}
$$

目標不再碰 scalar calculus。

直接：

1. 把 Cycle15/16 radial convexity compiler嵌入 B01；
2. 建 local critical tube；
3. interval-isolate B01 support chart；
4. 生成：
   - secant-locked radial leaves；
   - direct-area leaves；
5. 嘗試得到第一個 genuine：
   $$
   \boxed{
   \texttt{BRIDGE-LEAF PASS}.
   }
   $$

若 B01 dependency過寬，

則輸出最小 split frontier。

---

# 34. 結論

09G 解決了：

> canonical observables如何有限計算？

09H 解決了：

> 它們能不能直接進 interval arithmetic？

答案是：

$$
\boxed{
\text{可以。}
}
$$

而結果不只是勉強超過：

$$
0.1.
$$

而是：

$$
\boxed{
\underline c_\star
>
0.2255.
}
$$

因此 local coefficient certificate本身已非常穩健。

真正剩下的難點移到：

$$
\boxed{
\text{domain completeness}.
}
$$

bridge leaf之所以還沒有 PASS，

不是 area coefficient不夠，

而是：

$$
\boxed{
\text{完整 root-6217 leaf必須攜帶 radial responsibility}.
}
$$

這個責任現在已經被精確定位。

所以 09I 的任務很單純：

$$
\boxed{
\text{把 radial cover接進 bridge leaf，開始真正關格子。}
}
$$

---

# Canonical Source Declaration

本檔為 `LESR-LUC-09H-v0.1` 的 UTF-8 Markdown canonical source。

數學 delimiter僅使用 `$...$` 與 `$$...$$`。

本文中的 `mpmath.iv` result標為 research interval certificate，不冒充 independently audited formal arithmetic backend。

本文不宣稱 root-6217 positive-rotation gate已 formally closed，也不宣稱 global Lebesgue universal covering theorem已解。

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