# AMRAL × Lebesgue Universal Covering — Round 32
## Bulk Publication-Candidate Migration and Global Residual Closure Wave

**文件代號：** AMRAL-LUC-FC-R32  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-20  
**研究狀態：** Bulk shard migration wave 1 / Geometry residual continuation

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# 0. 本輪摘要

Round 32 第一次把 proof progress 拆成真正的 stage coverage，而不是單一完成百分比。

目前：

$$
\boxed{66/77}
$$

cells 已在某個 finite tested depth strict geometry-close；剩：

$$
\boxed{11}
$$

個 geometry residual。

最新完整 common-budget仍是：

$$
\boxed{\Gamma_{B_7}(36)=51/77}.
$$

較高 budget 因未同步所有 residual，只能報 lower bounds：

$$
\boxed{
\Gamma(38)\ge57,\ 
\Gamma(40)\ge63,\
\Gamma(42)\ge64,\
\Gamma(44)\ge65,\
\Gamma(46)\ge66.
}
$$

Arithmetic team 本輪得到：

- marker70：既有 `PUBLICATION-CANDIDATE-SHARD`；
- cell69：新升 `PUBLICATION-CANDIDATE-SHARD`；
- cell47：升 `ARITHMETICALLY-CLOSED-PROTOTYPE`。

因此：

$$
\boxed{
\text{Publication-Candidate}=2/77
}
$$

而：

$$
\boxed{
\text{Arithmetic-Closed-or-Better}=3/77.
}
$$

global theorem 仍：

$$
\boxed{
a_{\mathrm{Leb}}\ge0.835
\text{ NOT CERTIFIED}.
}
$$

---

# 1. Geometry progress

本輪新增 strict closures：

- cell31：depth 42；
- cell27：depth 44；
- cell7：depth 46。

cell7 的 unresolved volume：

$$
9.43\times10^{-10}
\to
1.34\times10^{-10}
\to
1.93\times10^{-12}
\to
0.
$$

所以目前已知 strict geometry-complete：

$$
\boxed{66/77\approx85.71\%}.
$$

这不是 common-depth-46 statement；只有 depth36 的 51/77 是完整共同预算结果。

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# 2. Cell69 topology

cell69：

$$
\boxed{15711\text{ nodes}}
$$

$$
\boxed{7856\text{ terminal leaves}}
$$

closure depth：

$$
\boxed{30}.
$$

explicit topology / split-axis stream 与原 geometry ledger 一致。

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# 3. Cell69 mpmath/libmp migration

第一条 arithmetic implementation：

`mpmath.iv/libmp + support/contact candidate generation`.

结果：

$$
\boxed{7856/7856\text{ PASS}}.
$$

minimum exact rational margin：

$$
\boxed{1.6525\times10^{-9}>0}.
$$

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# 4. Cell69 MPFR cross-backend

第二条 implementation/backend：

`libMPFR/GMP + defining-disk support geometry`.

第一次完整 wave只有一个 leaf：

```text
011000100000100101100
```

在 32768 directions 时：

$$
A-167/200\approx-3.07\times10^{-9}.
$$

按 fail-closed 规则保持 `INCONCLUSIVE`。

只对该 leaf 增加 arithmetic density：

$$
32768\to65536.
$$

得到：

$$
\boxed{
A-167/200\approx2.5329\times10^{-9}>0.
}
$$

所以无需 geometry resplit。

最终：

$$
\boxed{7856/7856\text{ MPFR PASS}}.
$$

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# 5. Cell69 marker upper

marker69 exact-rational outer：

$$
\boxed{
0.8349723974082344<0.835.
}
$$

margin：

$$
\boxed{
2.76026\times10^{-5}.
}
$$

independent exact polar replay PASS；

MPFR support replay PASS。

因此 cell69 满足 local publication-candidate gate：

$$
\boxed{
\texttt{PUBLICATION-CANDIDATE-SHARD}.
}
$$

---

# 6. Cell47 arithmetic prototype

cell47：

$$
18455\text{ nodes},
\qquad
9228\text{ leaves},
$$

depth 30。

mpmath/libmp rational lower：

$$
\boxed{9228/9228\text{ PASS}}.
$$

minimum rational margin：

$$
\boxed{6.7502\times10^{-9}>0}.
$$

marker47 在 Round29 已有：

- rational upper PASS；
- independent exact polar replay PASS。

但本轮尚未做完整 MPFR lower cross-backend，因此严格停在：

$$
\boxed{
\texttt{ARITHMETICALLY-CLOSED-PROTOTYPE}.
}
$$

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# 7. Stage coverage dashboard

当前：

$$
\boxed{
\text{Geometry Complete}=66
}
$$

$$
\boxed{
\text{Arithmetic Closed or Better}=3
}
$$

$$
\boxed{
\text{Publication Candidate}=2
}
$$

$$
\boxed{
\text{Geometry Complete but Arithmetic Pending}=63
}
$$

$$
\boxed{
\text{Geometry Residual}=11.
}
$$

相对于 global 77 cells：

$$
\boxed{
\text{Publication-Candidate Coverage}
=
2/77
\approx2.60\%.
}
$$

相对于目前 geometry-complete 66 cells：

$$
\boxed{
2/66
\approx3.03\%.
}
$$

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# 8. Bulk migration lesson

Round 32 第一次实际触发 selective arithmetic refinement：

$$
\boxed{
\text{one leaf density escalation}
}
$$

而不是：

$$
\text{whole-tree geometry resplit}.
$$

因此 arithmetic migration 的正确 fallback 顺序得到实证：

$$
\boxed{
\text{increase finite certificate density}
\to
\text{increase arithmetic precision}
\to
\text{only then geometry resplit}.
}
$$

---

# 9. Separate queues

production 现在必须维护两个独立 queue：

## Geometry queue

11 个 residual，只做 $B_7$ closure continuation。

## Arithmetic queue

63 个 geometry-complete但 arithmetic尚未完成的 cells。

这两个 queue 不应该互相阻塞。

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# 10. Round 33

下一轮优先完成 depth30 batch：

$$
47,48,68,75,76.
$$

Arithmetic：

- cell47 补 MPFR；
- 48/68/75/76 建 topology并 bulk migrate；
- 持续提高 publication-candidate count。

Geometry：

- 继续 11 个 residual；
- 尝试恢复新的 exact common-budget checkpoint。

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# 11. 最短交接

Round 32 的核心变化是：

$$
\boxed{
\text{proof progress}
\to
\text{stage coverage dashboard}.
}
$$

现在不再只问「多少 cell closure」，而同时追：

$$
\boxed{
\text{Geometry}
\to
\text{Arithmetic}
\to
\text{A1}
\to
\text{Cross-Backend}
\to
\text{Publication Candidate}.
}
$$

当前：

$$
\boxed{66/77\text{ geometry complete}}
$$

$$
\boxed{3/77\text{ arithmetic-closed or better}}
$$

$$
\boxed{2/77\text{ publication-candidate}}.
$$