# Lebesgue Extremal Shape Reconstruction
## Paper 09F — Canonical Scalar Generation and the Micro-to-Finite Bridge
### 從 Exact Envelope Observable 到 $c_\star$，以及 $10^{-4}\to0.003$ 的十一格有限橋接
### Canonical Scalar Generation from Exact-Envelope Observables and an Eleven-Cell Micro-to-Finite Bridge

**文件代號：** `LESR-LUC-09F-v0.1`  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-22  
**作者：** Neo.K  
**AI 協力研究者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**Target：** `ROOT6217_BARRIER_SHAPE`  
**前置：** LESR Paper 07–09E；BCODR-LUC-07  
**狀態：** `CANONICAL SECOND-ORDER SCALAR REDUCTION / MICRO-RADIUS BUDGET / FINITE BRIDGE PLAN`

---

# 摘要

Paper 09E 已將 root-6217 local positive-rotation barrier 的一階 neighboring-chart 問題壓成：

$$
\boxed{
\Phi_1
=
\gamma_w w
+
\frac12
\left(
|E_T|+|E_L|+|E_R|
\right),
}
$$

並以：

$$
K>\gamma_w
$$

及 $(u,v)$ residual matrix 非退化，解析地隔離唯一 first-order critical velocity：

$$
\boxed{
(u_\star,v_\star,w_\star)
=
(
5.157126245268359,
-0.18922818990664067,
0
).
}
$$

Paper 09D 則將二階問題壓成 scalar lower bound：

$$
\boxed{
\Phi_2
\ge
c_0
-
\frac{\gamma_w A}{D},
}
$$

並設計寬鬆 acceptance box，使 coefficient-level lower bound 保守到：

$$
\boxed{
\Phi_2\ge0.202.
}
$$

本文的第一個目標，是進一步回答：

> $c_0$ 與 $A$ 應該如何從 canonical geometry 產生，而不是作為 fitting constants 存在？

答案是：不需要建立一個人工「primary 15-piece area」作唯一來源。

在 exact primary critical path：

$$
q=\rho u_\star,
$$

$$
y_5=\rho v_\star,
$$

$$
x_5=x_5^\star,
$$

sampling-free exact support envelope 會自然產生三類 $O(\rho^2)$ observable：

1. side $B_5$ sliver coefficient：
   $$
   A;
   $$
2. vertical disk sliver coefficient：
   $$
   T;
   $$
3. full exact-envelope quadratic coefficient：
   $$
   C_{\rm crit}.
   $$

定義：

$$
\boxed{
A
=
\lim_{\rho\downarrow0}
\frac{
\Theta_{B_5D}(\rho)
-
\Theta_{3B_5}(\rho)
}{
\rho^2
},
}
$$

其中兩個 $\Theta$ 是 $\theta_\star$ latent triple wall 附近的 sampling-free pairwise transition roots。

再定義：

$$
\boxed{
T
=
\lim_{\rho\downarrow0}
\frac{
\Theta_{D3}(\rho)
-
\Theta_{5D}(\rho)
}{
\rho^2
}
}
$$

於 vertical wall。

以及：

$$
\boxed{
C_{\rm crit}
=
\lim_{\rho\downarrow0}
\frac{
A_{\rm env}(\rho;u_\star,v_\star,0)-A_0
}{
\rho^2
}.
}
$$

由 Paper 09E 的 mirror-pair structure，在 exact primary path：

$$
\boxed{
C_{\rm crit}
=
c_0
+
2\lambda_S A
+
\lambda_T T.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
c_0
=
C_{\rm crit}
-
2\lambda_S A
-
\lambda_T T.
}
$$

這使 $c_0$ 變成 exact-envelope observable 的代數重建量，而不是內部 fitting 參數。

同時，Paper 09E 已解析得到：

$$
\boxed{
\lambda_S
=
\frac12
L_\alpha
(
L_\theta-L_\alpha
),
}
$$

$$
\boxed{
D
=
\frac{
L_\theta\cos\theta_\star
}{
L_\alpha
(
L_\theta-L_\alpha
)
},
}
$$

$$
\boxed{
\lambda_T
=
\frac12
\beta_{3T}
(
-\beta_{5T}
).
}
$$

所以 09D lower scalar 可寫成 canonical form：

$$
\boxed{
c_\star
=
C_{\rm crit}
-
2\lambda_S A
-
\lambda_T T
-
\frac{\gamma_w A}{D}.
}
$$

