# Lebesgue Extremal Shape Reconstruction
## Paper 09D — Paired-Sliver Domination and a Robust Scalar Certificate
### 從 Secondary LP 解析消元到有限半徑接受盒：把二階證明再壓成五個標量與一個 remainder bound
### Paired-Sliver Domination and a Robust Scalar Certificate: Analytic Elimination of the Secondary LP and a Finite-Radius Acceptance Box

**文件代號：** `LESR-LUC-09D-v0.1`  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-21  
**作者：** Neo.K  
**AI 協力研究者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**Target：** `ROOT6217_BARRIER_SHAPE`  
**前置：** LESR Paper 09A v0.2；Paper 09B；Paper 09C；BCODR-LUC-07  
**狀態：** `ANALYTIC LP ELIMINATION / ROBUST ACCEPTANCE BOX / CONDITIONAL FINITE-RADIUS CERTIFICATE`

---

# 摘要

Paper 09C 將 root-6217 local positive-rotation barrier 的 second epi-derivative 壓成：

$$
\Phi_2
=
c_0
+
\gamma_w w_2
+
\lambda_S
\left(
|\delta_+|
+
|\delta_-|
\right)
+
\lambda_T[\delta_T]_+,
$$

其中兩個 side signed widths 具有 mirror-paired affine structure：

$$
\delta_+
=
A
+
X(u_2,v_2)
+
Dw_2,
$$

$$
\delta_-
=
-A
+
X(u_2,v_2)
-
Dw_2.
$$

Paper 09C 因此把問題表述為一個小型 convex LP，得到 nominal minimum：

$$
c_\star
\approx
0.22558634
>
0.1.
$$

本文進一步發現：該 LP 可以解析消元。

令：

$$
H
=
A+Dw_2.
$$

則：

$$
\delta_+
=
X+H,
$$

$$
\delta_-
=
X-H.
$$

由基本不等式：

$$
\boxed{
|X+H|
+
|X-H|
\ge
2|H|,
}
$$

得到：

$$
\Phi_2
\ge
c_0
+
\gamma_w w_2
+
2\lambda_S|A+Dw_2|.
$$

令：

$$
y=A+Dw_2,
$$

則：

$$
w_2
=
\frac{y-A}{D},
$$

所以：

$$
\Phi_2
\ge
c_0
-
\frac{\gamma_w A}{D}
+
\frac{\gamma_w}{D}y
+
2\lambda_S|y|.
$$

若：

$$
\boxed{
0
\le
\frac{\gamma_w}{D}
<
2\lambda_S,
}
$$

則右側在：

$$
y=0
$$

取得全域最小值。

因此得到本文核心定理：

$$
\boxed{
\inf\Phi_2
\ge
c_0
-
\frac{\gamma_w A}{D}.
}
$$

對 09C nominal constants：

$$
c_0
\approx
0.258433713,
$$

$$
\gamma_w
\approx
0.1838996392372776,
$$

$$
A
\approx
2.721112,
$$

$$
D
\approx
15.234440,
$$

得到：

$$
\boxed{
c_0
-
\frac{\gamma_w A}{D}
\approx
0.225586328.
}
$$

與 Paper 09C numerical LP minimum 完全一致。

這帶來兩個重要修正。

第一，09C 的：

$$
(u_2,v_2,w_2)
\approx
(
37.01279,
0.133549,
-0.178616
)
$$

是：

$$
\boxed{
\text{一個 canonical boundary representative，}
}
$$

而不是唯一 minimizer。

真正的 nominal minimizer face 滿足：

$$
A+Dw_2=0,
$$

$$
X(u_2,v_2)=0,
$$

以及 top term 不增加面積的條件。

第二，publication-level second-order lower bound 不再需要解 interval LP。只需 interval certify：

1. mirror-pair identity；
2. $c_0$；
3. $\gamma_w$；
4. $A$；
5. $D$；
6. $\lambda_S$；
7. omitted / top secondary contributions nonnegative。

