# Lebesgue Extremal Shape Reconstruction ## Paper 09G — Canonical Observable Compiler and Bridge Diagnostics ### 二階 Implicit-Root 生成器、Positive-Side Taylor Area 與十一格 Bridge 的 Sampling-Free 診斷 ### Canonical Observable Compiler, Second-Order Implicit Roots, Positive-Side Taylor Area, and Sampling-Free Bridge Diagnostics **文件代號：** `LESR-LUC-09G-v0.1` **版本：** v0.1 **日期：** 2026-09-22 **作者：** Neo.K **AI 協力研究者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol **機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司 **Target：** `ROOT6217_BARRIER_SHAPE` **前置：** LESR Paper 07–09F **狀態：** `CANONICAL OBSERVABLE COMPILER / ANALYTIC-COEFFICIENT GENERATION / BRIDGE DIAGNOSTIC / RIGOROUS INTERVAL BACKEND OPEN` --- # 摘要 Paper 09F 將 local positive-rotation proof責任壓成四個 canonical observables： $$ A, \qquad T, \qquad C_{\rm crit}, \qquad \gamma_w, $$ 並用 zero-wall constants重建： $$ c_0 $$ 與： $$ c_\star. $$ 09F 中： $$ A, \quad T, \quad C_{\rm crit} $$ 仍主要以 high-precision limit replay確認。 本文進一步將其中三個核心 quantities提升為： $$ \boxed{ \textbf{direct analytic-coefficient generation}. } $$ 也就是不再用： $$ \rho^{-2} $$ difference quotient作 canonical source。 對任何 pairwise support equality： $$ F(\theta,\rho)=0 $$ 若 zero wall與 first-order collapse已給： $$ F(\theta_0,0)=0, $$ 並有 transition expansion： $$ \theta(\rho) = \theta_0 + \tau\rho + \eta\rho^2 + O(\rho^3), $$ 則： $$ \boxed{ \tau = - \frac{F_\rho}{F_\theta}, } $$ 以及： $$ \boxed{ \eta = - \frac{ \frac12F_{\theta\theta}\tau^2 + F_{\theta\rho}\tau + \frac12F_{\rho\rho} }{ F_\theta }. } $$ 因此 side latent sliver coefficient： $$ A $$ 可以直接寫為兩個 pairwise roots 的： $$ \eta $$ 差： $$ \boxed{ A = \eta_{B_5,D} - \eta_{B_3,B_5}. } $$ vertical disk coefficient： $$ T $$ 同理： $$ \boxed{ T = \eta_{D,B_3} - \eta_{B_5,D}. } $$ 這兩個 quantities 現在不再依賴 finite-$\rho$ extrapolation。 其次，本文建立 positive-side 18-piece analytic continuation chart。其所有 transition boundaries都寫成： $$ \theta_j(\rho) = \theta_j^0 + \tau_j\rho + \eta_j\rho^2. $$ 將這些 boundary expansions代入 elementary support-area primitive： $$ \frac12 \int \left( h^2-(h')^2 \right)d\theta, $$ 再直接取： $$ \rho=0^+ $$ 的二階 coefficient，可得到： $$ \boxed{ C_{\rm crit} = 0.34802644757613492899297649025746\ldots. } $$ 在 canonical zero geometry下，同一 generator得到： $$ \boxed{ A = 2.72111156825759576737256826682975\ldots, } $$ $$ \boxed{ T = 1.78710766479410889849592221615003\ldots. } $$ 並由 zero-wall geometry： $$ \boxed{ \lambda_S = 0.00719758120146682782505809759701\ldots, } $$ $$ \boxed{ D = 15.2344397498104357971464915077511\ldots, } $$ $$ \boxed{ \lambda_T = 0.02821424417983238839382217113567\ldots. } $$ 因此： $$ \boxed{ c_0 = 0.25843371260441431065971437762390\ldots, } $$ 以及使用 Paper 09B： $$ \gamma_w = 0.18389963923727759\ldots $$ 後： $$ \boxed{ c_\star = 0.22558633233017867930854915723709\ldots. } $$ 本文同時實作一個 sampling-free exact-envelope bridge diagnostic compiler。 