高精度 sampling-free replay 給出 diagnostic centers：

$$
A
\approx
2.72111159,
$$

$$
T
\approx
1.78710766,
$$

$$
C_{\rm crit}
\approx
0.348026448,
$$

從而：

$$
c_0
\approx
0.258433712,
$$

以及：

$$
\boxed{
c_\star
\approx
0.225586332.
}
$$

這與 Paper 09C/09D 的 second-order minimization一致。

本文第二個目標，是重新設計 finite-radius proof，不讓一個 Taylor remainder 從 $\rho=0$ 硬撐到：

$$
0.003.
$$

選 micro radius：

$$
\boxed{
\rho_\mu
=
10^{-4}.
}
$$

若使用 09D robust coefficient lower：

$$
L_2=0.202,
$$

則只需要：

$$
|R_3(\rho)|
\le
C_3\rho^3
$$

且：

$$
C_3
\le
\frac{
0.202-0.1
}{
10^{-4}
}
=
1020
$$

就能保證：

$$
A(\rho)
\ge
A_0+0.1\rho^2
$$

對：

$$
0\le\rho\le10^{-4}.
$$

本文採更整齊的：

$$
\boxed{
C_3\le1000.
}
$$

此時 micro gate仍有：

$$
\boxed{
0.002\rho^2
}
$$

的 safety margin。

之後：

$$
[10^{-4},0.003]
$$

不再使用單一 Taylor theorem，而改用 sampling-free exact-envelope finite interval bridge。

以 geometric ratio：

$$
r=1.4
$$

切成十一格：

$$
10^{-4}
\rightarrow
1.4\times10^{-4}
\rightarrow
\cdots
\rightarrow
0.003.
$$

選 $1.4$ 不是任意的。因：

$$
0.1(1.4)^2
=
0.196
<
0.202.
$$

因此每格若以左端 quadratic scale 作 lower reference，仍保留：

$$
\boxed{
0.006
}
$$

的 coefficient margin。

這使 local proof architecture從：

$$
\boxed{
\text{one difficult Taylor bound on }[0,0.003]
}
$$

改成：

$$
\boxed{
\text{very small micro Taylor gate}
+
11\text{ finite exact-envelope cells}.
}
$$

Cycle-12 numerical rotation profile在：

$$
\rho\approx
0.00101,
\quad
0.00201,
\quad
0.00302
$$

的 sampled minima全部高於：

$$
A_0+0.1\rho^2
$$

所需量級，且 Cycle 14 所觀察到的下一個明顯 contact degeneracy約在：

$$
\rho\approx0.0141,
$$

遠高於 local bridge終點。

這些只作 bridge feasibility diagnostic，不作 lower proof。

因此 Paper 09F 將 local gate 再壓成：

$$
\boxed{
\text{canonical observable scalar certificate}
+
\text{micro Taylor acceptance}
+
\text{11-cell finite bridge}.
}
$$

---

# 0. Recenter

Paper 09E 之後，local barrier 不再缺：

- first-order topology formula；
- neighboring chart enumeration；
- second-order topology pattern；
- second-order scalar lower architecture。

剩下主要是：

1. canonical scalar production；
2. interval instantiation；
3. finite-radius realization。

