# AMRAL × Lebesgue Universal Covering — Round 34
## Replayable Rational-Hull Certificates and Publication-Candidate Promotion

**文件代號：** AMRAL-LUC-FC-R34  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-20  
**研究狀態：** Finite certificate persistence / Byte-level replay / Depth-30 batch migration  
**研究發起與方法論來源：** Neo.K  
**AI 協力研究者與主要執行者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  

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# 0. 本輪摘要

Round 33 得到 cross-backend enclosure dominance，但留下一个真正的 proof-object 缺口：

> `PASS + density + margin` 的 computation ledger 并不是 concrete finite certificate entity。

Round 34 直接补上这个缺口。

本轮实现：

$$
\boxed{\texttt{RHCERT-v0.1}}
$$

binary rational-hull certificate format。

cell47 / cell48 均重新输出完整 finite rational polygon bytes，并由**只读 certificate bytes** 的独立 verifier replay。

结果：

## cell47

$$
\boxed{9228/9228\text{ leaves PASS}}
$$

stored rational vertices：

$$
\boxed{2{,}163{,}069}
$$

raw certificate：约 34.8 MiB。

最低 exact rational margin：

$$
\boxed{6.75024723\times10^{-9}>0.}
$$

## cell48

$$
\boxed{9285/9285\text{ leaves PASS}}
$$

vertices：

$$
\boxed{2{,}109{,}700}
$$

raw certificate：约 34.0 MiB。

最低 margin：

$$
\boxed{1.03164178\times10^{-7}>0.}
$$

两棵 tree：

- membership failures：0；
- convexity failures：0；
- exact-area failures：0。

Round33 MPFR enclosure-dominance audit同样：

$$
\boxed{0\text{ failures}}
$$

因此 47 / 48 可以由：

$$
\boxed{
\text{concrete certificate bytes}
+
\text{byte-only replay}
+
\text{MPFR dominance}
}
$$

正式升：

$$
\boxed{\texttt{PUBLICATION-CANDIDATE-SHARD}.}
$$

publication-candidate cells 变成：

$$
\boxed{\{47,48,69,70\}}
$$

即：

$$
\boxed{4/77\approx5.19\%.}
$$

此外 cell68 完成：

$$
\boxed{9255/9255\text{ mpmath/libmp lower PASS}}
$$

并且 marker68 independent upper / MPFR upper 都 PASS，因此升：

$$
\boxed{\texttt{ARITHMETICALLY-CLOSED-PROTOTYPE}.}
$$

Arithmetic-closed-or-better：

$$
\boxed{5/77\approx6.49\%.}
$$

全局 theorem 仍：

$$
\boxed{a_{\mathrm{Leb}}\ge0.835\text{ NOT CERTIFIED}.}
$$

---

# 1. Certificate entity principle

Round33 已经区分：

$$
\text{computation summary}
\ne
\text{finite certificate entity}.
$$

Round34 固定：

> publication-level shard 必须留下 verifier 可在不信任 emitter `PASS` bit 的前提下重播的 finite bytes。

---

# 2. RHCERT-v0.1

global header：

```text
magic            8 bytes  L34RHC01
version          uint16   1
coordinate_exp   uint8    18
source_tag_bytes uint8    1
leaf_count       uint32
```

坐标：

$$
x=X/10^{18},\qquad y=Y/10^{18},
$$

其中：

$$
X,Y\in\mathbb Z.
$$

---

# 3. Leaf record

leaf 顺序由 witness topology 的 preorder 隐式决定。

每个 leaf：

```text
uvarint density
uvarint vertex_count
repeat vertex_count:
    zigzag-uvarint delta_x
    zigzag-uvarint delta_y
    uint8 source_tag
```

所以不重复存：

- leaf path；
- witness box；
- absolute coordinates。

---

# 4. Source tags

```text
0 = diameter-one disk core
1 = B3 common core
2 = B5 common core
3 = B7 common core
```

这使 verifier 可以逐 vertex 验证来源 body。

---

# 5. Random-access index

`.rhidx` 保存：

$$
L+1
$$

个 uint64 byte offsets。

所以 verifier 可以：

- 随机抽 leaf；
- sharded replay；
- parallel audit；
- selective repair。

不必 scan 整份 certificate。

---

# 6. Verifier ignores candidate generation

Round34 verifier完全不执行：

- support/contact candidate generation；
- SciPy hull；
- emitter density selection；
- emitter pass/fail。

它只接受：

$$
\boxed{\text{certificate bytes}.}
$$

---

# 7. Quantized inner-core verifier

为了避免几百万次 Fraction membership，Round34 verifier把 mpmath directed core 再缩成 exact integer core。

