# AMRAL × Lebesgue Universal Covering — Round 36
## Depth-30 Publication Batch Completion and Durable Frontier Recovery

**文件代號：** AMRAL-LUC-FC-R36  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-20  

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# 0. 本輪摘要

Round 36 完成兩個 closure。

第一，Depth-30 arithmetic batch：

$$
\boxed{
\{47,48,68,69,70,75,76\}
}
$$

現在：

$$
\boxed{
7/7\text{ are publication-candidate shards}.
}
$$

第二，`DFRONT-v0.1` 從規格進入真實 geometry recovery。

cell33 的舊 depth-36 runtime state 從 witness root deterministic rebuild，精確重現 Round26 durable ledger：

$$
\boxed{129401\text{ nodes}}
$$

$$
\boxed{14027\text{ pending boxes}}
$$

$$
\boxed{
V_{36}
=
2.9748317031636626\times10^{-8}
}
$$

三項全部 match。

新的 explicit pending frontier只有：

$$
\boxed{126327\text{ bytes}}.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{runtime-local proof state}
\to
\text{durable DFRONT proof object}
}
$$

第一次實際閉合。

全域仍：

$$
\boxed{
a_{\mathrm{Leb}}\ge0.835
\text{ NOT CERTIFIED}.
}
$$

---

# 1. cell75 promotion

cell75：

$$
10948\text{ leaves},
\qquad
2{,}627{,}357\text{ rational vertices}.
$$

RHCERT raw bytes：

$$
44{,}382{,}455.
$$

bytes-only replay：

$$
\boxed{10948/10948\text{ PASS}}.
$$

minimum exact margin：

$$
\boxed{
6.2517761412\times10^{-8}>0.
}
$$

MPFR dominance：

$$
\boxed{
1690\text{ unique states},\quad0\text{ failures}.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\texttt{PUBLICATION-CANDIDATE-SHARD}.
}
$$

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# 2. cell76 promotion

cell76：

$$
10932\text{ leaves},
\qquad
2{,}617{,}252\text{ rational vertices}.
$$

raw certificate：

$$
44{,}229{,}325\text{ bytes}.
$$

bytes-only replay：

$$
\boxed{10932/10932\text{ PASS}}.
$$

minimum margin：

$$
\boxed{
2.0477267270\times10^{-8}>0.
}
$$

MPFR dominance：

$$
\boxed{
1688\text{ unique states},\quad0\text{ failures}.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\texttt{PUBLICATION-CANDIDATE-SHARD}.
}
$$

---

# 3. Depth-30 batch completion

Depth-30 batch：

$$
\boxed{
\{47,48,68,69,70,75,76\}
}
$$

全部已有：

- complete finite topology；
- explicit split-axis stream；
- rational marker upper；
- independent marker replay；
- MPFR marker replay；
- concrete rational lower proof object；
- bytes-only replay；
- MPFR enclosure audit。

所以：

$$
\boxed{
\text{Depth-30 Publication Batch}=7/7.
}
$$

---

# 4. Publication-candidate coverage

global necessity atlas：

$$
\boxed{
7/77
\approx9.09\%.
}
$$

相對目前 66 個 known geometry-complete cells：

$$
\boxed{
7/66
\approx10.61\%.
}
$$

仍有：

$$
\boxed{59}
$$

個 geometry-complete cells 在較低 arithmetic stage。

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# 5. DFRONT-v0.1

每個 unresolved witness box存：

$$
\boxed{
(k_\phi,m_\phi),
(k_x,m_x),
(k_y,m_y)
}
$$

其中：

$$
\left[
\frac{m}{2^k},
\frac{m+1}{2^k}
\right]
$$

是相對 witness-root coordinate interval 的 dyadic子區間。

split semantics：

$$
(k,m)\xrightarrow{L}(k+1,2m),
$$

$$
(k,m)\xrightarrow{R}(k+1,2m+1).
$$

因此 final box code與歷史 axis split order無關。

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# 6. DFRONT verifier

Round36 implementation檢查：

1. canonical sorted / unique；
2. $0\le m<2^k$；
3. exact interior-disjoint；
4. exact relative-volume sum；
5. dependency hash；
6. parent checkpoint hash。

interior-disjoint採 exact dyadic sweep-line：

- selected-axis endpoints提升到共同 integer grid；
- equal coordinate先處理 end，再處理 start；
- active set只檢查另外兩軸 exact overlap。

