# AMRAL × Lebesgue Universal Covering — Round 23
## Witness Portfolio Closure, Strict Incidence, and Residual-Frontier Routing

**文件代號：** AMRAL-LUC-FC-R23  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-19  
**研究狀態：** Round 23 / Portfolio closure / Set-cover legality / Horizon routing  
**研究模式：** Human-Directed + Semi-Autonomous AI Mathematical Research  
**研究發起與方法論來源：** Neo.K  
**AI 協力研究者與主要執行者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**前置文件：** AMRAL-LUC-FC-R00 v0.2；R01–R22 v0.1  

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# 0. 本輪摘要

Round 22 建立 witness proof-cost Pareto portfolio：

$$
\mathcal W
=
\{
B_7,
H_{11},
H_{13},
H_{17},
H_{19}
\}.
$$

Round 23 不再繼續問：

> 哪個 witness 平均最強？

而改問 theorem-level 的：

> 對 necessity-marked base atlas 的每個 cell，是否至少有一個 witness 的**完整 relevant placement root**已經被 certificate closure？

因此本輪正式區分：

$$
\boxed{
\text{Strict Incidence}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{Quantitative Partial Edge}.
}
$$

主要結果：

1. strict cell × witness incidence theorem；
2. witness portfolio closure theorem；
3. weighted set-cover / facility-location formulation；
4. Partial Edge Non-Composition Rule；
5. budget residual frontier；
6. 12-cell × 5-witness實測 portfolio matrix；
7. lift depth 16 的 60 條 edges中：
   $$
   \boxed{0}
   $$
   條 COMPLETE；
8. 所以 strict weighted set cover在此 budget下：
   $$
   \boxed{\text{INFEASIBLE}};
   $$
9. shallow quantitative routing全部偏向 $H_{19}$；
10. 但 depth 22 時，在前四個 hardest cells中 $B_7$ 已在 3/4 cells 的 unresolved placement volume反超 $H_{19}$；
11. 因此 witness routing必須是 horizon-dependent；
12. partial witnesses不能互相「湊成」theorem cover；若沒有任何 single-witness COMPLETE edge，必須 deeper certification、base refinement、new witness，或 genuine joint multi-witness certificate。

本輪判定：

$$
\boxed{
\text{STRICT PORTFOLIO INCIDENCE: CLOSED}
}
$$

$$
\boxed{
\text{SET-COVER LEGALITY: CLOSED}
}
$$

$$
\boxed{
\text{CURRENT 12-CELL STRICT COVER AT DEPTH 16: INFEASIBLE}
}
$$

$$
\boxed{
a_{\mathrm{Leb}}\ge0.8350:
\text{STILL COMPUTE-DEFERRED}
}
$$

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# 1. Necessity cells

令：

$$
\mathcal C
=
\{
C_1,\ldots,C_m
\}
$$

為 necessity-marked base cells。

每個：

$$
C_j
$$

已有 Round 19 marker：

$$
\exists q_j\in C_j,
\qquad
A_{\mathcal F_3}(q_j)<T.
$$

所以它們最終不能靠 base-only proof closure。

---

# 2. Witness portfolio

Round 22 portfolio：

$$
\boxed{
\mathcal W
=
\{
B_7,
H_{11},
H_{13},
H_{17},
H_{19}
\}.
}
$$

其中：

- $B_7$：robust primary closer；
- $H_{11}/H_{13}$：balanced auxiliary；
- $H_{17}/H_{19}$：cheap / thin-margin auxiliary。

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# 3. Strict incidence

定義：

$$
\boxed{
I_{jK}
=
1
}
$$

iff：

> 對整個 base cell $C_j$，witness $K$ 的完整 relevant placement root已由合法 lift certificate證：

$$
J_K(H_{\mathcal F_3}(q))
\ge T
\qquad
\forall q\in C_j.
$$

否則：

$$
I_{jK}=0.
$$

---

# 4. What does NOT create an incidence edge

以下全部不能令：

$$
I_{jK}=1.
$$

包括：

- `PARTIAL` lift tree；
- pending fraction很小；
- unresolved placement volume很小；
- numerical search minimum $>T$；
- 沒找到 counterexample；
- tail contraction很快；
- witness在別的 cell成功。

