# AMRAL × Lebesgue Universal Covering — Round 26
## Full Necessity-Atlas $B_7$ Wave and Production Arithmetic Contract

**文件代號：** AMRAL-LUC-FC-R26  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-20  
**研究狀態：** Round 26 / Full 77-cell necessity-atlas checkpoint / Production arithmetic migration  
**研究模式：** Human-Directed + Semi-Autonomous AI Mathematical Research  
**研究發起與方法論來源：** Neo.K  
**AI 協力研究者與主要執行者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**前置文件：** AMRAL-LUC-FC-R00 v0.2；R01–R25 v0.1  

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# 0. 本輪摘要

Round 25 在 12-cell reference subset得到 $12/12$ 皆可由單一 $B_7$ 有限深度 closure。

Round 26 第一次把同一策略推到完整：

$$
\boxed{77}
$$

個 Round 19 necessity-marked base cells。

為避免不同 cells 被不同最大深度污染，本輪 canonical checkpoint固定共同 budget：

$$
\boxed{d=36}.
$$

結果：

$$
\boxed{51/77}
$$

cells 已取得 strict reference $B_7$ closure，

剩：

$$
\boxed{26/77}
$$

residual。

coverage：

$$
\boxed{66.23\%}.
$$

更重要的是：

$$
\boxed{\text{26 個 residual 全部仍在收縮。}}
$$

上一 common checkpoint到 depth 36 的 contraction ratio對全部 residual都 $<1$，最大：

$$
\boxed{\rho_{\max}\approx0.57615}.
$$

因此目前完整 atlas仍沒有 joint-witness necessity evidence。

同時本輪正式建立 production arithmetic ABI：reference floating/exact-kernel evidence不能直接升格為 publication proof；所有 reference COMPLETE leaves在 migration前統一視為：

$$
\boxed{\texttt{ARITHMETIC-PENDING}}.
$$

本輪判定：

$$
\boxed{\text{FULL 77-CELL CHECKPOINT THROUGH }d=36:\ \text{COMPLETED}}
$$

$$
\boxed{B_7\text{ STRICT REFERENCE CLOSURE AT }d=36:\ 51/77}
$$

$$
\boxed{\text{RESIDUAL}:26/77,\ \text{ALL CONTRACTING}}
$$

$$
\boxed{\text{JOINT NECESSITY: NOT ESTABLISHED}}
$$

$$
\boxed{\text{PRODUCTION ARITHMETIC ABI: FORMALIZED}}
$$

$$
\boxed{\text{INTERVAL BACKEND / FULL REPLAY: OPEN}}
$$

$$
\boxed{a_{\mathrm{Leb}}\ge0.835:\ \text{NOT CERTIFIED}}
$$

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# 1. Full necessity atlas

Round 19 necessity segmentation得到 77 個 depth-40 base cells，每一個已有 reference outer marker：

$$
U_{\rm base}(q_j)<0.835.
$$

所以每個 cell 都是 `NECESSITY-MARKED`，最終不能靠 base-only proof closure。

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# 2. Why a depth wave

若 worker一次把單一 hard cell推到底，少數 hard cells會佔住 queue，後方 easy cells無法公平前進。

Round 26改成：

$$
\boxed{\text{common depth wave}}
$$

所有 residual cells依序經：

$$
22\to24\to26\to28\to30\to32\to34\to36.
$$

每一 wave後 COMPLETE cells永久移出；其餘保存 pending boxes，下一輪只延伸尚未 closure 的部分。

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# 3. Crash/restart state

每個 cell持久化：

```text
cell_id
base_path
last_depth
pending_boxes
cumulative_nodes
cumulative_cert_leaves
unresolved_volume
previous_unresolved_volume
contraction_ratio
status
```

因此：

$$
\boxed{\text{77-cell workload is resumable}.}
$$

---

# 4. Budget monotonicity

若固定 cell / witness / theorem semantics 有：

$$
I_{jK}^{(d)}=1,
$$

則更大 budget $d'>d$ 不會讓舊 complete proof失效：

$$
\boxed{I_{jK}^{(d)}\le I_{jK}^{(d')}}.
$$

因此：

$$
\Gamma_K(d)=\#\{j:I_{jK}^{(d)}=1\}
$$

單調不減。

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# 5. Full-atlas closure curve