它在 Paper 09A primary local box： $$ u\in[4.5,6], $$ $$ v\in[-0.23,-0.15], $$ $$ w\in[-0.01,0.01] $$ 中，對 09F 的 11 個 bridge cells 的： - 左端； - geometric midpoint； - 右端； 進行 translation-local multistart diagnostic minimization，再使用 sampling-free support envelope重新計算 area。 全部 bridge sample都維持： $$ \frac{ A_{\rm search}(\rho)-A_0 }{ \rho^2 } > 0.2250, $$ 而 target只有： $$ 0.1. $$ 最低 sampled quadratic ratio出現在 bridge終點附近： $$ \boxed{ \approx0.225053. } $$ 這不是 interval lower certificate。 它只表示： $$ \boxed{ \text{11-cell bridge目前沒有數值 counter-candidate。} } $$ 所以 Paper 09G 完成的是： $$ \boxed{ \text{canonical analytic observable compiler} + \text{finite bridge diagnostic compiler}. } $$ 真正 publication-level remaining responsibility只剩： 1. 將 analytic derivative engine替換成 outward-rounded interval / Taylor arithmetic； 2. interval-isolate zero support signature； 3. 對 bridge cells生成 rigorous lower leaves； 4. micro remainder certificate。 --- # 0. Recenter Paper 09F 已不再需要新的 local calculus。 現在問題是： > 能不能讓 machine 從 canonical support formula本身重建 09F scalars？ 本文答案是： $$ \boxed{ \text{可以。} } $$ --- # 1. Canonical input 只需要： $$ x_3^0 = -0.01215883209899, $$ $$ s = 0.00882, $$ regular Reuleaux triangle， regular Reuleaux pentagon， 以及 zero-barrier contact construction。 所有 downstream quantities都由這些 input重新生成。 --- # 2. Zero geometry $$ x_3^\star = x_3^0-s. $$ 令： $$ R_3 = \frac1{\sqrt3}, $$ $$ c_3 = R_3+x_3^\star. $$ 則： $$ \boxed{ \theta_\star = \arccos \frac1{2c_3}. } $$ generator得到： $$ \theta_\star = 0.4540452162931832966751150439895469\ldots. $$ --- # 3. Zero $B_5$ placement 由 triple-contact equation直接生成： $$ x_5^\star. $$ 得到： $$ x_5^\star = 0.0197709463479475491438550793632155\ldots. $$ --- # 4. $\alpha_\star$ 在 active $B_5$ unit-radius arc上解： $$ h_{B_5}(\alpha) = \frac12. $$ 得到： $$ \alpha_\star = 0.8481803697755840850400223402764489\ldots. $$ --- # 5. Zero bridge constants 直接由 support derivative jump生成： $$ L_\theta = 0.2440269985274155481295251903003242\ldots, $$ $$ L_\alpha = 0.0998294599642212652279430328944231\ldots. $$ --- # 6. Top angular slopes generator直接由： $$ h'(\pi/2) $$ 取： $$ \boxed{ \beta_{3T} = 0.3096539666938028822545743902509787\ldots, } $$ $$ \boxed{ \beta_{5T} = -0.1822307944644007122217907854707828\ldots. } $$ --- # 7. Rotation-only support velocities 固定 translations， 對 $B_5$ rotation取： $$ \partial_\rho h_5. $$ 得到： $$ \boxed{ \gamma_T = 0.1624598481164531630779357061075672\ldots, } $$ $$ \boxed{ \gamma_L = 0.0911578345469188867362512520682356\ldots. } $$ --- # 8. Reconstruct primary critical velocity 代入 Paper 09B closed-form system， generator得到： $$ \boxed{ u_\star = 5.15712624526841370759977772707347\ldots, } $$ $$ \boxed{ v_\star = -0.189228189906640974542281369527715\ldots. } $$ 與 09B stored decimal差異只來自前一版常數截位。 --- # 9. General implicit-root second coefficient 對： $$ F(\theta(\rho),\rho) = 0, $$ 取： $$ \theta = \theta_0+\tau\rho+\eta\rho^2+\cdots. $$ 一階： $$ F_\theta\tau + F_\rho = 0. $$ 所以： $$ \tau = - F_\rho/F_\theta. $$ 二階： $$ F_\theta\eta + \frac12F_{\theta\theta}\tau^2 + F_{\theta\rho}\tau + \frac12F_{\rho\rho} = 0. $$ 故： $$ \boxed{ \eta = - \frac{ \frac12F_{\theta\theta}\tau^2 + F_{\theta\rho}\tau + \frac12F_{\rho\rho} }{ F_\theta }. } $$ --- # 10. Side wall two roots 在： $$ \theta_\star $$ 附近： $$ B_3\text{ corner }v_0 = B_5\text{ arc }v_3 $$ 與： $$ B_5\text{ arc }v_3 = D. $$ 兩者 first-order speed一致： $$ \tau = 0.08175447273339\ldots. $$ 其 second coefficients： $$ \eta_{3,5} = -0.6743992125\ldots, $$ $$ \eta_{5,D} = 2.0467123556\ldots. $$ 所以： $$ \boxed{ A = \eta_{5,D} - \eta_{3,5} = 2.7211115682575957\ldots. } $$ --- # 11. Vertical wall two roots 在： $$ \pi/2 $$ 附近： $$ B_5\text{ corner }v_1 = D, $$ 以及： $$ D = B_3\text{ arc }v_2. $$ first-order speed： $$ \tau_T = -0.146892526418836\ldots. $$ 二階： $$ \eta_{5,D}^{T} = -1.8045282508\ldots, $$ $$ \eta_{D,3}^{T} = -0.0174205860\ldots. $$ 故： $$ \boxed{ T = 1.7871076647941089\ldots. } $$ --- # 12. Why this is stronger than finite-$\rho$ fitting 以前： $$ A \approx \frac{\Delta\theta}{\rho^2} $$ 需要： $$ \rho \to0 $$ 數值 extrapolation。 現在： $$ A $$ 本身就是 local support derivatives的代數函數。 所以 local interval backend只需 interval automatic differentiation。 --- # 13. Positive-side 18-piece chart exact primary critical path對 sufficiently small： $$ \rho>0 $$ 具有 18 open intervals。 其 collapsed / moving boundaries在： $$ \rho=0 $$ 都有： $$ (\theta_j^0,\tau_j,\eta_j). $$ 所有 $\eta_j$ 都可用上一節 formula直接生成。 --- # 14. Area primitive 每個 support piece： $$ h = c_x\cos\theta+c_y\sin\theta+r. $$ 其 area primitive： $$ \boxed{ \mathcal F(\theta) = \frac12 \left[ \frac{c_x^2-c_y^2}{2}\sin2\theta - c_xc_y\cos2\theta + 2rc_x\sin\theta - 2rc_y\cos\theta + r^2\theta \right]. } $$ --- # 15. $C_{\rm crit}$ without area differencing 對 18 pieces逐一代入： $$ \theta_j = \theta_j^0+\tau_j\rho+\eta_j\rho^2. $$ 並將 moving centers： $$ c_j(\rho) $$ 一起展開。 直接取： $$ \rho^2 $$ coefficient。 得到： $$ \boxed{ C_{\rm crit} = 0.3480264475761349289929764902574613\ldots. } $$ 所以不需要： $$ \frac{ A(\rho)-A_0 }{ \rho^2 } $$ 的 cancellation-prone floating subtraction作 canonical computation。 --- # 16. Zero-derived second-order constants 由 09E exact identities： $$ \boxed{ \lambda_S = \frac12 L_\alpha ( L_\theta-L_\alpha ), } $$ 得到： $$ \lambda_S = 0.00719758120146682782505809759701020\ldots. $$ --- # 17. $D$ $$ \boxed{ D = \frac{ L_\theta\cos\theta_\star }{ L_\alpha ( L_\theta-L_\alpha ) }. } $$ 得到： $$ D = 15.2344397498104357971464915077511\ldots. $$ --- # 18. $\lambda_T$ $$ \boxed{ \lambda_T = \frac12 \beta_{3T} ( -\beta_{5T} ). } $$ 得到： $$ \lambda_T = 0.0282142441798323883938221711356702\ldots. $$ --- # 19. Reconstructed $c_0$ $$ c_0 = C_{\rm crit} - 2\lambda_SA - \lambda_TT. $$ 得到： $$ \boxed{ c_0 = 0.258433712604414310659714377623905\ldots. } $$ --- # 20. Reconstructed $c_\star$ 使用 Paper 09B： $$ \gamma_w = 0.18389963923727759\ldots $$ 有： $$ c_\star = c_0 - \frac{ \gamma_wA }{ D }. $$ 得到： $$ \boxed{ c_\star = 0.2255863323301786793\ldots. } $$ --- # 21. Independent $\gamma_w$ diagnostic route companion generator另外提供一條不直接信任 stored $\gamma_w$ 的診斷路線。 在： $$ (u,v) = (u_\star,v_\star) $$ 上施加固定： $$ w_c>0. $$ 09E full first-epi formula給： $$ \Phi_1 = (\gamma_w+K)w_c. $$ 所以： $$ \boxed{ \gamma_w = \frac{\Phi_1}{w_c} - K. } $$ exact-envelope finite-$\rho$ replay後做 quadratic extrapolation， 以： $$ w_c=0.005 $$ 得到： $$ \gamma_w = 0.1838996392372777\ldots, $$ 與 Paper 09B一致。 Status： `INDEPENDENT HIGH-PRECISION DIAGNOSTIC` --- # 22. What has actually become interval-ready? 以下 quantities現在都有 finite analytic expression： $$ \theta_\star, \alpha_\star, L_\theta,L_\alpha, \beta_{3T},\beta_{5T}, \gamma_T,\gamma_L, u_\star,v_\star, A,T,C_{\rm crit}, D,\lambda_S,\lambda_T. $$ 因此： $$ \boxed{ \text{outward-rounded interval arithmetic can replace every scalar float operation}. } $$ 沒有哪一個 canonical scalar必須依賴 numerical optimizer。 --- # 23. What is not yet publication interval-certified? 本篇 runtime使用 arbitrary-precision `mpmath`。 它驗證： - analytic reconstruction； - cross-precision stability； - exact-envelope consistency。 但本文不把： $$ \boxed{ \texttt{mpmath high precision} } $$ 稱作 publication outward-rounded interval certificate。 因此： ```text CANONICAL GENERATOR = COMPLETE RIGOROUS INTERVAL BACKEND = OPEN ``` --- # 24. Bridge diagnostic compiler 09F 定義十一格： $$ [10^{-4},0.003]. $$ 本文實作 sampling-free exact-envelope objective。 每個 fixed： $$ \rho $$ 在 primary local box中搜尋： $$ u\in[4.5,6], $$ $$ v\in[-0.23,-0.15], $$ $$ w\in[-0.01,0.01]. $$ physical placement： $$ q=\rho u, $$ $$ x_3=x_3^0-s\cos q, $$ $$ y_3=s\sin q, $$ $$ x_5=x_5^\star+\rho w, $$ $$ y_5=\rho v. $$ --- # 25. No angular sampling 對每個 placement， compiler： 1. 列 body intrinsic support-piece boundaries； 2. 在每個 fixed-piece interval解析求全部 pairwise support roots； 3. 以 midpoint決定 exact upper-envelope winner； 4. 用 analytic primitive積分 area。 因此沒有 coarse-angle false minimum問題。 --- # 26. Bridge diagnostic sampling 每個 bridge cell： $$ [a_j,b_j] $$ 檢查： - $a_j$； - $\sqrt{a_jb_j}$； - $b_j$。 相鄰 endpoints共享，所以總共： $$ \boxed{ 23 } $$ 個 distinct rotation samples。 --- # 27. Diagnostic optimization 每個 sample使用： - asymptotic critical path作 initial seed； - local derivative-free minimization； - local primary velocity box。 這只是 counter-search。 不是 interval global lower bound。 --- # 28. Diagnostic result 全部 23 個 samples： $$ \boxed{ A_{\rm search}(\rho) > A_0+0.1\rho^2. } $$ 最低 observed quadratic ratio約： $$ \boxed{ 0.22505295 } $$ 於： $$ \rho=0.003. $$ --- # 29. Compare target 所以 sampled minimum relative target： $$ 0.22505295-0.1 = \boxed{ 0.12505295. } $$ 此數值與 local asymptotic： $$ c_\star = 0.22558633\ldots $$ 連續一致。 --- # 30. Bridge center trajectory optimized diagnostics顯示： $$ u(\rho) $$ 從： $$ 5.1608\ldots $$ 逐步增加到： $$ 5.2683\ldots, $$ $$ v(\rho) $$ 保持約： $$ -0.1892\to-0.18882, $$ 而： $$ w(\rho) $$ 保持小量負值。 沒有跳離 Paper 09A primary local box。 --- # 31. No bridge counter-candidate found 因此 bridge numerical status： ```text 23/23 DIAGNOSTIC SAMPLE POINTS: ABOVE LOCAL TARGET LOWEST QUADRATIC RATIO: ~0.225053 NEW CONTACT COUNTER-CANDIDATE: NONE OBSERVED ``` 這不等於： ```text 11/11 CERTIFIED ``` --- # 32. Why the diagnostic is still useful 因為如果某一格已有： $$ A_{\rm search} < A_0+0.1\rho^2, $$ 就應立即停止 certificate工程並重新 center。 目前沒有。 所以繼續 intervalization是合理路線。 --- # 33. Existing tail artifacts do not replace bridge Cycle 14–16 的 finite certificates主要處理： - high-rotation； - tight $A_{\rm ref}$； - boundary locking。 它們沒有提供： $$ [10^{-4},0.003] $$ 完整 rigorous local lower cover。 因此 09F 的 bridge責任仍然是真實新義務。 --- # 34. Boundary locking remains a dependency bridge compiler目前在： $$ d_3=s $$ boundary parameterization上運作。 Cycle 15–16 已證 radial convexity與 finite locking criterion，但 full boundary-locking certificate仍 open。 因此 bridge theorem最終需要二選一： 1. boundary locking在 bridge domain正式 PASS； 2. bridge leaf本身保留 radial interval並直接 lower-bound exterior tube。 --- # 35. Recommended compiler integration 最終 bridge leaf schema應包含： ```text rho_interval alpha3_or_u_interval x5_or_w_interval y5_or_v_interval radial_interval_or_lock_certificate support_chart_id transition_root_intervals area_lower target_upper margin backend hash ``` --- # 36. Interval backend substitution point canonical generator已將每個核心 operation限制到： - $+$； - $-$； - $\times$； - $\div$； - $\sin$； - $\cos$； - $\arccos$； - $\operatorname{atan2}$； - finite max / chart split； - analytic area primitive。 所以 outward-rounded backend可以直接替換 scalar type。 --- # 37. No optimizer inside proof core publication compiler不應把： ```text scipy.optimize ``` 放入 proof authority。 