所以：

$$
\boxed{
\text{strict edge is certificate-complete, not confidence-complete}.
}
$$

---

# 5. Portfolio Closure Theorem

## 定理 5.1

假設每個 necessity cell：

$$
C_j
$$

至少有一個 witness：

$$
K(j)
$$

使：

$$
I_{j,K(j)}=1.
$$

令：

$$
\mathcal B
=
\{
K(j):j=1,\ldots,m
\}.
$$

則對所有這些 necessity cells：

$$
\boxed{
\Lambda(
\mathcal F_3\cup\mathcal B
)
\ge T
}
$$

在該 atlas coverage上成立。

### 理由

固定任一 base configuration：

$$
q\in C_j.
$$

因：

$$
I_{j,K(j)}=1,
$$

所以：

$$
J_{K(j)}(H(q))\ge T.
$$

full portfolio hull包含該 single witness hull。

因此 full portfolio的任意 placements也不能低於該已證 lower bound。

這就是 Round 07 witness-switching在 finite cell atlas上的 strict incidence形式。

Q.E.D.

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# 6. Weighted set cover

若 witness：

$$
K
$$

有 fixed compiler / verifier cost：

$$
f_K,
$$

而 cell-witness certificate cost：

$$
c_{jK},
$$

引入：

$$
y_K\in\{0,1\},
$$

$$
x_{jK}\in\{0,1\}.
$$

objective：

$$
\boxed{
\min
\sum_K f_Ky_K
+
\sum_{j,K}c_{jK}x_{jK}.
}
$$

subject to：

$$
\boxed{
\sum_Kx_{jK}\ge1
\quad
\forall j,
}
$$

以及：

$$
\boxed{
x_{jK}
\le
I_{jK}y_K.
}
$$

這是 witness portfolio facility-location / weighted set-cover形式。

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# 7. Budgeted incidence

實務 certificate有 budget：

$$
d,
$$

例如 lift tree maximum depth。

所以寫：

$$
I_{jK}^{(d)}.
$$

若 budget內沒有 closure：

$$
I_{jK}^{(d)}=0
$$

不代表 witness永遠不能 closure。

它只代表：

$$
\boxed{
\text{not complete at budget }d.
}
$$

---

# 8. Residual frontier

定義：

$$
\boxed{
\mathcal R_d
=
\left\{
j:
\max_K I_{jK}^{(d)}=0
\right\}.
}
$$

則 strict set cover在 budget $d$ 可行的必要條件：

$$
\boxed{
\mathcal R_d=\varnothing.
}
$$

事實上在目前 finite cell list上也是充分條件：

每個 cell只要至少一個 strict edge，即可選 assignment。

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# 9. Quantitative partial edge

對 partial lift另存：

$$
\boxed{
Q_{jK}^{(d)}
=
(
N,
P,
V_{\rm unres},
t,
m_{\rm search},
\rho_{\rm tail}
).
}
$$

其中：

- $N$：nodes；
- $P$：pending leaves；
- $V_{\rm unres}$：unresolved placement volume；
- $t$：compute cost；
- $m_{\rm search}$：forcing search margin；
- $\rho_{\rm tail}$：multi-depth contraction。

它只給 scheduler。

不給 theorem。

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# 10. Partial Edge Non-Composition Rule

兩個 witnesses：

$$
K_1,K_2
$$

若都只有 partial lift tree，

不能因：

> $K_1$ 幾乎全關；
> $K_2$ 也幾乎全關；

就宣稱 cell closure。

兩個 witness有獨立 placement adversary。

所以：

$$
\boxed{
\text{PARTIAL}+\text{PARTIAL}
\not\Rightarrow
\text{STRICT COVER}.
}
$$