本文更建立一個刻意寬鬆的 coarse acceptance box：

$$
c_0
\in
[0.24,0.28],
$$

$$
\gamma_w
\in
[0.18,0.19],
$$

$$
A
\in
[2.5,3.0],
$$

$$
D
\in
[15.0,15.5],
$$

$$
\lambda_S
\in
[0.0068,0.0076].
$$

在這整個 box 上都有：

$$
\frac{\gamma_w}{D}
<
2\lambda_S,
$$

而且：

$$
\boxed{
\Phi_2
\ge
0.202.
}
$$

所以即使 interval coefficients 遠比目前高精度數值粗糙，仍然比 target：

$$
0.1
$$

多：

$$
\boxed{
0.102
}
$$

的二階 coefficient margin。

最後，若 finite-radius remainder 滿足：

$$
|R_3(\rho)|
\le
30\rho^3,
$$

對：

$$
0\le
\rho
\le
0.003,
$$

則：

$$
A(\rho)-A_0
\ge
\rho^2
\left(
0.202-30\rho
\right)
\ge
0.112\rho^2.
$$

所以：

$$
\boxed{
A(\rho)
\ge
A_0
+
0.1\rho^2
}
$$

在整個 local radius 上成立。

因此 Paper 09D 將 09C 的：

$$
\boxed{
\text{interval LP}
+
\text{uniform remainder}
}
$$

進一步壓成：

$$
\boxed{
\text{scalar interval enclosure}
+
\text{mirror pairing}
+
\text{very coarse remainder bound}.
}
$$

本文仍不宣稱 publication theorem 已完成，因為 acceptance box 尚需由獨立 interval runtime 真正包住 canonical coefficients，且 Paper-09B full neighboring first-order chart certificate 仍未完成。

---

# 0. Recenter

Paper 09C 已得到：

$$
\boxed{
\Phi_2
=
c_0
+
\gamma_w w_2
+
\lambda_S
(
|\delta_+|
+
|\delta_-|
)
+
\lambda_T[\delta_T]_+.
}
$$

nominal constants：

$$
c_0
\approx
0.258433713,
$$

$$
\gamma_w
=
0.1838996392372776,
$$

$$
\lambda_S
\approx
0.00719758120147,
$$

$$
\lambda_T
\approx
0.02821424417983.
$$

Paper 09C 的 secondary width model 為：

$$
\delta_+
\approx
2.721112
-
0.02682772u_2
+
7.435229v_2
+
15.234440w_2,
$$

$$
\delta_-
\approx
-2.721112
-
0.02682772u_2
+
7.435229v_2
-
15.234440w_2.
$$

---

# 1. Mirror-pair normal form

將共同的：

$$
u_2,v_2
$$

部分記為：

$$
\boxed{
X
=
Bu_2
+
Cv_2.
}
$$

將 constant 與 horizontal correction 記為：

$$
\boxed{
H
=
A+Dw_2.
}
$$

則：

$$
\boxed{
\delta_+
=
X+H,
}
$$

$$
\boxed{
\delta_-
=
X-H.
}
$$

這就是 second-scale mirror pair 的 canonical normal form。

---

# 2. 為什麼這個形式比原 LP 更重要？

09C 仍把：

$$
u_2,
v_2,
w_2
$$

視為 LP variables。

但上式顯示：

$$
u_2,v_2
$$

只透過一個 scalar combination：

$$
X
$$

進入 paired side penalty。

所以：

$$
\boxed{
\text{side topology 對 }(u_2,v_2)\text{ 只看一個方向。}
}
$$

這意味 LP 具有更大的 hidden degeneracy。

---

# 3. Paired Absolute-Value Lemma

對所有實數：

$$
X,H,
$$

有：

$$
\boxed{
|X+H|
+
|X-H|
\ge
2|H|.
}
$$

證明：

由 triangle inequality：

$$
|X+H|
+
|X-H|
\ge
|
(X+H)-(X-H)
|.
$$

右側：

$$
=
|2H|
=
2|H|.
$$

Q.E.D.

