# AMRAL × Lebesgue Universal Covering — Round 27
## Residual Tail Prioritization and First Directed-Interval Leaf Certificates

**文件代號：** AMRAL-LUC-FC-R27  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-20  
**研究狀態：** Round 27 / Residual continuation / First interval-contained rational leaf replay  
**研究模式：** Human-Directed + Semi-Autonomous AI Mathematical Research  
**研究發起與方法論來源：** Neo.K  
**AI 協力研究者與主要執行者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**前置文件：** AMRAL-LUC-FC-R00 v0.2；R01–R26 v0.1  

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# 0. 本輪摘要

Round 26 在完整 77-cell necessity atlas 的共同 budget：

$$
d=36
$$

得到：

$$
\boxed{
51/77
}
$$

strict reference $B_7$ closures，

以及：

$$
26
$$

個仍 contracting 的 residual。

Round 27 同時推兩條線：

1. 只延伸 residual tail，不重算已 closure subtrees；
2. 對最薄 reference leaves開始真正的 interval-contained arithmetic replay。

本輪最重要的新結果：

## Geometry progress

canonical common-depth結果仍保持：

$$
\boxed{
51/77\text{ at common }d=36.
}
$$

因 Round 27 尚未把所有 broad residual同步推到相同的 38/40 budget，

所以較高 budget只報**已知 strict closure lower bound**：

$$
\boxed{
\ge57/77
\text{ have known closure depth }\le38,
}
$$

$$
\boxed{
\ge63/77
\text{ have known closure depth }\le40.
}
$$

這兩個數字不是 common-depth capacity curve。

## Arithmetic progress

對 cell0 COMPLETE tree 最薄的 5 個 leaves，

建立：

$$
\boxed{
\text{interval-verified rational inner polygon}
}
$$

並用 exact rational convex hull / shoelace重新驗證。

結果：

$$
\boxed{
5/5\text{ PASS}.
}
$$

最薄 reference leaf原 reference slack約：

$$
4.2074\times10^{-8}.
$$

新的 exact rational inner-polygon area：

$$
\boxed{
0.8350000319489227
}
$$

所以 exact rational margin：

$$
\boxed{
3.1949\times10^{-8}>0.
}
$$

而且：

- candidate hull vertices：
  $$
  3170;
  $$
- interval membership failures：
  $$
  \boxed{0}.
  $$

因此本輪得到第一個不依賴 floating hull area 的 leaf-level lower certificate prototype。

但 scope 必須嚴格限制：

> 目前 interval prototype包住的是 stored reference binary64 leaf state，不是從 master root開始完整重建的 exact/directed split semantics。

所以：

$$
\boxed{
\text{PUBLICATION THEOREM: NOT YET}.
}
$$

---

# 1. Residual continuation semantics

Round 26 已建立 resumable wave state。

Round 27 continuation遵守：

$$
\boxed{
\text{only extend unresolved boxes}.
}
$$

已 closure subtrees永遠不重算。

因此 compute cost開始和：

$$
\text{current residual volume}
$$

而不是歷史總 tree size相關。

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# 2. Common-budget discipline

若不是所有 residual cells都推到同一 depth：

$$
d,
$$

就不能把：

> 已知 closure depth $\le d$

冒充：

$$
\Gamma_{B_7}(d).
$$

所以 Round 27 保留 Round 26：

$$
\boxed{
\Gamma_{B_7}(36)=51
}
$$

作為最新完整 common-budget值。

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# 3. Known higher-budget closures

在本輪與 Round 26 partial continuation中，

已知：

$$
\boxed{
57
}
$$

cells 的 strict closure depth：

$$
\le38.
$$

並且至少：

$$
\boxed{
63
}
$$

cells 已有 strict closure depth：

$$
\le40.
$$

這些都是合法 strict edges，

但因 remaining broad residual沒有全部跑到相同 budget，

只能記：

$$
\boxed{
\Gamma_{B_7}(38)\ge57,
\qquad
\Gamma_{B_7}(40)\ge63.
}
$$

不能寫 equality。

---

# 4. Residual scheduling

目前 remaining cells優先順序：

1. terminal dust；
2. thin；
3. broad contracting。

priority metric仍為：

$$
V_d
$$

與：

$$
\rho_{d,\Delta}
=
V_{d+\Delta}/V_d.
$$

不是 pending leaf count。

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# 5. Fast negative prefilter

Round 27另測一個 performance-only acceleration：

1. APR先跑；
2. cheap approximate hull只作 negative prefilter；
3. approximate value若遠低於 target：
   - 不呼叫 exact hull；
   - 直接 split；
4. 只有 candidate near target時才呼叫 exact hull；
5. 任何 `CERT` 仍必須由原 strict exact/reference lower rule確認。