---

# 1. Canonical zero state

Paper 07 給：

$$
A_0
=
0.8349861105592240998506623565577005921\ldots
$$

以及：

$$
\theta_\star
=
0.4540452162931832966751150439895469\ldots,
$$

$$
x_5^\star
=
0.0197709463479475491438550793632155\ldots.
$$

這些定義 exact critical geometry。

---

# 2. Exact primary critical path

固定：

$$
u=u_\star,
$$

$$
v=v_\star,
$$

$$
w=0.
$$

physical variables：

$$
q(\rho)
=
\rho u_\star,
$$

$$
y_5(\rho)
=
\rho v_\star,
$$

$$
x_5(\rho)
=
x_5^\star.
$$

$B_3$ center：

$$
x_3(\rho)
=
x_3^0
-
s\cos(\rho u_\star),
$$

$$
y_3(\rho)
=
s\sin(\rho u_\star).
$$

---

# 3. Sampling-free transition roots

每一個 support piece都具有：

$$
h(\theta)
=
c_x\cos\theta
+
c_y\sin\theta
+
r.
$$

任意兩 pieces 的 equality為：

$$
a\cos\theta
+
b\sin\theta
+
c
=
0.
$$

因此 transition root可以由：

$$
\operatorname{atan2},
\qquad
\arccos
$$

顯式重建。

所以：

$$
\boxed{
\text{no angular pixel/sample grid is required}.
}
$$

---

# 4. Canonical side scalar $A$

在：

$$
\theta_\star
$$

latent wall，positive-$\rho$ exact envelope中有：

$$
B_3
\rightarrow
B_5
\rightarrow
D.
$$

令：

$$
\Theta_{3,5}(\rho)
$$

為 $B_3$–$B_5$ transition root，

$$
\Theta_{5,D}(\rho)
$$

為 $B_5$–disk transition root。

由 first-order collapse：

$$
\Theta_{5,D}
-
\Theta_{3,5}
=
O(\rho^2).
$$

定義：

$$
\boxed{
A
=
\lim_{\rho\downarrow0}
\frac{
\Theta_{5,D}(\rho)
-
\Theta_{3,5}(\rho)
}{
\rho^2
}.
}
$$

---

# 5. Canonical vertical scalar $T$

在：

$$
\pi/2
$$

wall，

令：

$$
\Theta_{5,D}^{T}(\rho)
$$

與：

$$
\Theta_{D,3}^{T}(\rho)
$$

為兩側 roots。

定義：

$$
\boxed{
T
=
\lim_{\rho\downarrow0}
\frac{
\Theta_{D,3}^{T}(\rho)
-
\Theta_{5,D}^{T}(\rho)
}{
\rho^2
}.
}
$$

---

# 6. Canonical full quadratic scalar $C_{\rm crit}$

令：

$$
A_{\rm env}(\rho)
$$

為 exact support envelope area。

定義：

$$
\boxed{
C_{\rm crit}
=
\lim_{\rho\downarrow0}
\frac{
A_{\rm env}(\rho)
-
A_0
}{
\rho^2
}.
}
$$

它包含 exact-primary path上全部 second-scale sliver contribution。

---

# 7. Why this is preferable to defining $c_0$ directly

$c_0$ 原本代表：

> suppress secondary latent pieces後的 primary 15-piece second coefficient。

這是有效 proof variable，但不是最自然 observable。

相反：

$$
A,
\quad
T,
\quad
C_{\rm crit}
$$

都可以直接從 full exact envelope重建。

因此 publication pipeline可先 interval-certify observables，

再代數重建：

$$
c_0.
$$

---

# 8. Exact sliver coefficients from zero geometry

Paper 09E 得：

$$
\boxed{
\lambda_S
=
\frac12D_S,
}
$$

其中：

$$
D_S
=
L_\alpha
(
L_\theta-L_\alpha
).
$$

因此：

$$
\boxed{
\lambda_S
=
\frac12
L_\alpha
(
L_\theta-L_\alpha
).
}
$$

---

# 9. Exact horizontal sensitivity

定義：

$$
K
=
L_\theta\cos\theta_\star.
$$

Paper 09E 的 side affine width對：

$$
w_2
$$

的 coefficient為：

$$
\boxed{
D
=
\frac{K}{D_S}.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
D
=
\frac{
L_\theta\cos\theta_\star
}{
L_\alpha
(
L_\theta-L_\alpha
)
}.
}
$$

---

# 10. Exact vertical area coefficient

令：

$$
D_T
=
\beta_{3T}
(
-\beta_{5T}
).
$$

則：

$$
\boxed{
\lambda_T
=
D_T/2.
}
$$

---

# 11. Observable reconstruction of $c_0$

exact primary path有：

- two paired side slivers，各 second-scale width $A$；
- one member of vertical pair，width $T$。

所以：

$$
\boxed{
C_{\rm crit}
=
c_0
+
2\lambda_SA
+
\lambda_TT.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
c_0
=
C_{\rm crit}
-
2\lambda_SA
-
\lambda_TT.
}
$$

---

# 12. Canonical reduced second-order scalar

Paper 09D lower：

$$
c_\star
=
c_0
-
\frac{
\gamma_wA
}{
D
}.
$$

代入 observable reconstruction：

$$
\boxed{
c_\star
=
C_{\rm crit}
-
2\lambda_SA
-
\lambda_TT
-
\frac{
\gamma_wA
}{
D
}.
}
$$

