# AMRAL × Lebesgue Universal Covering — Round 37
## Depth-32 Publication Migration and Sharded DFRONT Continuation

**文件代號：** AMRAL-LUC-FC-R37  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-20  
**研究狀態：** Depth-32 publication-candidate wave / Sharded durable geometry continuation  
**研究發起與方法論來源：** Neo.K  
**AI 協力研究者與主要執行者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  

---

# 0. 本輪摘要

Round 36 完成 depth-30 batch：

$$
\boxed{
7/7\text{ publication-candidate}
}
$$

並以 cell33 證明 DFRONT 可以從 durable ancestor 精確恢復 runtime-local geometry state。

Round 37 同時把兩條 production pipeline 推進一層。

## Arithmetic

depth-32 queue 的前三個 cells：

$$
\boxed{
49,\ 64,\ 66
}
$$

全部完成：

- durable topology reconstruction；
- full rational lower migration；
- independent marker upper replay；
- MPFR marker upper replay；
- MPFR enclosure dominance；
- concrete `RHCERT-v0.1`；
- bytes-only replay。

所以：

$$
\boxed{
49,64,66
\to
\texttt{PUBLICATION-CANDIDATE-SHARD}.
}
$$

publication-candidate cells 現為：

$$
\boxed{
\{47,48,49,64,66,68,69,70,75,76\}
}
$$

即：

$$
\boxed{
10/77\approx12.99\%.
}
$$

相對 66 個已知 geometry-complete cells：

$$
\boxed{
10/66\approx15.15\%.
}
$$

## Geometry

cell33 從 recovered d36 frontier 以 immutable sharded jobs 連續產生：

$$
d38,\quad d40,\quad d42
$$

三個 durable DFRONT checkpoints。

absolute unresolved volume：

$$
2.9748\times10^{-8}
\to
1.4338\times10^{-8}
\to
5.4258\times10^{-9}
\to
2.6015\times10^{-9}.
$$

所以：

$$
\boxed{
V_{42}/V_{36}
\approx0.08745.
}
$$

雖然 pending count：

$$
14027
\to27042
\to40934
\to78507,
$$

但 volume 只剩原來約：

$$
\boxed{8.745\%}.
$$

因此仍沒有 plateau evidence。

cell33 仍 PARTIAL，所以 global geometry-complete count不變。

全局仍：

$$
\boxed{
a_{\mathrm{Leb}}\ge0.835
\text{ NOT CERTIFIED}.
}
$$

---

# 1. Durable depth-32 shard reconstruction

Round 37 不讀遺失的 `r26_full77_results` 作 base-box source。

每個 depth-32 cell直接由：

1. durable marker path；
2. explicit base axis trace；
3. Round26 closure depth / node ledger；

重建 finite lift topology。

## cell49

$$
19971\text{ nodes},
\qquad
9986\text{ leaves}.
$$

node count與 durable ledger exact match。

## cell64

$$
21077\text{ nodes},
\qquad
10539\text{ leaves}.
$$

## cell66

$$
21271\text{ nodes},
\qquad
10636\text{ leaves}.
$$

三個全部：

$$
\boxed{
\text{node-count match}=PASS.
}
$$

---

# 2. cell49 arithmetic

full rational lower：

$$
\boxed{
9986/9986\text{ PASS}.
}
$$

density：

- 256: 811
- 512: 3139
- 1024: 4127
- 2048: 1592
- 4096: 259
- 8192: 47
- 16384: 11