---

# 4. Equality condition

當：

$$
H=0,
$$

左側成為：

$$
2|X|.
$$

所以若還要求 side penalty 達到零，

必須：

$$
\boxed{
X=0.
}
$$

因此 zero-side-penalty locus 為：

$$
\boxed{
A+Dw_2=0,
\qquad
X(u_2,v_2)=0.
}
$$

---

# 5. Drop nonnegative top contribution

只要已證：

$$
\boxed{
\lambda_T[\delta_T]_+
\ge
0,
}
$$

就可以在 lower-bound analysis 中直接刪掉 top term：

$$
\Phi_2
\ge
c_0
+
\gamma_w w_2
+
\lambda_S
(
|\delta_+|
+
|\delta_-|
).
$$

因此 top affine coefficients：

$$
\delta_T
=
T+Eu_2+Fv_2
$$

根本不需要進入二階 lower certificate 的算術核心。

---

# 6. Side domination

由 Paired Absolute-Value Lemma：

$$
|\delta_+|
+
|\delta_-|
\ge
2|A+Dw_2|.
$$

所以：

$$
\boxed{
\Phi_2
\ge
c_0
+
\gamma_w w_2
+
2\lambda_S
|A+Dw_2|.
}
$$

注意：

$$
u_2,
\qquad
v_2
$$

已完全消失。

---

# 7. 一維化

令：

$$
y
=
A+Dw_2.
$$

假設：

$$
D>0.
$$

則：

$$
w_2
=
\frac{y-A}{D}.
$$

因此：

$$
\Phi_2
\ge
c_0
+
\frac{\gamma_w}{D}
(y-A)
+
2\lambda_S|y|.
$$

整理：

$$
\boxed{
\Phi_2
\ge
c_0
-
\frac{\gamma_w A}{D}
+
\frac{\gamma_w}{D}y
+
2\lambda_S|y|.
}
$$

---

# 8. Kink function

定義：

$$
g(y)
=
\frac{\gamma_w}{D}y
+
2\lambda_S|y|.
$$

當：

$$
y>0,
$$

斜率：

$$
g_+'(y)
=
\frac{\gamma_w}{D}
+
2\lambda_S.
$$

當：

$$
y<0,
$$

斜率：

$$
g_-'(y)
=
\frac{\gamma_w}{D}
-
2\lambda_S.
$$

---

# 9. Scalar criticality condition

如果：

$$
\boxed{
0
\le
\frac{\gamma_w}{D}
<
2\lambda_S,
}
$$

則：

$$
g_-'(y)<0,
$$

而：

$$
g_+'(y)>0.
$$

所以：

$$
\boxed{
y=0
}
$$

是唯一 scalar minimizer。

---

# 10. Paired-Sliver Domination Theorem

在以下條件下：

1. $D>0$；
2. $\lambda_S>0$；
3. side pair 具有 exact form：
   $$
   \delta_\pm
   =
   X
   \pm
   (A+Dw_2);
   $$
4. omitted / top contributions nonnegative；
5.
   $$
   0
   \le
   \frac{\gamma_w}{D}
   <
   2\lambda_S;
   $$

則：

$$
\boxed{
\Phi_2
\ge
c_0
-
\frac{\gamma_w A}{D}.
}
$$

---

# 11. Equality structure

要達到 theorem lower bound，

至少需要：

$$
\boxed{
A+Dw_2=0,
}
$$

所以：

$$
\boxed{
w_2^\star
=
-\frac{A}{D}.
}
$$

同時 paired side penalty 必須為零：

$$
\boxed{
X(u_2,v_2)=0.
}
$$

top / omitted contribution 也必須為零。

---

# 12. 09C minimizer uniqueness 修正

Paper 09C 給出 representative：

$$
(u_2,v_2,w_2)
\approx
(
37.01279,
0.133549,
-0.178616
)
$$

並選：

$$
\delta_T=0.
$$

Paper 09D 修正：

$$
\boxed{
\text{這是 minimizer face 上的一個 boundary representative，並非唯一 minimizer。}
}
$$