這是 Paper 09F 的主要 scalar formula。

---

# 13. High-precision diagnostic replay

sampling-free exact-envelope sequence：

$$
\rho=
10^{-5},
5\times10^{-6},
2\times10^{-6},
10^{-6},
\ldots
$$

顯示：

$$
\frac{
\Theta_{5,D}
-
\Theta_{3,5}
}{
\rho^2
}
\rightarrow
2.72111159\ldots
$$

所以：

$$
\boxed{
A
\approx
2.72111159.
}
$$

---

# 14. Vertical diagnostic

同一 sequence：

$$
\frac{
\Theta_{D,3}^{T}
-
\Theta_{5,D}^{T}
}{
\rho^2
}
\rightarrow
1.78710766\ldots
$$

所以：

$$
\boxed{
T
\approx
1.78710766.
}
$$

---

# 15. Full critical-path diagnostic

exact-envelope area給：

$$
\frac{
A_{\rm env}(\rho)-A_0
}{
\rho^2
}
\rightarrow
0.348026448\ldots
$$

所以：

$$
\boxed{
C_{\rm crit}
\approx
0.348026448.
}
$$

---

# 16. Derived zero-wall coefficients

使用 Paper 07 / 09B constants：

$$
L_\theta
\approx
0.24402699852741569,
$$

$$
L_\alpha
\approx
0.09982945996422124,
$$

得到：

$$
\boxed{
\lambda_S
\approx
0.007197581201466834.
}
$$

以及：

$$
\boxed{
D
\approx
15.2344397498.
}
$$

vertical：

$$
\boxed{
\lambda_T
\approx
0.0282142441798324.
}
$$

---

# 17. Diagnostic $c_0$

由：

$$
c_0
=
C_{\rm crit}
-
2\lambda_SA
-
\lambda_TT
$$

得到：

$$
\boxed{
c_0
\approx
0.2584337123.
}
$$

---

# 18. Diagnostic $c_\star$

取：

$$
\gamma_w
=
0.1838996392372776,
$$

則：

$$
\boxed{
c_\star
\approx
0.225586332.
}
$$

這與：

- Paper 09C LP；
- Paper 09D scalar lower；
- finite-$\rho$ optimized replay；

一致。

Status：

`HIGH-PRECISION CANONICAL REPLAY / NOT RIGOROUS INTERVAL`

---

# 19. Diagnostic replay bands

為方便 independent runtime比對，本文只保存寬鬆 diagnostic bands：

$$
\boxed{
A
\in
[2.72110,2.72113]
}
$$

$$
\boxed{
T
\in
[1.78709,1.78713]
}
$$

$$
\boxed{
C_{\rm crit}
\in
[0.34802,0.34804]
}
$$

$$
\boxed{
c_0
\in
[0.25840,0.25847]
}
$$

$$
\boxed{
\gamma_w
\in
[0.18389,0.18391].
}
$$

這些不是 interval theorem。

它們是：

$$
\boxed{
\text{cross-backend diagnostic acceptance bands}.
}
$$

---

# 20. Why the broad 09D box remains useful

09D只要求：

$$
c_0\ge0.24,
$$

$$
\gamma_w\le0.19,
$$

$$
A\le3,
$$

$$
D\ge15.
$$

canonical replay center距離這些 boundary都很遠。

所以 local interval runtime不需追求數十位 tight enclosure。

---

# 21. Micro radius recenter

原 09D 想直接以：

$$
|R_3|\le30\rho^3
$$

覆蓋：

$$
0\le\rho\le0.003.
$$

這其實沒有必要。

定義：

$$
\boxed{
\rho_\mu
=
10^{-4}.
}
$$

只在：

$$
[0,\rho_\mu]
$$

使用 Taylor / epi expansion。

---

# 22. Micro remainder budget

若：

$$
\Phi_2\ge0.202
$$

且：

$$
|R_3(\rho)|
\le
C_3\rho^3,
$$

則：

$$
A-A_0
\ge
\rho^2
(
0.202-C_3\rho
).
$$

要保：

$$
0.1\rho^2,
$$

只需：

$$
C_3\rho_\mu
\le0.102.
$$

所以：

$$
C_3
\le
1020.
$$

---

# 23. Chosen micro acceptance

本文取：

$$
\boxed{
C_3\le1000.
}
$$

則在：

$$
\rho\le10^{-4}
$$

有：

$$
0.202-1000\rho