對 $B_7$：

$$
\Gamma_{B_7}(22)=0,
$$

$$
\Gamma_{B_7}(24)=0,
$$

$$
\Gamma_{B_7}(26)=0,
$$

$$
\Gamma_{B_7}(28)=0,
$$

$$
\boxed{\Gamma_{B_7}(30)=7},
$$

$$
\boxed{\Gamma_{B_7}(32)=19},
$$

$$
\boxed{\Gamma_{B_7}(34)=38},
$$

$$
\boxed{\Gamma_{B_7}(36)=51}.
$$

所以共同 depth-36 reference coverage：

$$
\boxed{\frac{51}{77}\approx66.23\%.}
$$

---

# 6. Canonical residual at depth 36

共同 budget下：

$$
\boxed{|\mathcal R_{36}|=26}.
$$

本輪不把只對部分 residual跑到 depth 38/40 的資訊灌回 depth-36 curve。

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# 7. Residual volume distribution

26 個 residual unresolved placement volume：

$$
V_{\min}\approx6.36\times10^{-12},
$$

$$
Q_{25}\approx2.31\times10^{-9},
$$

$$
Q_{50}\approx1.64\times10^{-8},
$$

$$
Q_{75}\approx3.33\times10^{-8},
$$

$$
Q_{90}\approx4.97\times10^{-8},
$$

$$
\boxed{V_{\max}\approx6.99\times10^{-8}}.
$$

---

# 8. Residual classes

scheduler 分三類：

## Terminal dust

$$
V\le10^{-9},
$$

count：

$$
\boxed{5}.
$$

## Thin

$$
10^{-9}<V\le10^{-8},
$$

count：

$$
\boxed{7}.
$$

## Broad

$$
V>10^{-8},
$$

count：

$$
\boxed{14}.
$$

---

# 9. Residual contraction

定義：

$$
\rho=\frac{V_{\rm current}}{V_{\rm previous\ wave}}.
$$

26 residual 的 median：

$$
\approx0.30094.
$$

75%：

$$
\approx0.42133.
$$

90%：

$$
\approx0.51170.
$$

maximum：

$$
\boxed{0.57615}.
$$

因此：

$$
\boxed{\rho<1\quad\text{for all 26 residual cells}.}
$$

這是 numerical measurement，不是 universal theorem。

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# 10. Joint-witness implication

Round 24 admission gate只有在 single tails plateau或 single witnesses被 pointwise counterexample淘汰時才應開 joint tree。

Round 26 depth36：

$$
\boxed{\text{沒有一個 residual 顯示 volume plateau}.}
$$

所以：

$$
\boxed{\text{joint-witness queue remains deferred}.}
$$

目前 bottleneck仍是 deep single-witness certificate cost。

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# 11. Pending count is not difficulty

deep cells可能有 $10^4$ 級 pending leaves，但 unresolved volume只有 $10^{-8}$–$10^{-7}$。

因此 production plateau / priority metric必須使用：

$$
V_d,\qquad
\rho_{d,\Delta},
$$

而不是 pending-count ratio。

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# 12. Hierarchical ancestor opportunity

77 paths共享大量 base prefixes。

理論上若一個較淺 base ancestor的 $B_7$ lift能 COMPLETE，即可用 Certified Ancestor Contraction一次覆蓋全部 descendants。

Round 26 brute ancestor experiment因 exact-kernel compute cost過高而停止；沒有 ancestor closure claim。

此優化保留到 cache / interval kernel成熟後。

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# 13. Arithmetic becomes the next theorem gate

reference verifier目前仍混有 binary64 / reference-pad semantics。

所以：

$$
\boxed{\text{reference COMPLETE}\neq\text{publication COMPLETE}.}
$$

所有 active reference leaves在 production migration前統一標：

`ARITHMETIC-PENDING`.

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# 14. Why a larger global pad fails

已 audit 的 complete trees中，最小 observed leaf slack只有：

$$
\boxed{2.8982\times10^{-9}}.
$$

若粗暴換成：

$$
10^{-8}
$$

global pad，多棵 currently complete trees會重新打開。

因此：

$$
\boxed{\text{global pad migration is rejected}.}
$$

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# 15. Per-leaf arithmetic ledger

每個 leaf保存：

```text
nominal_raw_lower
reference_pad
reference_slack
interval_lower
interval_slack
precision_bits
backend_hash
```

若 interval replay：

$$
L_{\rm int}^{\rm lo}\ge T,
$$

升：

`INTERVAL-PASS`.

若：

$$
L_{\rm int}^{\rm lo}<T\le L_{\rm int}^{\rm hi},
$$

標：

`INTERVAL-INCONCLUSIVE`.

