# AMRAL × Lebesgue Universal Covering — Round 28
## Exact Root Reconstruction and Bulk Rational-Interval Migration

**文件代號：** AMRAL-LUC-FC-R28  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-20  
**研究狀態：** Round 28 / Directed master-root reconstruction / Bulk leaf migration  
**研究模式：** Human-Directed + Semi-Autonomous AI Mathematical Research  
**研究發起與方法論來源：** Neo.K  
**AI 協力研究者與主要執行者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**前置文件：** AMRAL-LUC-FC-R00 v0.2；R01–R27 v0.1  

---

# 0. 本輪摘要

Round 27 第一次讓 cell0 最薄的 5 個 COMPLETE leaves 通過：

$$
\text{directed interval membership}
+
\text{exact rational polygon area}.
$$

但仍有一個 publication-structure 缺口：

> Round 27 的 interval prototype 是從 stored binary64 leaf state 周圍建立 enclosure，而不是從 master root / exact split semantics一路重建。

Round 28 補上這個缺口，並把 cell0 的全部：

$$
\boxed{9278}
$$

個 terminal leaves 做 bulk migration。

本輪主要結果：

1. master target以 exact rational：
   $$
   T_M=\frac{1673}{2000}
   $$
   表示；
2. $d_\star$ 用 monotone a-priori equation做 directed interval bisection；
3. $t_3,t_5,t_7$ 用 directed interval arithmetic重建；
4. D3 master root直接由 directed endpoints建立；
5. cell0 40-layer base path改成：
   - explicit split axis；
   - explicit side bit；
   不再依賴 scheduler重算；
6. cell0 這條 base path實際：
   $$
   \boxed{0\text{ CPG overrides}}
   $$
   ；
7. B7 lift tree 18,555 nodes 的每個 internal split axis另外輸出 explicit 2-bit stream；
8. reconstructed directed leaf boxes不再以 stored float作 theorem semantics；
9. 對全部 9,278 leaves做 margin-adaptive rational inner-polygon migration；
10. 結果：
    $$
    \boxed{9278/9278\text{ PASS}}
    $$
11. selective resplit：
    $$
    \boxed{0}
    $$
12. interval membership failures：
    $$
    \boxed{0}
    $$
13. 最薄 exact rational margin：
    $$
    \boxed{
    3.1948922738\times10^{-8}>0.
    }
    $$

所以 cell0 在 Round 28 可以升成：

$$
\boxed{
\texttt{CELL0-ARITHMETIC-MIGRATED-PROTOTYPE}
}
$$

但仍不能升成 global publication theorem，因：

- production interval backend尚未 pin / independent audit；
- global base atlas尚未全部 arithmetic migration；
- necessity markers尚未全部 directed upper replay；
- final global shard merge尚未 interval A1 replay。

因此：

$$
\boxed{
a_{\mathrm{Leb}}\ge0.835
\text{ remains NOT CERTIFIED}.
}
$$

---

# 1. Exact master target

Round 28 不再以 binary64：

`0.8365`

作 root semantics。

而是 exact：

$$
\boxed{
T_M=\frac{1673}{2000}.
}
$$

proof target：

$$
\boxed{
T=\frac{167}{200}.
}
$$

---

# 2. Directed $d_\star$

a-priori equation：

$$
F(d)
=
\frac14
\left(
\pi-\arccos\frac1{2d}
\right)
+
\frac12\sqrt{d^2-\frac14}.
$$

定義：

$$
F(d_\star)=T_M.
$$

利用 $F$ 在 relevant domain的 monotonicity，

做 directed bisection：

$$
\boxed{
d_\star\in[d_-,d_+].
}
$$

final interval width約：

$$
O(10^{-63}).
$$

因此 root reconstruction uncertainty遠小於 stored binary64 rounding scale。

---

# 3. Directed translation roots

對 regular odd Reuleaux $B_n$：

$$
R_n
=
\frac1{2\sin((n-1)\pi/(2n))}.
$$

translation root：

$$
t_n
=
-R_n\cos\frac\pi n
+
\sqrt{
R_n^2\cos^2\frac\pi n
-R_n^2
+d_\star^2
}.
$$

