# AMRAL × Lebesgue Universal Covering — Round 33
## Cross-Backend Enclosure Dominance and Depth-30 Batch Shardization

**文件代號：** AMRAL-LUC-FC-R33  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-20  
**研究狀態：** Cross-backend scalability / Depth-30 batch arithmetic wave  
**研究發起與方法論來源：** Neo.K  
**AI 協力研究者與主要執行者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  

---

# 0. 本輪摘要

Round 32 的 pipeline：

$$
66/77
$$

geometry-complete，

$$
3/77
$$

arithmetic-closed-or-better，

$$
2/77
$$

publication-candidate。

Round 33 没有为了提高 publication-candidate 数字而放宽 gate。

本轮最重要的新结果是 **Cross-Backend Enclosure Dominance Theorem**，将第二 backend 的审核从“重新生成每个 leaf 的 polygon”压缩成“验证 directed common-core enclosure 的包含关系”。

cell47：

$$
\boxed{
9228\text{ leaves}
\to
1564\text{ unique witness-core states}
}
$$

cross-backend dominance：

$$
\boxed{\text{PASS},\quad 0\text{ failures}.}
$$

cell48：

$$
\boxed{
9285\text{ leaves}
\to
1574\text{ unique witness-core states}
}
$$

同样：

$$
\boxed{\text{PASS},\quad 0\text{ failures}.}
$$

cell48 的 mpmath/libmp rational lower migration也完整：

$$
\boxed{
9285/9285\text{ PASS}
}
$$

无 inconclusive。

其 marker48：

- independent exact polar upper replay：PASS；
- MPFR upper replay：PASS。

因此 arithmetic-closed-or-better coverage 由：

$$
3/77
$$

增加为：

$$
\boxed{4/77}.
$$

publication-candidate仍严格保持：

$$
\boxed{2/77}
$$

即：

$$
\{69,70\}.
$$

另外 depth-30 batch 的 cell68、75、76 都已生成 explicit topology 与 witness-axis streams，进入 arithmetic migration queue。

全局仍：

$$
\boxed{
a_{\mathrm{Leb}}\ge0.835
\text{ NOT CERTIFIED}.
}
$$

---

# 1. Cross-Backend Enclosure Dominance

Backend A 对 common core 的每个 defining disk保存：

$$
c_j\in R^A_j,
\qquad
\rho\ge\rho_A.
$$

Backend B 独立重建：

$$
c_j\in R^B_j,
\qquad
\rho\ge\rho_B.
$$

若：

$$
\boxed{
R^B_j\subseteq R^A_j
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\rho_B\ge\rho_A,
}
$$

则任何 exact rational point $p$ 若通过 A 的 worst-case membership：

$$
\sup_{c\in R^A_j}\|p-c\|<\rho_A,
$$

自动有：

$$
\sup_{c\in R^B_j}\|p-c\|
\le
\sup_{c\in R^A_j}\|p-c\|
<
\rho_A
\le
\rho_B.
$$

所以：

$$
\boxed{
p\in G_A^{\rm cert}
\Rightarrow
p\in G_B^{\rm cert}.
}
$$

---

# 2. Polygon Transfer Corollary

若 exact rational polygon：

$$
P=\operatorname{conv}\{p_1,\ldots,p_m\}
$$

每个 vertex 都由 Backend A membership certificate验证，

且 Backend B 对每个 defining disk满足 dominance premises，

则同一组 exact rational vertices无需重新生成 candidate geometry：

$$
\boxed{
P\subseteq G_B.
}
$$

exact rational shoelace area与 backend无关。

所以第二 backend只需 audit enclosure semantics。

---

# 3. Why this is a large scalability gain

brute cross-backend tree replay成本随 leaf数：

$$
O(L).
$$

而 B7 tree中大量 leaves共享相同：

- rotation interval；
- halfwidth tuple；
- directed core state。

cell47：

$$
L=9228,
$$

但 unique core states只有：

$$
\boxed{1564}.
$$

cell48：

$$
L=9285,
$$

unique：

$$
\boxed{1574}.
$$

约减少：

$$
6\times
$$

的 expensive directed transcendental state construction。

---

# 4. Cell47 dominance audit

Root containment：

$$
t_3,t_5,t_7,\pi,\sqrt3:
\boxed{\text{PASS}}.
$$

Base directed box containment：

`PASS`.

Base $B_3$ core：

`PASS`.

Base $B_5$ core：

`PASS`.

Witness translation/halfwidth containment：

`PASS`.

B7 unique core states：

$$
1564.
$$

failures：

$$
\boxed{0}.
$$

MPFR radius-lower minus mpmath radius-lower 的最小 gain：

$$
\boxed{
2.15\times10^{-64}>0.
}
$$

---

# 5. Cell48 arithmetic migration

cell48 topology：

$$
18569\text{ nodes},
$$

$$
9285\text{ leaves},
$$

closure depth：

$$
30.
$$

mpmath/libmp rational lower：

$$
\boxed{
9285/9285\text{ PASS}.
}
$$

density：

- 256: 824
- 512: 3438
- 1024: 3725
- 2048: 1065
- 4096: 183
- 8192: 43
- 16384: 7

minimum rational margin：

$$
\boxed{
1.03164\times10^{-7}>0.
}
$$

---

# 6. Cell48 marker upper

independent exact polar replay：

$$
\boxed{\text{PASS}}.
$$

outer：

$$
0.8349325735415322.
$$

margin：

$$
\boxed{
6.74265\times10^{-5}.
}
$$

MPFR replay得到同一 displayed outer area：

$$
\boxed{\text{PASS}}.
$$

---

# 7. Cell48 dominance audit

Root containment：

`PASS`.