在 nominal LP 中，只要：

$$
X=0,
$$

$$
w_2=-A/D,
$$

且 top penalty 為零，

就取得相同 objective。

---

# 13. 為什麼 09C numerical minimum 仍然正確？

因為 09C representative 同時滿足：

$$
X=0,
$$

$$
A+Dw_2=0,
$$

以及：

$$
\delta_T=0.
$$

所以它確實位於 minimizer set。

修正的是：

$$
\boxed{
\text{uniqueness interpretation},
}
$$

不是：

$$
\boxed{
\text{minimum value}.
}
$$

---

# 14. Nominal scalar replay

取：

$$
A
=
2.721112,
$$

$$
D
=
15.234440,
$$

則：

$$
-\frac{A}{D}
\approx
-0.17861582.
$$

與 09C：

$$
w_2^\star
\approx
-0.178616
$$

一致。

---

# 15. Nominal slope condition

計算：

$$
\frac{\gamma_w}{D}
\approx
0.01207130943.
$$

另一方面：

$$
2\lambda_S
\approx
0.01439516240.
$$

因此：

$$
\boxed{
\frac{\gamma_w}{D}
<
2\lambda_S.
}
$$

margin 約：

$$
\boxed{
0.00232385.
}
$$

---

# 16. Nominal lower bound

直接：

$$
c_0
-
\frac{\gamma_w A}{D}
$$

得到：

$$
\boxed{
0.225586328\ldots
}
$$

這與 09C LP solver：

$$
0.22558634
$$

一致。

---

# 17. LP 已被解析消掉

因此 publication certificate 不再需要：

$$
\boxed{
\text{general-purpose interval LP solver}.
}
$$

只需 interval arithmetic 驗：

$$
\boxed{
c_0
-
\frac{\gamma_w A}{D}
>
0.1
}
$$

與：

$$
\boxed{
\frac{\gamma_w}{D}
<
2\lambda_S.
}
$$

---

# 18. Coarse Acceptance Box

本文刻意不使用貼近 nominal value 的窄 box。

而使用：

$$
\boxed{
c_0
\in
[0.24,0.28],
}
$$

$$
\boxed{
\gamma_w
\in
[0.18,0.19],
}
$$

$$
\boxed{
A
\in
[2.5,3.0],
}
$$

$$
\boxed{
D
\in
[15.0,15.5],
}
$$

$$
\boxed{
\lambda_S
\in
[0.0068,0.0076].
}
$$

nominal constants 都位於 box interior。

---

# 19. Robust slope inequality

對整個 box，

最大可能：

$$
\frac{\gamma_w}{D}
$$

為：

$$
\frac{0.19}{15}
=
0.0126666666\ldots
$$

最小可能：

$$
2\lambda_S
$$

為：

$$
2(0.0068)
=
0.0136.
$$

所以：

$$
\boxed{
\frac{\gamma_w}{D}
\le
0.0126667
<
0.0136
\le
2\lambda_S.
}
$$

robust slope margin：

$$
\boxed{
0.00093333\ldots
}
$$

---

# 20. Robust $\Phi_2$ lower bound

對整個 box，

最壞情況：

$$
c_0
-
\frac{\gamma_w A}{D}
$$

用：

$$
c_0=0.24,
$$

$$
\gamma_w=0.19,
$$

$$
A=3.0,
$$

$$
D=15.0.
$$

得到：

$$
\boxed{
\underline{\Phi_2}
=
0.24
-
\frac{0.19\cdot3}{15}
=
0.202.
}
$$

---

# 21. 這個 box 有多寬？

相對 nominal：

$$
c_0
\approx0.2584,
$$

可向下誤差：

$$
>0.018.
$$

$$
\gamma_w
\approx0.1839
$$

可上升至：

$$
0.19.
$$

$$
A
\approx2.721
$$

可上升至：

$$
3.0.
$$

$$
D
\approx15.234
$$

可下降至：

$$
15.
$$

$$
\lambda_S