這不是 proof failure。

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# 16. Selective Arithmetic Revalidation Theorem

固定覆蓋 root 的合法 partition tree。

若一部分 terminal leaves經 current interval arithmetic直接 PASS，而其餘 inconclusive leaves只在自己的 subtree中合法細分，則只要這些 refined descendants最終全部 closure，整體 root coverage仍成立。

其他已 interval-pass 的 subtrees不需要重新計算。

因此：

$$
\boxed{\text{arithmetic upgrade can be local}.}
$$

---

# 17. Backend contract

production backend要求：

$$
\boxed{\text{correctly-rounded arbitrary-precision interval / ball arithmetic}.}
$$

precision ladder：

$$
128\to192\to256\to384\text{ bits}.
$$

若 interval跨越判定 boundary：

1. increase precision；
2. 仍 inconclusive則 split geometry；
3. never accept by midpoint。

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# 18. Exact layer

以下保持 exact：

- prefix paths；
- split sides；
- node counts；
- forest identities；
- dyadic child fractions；
- certificate topology；
- hashes。

這些不必進 interval complexity。

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# 19. Motion interval

對：

$$
\delta
=
\sqrt{h_x^2+h_y^2}
+
2R\sin(h_\phi/2),
$$

計算 outward：

$$
\delta_{\rm hi}.
$$

common-core radius：

$$
\boxed{\rho_{\rm lo}=1-\delta_{\rm hi}.}
$$

---

# 20. Preserve eroded-Reuleaux geometry

Round 26 audit測試 coarse radial/disk-like fallback。

在 cell0 的 9278 complete leaves上，它只能保留約百分之幾的 closure能力。

因此 production primary core不能退化成粗 disk-like samples。

保留：

$$
\boxed{\bigcap_jD(V_j,\rho_{\rm lo})}
$$

的 eroded-Reuleaux geometry。

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# 21. Interval common-core constructor

primary constructor應用 directed interval完成：

1. $\rho_{\rm lo}>0$；
2. nonemptiness；
3. circle-circle intersection radicand；
4. branch separation；
5. all-disk membership。

這比 interval 化整個 support-envelope crossing system更局部。

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# 22. Tight-leaf polygon audit

cell0 某 worst reference leaf：

nominal exact-style lower：

$$
0.835000042174202.
$$

reference lower after $10^{-10}$：

$$
0.835000042074202.
$$

slack約：

$$
4.21\times10^{-8}.
$$

uniform contact polygon：

4096 directions：

$$
0.83499981953
$$

未通過。

8192 directions：

$$
0.83500000604
$$

才勉強通過。

所以：

$$
\boxed{\text{coarse finite polygonization is fallback only}.}
$$

---

# 23. Necessity-marker arithmetic

77 markers 的 reference margin：

minimum：

$$
\boxed{2.885\times10^{-7}},
$$

median：

$$
\approx6.806\times10^{-5}.
$$

upper marker通常比最薄 lower leaf更有餘裕，但仍需 directed upper replay。

production marker只有在：

$$
U_{\rm interval}^{\rm hi}<T
$$

時才保持 active。

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# 24. Arithmetic semantic migration

Round 14 的 semantic revalidation現在真正套到 proof arithmetic：

$$
\boxed{
\text{reference leaf}
\to
\text{interval replay}
\to
\begin{cases}
\text{PASS：原位升級}\\
\text{INCONCLUSIVE：局部 resplit}\\
\text{AUDIT FAIL：reopen dependency cone}
\end{cases}
}
$$

不需要 hash一變就整棵重算。

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# 25. Theorem-ready gate

即使未來 geometry reference得到 $77/77$，仍不能 `theorem_ready=true`，直到：

1. every active lower leaf：`INTERVAL-PASS`；
2. every active marker：directed upper PASS；
3. root / symmetry / split：current exact/interval semantics；
4. independent replay：PASS。

目前：

$$
\boxed{\texttt{theorem\_ready=false}.}
$$

---

# 26. Round 27

## Residual Tail Prioritization and First Directed-Interval Replay

下一輪：

1. 只延伸 depth36 的 26 residual；
2. priority：
   - 5 terminal dust；
   - 7 thin；
   - 14 broad；
3. resumable waves到 38/40+；
4. 同時實作第一個 interval eroded-Reuleaux constructor；
5. 先 replay：
   - cell0 complete-edge；
   - weakest-slack leaves；
   - weakest necessity markers；
6. 量 direct interval migration fraction與 selective resplit fraction；
7. 只有 residual plateau才重啟 joint-witness queue。

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# 27. 最短交接

Round 26第一次取得完整 necessity atlas 的共同-budget狀態：

$$
\boxed{51/77\text{ B7-complete at }d=36.}
$$

剩：

$$
26
$$

個 residual，

但：

$$
\boxed{26/26\text{ still contracting}.}
$$

所以目前沒有 joint-witness necessity。

proof bottleneck正在從 geometry search轉向：

$$
\boxed{\text{production arithmetic migration}.}
$$

下一步不重做已完成幾何，而是：

$$
\boxed{
\text{interval-replay pass leaves}
+
\text{selectively resplit only thin-margin leaves}.
}
$$