Round 28以 directed interval arithmetic取得：

$$
[t_n^-,t_n^+]
$$

for：

$$
n=3,5,7.
$$

interval widths皆遠小於：

$$
10^{-50}.
$$

---

# 4. Directed D3 root

canonical base root：

$$
0\le x_3\le t_3,
$$

$$
0\le y_3\le\frac{\sqrt3}{2}t_3,
$$

$$
0\le\phi_5\le\frac{2\pi}{5},
$$

$$
|x_5|,|y_5|\le t_5.
$$

每個 irrational endpoint現在都是 directed interval。

---

# 5. Scheduler decisions leave theorem semantics

舊 reference path是：

> 從 root開始重新執行 scheduler，再推測每一刀 split axis。

Round 28改成：

$$
\boxed{
\text{certificate stores actual split axis + side}.
}
$$

verifier只需要檢查：

$$
C=C_0\cup C_1.
$$

不需要相信：

- official heuristic；
- CPG；
- learned scheduler；
- cost model。

因此：

$$
\boxed{
\text{scheduler optimality is no longer a proof dependency}.
}
$$

---

# 6. Cell0 base path

cell0 base path depth：

$$
\boxed{40}.
$$

Round 28回收 reference axis trace。

實際 override count：

$$
\boxed{0}.
$$

所以這條 path本身恰好完全走 official axis，

但 certificate仍保存 explicit axis semantics。

未來即使 scheduler改版，

cell0 box不會 stale。

---

# 7. Stored float vs intended box

directed root/path重建後，

stored reference center與 intended center的 deviation最大約在：

$$
10^{-17}
$$

級，

witness tree stored centers最大約：

$$
2.1\times10^{-16}.
$$

所以 binary64 reference非常接近 intended geometry，

但：

$$
\boxed{
\text{close}
\neq
\text{identical}.
}
$$

Round 28之後 proof membership一律對 intended directed box做，

不把 stored float當 source of truth。

---

# 8. B7 witness root

directed witness root：

$$
0\le\phi_7\le\frac{2\pi}{7},
$$

$$
|x_7|,|y_7|\le t_7.
$$

Round 24 topology：

$$
18555\text{ nodes},
$$

$$
9278\text{ leaves}.
$$

Round 28另輸出：

$$
\boxed{
9277
}
$$

個 internal split axes的 2-bit stream。

---

# 9. Explicit-axis partition theorem

若 parent coordinate interval：

$$
[a,b]
$$

選 axis $k$，

midpoint：

$$
m=\frac{a+b}{2},
$$

children：

$$
[a,m],
\qquad
[m,b].
$$

則：

$$
\boxed{
[a,b]
=
[a,m]\cup[m,b].
}
$$

所以 split axis不需要任何 optimality theorem。

只需要：

- axis合法；
- midpoint算術 directed/exact；
- side bit正確。

---

# 10. Directed common-core inputs

對每個 reconstructed leaf：

1. exact/directed base box；
2. exact/directed B7 placement box；
3. motion upper bound：
   $$
   \delta_{\rm hi};
   $$
4. core radius lower：
   $$
   \rho_{\rm lo}=1-\delta_{\rm hi};
   $$
5. regular Reuleaux vertices以 interval trig enclosure。

因此每個 defining disk：

$$
D(V_j,\rho)
$$

變成：

- center rectangle：
  $$
  V_j\in X_j\times Y_j;
  $$
- radius lower：
  $$
  \rho\ge\rho_{\rm lo}.
  $$

---

# 11. Exact point-membership test

對 exact rational point：

$$
p=(p_x,p_y),
$$

center rectangle：

$$
[c_x^-,c_x^+]
\times
[c_y^-,c_y^+],
$$

最大可能 squared distance：

$$
\boxed{
D_{\max}^2
=
\max\{
(p_x-c_x^-)^2,
(p_x-c_x^+)^2
\}
+
\max\{
(p_y-c_y^-)^2,
(p_y-c_y^+)^2
\}.
}
$$

若：

$$
\boxed{
D_{\max}^2<\rho_{\rm lo}^2,
}
$$

則不論真正 center落在 rectangle何處：

$$
p\in D(V_j,\rho).
$$

對所有 defining disks成立，

即可證：

$$
p\in G_{\rm core}.
$$

這一步全部使用 exact rational comparison。

---

# 12. Candidate generation remains performance-only

candidate points仍可由 nominal geometry產生：

- dense boundary contacts；
- 向 interior 微縮；
- round-trip decimal rationalization。

但 proof不相信：

> nominal body boundary。

proof只相信：

$$
\boxed{
\text{final rational point passed directed membership}.
}
$$

所以 candidate generator未來可以完全替換。

---

# 13. Rational polygon lower theorem

若：

$$
P
$$

的每個 rational vertex都被 certified inside common cores，

則：

$$
\operatorname{conv}(P)
\subseteq
\operatorname{conv}
(
G_D\cup G_3\cup G_5\cup G_7
).
$$

因此：

$$
\boxed{
A(P)
\le
A(
\operatorname{conv}
(
G_D\cup G_3\cup G_5\cup G_7
)
).
}
$$

而 $A(P)$ 使用 exact rational shoelace。

若：

$$
A(P)>\frac{167}{200},
$$

leaf certified。

---

# 14. Margin-adaptive density

Round 27 最薄 leaf需要 16,384 directions。

但大多數 leaves margin遠大。

Round 28依 reference slack只用它來決定：

> 先從哪個 candidate density開始。

reference slack不參與 final acceptance。

density levels：

$$
256,
512,
1024,
2048,
4096,
8192,
16384.
$$

---

# 15. Bulk migration result

cell0：

$$
\boxed{
9278
}
$$

terminal leaves。

Round 28：

$$
\boxed{
9278/9278
}
$$

全部：

`RATIONAL-INTERVAL-PASS`.