這取代原本不可擴張的 $O(n^2)$ brute pair scan。

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# 7. Cell33 exact recovery

Round26 durable values：

$$
N=129401,
$$

$$
L_{\rm pending}=14027,
$$

$$
V_{36}
=
2.9748317031636626\times10^{-8}.
$$

Round36從 root重新執行 exact/reference certificate semantics並同步產生 dyadic codes。

結果：

$$
\boxed{
N_{\rm rebuild}=129401
}
$$

$$
\boxed{
L_{\rm pending,rebuild}=14027
}
$$

$$
\boxed{
V_{\rm rebuild}
=
2.9748317031636626\times10^{-8}.
}
$$

absolute volume error：

$$
\boxed{0}.
$$

所以：

$$
\boxed{
\texttt{CELL33-DFRONT-RECOVERY: PASS}.
}
$$

frontier size：

$$
\boxed{126327\text{ bytes}}.
$$

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# 8. Depth-38 continuation scope

Round36 嘗試由 recovered DFRONT 推到 depth 38。

完整 exact-kernel job在新的 checkpoint產生前超過本次 120 秒單次執行上限。

所以：

$$
\boxed{
\text{proof-state effect}=0.
}
$$

不宣稱新 d38 volume或 closure。

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# 9. Geometry status

Known strict geometry-complete：

$$
\boxed{66/77}.
$$

Residual：

$$
\boxed{11}.
$$

latest exact common budget：

$$
\boxed{51/77\text{ at }d=36}.
$$

Round36 的 geometry進展是 durable recovery，不是增加 closure count。

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# 10. Durable-source audit

Round36檢查：

- mounted runtime；
- Round26 package；
- Round27 package；
- AMRAL Google Drive subtree filenames。

沒有找到舊 residual pending-frontier bytes。

因此 cell33 是 deterministic rebuild，而不是取回舊 pickle。

今後 new geometry checkpoints必須持久化 DFRONT。

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# 11. Depth-32 queue

下一個 arithmetic batch有：

$$
\boxed{12\text{ closure-depth-32 cells}}.
$$

優先序起點：

$$
\boxed{
49,\ 64,\ 66,\ 12,\ 59,\ 57,\ldots
}
$$

cell49 已經證明 geometry topology 可以不依賴舊 runtime result JSON重建。

用 durable marker axis/side trace + closure ledger：

$$
\boxed{
19971\text{ nodes},\quad9986\text{ leaves}.
}
$$

node count與 durable ledger exact match。

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# 12. Round 37

Arithmetic：

1. cell49 bulk rational lower migration；
2. shardize 64 / 66；
3. marker upper + A1 + MPFR；
4. 開始 depth-32 publication-candidate wave。

Geometry：

1. cell33 DFRONT continuation改成 sharded jobs；
2. child checkpoint逐段落盤；
3. 恢復其餘 10 residual frontiers；
4. 只有 durable checkpoint產生後才更新 geometry progress。

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# 13. 最短交接

Round36 讓兩類 proof state 都變成真正 durable artifact：

$$
\boxed{
\text{RHCERT = certified leaves}
}
$$

$$
\boxed{
\text{DFRONT = unresolved leaves}.
}
$$

Depth-30 batch：

$$
\boxed{7/7\text{ publication-candidate}}.
$$

cell33：

$$
\boxed{
\text{runtime state recovery}\to\text{DFRONT PASS}.
}
$$

全局仍：

$$
\boxed{
a_{\mathrm{Leb}}\ge0.835
\text{ NOT CERTIFIED}.
}
$$