\approx0.007198
$$

可下降至：

$$
0.0068.
$$

這不是 floating-point 微小容差。

這是一個刻意寬鬆的：

$$
\boxed{
\textbf{publication acceptance region}.
}
$$

---

# 22. Conditional Interval Certificate

因此若本地 interval runtime 得到：

$$
[c_0]
\subset
[0.24,0.28],
$$

$$
[\gamma_w]
\subset
[0.18,0.19],
$$

$$
[A]
\subset
[2.5,3.0],
$$

$$
[D]
\subset
[15.0,15.5],
$$

$$
[\lambda_S]
\subset
[0.0068,0.0076],
$$

並證 exact mirror-pair normal form與 omitted terms nonnegative，

則直接得到：

$$
\boxed{
\Phi_2
\ge
0.202
>
0.1.
}
$$

不必再優化任何 interval LP。

---

# 23. Top wall responsibility 再下降一級

Paper 09C 曾把：

$$
\lambda_T,
\qquad
\delta_T
$$

列為 LP data。

現在 lower certificate 只需要證：

$$
\boxed{
\lambda_T[\delta_T]_+
\ge0.
}
$$

甚至不需要精確知道：

$$
\delta_T
$$

的 affine coefficients。

---

# 24. Five-sliver exhaustion 是否仍必要？

對 exact 09C formula，

仍需保證沒有漏掉會產生：

$$
\boxed{
\text{negative second-order correction}
}
$$

的未建模 chart。

因此以下兩種 certificate 任一即可：

## Route A

完整 five-sliver exhaustion。

## Route B

證明任何額外 second-scale winner interval 對 full area lower bound只增加非負 correction。

目前 Route A 更直接。

---

# 25. Robust coefficient theorem 與 topology theorem 分離

09D 把責任拆成：

$$
\boxed{
\text{Topology completeness}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{Arithmetic positivity}.
}
$$

Arithmetic positivity 現在幾乎已被解析完成。

真正 remaining hard point 更偏 topology / interval enclosure。

---

# 26. Finite-radius remainder

second epi-derivative只給：

$$
\rho\downarrow0.
$$

要得到：

$$
0\le\rho\le0.003
$$

的 local gate，

寫：

$$
\boxed{
A(\rho)
=
A_0
+
\rho^2\Phi_2
+
R_3(\rho).
}
$$

假設：

$$
\boxed{
|R_3(\rho)|
\le
C_3\rho^3.
}
$$

---

# 27. Remainder budget theorem

若已知：

$$
\Phi_2
\ge
L_2,
$$

則：

$$
A(\rho)-A_0
\ge
\rho^2
(
L_2-C_3\rho
).
$$

若希望：

$$
A(\rho)-A_0
\ge
0.1\rho^2,
$$

只需：

$$
\boxed{
C_3\rho_{\max}
\le
L_2-0.1.
}
$$

---

# 28. 使用 robust $L_2=0.202$

取：

$$
L_2
=
0.202,
$$

$$
\rho_{\max}
=
0.003.
$$

最大可容許：

$$
C_3
\le
\frac{0.202-0.1}{0.003}
=
34.
$$

因此：

$$
\boxed{
C_3<34
}
$$

就已足夠。

---

# 29. 選更保守的 acceptance bound

本文選：

$$
\boxed{
C_3
\le
30.
}
$$

則：

$$
L_2-C_3\rho_{\max}
\ge
0.202
-
30(0.003).
$$

所以：

$$
\boxed{
L_2-C_3\rho_{\max}
\ge
0.112.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
A(\rho)
\ge
A_0
+
0.112\rho^2
}
$$