---

# 11. Multi-witness synergy需要新 certificate

full family：

$$
H\cup g_1K_1\cup g_2K_2
$$

可能因 witness-witness interaction比任何 single-witness lower bound更強。

但如果要利用這個 synergy，

必須建立：

$$
\boxed{
\text{genuine joint multi-witness certificate}
}
$$

或其他能控制 simultaneous tails 的 theorem。

不能從兩條 marginal partial trees偷推出。

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# 12. Pilot scope

互動環境下完整：

$$
77\times5
$$

同深度 run超過單輪執行 budget。

所以本輪 theorem / grammar完整，

實測矩陣先取 necessity atlas 中 outer marker最深的：

$$
\boxed{
12
}
$$

個 cells，

witnesses：

$$
5.
$$

共：

$$
\boxed{
60
}
$$

edges。

long-run spec已輸出，供 local runtime擴成完整 $77\times5$。

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# 13. Depth-16 strict incidence result

lift depth：

$$
d=16.
$$

60 條 edges：

$$
\boxed{
0
}
$$

條為 `COMPLETE`。

所以：

$$
\boxed{
I_{jK}^{(16)}=0
\quad
\forall j,K
}
$$

在此 12-cell pilot。

因此：

$$
\boxed{
\mathcal R_{16}
=
\{1,\ldots,12\}.
}
$$

strict weighted set cover：

$$
\boxed{
\text{INFEASIBLE}.
}
$$

這是正確結果，不是 algorithm failure。

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# 14. Why set cover must not be forced

如果此時把：

> unresolved volume最小的 witness

當作：

$$
I=1,
$$

就會把 scheduling heuristic冒充成 theorem。

Round 23明確禁止。

正確 action：

- deepen selected witnesses；
- further base refinement；
- add new witnesses；
- 或 joint multi-witness certificate。

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# 15. Depth-16 aggregate quantitative edges

## $B_7$

mean nodes：

$$
2401.
$$

mean unresolved volume：

$$
\boxed{
9.42\times10^{-4}.
}
$$

search forcing margin：

$$
\approx1.93\times10^{-3}.
$$

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## $H_{11}$

mean nodes：

$$
3749.5.
$$

mean unresolved volume：

$$
4.77\times10^{-4}.
$$

forcing margin：

$$
7.47\times10^{-4}.
$$

---

## $H_{13}$

mean nodes：

$$
3644.2.
$$

mean unresolved volume：

$$
3.41\times10^{-4}.
$$

forcing margin：

$$
6.38\times10^{-4}.
$$

---

## $H_{17}$

mean nodes：

$$
2362.5.
$$

mean unresolved volume：

$$
2.66\times10^{-4}.
$$

forcing margin：

$$
7.83\times10^{-5}.
$$

---

## $H_{19}$

mean nodes：

$$
2286.3.
$$

mean unresolved volume：

$$
\boxed{
2.29\times10^{-4}.
}
$$

forcing margin：

$$
4.96\times10^{-5}.
$$

---

# 16. Shallow proxy routing

若只用：

$$
V_{\rm unres}
$$

當短 horizon scheduler metric，

12 個 cells：

$$
\boxed{
12/12
}
$$

都選：

$$
H_{19}.
$$

這與 Round 22 的 proof-cost Pareto結論一致：

> high-$k$ smooth harmonic在 shallow root-volume economics上非常便宜。

但這不是 strict cover。

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# 17. Horizon crossover

Round 20已顯示 $B_7$ deep tail contraction更快。

Round 23對前四個 hardest cells直接拉到：

$$
d=22.
$$

比較：

$$
V_{j,B_7}^{(22)}
$$

與：

$$
V_{j,H_{19}}^{(22)}.
$$

結果：

- cell 0：$B_7$ 勝；
- cell 1：$B_7$ 勝；
- cell 2：$B_7$ 勝；
- cell 3：$H_{19}$ 勝。

所以：

$$
\boxed{
B_7\text{ 在 }3/4\text{ hardest cells 已於 deep horizon反超}.
}
$$

---

# 18. Cell 0 full depth-22 ranking

unresolved placement volume：

$$
B_7:
\boxed{
5.17\times10^{-5}
}
$$

$$
H_{19}:
5.43\times10^{-5}
$$

$$
H_{17}:
6.27\times10^{-5}
$$

$$
H_{13}:
9.24\times10^{-5}
$$

$$
H_{11}:
1.09\times10^{-4}.
$$

所以 depth 16 的：

$$
H_{19}
$$

第一名，在 depth 22 已被：

$$
B_7
$$

反超。

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# 19. Crossover depth

對 cell $j$ 與 witnesses $K,L$，

定義：

$$
\boxed{
d^\star_{j;K,L}
=
\inf
\{
d:
V_{jK}^{(d)}
\le
V_{jL}^{(d)}
\}.
}
$$

這是一個 performance quantity。

不是 theorem threshold。

它告訴 scheduler：

> 你預計會跑多深？

若 horizon短：

選 cheap witness。

若 horizon長：

選 contraction更快的 witness。

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# 20. Portfolio scheduler is horizon-aware