因此 fast prefilter：

$$
\boxed{
\text{can create false negatives, but cannot create false positives}.
}
$$

它只影響 tree cost，

不改 theorem semantics。

在最 broad residual上目前仍有昂貴 exact-hull tail，

所以本輪沒有把它升成 production scheduler default。

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# 6. Arithmetic objective

Round 26已指出：

> 一個較大的 uniform global safety pad會破壞很多薄 margin leaves。

Round 27 的目標因此不是：

$$
\text{guess a safer pad}.
$$

而是直接把 individual leaf轉成：

$$
\boxed{
\text{finite exact rational one-sided certificate}.
}
$$

---

# 7. Rational Inner-Polygon Theorem

## 定理 7.1

令：

$$
G_1,\ldots,G_m
$$

為 certified common cores。

若有限點集：

$$
P_i\subset G_i
$$

全部以 exact / directed arithmetic驗證，

令：

$$
P=\bigcup_iP_i.
$$

則：

$$
\boxed{
\operatorname{conv}(P)
\subseteq
\operatorname{conv}
\left(
\bigcup_iG_i
\right).
}
$$

所以：

$$
\boxed{
\operatorname{Area}(\operatorname{conv}(P))
\le
\operatorname{Area}
\operatorname{conv}
\left(
\bigcup_iG_i
\right).
}
$$

因此 exact rational polygon area是合法 lower bound。

Q.E.D.

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# 8. Why this helps arithmetic

原 reference lower area依賴：

- support envelope；
- crossing detection；
- circular-segment area；
- floating transcendental operations。

新的 leaf certificate只需要：

1. point membership；
2. exact rational convex hull；
3. exact rational shoelace。

proof surface大幅縮小。

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# 9. Candidate generation is not proof-critical

點怎麼找並不重要。

Round 27 emitter使用：

- nominal common-core contacts；
- 每個點微幅往 interior center縮；
- 17-digit round-trip decimal rationalization。

但 final verifier完全不需要相信：

> 這些點來自 nominal boundary。

只需要逐點驗：

$$
p\in G_i.
$$

所以 candidate generation屬 performance layer。

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# 10. Disk membership

disk：

$$
D=B_{1/2}(0).
$$

rational point：

$$
p=(x,y).
$$

直接 exact check：

$$
\boxed{
x^2+y^2<1/4.
}
$$

不需要 interval transcendental arithmetic。

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# 11. Eroded Reuleaux membership

common core：

$$
G
=
\bigcap_jD(V_j,\rho).
$$

對 rational point：

$$
p,
$$

production-style membership只需：

$$
\boxed{
\|p-V_j\|^2
<
\rho^2
\qquad
\forall j.
}
$$

Round 27 prototype：

- $V_j$ 用 interval enclosure；
- $\rho$ 用 interval enclosure；
- distance squared用 interval arithmetic；
- 只有在：
  $$
  d^2_{\rm hi}<(\rho^2)_{\rm lo}
  $$
  才 PASS。

這是 fail-closed。

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# 12. Prototype interval engine

本輪環境沒有 MPFR/Arb Python binding。

可用：

`mpmath.iv`

其底層 `libmp` interval endpoints使用向下／向上 rounding。

Round 27只把它定義為：

$$
\boxed{
\text{reference directed-interval prototype}.
}
$$

publication backend仍應：

- pin implementation；
- pin version/hash；
- preferably MPFR/Arb-class independent audit。

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# 13. Stored-state limitation

目前 common-core parameters：

- base center；
- base halfwidth；
- witness center；
- witness halfwidth；

來自已存 binary64 reference tree。

Round 27用：

$$
[\operatorname{nextdown}(x),\operatorname{nextup}(x)]
$$

包住每個 stored float。

所以 prototype rigorously handles：

$$
\boxed{
\text{a local enclosure of the stored reference state}.
}
$$

但尚未證：

> stored reference box本身就是從 exact master root / exact split semantics得到的完整 intended box。