對：

$$
0\le\rho\le0.003.
$$

---

# 30. 相對 target 的 finite-radius margin

我們真正只需要：

$$
0.1\rho^2.
$$

conditional certificate 給：

$$
0.112\rho^2.
$$

所以還剩：

$$
\boxed{
0.012\rho^2
}
$$

的 finite-radius safety margin。

---

# 31. 09C finite-$\rho$ diagnostic 與 $C_3$

09C numerical replay：

$$
\frac{A(\rho)-A_0}{\rho^2}
\rightarrow
0.2255863\ldots
$$

且在：

$$
\rho
=
10^{-4}
\text{ 到 }
10^{-5}
$$

偏差只有約：

$$
10^{-6}
$$

量級。

對應 empirical cubic coefficient約：

$$
10^{-2}
$$

量級。

因此 acceptance：

$$
C_3\le30
$$

比目前 numerical indication 寬鬆數千倍。

Status：

`DIAGNOSTIC ONLY / NOT A REMAINDER PROOF`

---

# 32. 這改變了 remainder 任務的難度

原本看起來需要非常 sharp 的 third-order analysis。

實際上因：

$$
\boxed{
0.202-0.1=0.102
}
$$

margin 很大，

只需證一個非常粗的 uniform third-order bound。

這使 remainder 更適合：

- interval automatic differentiation；
- Taylor model；
- directed rounding；
- finite chart subdivision。

---

# 33. Conditional Local Radius Theorem

若以下全部成立：

1. Paper-09B first-order critical chart正確；
2. 09D mirror-pair normal form certified；
3. scalar intervals落入 acceptance box；
4. omitted secondary corrections nonnegative / five-sliver atlas exhaustive；
5. uniform remainder：
   $$
   |R_3(\rho)|
   \le
   30\rho^3
   $$
   對：
   $$
   0\le\rho\le0.003;
   $$

則：

$$
\boxed{
A(\rho)
\ge
A_0
+
0.112\rho^2
}
$$

所以尤其：

$$
\boxed{
A(\rho)
\ge
A_0
+
0.1\rho^2.
}
$$

---

# 34. 這仍不是完整 root-6217 theorem

因為還需 Paper-09B：

$$
\boxed{
\text{full neighboring first-order chart nonnegativity}.
}
$$

如果某個 first-order chart 沒有被枚舉，

它可能繞過 09D critical cone。

因此 09D 只關：

$$
\boxed{
\text{second-order critical-cone arithmetic}.
}
$$

---

# 35. First-order off-cone responsibility

對：

$$
(u,v,w)
\notin
\mathcal C_1,
$$

需要證：

$$
\Phi_1(u,v,w)>0
$$

或落到明示鄰近 chart。

一旦有 uniform first-order margin，

它會在 sufficiently small：

$$
\rho
$$

下 dominate second-order effects。

---

# 36. Secondary sequences 已完整納入

對：

$$
(u,v,w)
=
(u_\star,v_\star,0)
+
\rho
(u_2,v_2,w_2),
$$

09D 的 scalar lower bound允許任意 finite：

$$
u_2,
v_2,
w_2.
$$

所以它不是只驗一條 numerical optimizer path。

---

# 37. Minimizer face 的幾何意義

nominal minimum不再是一個 isolated second-order point。

而是一個受：

$$
X=0,
$$

$$
A+Dw_2=0
$$

約束的 secondary face，

再由 nonnegative omitted terms選出 admissible subset。

因此 second-order shape可能存在：

$$
\boxed{
\text{flat direction / secondary moduli}.
}
$$

---

# 38. 這不代表 global nonuniqueness

secondary moduli 只是：

$$
\boxed{
\text{second-order local degeneracy}.
}
$$

更高階：

$$
\rho^3,
\rho^4,\ldots
$$

可能重新選出唯一 path。

所以不能由 09D 直接推出：

$$
\boxed{
\text{global minimizer nonunique}.
}
$$

---

# 39. 對 Paper 09C 的正式 supersession

Paper 09D supersedes 09C 的兩個敘述層級：

## Superseded A

「需要 interval solve 6-variable LP 才能證 $\Phi_2>0.1$。」

改為：

$$
\boxed{
\text{paired-sliver scalar certificate suffices}.
}
$$

## Superseded B

「09C numerical LP point 是唯一 secondary minimizer。」

改為：

$$
\boxed{
\text{它是一個 canonical minimizer-face representative}.
}
$$

09C 的：

- second-scale reduction；
- nominal minimum value；
- five potential slivers；
- affine width model；