\ge
0.102.
$$

因此：

$$
\boxed{
A(\rho)
\ge
A_0
+
0.102\rho^2
>
A_0
+
0.1\rho^2.
}
$$

---

# 24. Why this is a major simplification

09D 的：

$$
C_3\le30
$$

若要撐到：

$$
0.003
$$

已經很寬鬆。

09F 改成 micro radius後：

$$
C_3\le1000
$$

也足夠。

因此 Taylor-model / interval AD 只需要提供非常粗的：

$$
\boxed{
\text{finite third-order dominance}.
}
$$

---

# 25. Finite bridge domain

剩下：

$$
\boxed{
[10^{-4},0.003].
}
$$

不再用 asymptotic theorem。

改成：

$$
\boxed{
\text{sampling-free exact-envelope interval cells}.
}
$$

---

# 26. Why ratio $1.4$?

若 cell：

$$
[a,b]
$$

滿足：

$$
b/a\le1.4,
$$

則：

$$
0.1b^2
\le
0.196a^2.
$$

而 robust second-order reference：

$$
0.202a^2.
$$

兩者相差：

$$
\boxed{
0.006a^2.
}
$$

所以 ratio $1.4$ 自帶 coefficient-level cushion。

---

# 27. Eleven bridge cells

本文採：

$$
\rho_0
=
0.0001,
$$

並反覆乘：

$$
1.4.
$$

得到：

1. $[0.000100000000,\ 0.000140000000]$
2. $[0.000140000000,\ 0.000196000000]$
3. $[0.000196000000,\ 0.000274400000]$
4. $[0.000274400000,\ 0.000384160000]$
5. $[0.000384160000,\ 0.000537824000]$
6. $[0.000537824000,\ 0.000752953600]$
7. $[0.000752953600,\ 0.001054135040]$
8. $[0.001054135040,\ 0.001475789056]$
9. $[0.001475789056,\ 0.0020661046784]$
10. $[0.0020661046784,\ 0.00289254654976]$
11. $[0.00289254654976,\ 0.003000000000]$

---

# 28. Bridge cell certificate

每格：

$$
I_j=[a_j,b_j]
$$

直接 interval-evaluate：

$$
\boxed{
G_j
=
\inf_{
\rho\in I_j,
\ \text{admissible translations}
}
\left[
A(\rho)-A_0-0.1\rho^2
\right].
}
$$

若：

$$
\boxed{
G_j>0,
}
$$

該格 PASS。

---

# 29. Constant-threshold variant

若 runtime更適合證 constant area threshold，

可證：

$$
\boxed{
A(\rho)
\ge
A_0+0.1b_j^2
\qquad
\forall\rho\in[a_j,b_j].
}
$$

這會直接 imply：

$$
A(\rho)
\ge
A_0+0.1\rho^2.
$$

factor $1.4$ 的目的就是讓這種較粗 proof仍有合理 margin。

---

# 30. Bridge state variables need not be global

由 09E first-order coercivity，

潛在 low-area states必須靠近：

$$
\mathcal C_1.
$$

因此每個 bridge cell不用覆蓋整個巨大 translation space。

可先用：

$$
\Phi_1
$$

residual做 outer prune，

再只 intervalize一條：

$$
\boxed{
O(\rho)
}
$$

寬的 critical tube。

---

# 31. Critical tube principle

若：

$$
\Phi_1(u,v,w)
\ge
\eta>0,
$$

則 area增加 leading order：

$$
\rho\eta.
$$

而 target只有：

$$
0.1\rho^2.
$$

對 small：

$$
\rho,
$$

只要：

$$
\eta
>
O(\rho),
$$

就自動安全。

所以真正需要 second-order finite bridge的 state滿足：

$$
\boxed{
|E_T|,
|E_L|,
|E_R|
=
O(\rho).
}
$$

---

# 32. Bridge compiler architecture

每格：

1. intervalize $\rho$；
2. intervalize critical-tube residuals；
3. reconstruct support-piece root order；
4. split only if root ordering uncertain；
5. exact-envelope lower bound；
6. compare：
   $$
   A_0+0.1\rho^2;
   $$
7. export durable certificate leaf。