所以：

$$
\boxed{
\text{direct migration fraction}=1.
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\text{selective resplit fraction}=0.
}
$$

---

# 16. Density distribution

## 256

$$
821
$$

leaves。

## 512

$$
3425.
$$

## 1024

$$
3709.
$$

## 2048

$$
1115.
$$

## 4096

$$
163.
$$

## 8192

$$
39.
$$

## 16384

只有：

$$
\boxed{6}.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{high-density arithmetic certificates are a tiny tail}.
}
$$

---

# 17. Membership result

全部 selected rational hull vertices的 directed core membership：

$$
\boxed{
\text{failures}=0.
}
$$

也沒有 leaf因 membership uncertainty被迫 resplit。

---

# 18. Minimum migrated margin

bulk migration中最薄 exact rational certificate仍是：

```text
1101011010010011111001110
```

exact rational margin：

$$
\boxed{
3.1948922738\times10^{-8}.
}
$$

與 Round 27 targeted replay一致。

---

# 19. Cell0 arithmetic state

舊：

$$
\texttt{REFERENCE-COMPLETE}.
$$

Round 28後：

$$
\boxed{
\texttt{CELL0-ARITHMETIC-MIGRATED-PROTOTYPE}.
}
$$

它現在有：

- directed master-root reconstruction；
- explicit base split trace；
- explicit witness axis stream；
- exact topology；
- 9278 finite rational lower certificates；
- 0 arithmetic-inconclusive leaves。

---

# 20. Why still not publication-grade

仍缺：

## Backend trust closure

目前 directed transcendental/root construction依：

`mpmath.iv / libmp`

prototype。

publication應 pin：

- implementation；
- version；
- backend hash；
- independent arithmetic audit。

## Global proof coverage

cell0只是 necessity atlas的一個 cell。

## Marker arithmetic

77 necessity marker upper certificates尚未全部 migrated。

## Global base atlas

base-side APR/CORE/SYM/prefix proof仍需同一 arithmetic bundle。

## Independent A1 replay

final migrated shard需要獨立 verifier。

所以：

$$
\boxed{
\text{local migration success}
\neq
\text{global theorem}.
}
$$

---

# 21. Arithmetic migration theorem strengthened

Round 26：

> interval-pass leaves原位升級，inconclusive leaves局部 resplit。

Round 28 cell0實測：

$$
\boxed{
\text{all leaves pass without geometry resplit}.
}
$$

這證明至少對一棵最深達 30 的真實 complete witness tree：

> arithmetic migration不一定造成 certificate explosion。

---

# 22. Certificate size economics

leaf proof不需要存全部 dense candidate points。

production可保存：

- final rational hull vertices；
- body-source tags；
- directed box dependency hash；
- exact area numerator/denominator；
- density metadata只作 reproducibility。

而高密度 16k leaf只有 6 個。

因此 arithmetic bytes可使用：

$$
\boxed{
\text{margin-adaptive storage}.
}
$$

---

# 23. Root-reconstruction ABI

Round 28 建議 final root certificate固定：

```text
exact target
exact master target
directed d_star interval
directed t3/t5/t7 intervals
D3 root endpoint intervals
base explicit axis/side path
witness topology
witness explicit axis stream
arithmetic backend id/hash
```

scheduler name不進 proof-critical bundle。

---

# 24. Status ledger

## Exact rational master target

`CLOSED`

## Directed $d_\star$

`IMPLEMENTED`

## Directed $t_3,t_5,t_7$

`IMPLEMENTED`

## D3 root reconstruction

`IMPLEMENTED`

## cell0 base path explicitization

`PASS`

## witness split-axis stream

`PASS`

## cell0 bulk arithmetic migration

$$
\boxed{9278/9278\text{ PASS}}
$$

## selective resplit

$$
\boxed{0}
$$

## publication backend pinning

`OPEN`

## global arithmetic replay

`OPEN`

## global $a_{\mathrm{Leb}}\ge0.835$

`NOT CERTIFIED`

---

# 25. Round 29

## Necessity-Marker Upper Migration and Whole-Shard Arithmetic ABI

下一輪優先：

1. 用 directed support half-plane outer polygon migration 77 necessity markers；
2. 先跑 margin最薄的 markers；
3. 把 base cell exact path semantics同樣升級成 reusable prefix certificate；
4. 將 cell0 的 9278 rational leaf certificates壓成 production shard格式；
5. 做獨立 A1 arithmetic replay；
6. geometry線只繼續未 closure residual；
7. 若 cell0 A1 arithmetic replay成功，正式建立第一個：
   $$
   \boxed{\text{PUBLICATION-CANDIDATE LIFT SHARD}}
   $$
   但仍不宣稱 global theorem。

---

# 26. 最短交接

Round 28 補掉 Round 27 最大的算術結構缺口：

$$
\boxed{
\text{stored float semantics}
\to
\text{directed master-root/path semantics}.
}
$$

然後 cell0：

$$
\boxed{
9278/9278
}
$$

leaves全部完成 exact rational lower migration，

沒有任何 selective resplit。

所以目前 cell0 的瓶頸已經不在 leaf geometry，

而在：

$$
\boxed{
\text{global arithmetic ABI + independent replay + global coverage}.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
a_{\mathrm{Leb}}\ge0.835
\text{ remains NOT CERTIFIED}.
}
$$