全部保留。

---

# 40. Publication arithmetic obligations 現在只剩很少

核心 interval arithmetic 只需：

$$
[c_0],
$$

$$
[\gamma_w],
$$

$$
[A],
$$

$$
[D],
$$

$$
[\lambda_S].
$$

甚至：

$$
B,
C,
E,F,T
$$

都不再進最終 scalar lower bound。

---

# 41. 本地端最小工作包

本地 independent verifier 優先做：

1. exact / interval mirror pairing；
2. interval $c_0$；
3. interval $\gamma_w$；
4. interval $A$；
5. interval $D$；
6. interval $\lambda_S$；
7. check interval boxes fit 09D acceptance box；
8. interval / Taylor-model remainder $C_3\le30$；
9. topology exhaustion；
10. independent first-order chart audit。

---

# 42. Acceptance Box Machine Contract

本篇 companion JSON 固定：

```text
c0        : [0.24, 0.28]
gamma_w   : [0.18, 0.19]
A         : [2.5, 3.0]
D         : [15.0, 15.5]
lambda_S  : [0.0068, 0.0076]
rho_max   : 0.003
C3_max    : 30
target     : 0.1
```

這不是 measured interval。

它是：

$$
\boxed{
\text{只要實際 rigorous intervals 落進來，就自動 PASS 的 acceptance region}.
}
$$

---

# 43. Machine-checkable robust arithmetic

companion verifier以 decimal exact arithmetic檢查：

$$
\frac{\gamma_{\max}}{D_{\min}}
<
2\lambda_{S,\min},
$$

以及：

$$
L_2
=
c_{0,\min}
-
\frac{
\gamma_{\max}A_{\max}
}{
D_{\min}
}.
$$

得到：

$$
\boxed{
L_2=0.202.
}
$$

再檢：

$$
L_2
-
C_{3,\max}\rho_{\max}
=
0.112
>
0.1.
$$

---

# 44. 為什麼這個 verifier 有價值？

它不證：

> 真實 coefficients 已落入 box。

它證：

> 一旦獨立 interval runtime 把 coefficients 放進 box，結論不需要再由人判讀。

這是：

$$
\boxed{
\text{proof obligation separation}.
}
$$

---

# 45. Local result template

companion package另附：

`LESR_Paper09D_Local_Interval_Result_Template_v0.1.json`

其欄位一開始全部是：

```text
PENDING
```

local runtime 必須填入：

- rigorous interval endpoints；
- pairing certificate；
- topology status；
- remainder constant；
- backend identity。

不得從 nominal numbers 自動轉成 PASS。

---

# 46. Secondary verification

第二個獨立 backend最好：

1. 不直接重用 primary numerical fitter；
2. 從 canonical support formulas 重建；
3. 重新導出 interval constants；
4. 再讓 09D acceptance verifier做最終 gate。

---

# 47. 與 BCODR-LUC-07 的平行關係

09D 處理：

$$
\boxed{
\text{local positive-rotation second-order barrier}.
}
$$

BCODR-LUC-07 本地端處理：

$$
\boxed{
\text{Cycle-17 candidate / germ / mirror alignment}.
}
$$

兩者可完全並行。

---

# 48. 與 AMRAL Round38+ 的關係

AMRAL finite closure仍處理全域 necessity atlas：

$$
66/77
\rightarrow
77/77.
$$

09D 不會自動關掉 AMRAL residual。

所以仍保持：

$$
\boxed{
a_{\rm Leb}\ge0.835
\text{ NOT CERTIFIED globally}.
}
$$

---

# 49. 最後壓測何時正式進場？

當：

1. 09B first-order charts certified；
2. 09D scalar box instantiated；
3. local radius remainder certified；
4. AMRAL global residual進一步收束；
5. root-131 local alignment完成；