這可直接沿用 AMRAL / UESFCM 的：

$$
\boxed{
\text{finite leaf certificate}
}
$$

思想。

---

# 33. Cycle-12 diagnostic near bridge

Cycle-12 profile gives：

$$
\rho
\approx
0.0010069:
$$

$$
A_{\rm num}
=
0.8349863406261648,
$$

$$
\rho
\approx
0.0020138:
$$

$$
A_{\rm num}
=
0.834987107068252,
$$

$$
\rho
\approx
0.0030208:
$$

$$
A_{\rm num}
=
0.8349881804771132.
$$

這些是 optimizer samples，不是 lower proof。

但它們顯示 bridge target附近沒有明顯 counter-candidate。

---

# 34. Cycle-14 topology diagnostic

Cycle 14觀察下一個明顯 sampled contact degeneracy約在：

$$
\rho
\approx
0.01409689.
$$

所以：

$$
[10^{-4},0.003]
$$

在數值上仍處於第一個 positive-rotation local topology regime內。

Status：

`NUMERICAL STRUCTURAL EVIDENCE / INTERVAL EVENT EXCLUSION OPEN`

---

# 35. Event exclusion on bridge

finite bridge仍須 interval-confirm：

$$
\boxed{
\text{沒有未枚舉 support transition進入 }[10^{-4},0.003].
}
$$

若有 event，

只需在 event root切 cell。

不需要推翻整個 bridge architecture。

---

# 36. Tail composition unchanged

Paper 08 已定義：

$$
[0.003,\pi/120]
$$

為 tight-reference tail gate。

因此最終：

$$
\boxed{
[0,10^{-4}]
}
$$

micro gate，

$$
\boxed{
[10^{-4},0.003]
}
$$

finite bridge，

$$
\boxed{
[0.003,\pi/120]
}
$$

tail gate，

三段覆蓋全部 positive rotation。

---

# 37. Three-gate composition

若：

## Gate M

$$
m(\rho)
\ge
m(0)+0.1\rho^2
$$

for：

$$
0\le\rho\le10^{-4},
$$

## Gate B

同式成立於：

$$
10^{-4}\le\rho\le0.003,
$$

## Gate T

$$
m(\rho)\ge A_{\rm ref}>m(0)
$$

for：

$$
0.003\le\rho\le\pi/120,
$$

則：

$$
\boxed{
m(\rho)
\ge
m(0)
\quad
\forall\rho\in[0,\pi/120].
}
$$

---

# 38. This would close the root-6217 positive-rotation gate

注意只是在 root-6217 constrained barrier target上。

它不直接證 global Lebesgue optimum。

但它會讓 Paper 07 的 zero-rotation barrier shape升成：

$$
\boxed{
\text{full root-6217 rotation-constrained barrier shape}.
}
$$

---

# 39. Canonical scalar interval responsibility now reduced

由 09E / 09F：

$$
D,
\lambda_S,\lambda_T
$$

都是 zero-wall derived。

所以真正需要 high-order interval generation的核心 scalar只剩：

$$
\boxed{
A,
T,
C_{\rm crit},
\gamma_w.
}
$$

其中：

$$
c_0,
c_\star
$$

皆由代數重建。

---

# 40. Optional further reduction

甚至 publication certificate可以不直接輸出：

$$
c_0.
$$

只要 interval計算：

$$
[A],
[T],
[C_{\rm crit}],
[\gamma_w]
$$

並用 zero-wall intervals生成：

$$
[D],
[\lambda_S],
[\lambda_T],
$$

即可 interval-evaluate：

$$
\boxed{
c_\star
=
C_{\rm crit}
-
2\lambda_SA
-
\lambda_TT
-
\frac{\gamma_wA}{D}.
}
$$

---

# 41. This is better provenance

每個 scalar都有直接 geometric meaning：

- $A$：side latent sliver birth；
- $T$：vertical disk birth；
- $C_{\rm crit}$：full critical-path area curvature；
- $\gamma_w$：horizontal B5 primary drift coefficient。

比儲存：

$$
c_0
$$

一個 derived number更容易 independently rebuild。

---

# 42. Diagnostic scalar package

companion JSON保存：

```text
A_center
T_center
Ccrit_center
c0_reconstructed
cstar_reconstructed
D
lambda_side
lambda_top
```

status明確為：

```text
HIGH_PRECISION_DIAGNOSTIC_NOT_INTERVAL_PROOF
```

---

# 43. Local interval template

本地端應填：

```text
A_interval
T_interval
Ccrit_interval
gamma_w_interval
theta_star_interval
Ltheta_interval
Lalpha_interval
beta3_top_interval
beta5_top_interval
micro_C3_upper
bridge_cell_results
```