這仍是 publication migration的下一層。

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# 14. Cell0 worst leaf

reference path：

```text
1101011010010011111001110
```

depth：

$$
25.
$$

reference lower：

$$
0.835000042074202.
$$

reference slack：

$$
\boxed{
4.20742\times10^{-8}.
}
$$

---

# 15. 16k rational replay

每個 common-core body取：

$$
16384
$$

個 candidate directions。

候選點 inward factor：

$$
10^{-12}.
$$

float hull candidate vertices：

$$
3170.
$$

directed interval membership：

$$
\boxed{
3170/3170\text{ PASS}.
}
$$

failures：

$$
\boxed{0}.
$$

---

# 16. Exact polygon area

verified points重新做 exact rational convex hull。

vertices：

$$
3170.
$$

exact rational area轉 decimal：

$$
\boxed{
0.8350000319489227.
}
$$

target：

$$
0.835
=
167/200.
$$

所以 exact rational：

$$
\boxed{
A_{\rm poly}-167/200
>0.
}
$$

decimal margin：

$$
\boxed{
3.19489\times10^{-8}.
}
$$

---

# 17. Tightest five leaf audit

cell0 COMPLETE tree依 reference slack排序最薄 5 leaves。

Round 27 全部做相同 rational/interval replay。

結果：

$$
\boxed{
5/5\text{ PASS}.
}
$$

exact rational margins約：

1. $3.19\times10^{-8}$；
2. $6.42\times10^{-8}$；
3. $1.16\times10^{-7}$；
4. $1.57\times10^{-7}$；
5. $2.03\times10^{-7}$。

interval membership failures：

$$
\boxed{0}.
$$

---

# 18. What this actually proves

在 prototype arithmetic semantics中：

> 對 stored reference binary64 state的小 interval enclosure，這五個 leaves都有 finite rational inner polygon，exact area嚴格 $>0.835$。

所以它們不再依賴：

- floating hull shoelace；
- floating arc caps；
- floating support crossing area；

來取得 lower inequality。

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# 19. What it does not prove

本輪仍沒有：

1. interval重建 master root；
2. interval重建 D3 base path；
3. interval驗證所有 split box endpoints；
4. interval replay全部 active leaves；
5. directed upper replay全部 necessity markers；
6. independent second interval backend。

所以：

$$
\boxed{
\text{theorem-ready remains false}.
}
$$

---

# 20. Arithmetic migration architecture

新的 production leaf flow：

```text
REFERENCE LEAF
      |
      v
reconstruct exact/directed box semantics
      |
      v
generate rational inner points
      |
      v
interval membership
      |
      v
exact rational hull area
      |
      +--> area > T : INTERVAL/RATIONAL-PASS
      |
      +--> area <= T : add points / precision / selective resplit
```

---

# 21. Selective-density advantage

tight leaves可以使用：

$$
16384,\ 32768,\ldots
$$

directions。

high-margin leaves可能只需：

$$
512,\ 1024,\ldots
$$

因此 arithmetic certificate也可以 margin-adaptive。

不需要所有 leaves使用相同點數。

---

# 22. Relationship to Round 14

Round 14：

> stale evidence可以 semantic revalidate。

Round 27現在得到真正 arithmetic版本：

$$
\boxed{
\text{reference floating leaf}
\rightarrow
\text{new rational/interval leaf certificate}.
}
$$

certificate bytes可以改，

geometry subtree不用改。

只有新 lower certificate無法達 target的 leaves才需要 resplit。

---

# 23. Joint-witness status

Round 27新 geometric continuation仍沒有提供 joint-witness necessity。

已知 strict single-$B_7$ closures持續增加。

所以：

$$
\boxed{
\text{joint queue remains deferred}.
}
$$

---

# 24. Round 28

## Exact Root Reconstruction and Bulk Rational-Interval Migration

下一輪優先：

1. 用 directed arithmetic重建：
   - master target；
   - $t_3,t_5,t_7$；
   - D3 wedge root；
2. 把 stored path轉成 exact/directed child boxes；
3. 比較 reference boxes是否被新 interval boxes包含；
4. 對 cell0 COMPLETE tree：
   - margin-adaptive rational polygon replay全部 9278 leaves；
5. 計：
   - direct migration fraction；
   - only-resplit fraction；
6. 開始 necessity-marker directed upper polygon replay；
7. geometry線只續跑 remaining broad residual，不重算已知 63+ strict edges。

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# 25. 最短交接

Round 27 完成兩個關鍵過渡。

第一：

$$
\boxed{
\text{known strict B7 closures continue rising beyond the common d36 checkpoint}.
}
$$

目前已知至少：

$$
57/77\text{ by tested depth }\le38,
$$

$$
63/77\text{ by tested depth }\le40.
$$

但不把不一致 budgets冒充 common curve。

第二：

$$
\boxed{
\text{first rational/interval lower leaf certificates PASS}.
}
$$

cell0最薄五個 leaves：

$$
\boxed{5/5}
$$

都能轉成 exact rational area $>0.835$。

因此 arithmetic migration不再只是規格。

它已經開始產生真正的 one-sided finite certificates。

但 global theorem gate仍保持：

$$
\boxed{
a_{\mathrm{Leb}}\ge0.835
\text{ NOT CERTIFIED}.
}
$$