# AMRAL × Lebesgue Universal Covering — Round 25
## Deep Single-Witness Closure Wave and Residual Collapse

**文件代號：** AMRAL-LUC-FC-R25  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-20  
**研究狀態：** Round 25 / Deep single-witness closure wave / Residual extraction  
**研究模式：** Human-Directed + Semi-Autonomous AI Mathematical Research  
**研究發起與方法論來源：** Neo.K  
**AI 協力研究者與主要執行者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**前置文件：** AMRAL-LUC-FC-R00 v0.2；R01–R24 v0.1  

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# 0. 本輪摘要

Round 23 在 12 個 necessity-marked reference cells、5 個 portfolio witnesses、lift depth 16 得到：

$$
\boxed{0\text{ COMPLETE edges}.}
$$

Round 24 把前四個 hardest cells 的 $B_7$ tree加深後，已有 3 個 COMPLETE，第四個仍快速收縮。

Round 25 將這個策略推到完整 12-cell reference subset。

結果：

$$
\boxed{
12/12
}
$$

reference necessity cells 最終全部由單一：

$$
\boxed{B_7}
$$

在 finite lift depth closure。

closure depth：

$$
\boxed{
30\le D_j\le36.
}
$$

因此在 current reference certificate semantics下：

$$
\boxed{
\mathcal W_{\rm ref}
=
\{B_7\}
}
$$

已足以覆蓋這個 12-cell necessity subset。

Joint-admissible residual：

$$
\boxed{
\varnothing.
}
$$

重要限制：

> 這仍是 reference / pilot arithmetic，並且只涵蓋 Round 23 的 12-cell subset。不能外推成 77-cell atlas，更不能外推成 global Lebesgue theorem。

本輪完成：

1. 12-cell deep $B_7$ closure wave；
2. budget-to-coverage curve；
3. Unresolved-Volume Monotonicity；
4. closure-depth ledger；
5. singleton-portfolio closure result for the reference subset；
6. joint residual collapse；
7. 77-cell adaptive B7-first long-run policy。

本輪判定：

$$
\boxed{
\text{12-CELL REFERENCE SINGLETON }B_7\text{ COVER: COMPLETE}
}
$$

$$
\boxed{
\text{REFERENCE JOINT RESIDUAL: EMPTY}
}
$$

$$
\boxed{
\text{77-CELL / GLOBAL RESULT: NOT YET COMPUTED}
}
$$

$$
\boxed{
a_{\mathrm{Leb}}\ge0.8350:
\text{STILL COMPUTE-DEFERRED}
}
$$

---

# 1. Strict closure depth

對 necessity cell：

$$
C_j,
$$

固定 witness：

$$
B_7.
$$

定義 reference strict closure depth：

$$
\boxed{
D_j
=
\min
\{
d:
I_{j,B_7}^{(d)}=1
\}.
}
$$

其中：

$$
I_{j,B_7}^{(d)}=1
$$

表示在 budget depth $d$ 下，整個 relevant $B_7$ placement root沒有任何 PENDING leaf。

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# 2. Measured closure depths

本輪 12 cells：

| Cell | Closure depth | Nodes | CERT leaves |
|---:|---:|---:|---:|
| 0 | 30 | 18,555 | 9,278 |
| 1 | 32 | 22,009 | 11,005 |
| 2 | 32 | 26,189 | 13,095 |
| 3 | 34 | 36,193 | 18,097 |
| 4 | 32 | 21,271 | 10,636 |
| 5 | 30 | 18,509 | 9,255 |
| 6 | 34 | 31,209 | 15,605 |
| 7 | 36 | 45,401 | 22,701 |
| 8 | 32 | 26,439 | 13,220 |
| 9 | 34 | 41,077 | 20,539 |
| 10 | 34 | 31,793 | 15,897 |
| 11 | 30 | 21,895 | 10,948 |