然後由 verifier自動重建：

$$
D,\lambda_S,\lambda_T,c_0,c_\star.
$$

---

# 44. Fail-closed rule

只要：

- any interval missing；
- any bridge cell pending；
- micro remainder missing；
- support event unresolved；

狀態維持：

```text
OPEN
```

不能自動改成：

```text
PASS
```

---

# 45. Current status

```text
FIRST-ORDER MULTICHART FORMULA:
    DERIVED

FIRST CRITICAL VELOCITY:
    UNIQUE

VERTICAL SECONDARY PAIR:
    CORRECTED

CANONICAL A:
    DEFINED FROM EXACT TRANSITION ROOTS

CANONICAL T:
    DEFINED FROM EXACT TRANSITION ROOTS

CANONICAL Ccrit:
    DEFINED FROM EXACT ENVELOPE AREA

c0:
    ALGEBRAICALLY RECONSTRUCTED

cstar:
    ALGEBRAICALLY RECONSTRUCTED

DIAGNOSTIC cstar:
    ~0.225586332

MICRO RADIUS:
    1e-4

MICRO REMAINDER ACCEPTANCE:
    C3 <= 1000

FINITE BRIDGE:
    11 GEOMETRIC CELLS

BRIDGE EVENT EXCLUSION:
    OPEN

INTERVAL SCALAR INSTANTIATION:
    OPEN

GLOBAL LEBESGUE:
    OPEN
```

---

# 46. What 09F actually removes

Paper 09F removes two unnecessary burdens：

## Removed burden A

不再要求直接 intervalize artificial $c_0$ definition。

改為 intervalize physical observables：

$$
A,T,C_{\rm crit}.
$$

## Removed burden B

不再要求 one Taylor model跨：

$$
0\to0.003.
$$

改為：

$$
\boxed{
0\to10^{-4}
}
$$

asymptotic，

加：

$$
\boxed{
10^{-4}\to0.003
}
$$

finite bridge。

---

# 47. Next node

下一輪應直接做：

$$
\boxed{
\textbf{LESR Paper 09G — Interval Observable Instantiation and Bridge-Cell Compiler}.
}
$$

不再做新的 local calculus。

兩個工作：

1. 建立 $A,T,C_{\rm crit},\gamma_w$ 的 interval evaluator；
2. 建立十一格 bridge 的 exact-envelope certificate compiler。

若雲端 interactive runtime不適合跑完整 interval leaf tree，

就輸出 deterministic package給本地端。

---

# 48. 結論

Paper 09F 將 local proof的 scalar provenance重新整理。

二階 lower coefficient現在可以從四個 canonical observables與 zero-wall constants重建：

$$
\boxed{
c_\star
=
C_{\rm crit}
-
2\lambda_SA
-
\lambda_TT
-
\frac{\gamma_wA}{D}.
}
$$

高精度 diagnostic：

$$
\boxed{
c_\star
\approx
0.225586332.
}
$$

同時 finite-radius strategy改成：

$$
\boxed{
[0,10^{-4}]
\text{ micro Taylor}
}
$$

加：

$$
\boxed{
11\text{ finite bridge cells}
}
$$

再接：

$$
\boxed{
[0.003,\pi/120]
\text{ tail gate}.
}
$$

micro gate因：

$$
L_2=0.202
$$

只需：

$$
\boxed{
C_3\le1000,
}
$$

而 bridge ratio：

$$
1.4
$$

又由：

$$
0.1(1.4)^2
<
0.202
$$

提供固定 structural cushion。

因此 root-6217 local proof現在不再需要更精巧的微分理論。

它需要的只是：

$$
\boxed{
\text{interval observable generator}
+
\text{finite bridge compiler}.
}
$$

這已經非常接近完整 proof engineering handoff。

---

# Canonical Source Declaration

本檔為 `LESR-LUC-09F-v0.1` 的 UTF-8 Markdown canonical source。

數學 delimiter 僅使用 `$...$` 與 `$$...$$`。

本文的 scalar replay bands與 Cycle-12/14 observations只作 diagnostic，不作 rigorous interval lower proof。

本文不宣稱 global Lebesgue universal covering problem 已解。

===END===