minimum lower margin：

$$
\boxed{
3.15312672\times10^{-8}>0.
}
$$

marker independent upper：

$$
0.8349813779061498<0.835.
$$

margin：

$$
\boxed{
1.86221\times10^{-5}.
}
$$

MPFR marker replay：PASS。

MPFR enclosure dominance：

$$
\boxed{
1659\text{ unique states},\quad0\text{ failures}.
}
$$

RHCERT：

$$
\boxed{
2{,}441{,}597\text{ vertices}
}
$$

bytes-only replay：

$$
\boxed{9986/9986\text{ PASS}.}
$$

---

# 3. cell64 arithmetic

lower：

$$
\boxed{
10539/10539\text{ PASS}.
}
$$

minimum margin：

$$
\boxed{
1.50693499\times10^{-8}>0.
}
$$

marker outer：

$$
0.8349716675759491.
$$

MPFR dominance：

$$
\boxed{
1702\text{ states},\quad0\text{ failures}.
}
$$

RHCERT vertices：

$$
\boxed{
2{,}624{,}186.
}
$$

bytes-only replay：

$$
\boxed{10539/10539\text{ PASS}.}
$$

---

# 4. cell66 arithmetic

lower：

$$
\boxed{
10636/10636\text{ PASS}.
}
$$

minimum margin：

$$
\boxed{
6.86089458\times10^{-9}>0.
}
$$

這是本輪三個 cells 中最薄。

marker outer：

$$
0.8348951300993619.
$$

upper margin：

$$
\boxed{
1.048699\times10^{-4}.
}
$$

MPFR dominance：

$$
\boxed{
1710\text{ states},\quad0\text{ failures}.
}
$$

RHCERT vertices：

$$
\boxed{
2{,}646{,}674.
}
$$

bytes-only replay：

$$
\boxed{10636/10636\text{ PASS}.}
$$

---

# 5. Publication-candidate coverage

Round36：

$$
7/77.
$$

Round37 新增：

$$
49,64,66.
$$

所以：

$$
\boxed{
10/77\approx12.99\%.
}
$$

相對 known geometry-complete：

$$
\boxed{
10/66\approx15.15\%.
}
$$

geometry-complete 但仍低於 publication-candidate stage：

$$
\boxed{
56.
}
$$

---

# 6. Cell33 d36 → d38

parent：

$$
14027\text{ pending}.
$$

分成：

$$
29
$$

immutable refinement segments。

merge 後：

$$
\boxed{
27042\text{ pending}
}
$$

$$
\boxed{
V_{38}=1.4337598723\times10^{-8}.
}
$$

ratio：

$$
\boxed{
V_{38}/V_{36}=0.481963.
}
$$

---

# 7. Cell33 d38 → d40

d38 frontier進一步分：

$$
55
$$

segments。

d40：

$$
\boxed{
40934\text{ pending}
}
$$

$$
\boxed{
V_{40}=5.4257753323\times10^{-9}.
}
$$

ratio：

$$
\boxed{
V_{40}/V_{38}=0.378430.
}
$$

---

# 8. Cell33 d40 → d42

d40 frontier：

$$
82
$$

segments。

d42：

$$
\boxed{
78507\text{ pending}
}
$$

$$
\boxed{
V_{42}=2.6015130699\times10^{-9}.
}
$$

ratio：

$$
\boxed{
V_{42}/V_{40}=0.479473.
}
$$

所以從 d36 到 d42：

$$
\boxed{
V_{42}/V_{36}=0.087451.
}
$$

仍為強 contraction。

---

# 9. Compositional DFRONT Merge Theorem

令 parent frontier：

$$
P
$$

已驗證 pairwise interior-disjoint。

將其依 parent index分成不重疊 slices：

$$
P=P_1\sqcup\cdots\sqcup P_m.
$$

每個 immutable worker只 refine自己 slice，產生 pending descendants：

$$
Q_i\subseteq\bigcup P_i,
$$

且 segment內：

$$
Q_i
$$

已 exact-disjoint verified。

因不同 parent slices 本身位於互不相交的 parent regions，

所以：

$$
\boxed{
i\ne j
\Rightarrow
\operatorname{int}(Q_i)
\cap
\operatorname{int}(Q_j)
=
\varnothing.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
Q=\bigcup_iQ_i
}
$$

可用：

- parent frontier hash；
- complete parent-slice coverage；
- each segment SHA-256；
- segment PASS manifest；

做 compositional merge，而不必再次執行昂貴的 global pairwise scan。

---

# 10. Why this mattered

d40 frontier已超過：

$$
4\times10^4
$$

boxes。

重做 monolithic disjoint scan超過 interactive execution cap。

Round37改成 proof-by-composition後：

> 已驗證的 immutable segment 不需要在 merge 階段重新證一次相同事實。

這和前面的：

- Certified Ancestor Contraction；
- semantic revalidation；
- RHCERT finite proof objects；

是同一個原則：

$$
\boxed{
\text{verified local evidence should compose}.
}
$$

---

# 11. Geometry status remains conservative

cell33 d42仍：

`PARTIAL`.

所以：

$$
\boxed{
\text{known geometry-complete}=66/77.
}
$$

residual：

$$
\boxed{11}.
$$

latest exact common-budget：

$$
\boxed{
51/77\text{ at }d=36.
}
$$

本輪沒有把 volume contraction當 closure。

---

# 12. Next depth-32 batch prepared

Round37 順手把下一批三個 topology durable化：

## cell12

$$
21789\text{ nodes},
\qquad
10895\text{ leaves}.
$$

## cell59

$$
22009\text{ nodes},
\qquad
11005\text{ leaves}.
$$

## cell57

$$
22261\text{ nodes},
\qquad
11131\text{ leaves}.
$$

三個 node counts都與 durable ledger exact match。

所以 Round38可以直接從 arithmetic migration開始。

---

# 13. Current stage dashboard

Geometry complete：

$$
\boxed{
66/77.
}
$$

Publication candidate：

$$
\boxed{
10/77.
}
$$

Depth-30 batch：

$$
\boxed{
7/7\text{ publication-candidate}.
}
$$

Depth-32 batch：

$$
\boxed{
3/12\text{ publication-candidate}.
}
$$

另外：

$$
\boxed{
3/12
}
$$

已 durable shardized，等待 arithmetic。

---

# 14. Round 38

## Arithmetic

1. cell12 / 59 / 57 bulk lower migration；
2. marker independent + MPFR；
3. RHCERT bytes-only replay；
4. 再提高 depth-32 publication-candidate coverage；
5. shardize remaining 60 / 65 / 67 / 46 / 45 / 58。

## Geometry

1. cell33 d42 → d44 使用 hashed-segment compositional continuation；
2. 開始 deterministic recovery其餘 residual frontiers；
3. 每個新 checkpoint只以 DFRONT bytes落盤後才算 progress。

---

# 15. 最短交接

Round37同時證明兩件事可以量產：

$$
\boxed{
\text{RHCERT publication migration}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{DFRONT sharded continuation}.
}
$$

publication-candidate coverage：

$$
\boxed{
7/77
\to
10/77.
}
$$

cell33 unresolved volume：

$$
\boxed{
2.9748\times10^{-8}
\to
2.6015\times10^{-9}.
}
$$

但 cell33仍未 closure，所以 global theorem狀態不變：

$$
\boxed{
a_{\mathrm{Leb}}\ge0.835
\text{ NOT CERTIFIED}.
}
$$