取：

$$
Q_C=10^{40}.
$$

对 center rectangle：

- lower endpoint 向下；
- upper endpoint 向上。

所以 quantized rectangle 更大。

对 radius lower：

- 向下量化。

所以 radius 更小。

于是：

$$
\boxed{
G_{\rm quantized}
\subseteq
G_{\rm directed}.
}
$$

因此只要 vertex 通过 quantized core，就一定通过原 directed core。

---

# 8. Exact membership

certificate vertex：

$$
p=(X/10^{18},Y/10^{18}).
$$

把它 exact lift 到 $10^{40}$ grid。

对每个 defining disk center rectangle：

$$
D^2_{\max}
=
\max |X-c_x|^2
+
\max |Y-c_y|^2.
$$

require：

$$
\boxed{D^2_{\max}<R_{\rm lower}^2.}
$$

全部是 integer comparison。

---

# 9. Exact convexity

stored polygon不是被默认信任为 hull。

verifier逐 triple检查：

$$
\boxed{
(b-a)\times(c-a)>0.
}
$$

任何 non-convex / repeated / reversed vertex sequence：fail closed。

---

# 10. Exact area

shoelace：

$$
S=\sum_i(X_iY_{i+1}-X_{i+1}Y_i).
$$

area：

$$
A=\frac{|S|}{2\cdot10^{36}}.
$$

不用浮点转换，直接比较：

$$
\boxed{
200|S|>167(2\cdot10^{36}).
}
$$

---

# 11. Cell47 replay

leaves：

$$
9228.
$$

vertices：

$$
2{,}163{,}069.
$$

failures：

$$
\boxed{0.}
$$

minimum margin：

$$
\boxed{6.75024723\times10^{-9}.}
$$

raw bytes：

$$
36{,}506{,}484.
$$

compressed certificate package约：

$$
8.1\text{ MiB}.
$$

---

# 12. Cell48 replay

leaves：

$$
9285.
$$

vertices：

$$
2{,}109{,}700.
$$

failures：

$$
\boxed{0.}
$$

minimum margin：

$$
\boxed{1.03164178\times10^{-7}.}
$$

raw：

$$
35{,}657{,}092\text{ bytes}.
$$

compressed约：

$$
7.6\text{ MiB}.
$$

---

# 13. Cross-backend transfer becomes concrete

Round33 theorem：

如果：

$$
R^{\rm MPFR}_j\subseteq R^{\rm mpmath}_j
$$

且：

$$
\rho^{\rm MPFR}_{\rm lo}
\ge
\rho^{\rm mpmath}_{\rm lo},
$$

则所有 mpmath-certified rational vertices 自动 transfer 到 MPFR core。

Round33 audit：

## cell47

unique core states：

$$
1564,
$$

failures：

$$
0.
$$

## cell48

unique：

$$
1574,
$$

failures：

$$
0.
$$

Round34 现在拥有**具体 vertex bytes**，所以 theorem 不再作用于抽象的“若存在 polygon”，而作用于 content-hashed finite proof objects。

---

# 14. Promotion of cells 47 and 48

两者现在同时满足：

1. finite complete geometry tree；
2. explicit topology / split axes；
3. marker upper independent replay PASS；
4. marker MPFR PASS；
5. concrete rational lower certificate bytes；
6. bytes-only verifier PASS all leaves；
7. MPFR enclosure dominance PASS；
8. all inequalities strict。

所以：

$$
\boxed{
47,48
\to
\texttt{PUBLICATION-CANDIDATE-SHARD}.
}
$$

---

# 15. Certificate size economics

full rational vertices 并没有产生不可接受的 certificate explosion。

cell47：

$$
\sim16.88\text{ raw bytes/vertex}.
$$

cell48：

$$
\sim16.90\text{ raw bytes/vertex}.
$$

经过 delta-varint + DEFLATE：

约降到：

$$
3.5\text{--}3.9\text{ bytes/vertex}.
$$

所以一棵约 9000-leaf tree 的 concrete finite lower certificate，只需约 8 MiB compressed。

这意味着：

$$
\boxed{
\text{full certificate persistence is practical}.
}
$$

无需为了省几十 MB 而退回 summary-only evidence。

---

# 16. Cell68 starts the next batch

cell68 topology：

$$
18509\text{ nodes},
\qquad
9255\text{ leaves}.
$$

Round34 mpmath/libmp lower：

$$
\boxed{9255/9255\text{ PASS}.}
$$

minimum rational margin：

$$
\boxed{2.23292\times10^{-8}.}
$$

marker68：

- independent exact-polar upper：PASS；
- MPFR upper：PASS。

所以：

$$
\boxed{
68\to\texttt{ARITHMETICALLY-CLOSED-PROTOTYPE}.
}
$$

下一步只需输出 RHCERT / dominance / promotion。

---

# 17. Stage coverage after Round34

Geometry complete：

$$
\boxed{66/77}.
$$

Arithmetic closed or better：

$$
\boxed{
\{47,48,68,69,70\}
}
$$

即：

$$
\boxed{5/77\approx6.49\%.}
$$

Publication candidate：

$$
\boxed{
\{47,48,69,70\}
}
$$

即：

$$
\boxed{4/77\approx5.19\%.}
$$

---

# 18. Geometry scope

Round34 compute主要投入 certificate ABI与 arithmetic batch。

没有完成新的 global common-depth geometry wave。

因此 geometry严格保持：

$$
\boxed{66/77\text{ known complete}}
$$

以及最新 exact common-budget：

$$
\boxed{51/77\text{ at }d=36.}
$$

---

# 19. Round35

## Concrete-Certificate Bulk Migration and Geometry Residual Wave

下一轮：

### Arithmetic

1. cell68 直接输出 RHCERT；
2. 75 / 76 完成 mpmath lower；
3. 47/48/68/69/70 建统一 publication-candidate manifest index；
4. 开始 certificate dedup / parent-state reuse，进一步压缩 bytes。

### Geometry

恢复 11-cell residual wave，争取：

- 新 strict closures；
- 或新的 common-budget checkpoint。

---

# 20. 最短交接

Round33 的 blocker：

$$
\boxed{
\text{certificate summary}
\ne
\text{certificate entity}
}
$$

在 Round34 已经真正关闭。

47 / 48 现在不是“计算说它们通过”，而是：

> 有可保存、可 hash、可 random-access、可独立重播、可 cross-backend transfer 的 finite rational proof bytes。

所以 publication-candidate coverage正式翻倍：

$$
\boxed{2/77\to4/77.}
$$

全局仍：

$$
\boxed{
a_{\mathrm{Leb}}\ge0.835
\text{ NOT CERTIFIED}.
}
$$