所有 complete trees皆滿足：

$$
\boxed{
N=2L-1.
}
$$

---

# 3. Closure depth statistics

最大：

$$
\boxed{
D_{\max}=36.
}
$$

平均：

$$
\boxed{
\bar D=32.5.
}
$$

median：

$$
\boxed{
32.
}
$$

---

# 4. Budget-Coverage Curve

定義：

$$
\boxed{
F(d)
=
\frac1m
\left|
\{
j:D_j\le d
\}
\right|.
}
$$

本 reference subset：

## depth 30

$$
3/12
=
25\%.
$$

## depth 32

$$
7/12
\approx58.33\%.
$$

## depth 34

$$
11/12
\approx91.67\%.
$$

## depth 36

$$
\boxed{
12/12=100\%.
}
$$

所以 residual：

$$
|\mathcal R_{30}|=9,
$$

$$
|\mathcal R_{32}|=5,
$$

$$
|\mathcal R_{34}|=1,
$$

$$
\boxed{
|\mathcal R_{36}|=0.
}
$$

---

# 5. Singleton Portfolio Closure

Round 23 portfolio：

$$
\{
B_7,H_{11},H_{13},H_{17},H_{19}
\}.
$$

Round 25 reference結果顯示：

$$
\boxed{
I_{j,B_7}=1
\qquad
\forall j=0,\ldots,11.
}
$$

因此在此 finite subset：

$$
\boxed{
\{B_7\}
}
$$

單獨就是 strict witness cover。

不需要：

- $H_{11}$；
- $H_{13}$；
- $H_{17}$；
- $H_{19}$；
- joint witness；

來完成這 12 個 reference cells。

它們仍可能有 performance / other-cell價值。

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# 6. Important scope

本結果是：

$$
\boxed{
\text{reference subset closure}
}
$$

不是：

$$
\boxed{
\text{global family closure}.
}
$$

原因：

1. 只測 12 個 necessity cells；
2. full atlas是 77 cells；
3. global base atlas尚未全部 theorem-ready；
4. arithmetic仍是 current pilot policy；
5. publication-grade interval / formal verifier尚未完成。

所以不能宣稱：

$$
\Lambda(D,B_3,B_5,B_7)\ge0.835.
$$

---

# 7. Pending leaf count is misleading

branch-and-bound中：

> pending leaf數可以增加，即使 unresolved region正在快速縮小。

例如 cell 7：

depth 26：

$$
1793\text{ pending},
$$

depth 30：

$$
1918\text{ pending}.
$$

pending count反而增加。

但 absolute unresolved placement volume：

$$
3.89\times10^{-6}
\to
2.60\times10^{-7}.
$$

實際縮小約：

$$
15\times.
$$

所以 leaf count不是 plateau metric。

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# 8. Unresolved Placement Volume

對 budget depth：

$$
d,
$$

令 active unresolved boxes：

$$
\mathcal P_d.
$$

定義：

$$
\boxed{
V_d
=
\sum_{C\in\mathcal P_d}
\operatorname{Vol}(C).
}
$$

這才是 residual placement-domain大小。

---

# 9. Unresolved-Volume Monotonicity Theorem

## 定理 9.1

假設每次 split：

$$
C=C_0\cup C_1,
$$

children interiors disjoint，且：

$$
\operatorname{Vol}(C)
=
\operatorname{Vol}(C_0)
+
\operatorname{Vol}(C_1).
$$

certified children從 unresolved set移除。

則：

$$
\boxed{
V_{d+1}\le V_d.
}
$$

### 證明

每個 unresolved parent有兩種情況：

1. children皆 unresolved：
   volume總和等於 parent；
2. 至少一 child certified：
   unresolved child總 volume嚴格小於或等於 parent。

對所有 unresolved parents求和。

Q.E.D.