所以 witness routing不能只按：

- search forcing；
- shallow pending；
- orientation period；

任一單值排序。

應使用：

$$
\boxed{
\text{estimated total cost-to-COMPLETE}.
}
$$

包含：

- current unresolved volume；
- tail contraction；
- nodes per level；
- forcing risk；
- negative counterexample；
- expected remaining horizon。

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# 21. Strict proof and routing must remain separate

## Proof layer

只看：

$$
I_{jK}\in\{0,1\}.
$$

## Scheduler layer

看：

$$
Q_{jK}.
$$

這兩層不能混。

Round 23 將此 separation正式列為 production invariant。

---

# 22. Current residual

在 12-cell pilot、depth 16：

$$
\boxed{
|\mathcal R_{16}|=12.
}
$$

所以 Round 23沒有「portfolio closure」。

得到的是：

> 現有 portfolio已足以形成有意義的 routing competition，但還沒有一條 strict complete edge。

這直接指定下一步工作。

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# 23. 77-cell long-run handoff

本輪附：

`AMRAL_LUC_FC_Round_23_LONG_RUN_SPEC.json`

要求 local runtime：

1. 全 77 necessity cells × 5 witnesses；
2. common budgets；
3. 保存 strict incidence與 quantitative edge；
4. residual cells才 deepen；
5. 只要出現 COMPLETE edges，就立即更新 facility-location solver；
6. 最後只把沒有任何 strict edge的 base residual交給：
   - deeper B7；
   - joint multi-witness；
   - new witness synthesis。

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# 24. Portfolio monotonicity

對固定 cell-witness：

如果 certificate budget只增加而不改 theorem semantics，

一旦：

$$
I_{jK}^{(d)}=1,
$$

後續更大 budget不需要把它變回 0。

所以 strict incidence graph可 append-only grow。

negative audit / dependency change除外。

---

# 25. Counterexample effect

若 witness：

$$
K
$$

在 cell $C_j$ 已有 valid negative counterexample，

則：

$$
\boxed{
I_{jK}=0
}
$$

不只是 budget-zero，

而是此 witness不能作該 cell的 sole closer。

這種 edge可以直接標：

`DISQUALIFIED`

並從 future single-witness set-cover候選永久移除，直到 semantics變更。

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# 26. Round 24

## Portfolio Residual Core and Joint-Witness Necessity

下一輪應在 full / local-compute incidence返回後：

1. 抽出：
   $$
   \mathcal R
   =
   \{C_j:\forall K,\ I_{jK}=0\};
   $$
2. 對 residual cells比較：
   - deepen $B_7$；
   - deeper $H_{19}$；
   - additional portfolio witnesses；
3. 如果多個 single witnesses都穩定有 nonempty tail：
   - 分析其 tail是否可同時被 adversary實現；
4. 只有這時才開：
   $$
   \boxed{
   \text{joint multi-witness placement certificate}.
   }
   $$

---

# 27. 最短交接

Round 23 最重要的不是得到一個 set-cover答案。

而是把：

$$
\boxed{
\text{proof cover}
}
$$

和：

$$
\boxed{
\text{portfolio routing}
}
$$

徹底分開。

目前：

$$
\boxed{
\text{strict cover at depth16 = infeasible}.
}
$$

但：

$$
\boxed{
\text{routing structure = highly informative}.
}
$$

short horizon：

$$
H_{19}
$$

便宜。

deep horizon：

$$
B_7
$$

開始反超。

因此 production portfolio應該是：

$$
\boxed{
\text{strict COMPLETE edges for theorem}
+
\text{horizon-aware quantitative edges for scheduling}.
}
$$