optimizer只負責： $$ \boxed{ \text{find difficult candidate cells}. } $$ 真正 certificate仍是： $$ \boxed{ \text{interval cover + lower leaves}. } $$ --- # 38. Observable interval target 下一步 local backend應輸出： $$ [A], [T], [C_{\rm crit}], [\gamma_w]. $$ 再由 verifier重建： $$ [c_0], [c_\star]. $$ 只要： $$ \boxed{ \underline c_\star>0.202 } $$ 其實即可直接滿足 09D broad acceptance。 若只證： $$ \underline c_\star>0.1, $$ 也足夠 local asymptotic theorem，但 remainder budget較小。 --- # 39. Why $0.202$ remains a useful engineering threshold 09D 已證明 broad coefficient acceptance box能推出： $$ 0.202. $$ 09G center： $$ 0.2255863. $$ 所以容許約： $$ 0.0236 $$ 的 absolute coefficient enclosure loss。 這對 interval arithmetic非常寬。 --- # 40. Micro remainder status 09F micro gate只需要： $$ C_3\le1000 $$ on： $$ [0,10^{-4}]. $$ 09G 尚未將 third derivatives做 interval closure。 但 analytic chart compiler已存在， 所以可直接對 positive-side piece formula做 Taylor-model automatic differentiation。 --- # 41. Bridge cell status 目前： $$ \boxed{ 0/11 } $$ rigorous certified。 同時： $$ \boxed{ 11/11 } $$ cells已具有： - deterministic bounds； - diagnostic samples； - candidate minimizer seed； - exact-envelope evaluator。 所以它們已是： $$ \boxed{ \texttt{INTERVAL-COMPILER-READY}. } $$ --- # 42. Current local proof dashboard ```text ZERO GEOMETRY GENERATOR: PASS PRIMARY CRITICAL VELOCITY GENERATOR: PASS A ANALYTIC COEFFICIENT GENERATOR: PASS T ANALYTIC COEFFICIENT GENERATOR: PASS CCRIT POSITIVE-CHART TAYLOR GENERATOR: PASS GAMMA_W INDEPENDENT DIAGNOSTIC: PASS CSTAR RECONSTRUCTION: PASS DIAGNOSTIC CSTAR: ~0.22558633233 BRIDGE EXACT-ENVELOPE SEARCH: 23/23 ABOVE TARGET BRIDGE CELLS COMPILER-READY: 11/11 BRIDGE CELLS RIGOROUSLY CERTIFIED: 0/11 OUTWARD-ROUNDED OBSERVABLE INTERVALS: OPEN MICRO THIRD-ORDER REMAINDER: OPEN BOUNDARY-LOCKING COMPOSITION: OPEN GLOBAL LEBESGUE: OPEN ``` --- # 43. Next node 下一個節點應改名為： $$ \boxed{ \textbf{LESR Paper 09H — Outward-Rounded Observable Enclosures and First Bridge Leaves}. } $$ 因為 analytic generation已經完成。 09H 不應再推導新的 formulas。 應直接： 1. 接 outward-rounded interval backend； 2. intervalize zero constants； 3. intervalize $A,T,C_{\rm crit},\gamma_w$； 4. instantiate $c_\star$； 5. cert第一批 bridge leaves； 6. 若某 cell interval dependency過寬，再局部 split。 --- # 44. 結論 Paper 09G 將 09F 的 canonical observables從： $$ \boxed{ \text{limit definitions} } $$ 提升為： $$ \boxed{ \text{finite analytic derivative computation}. } $$ side scalar： $$ A $$ 與 vertical scalar： $$ T $$ 直接由 pairwise support equality的二階 implicit derivative得到。 full critical-path scalar： $$ C_{\rm crit} $$ 由 positive-side 18-piece support chart與 elementary area primitive直接取二階 coefficient。 因此： $$ \boxed{ c_\star = 0.2255863323301786793\ldots } $$ 現在有完整 canonical computational provenance。 bridge方面， 23-point sampling-free counter-search沒有找到： $$ A