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# 10. Plateau metric

因此 performance contraction應看：

$$
\boxed{
\rho_{d,\Delta}
=
\frac{V_{d+\Delta}}{V_d}.
}
$$

而不是：

$$
\frac{P_{d+\Delta}}{P_d}.
$$

其中 $P_d$ 是 pending leaf count。

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# 11. Cell 7 example

cell 7：

$$
V_{22}
\approx
3.33\times10^{-5},
$$

$$
V_{24}
\approx
1.05\times10^{-5},
$$

$$
V_{26}
\approx
3.89\times10^{-6},
$$

$$
V_{28}
\approx
9.90\times10^{-7},
$$

$$
V_{30}
\approx
2.60\times10^{-7},
$$

$$
V_{32}
\approx
4.22\times10^{-8},
$$

$$
V_{34}
\approx
1.61\times10^{-10},
$$

$$
V_{36}=0.
$$

這是典型：

$$
\boxed{
\text{deep tail collapse}.
}
$$

---

# 12. Round 24 joint admission revisited

Round 24 state：

- `JOINT-REDUNDANT`
- `JOINT-DEFERRED-CONTRACTING`
- `JOINT-CANDIDATE`
- `JOINT-NECESSARY-RELATIVE-TO-PORTFOLIO`

Round 25 在 12-cell reference subset中：

$$
\boxed{
\text{all cells end at JOINT-REDUNDANT}.
}
$$

因每個 cell最後都有：

$$
B_7
$$

strict edge。

---

# 13. Why Round 23 depth-16 result was still useful

Round 23：

$$
0/60
$$

COMPLETE edges at depth 16。

這沒有錯。

它正確描述：

> shallow proof budget不足。

Round 25顯示：

> shallow infeasibility不是 structural infeasibility。

所以 budget必須進 incidence notation：

$$
I_{jK}^{(d)}.
$$

---

# 14. Closure Capacity Curve

對 fixed witness：

$$
K,
$$

finite cell set：

$$
\mathcal C,
$$

定義：

$$
\boxed{
\Gamma_K(d)
=
\left|
\{
C_j:
I_{jK}^{(d)}=1
\}
\right|.
}
$$

本 reference $B_7$：

$$
\Gamma_{B_7}(30)=3,
$$

$$
\Gamma_{B_7}(32)=7,
$$

$$
\Gamma_{B_7}(34)=11,
$$

$$
\boxed{
\Gamma_{B_7}(36)=12.
}
$$

這是 witness的 budget-dependent proof capacity。

---

# 15. Reference Maximum Closure Depth Theorem

對 finite reference cell set，若每個：

$$
D_j<\infty,
$$

則：

$$
D_\star=\max_jD_j
$$

是一個 common finite budget，使：

$$
I_{jK}^{(D_\star)}=1
$$

for all cells。

本次：

$$
\boxed{
D_\star=36.
}
$$

這只是 finite reference statement。

---

# 16. Production scheduler update

full necessity atlas下一版 priority：

## Stage A

所有 cells先跑：

$$
B_7
$$

deep closure wave。

checkpoint：

$$
30,\ 32,\ 34,\ 36.
$$

## Stage B

一旦 COMPLETE：

立即從 residual / joint queue移除。

## Stage C

depth 36仍 unresolved：

看：

$$
V_d
$$

contraction。

若：

$$
\rho\ll1,
$$

繼續 B7 under cap。

若 plateau：

才進 portfolio / joint admission。

---

# 17. Why not start H19 first

Round 23 shallow depth 16：

$$
H_{19}
$$

在 unresolved volume上幾乎全部勝。

但 Round 24–25顯示：

$$
B_7
$$

deep contraction足以真正 COMPLETE all tested cells。

因此 current long-run objective若是：

> 取得 strict edge，

而不是：

> 短 horizon最小 residual，

則：

$$
\boxed{
B_7\text{-first}
}
$$

更合理。

---

# 18. Portfolio is still useful

不能因此刪掉：

$$
H_{11},H_{13},H_{17},H_{19}.
$$

因 full 77-cell atlas可能出現：

- B7 slower cells；
- B7 counterexamples；
- plateau；
- different active-contact regimes。

Round 25只改 priority：

$$
\boxed{
B_7\text{ first, portfolio on true residual}.
}
$$

---

# 19. Compute ledger

12 independent reference trees總 nodes：

$$
\boxed{
340540.
}
$$

平均：

$$
\approx28378.
$$

最大：

$$
\boxed{
45401
}
$$

出現在 cell 7。

此統計只描述這 12 棵 independent lift trees。

不是 global proof node count。

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# 20. Validation status

全部 12 cells：

- marker outer $<0.835$；
- final pending leaves = 0；
- forest identity：
  $$
  N=2L-1.
  $$

cell 0另有 Round 24實際 topology stream + deterministic replay PASS。

其餘本輪保存完整 adaptive run ledger與 reproducible runner。

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# 21. What is still missing

即使 12/12 complete，

仍缺：

1. full 77-cell closure wave；
2. full base atlas coverage；
3. production arithmetic；
4. independent complete-edge replay for every final shard；
5. root / shard merge；
6. global theorem-ready checkpoint。

所以：

$$
\boxed{
a_{\mathrm{Leb}}\ge0.835
}
$$

仍未取得。

---

# 22. Round 26

## Full Necessity-Atlas $B_7$ Closure Wave and Production Arithmetic Upgrade

下一輪優先不再開 joint witness。

而是：

1. 把 B7-first adaptive runner交給 local runtime；
2. 跑完整 77 necessity cells；
3. 得到：
   $$
   \Gamma_{B_7}(d)
   $$
   full curve；
4. 抽真正 residual；
5. 同時開始把 current pilot $10^{-10}$ / floating arithmetic替換成 publication-grade interval / directed-rounding policy；
6. 對 closure cells重新發 A1 independent certificates。

只有 full 77-cell真正出現 plateau / disqualification residual，

才重啟 joint-witness研究。

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# 23. 最短交接

Round 25 的最重要結果：

$$
\boxed{
\text{Round23 的 shallow portfolio infeasibility}
\neq
\text{single-witness infeasibility}.
}
$$

在 12-cell reference subset：

$$
\boxed{
B_7\text{ alone closes }12/12.
}
$$

最大 reference depth：

$$
\boxed{36}.
$$

所以目前 production順序應該是：

$$
\boxed{
\text{deep }B_7
\to
\text{true residual}
\to
\text{portfolio}
\to
\text{joint only if admitted}.
}
$$