即可把 current geometric atlas freeze 成：

$$
\mathcal K.
$$

再用 Projection Possibility Space / AGC 系列去主動尋找：

$$
\texttt{UNKNOWN}.
$$

---

# 50. Current status

```text
PAPER09C SECONDARY LP:
    ANALYTICALLY ELIMINATED

SIDE PAIR NORMAL FORM:
    STRUCTURALLY DERIVED / INTERVAL REPLAY OPEN

NOMINAL SECOND-ORDER LOWER:
    0.225586328...

COARSE ACCEPTANCE BOX LOWER:
    0.202

TARGET:
    0.1

COEFFICIENT-LEVEL ROBUST MARGIN:
    0.102

RHO MAX:
    0.003

ACCEPTED REMAINDER CONSTANT:
    C3 <= 30

FINITE-RADIUS CONDITIONAL LOWER:
    0.112

FINITE-RADIUS TARGET MARGIN:
    0.012

INTERVAL COEFFICIENT INSTANTIATION:
    OPEN

TOPOLOGY EXHAUSTION:
    OPEN

FIRST-ORDER MULTICHART CERTIFICATE:
    OPEN

GLOBAL LEBESGUE THEOREM:
    OPEN
```

---

# 51. Next node

下一個真正有價值的節點不再是 09E 再做新 calculus。

而應該是：

$$
\boxed{
\textbf{LESR Paper 09E — Canonical Interval Instantiation and First-Order Chart Exhaustion}.
}
$$

兩個目標：

## Lane A — scalar interval instantiation

真正用 interval arithmetic把：

$$
[c_0],
[\gamma_w],
[A],
[D],
[\lambda_S]
$$

塞進 09D acceptance box。

## Lane B — topology / first-order closure

完成：

$$
\text{CERT-09B.4}
$$

以及 secondary latent-wall exhaustion。

若兩線 PASS，

local barrier proof就只剩 finite-radius remainder。

---

# 52. 結論

Paper 09C 將 multi-scale second-order geometry壓成 convex LP。

Paper 09D 再往前一步：

$$
\boxed{
\text{convex LP}
\rightarrow
\text{one-dimensional kink inequality}.
}
$$

核心是：

$$
\boxed{
|X+H|
+
|X-H|
\ge
2|H|.
}
$$

mirror-paired side slivers因此直接控制 horizontal secondary drift：

$$
w_2.
$$

只要：

$$
\frac{\gamma_w}{D}
<
2\lambda_S,
$$

就得到：

$$
\boxed{
\Phi_2
\ge
c_0
-
\frac{\gamma_w A}{D}.
}
$$

nominal：

$$
\boxed{
0.225586328\ldots
}
$$

而即使用刻意寬鬆的 publication acceptance box，

仍有：

$$
\boxed{
\Phi_2
\ge
0.202.
}
$$

再允許非常粗的：

$$
|R_3|
\le
30\rho^3
$$

直到：

$$
\rho=0.003,
$$

仍得到：

$$
\boxed{
A(\rho)
\ge
A_0
+
0.112\rho^2
>
A_0
+
0.1\rho^2.
}
$$

因此 root-6217 local second-order gate 的 arithmetic difficulty 已被大幅降低。

真正 remaining responsibility 現在非常具體：

$$
\boxed{
\text{interval instantiate the acceptance box}
+
\text{certify topology completeness}
+
\text{prove a very coarse remainder bound}.
}
$$

這已經是 proof engineering，而不再是未知 local calculus。

---

# Canonical Source Declaration

本檔為 `LESR-LUC-09D-v0.1` 的 UTF-8 Markdown canonical source。

數學 delimiter 僅使用 `$...$` 與 `$$...$$`。

本文 supersedes Paper 09C 對 secondary minimizer uniqueness 與 interval-LP necessity 的描述，但保留 Paper 09C 的 second-scale topology reduction、nominal coefficient與 numerical replay。

本文的 acceptance box 是 conditional proof target，不是假裝已完成的 interval measurement。

本文不宣稱 global Lebesgue universal covering theorem 已證明。

===END===