Base cores：

`PASS`.

Witness translation boxes：

`PASS`.

unique B7 core states：

$$
\boxed{1574}.
$$

failures：

$$
\boxed{0}.
$$

---

# 8. Certificate-Entity Gap

本轮发现一个 production ABI 缺口：

> computation ledger 记录 `PASS / density / margin`，不等于保存了可独立重播的 finite certificate entity。

Round32 emitter没有持久化每个 leaf 的：

- exact rational hull vertices；
- body source tags；
- exact area fraction；
或等价的 deterministic compact transcript。

因此 Round33 虽然证明：

> 如果这些 exact rational polygons被具体给出，则 MPFR envelope dominance会自动验证它们，

但当前 summary ledger本身不能替代 polygon certificate bytes。

所以 cell47/48 **不升**：

`PUBLICATION-CANDIDATE`.

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# 9. New certificate persistence rule

未来 bulk emitter必须保存至少其一：

## Option A — Full rational hull

每个 leaf：

```text
vertex_count
(x_i,y_i) integer-grid coordinates
source tags
exact area numerator/denominator or hash
```

## Option B — Deterministic transcript

足以唯一重建同一个 rational hull：

```text
candidate-density
grid denominator
candidate algorithm id/hash
source selection transcript
directed-box dependency hash
```

独立 verifier必须能够在不信任 emitter PASS bit 的情况下恢复 exact finite certificate。

---

# 10. Raw certificate-size implication

cell47 final hull vertex总数约：

$$
2.16\times10^6.
$$

cell48：

$$
2.11\times10^6.
$$

若每个 vertex先以两个 signed 64-bit grid integers保存，

raw coordinate payload约：

$$
16\text{ bytes/vertex}.
$$

单 shard raw约几十 MB。

所以 production需要：

- delta coding；
- zigzag varint；
- packed source tags；
- sibling/parent structural reuse；
- 或 deterministic compact transcript。

这成为新的 certificate-engineering问题，而不是数学正确性问题。

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# 11. Depth-30 batch shardization

depth-30 cells：

$$
47,48,68,69,70,75,76.
$$

目前：

## Publication candidate

$$
\boxed{
69,70
}
$$

## Cross-backend enclosure audited prototypes

$$
\boxed{
47,48
}
$$

## Shardized / arithmetic pending

$$
\boxed{
68,75,76
}
$$

三个新 topology：

### cell68

$$
18509\text{ nodes},
\qquad
9255\text{ leaves}.
$$

### cell75

$$
21895\text{ nodes},
\qquad
10948\text{ leaves}.
$$

### cell76

$$
21863\text{ nodes},
\qquad
10932\text{ leaves}.
$$

全部 explicit topology / axis streams已生成。

---

# 12. Stage coverage after Round33

Geometry：

$$
\boxed{
66/77
}
$$

保持不变。

本轮没有完成新的 common-depth geometry wave，因此不偷报 geometry进展。

Arithmetic-closed-or-better：

$$
\boxed{
\{47,48,69,70\}
}
$$

所以：

$$
\boxed{
4/77\approx5.19\%.
}
$$

Publication candidate：

$$
\boxed{
\{69,70\}
}
$$

所以：

$$
\boxed{
2/77\approx2.60\%.
}
$$

---

# 13. Why publication count did not increase

不是 cross-backend failure。

相反：

$$
\boxed{
47/48\text{ backend dominance皆完全 PASS}.
}
$$

真正 blocker 是：

$$
\boxed{
\text{finite certificate entity persistence}.
}
$$

这是比“再跑一次 MPFR”更值得先修的 production问题。

---

# 14. Round 34

## Replayable Rational-Hull Certificate Format and Depth-30 Batch Migration

下一轮优先：

1. 为 rational inner polygons设计 compact replayable binary format；
2. 在 cell47/48 上重发 finite hull transcript；
3. 用 MPFR dominance verifier直接读取 transcript：
   - membership；
   - exact area；
4. 若全 PASS：
   - 47/48 升 publication-candidate；
5. 并行启动 68/75/76 single-backend lower migration；
6. geometry residual queue再恢复 common-depth wave。

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# 15. 最短交接

Round33最大的进展不是“又多跑一个 cell”，而是把 cross-backend verification从：

$$
\boxed{
\text{重新生成整棵 polygon tree}
}
$$

降成：

$$
\boxed{
\text{finite core-enclosure dominance audit}.
}
$$

cell47/48：

$$
\boxed{
0\text{ dominance failures}.
}
$$

现在真正挡住 publication promotion 的是：

> certificate实体必须持久化，而不能只保留 PASS summary。

全局仍：

$$
\boxed{
a_{\mathrm{Leb}}\ge0.835
\text{ NOT CERTIFIED}.
}
$$