# AMRAL × Lebesgue Universal Covering — Round 22
## Symmetry-Breaking Fourier Witness Oracle and Proof-Cost Pareto Search

**文件代號：** AMRAL-LUC-FC-R22  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-19  
**研究狀態：** Round 22 / Fourier witness legality / proof-cost-aware adversarial search  
**研究模式：** Human-Directed + Semi-Autonomous AI Mathematical Research  
**研究發起與方法論來源：** Neo.K  
**AI 協力研究者與主要執行者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**前置文件：** AMRAL-LUC-FC-R00 v0.2；R01–R21 v0.1  

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# 0. 本輪摘要

Round 21 得到一個重要負結果：

> 在 tested 7-fold preserving / nearby Reuleaux7 family 中，regular $B_7$ 對 fresh placement adversary相當 robust。

Round 22 因此正式打開 symmetry-breaking odd Fourier modes：

$$
k=3,5,7,9,11.
$$

但這一輪不再只問：

> 哪個 witness 的 numerical forcing 最大？

而同時追蹤：

1. robust forcing margin；
2. orientation-domain cost；
3. curvature reserve；
4. generic support-core可用尺度；
5. actual lift-tree nodes；
6. unresolved placement volume。

本輪得到：

$$
\boxed{\text{MULTI-MODE FOURIER LEGALITY COMPILER: CLOSED}}
$$

$$
\boxed{\text{FULL-ORIENTATION ORACLE RULE: CLOSED}}
$$

$$
\boxed{\text{PROOF-COST PARETO MAP: ESTABLISHED}}
$$

但：

$$
\boxed{\text{NEW SINGLE WITNESS DOMINATING }B_7:\ \text{NOT FOUND}}
$$

並且仍然：

$$
\boxed{a_{\mathrm{Leb}}\ge0.8350:\ \text{COMPUTE-DEFERRED}}
$$

---

# 1. General symmetry-breaking family

本輪使用：

$$
\boxed{
h(\theta)
=
(1-\lambda)h_{B_7}(\theta)
+
\frac{\lambda}{2}
+
\sum_{k\in\mathcal K}
\left(
a_k\cos k\theta+b_k\sin k\theta
\right)
}
$$

其中：

$$
\mathcal K
\subseteq
\{3,5,7,9,11\}.
$$

---

# 2. Constant-width legality

$B_7$ 與 disk 都是 width-one。

對 odd $k$：

$$
\cos k(\theta+\pi)=-\cos k\theta,
$$

$$
\sin k(\theta+\pi)=-\sin k\theta.
$$

所以 Fourier perturbation：

$$
q(\theta)
=
\sum_{k\in\mathcal K}
(a_k\cos k\theta+b_k\sin k\theta)
$$

滿足：

$$
q(\theta+\pi)=-q(\theta).
$$

因此：

$$
\boxed{
h(\theta)+h(\theta+\pi)=1.
}
$$

constant width保持。

---

# 3. Multi-Mode Convexity Theorem

convex support要求 curvature measure非負。

interiorized base：

$$
(1-\lambda)h_{B_7}+\lambda/2
$$

至少加入 absolutely continuous curvature reserve：

$$
\lambda/2.
$$

Fourier term對：

$$
h+h''
$$

的貢獻是：

$$
\sum_k
(1-k^2)
(a_k\cos k\theta+b_k\sin k\theta).
$$

因此：

$$
\left|
q+q''
\right|
\le
\sum_k
(k^2-1)
\sqrt{a_k^2+b_k^2}.
$$

所以 sufficient legality condition：

$$
\boxed{
\sum_{k\in\mathcal K}
(k^2-1)
\sqrt{a_k^2+b_k^2}
\le
\frac{\lambda}{2}.
}
$$

這直接把 Round 02 curvature legality擴成可搜尋的 finite coefficient region。

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# 4. Symmetry Order

$B_7$ support有 period：

$$
2\pi/7.
$$

若 active Fourier modes集合為：

$$
S.
$$

generic rotational symmetry order：

$$
\boxed{
d=\gcd(7,S).
}
$$

所以 orientation fundamental period：

$$
\boxed{
P_\phi=\frac{2\pi}{d}.
}
$$

若任一 active mode：

$$
k\not\equiv0\pmod7,
$$

通常：

$$
d=1,
$$

所以：

$$
\boxed{
P_\phi=2\pi.
}
$$

也就是 relative to regular $B_7$：

$$
\boxed{
\text{orientation-domain length}\times7.
}
$$

這是 symmetry-breaking 必須支付的第一個 exact proof-cost。

---

# 5. Full-orientation oracle requirement

Round 22實際抓到一個很典型的 failure。

structured witness：

$$
K=(1-0.08)B_7+0.08B_3.
$$

某些 optimistic search basin給：

$$
0.83742146.
$$

但 full：

$$
\phi\in[0,2\pi)
$$

multi-seed exact support search找到另一個 basin：

$$
\boxed{
0.83583910.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{symmetry-breaking candidate不得沿用 }[0,2\pi/7)
\text{ oracle}.
}
$$

---

# 6. Oracle status levels

Round 22固定：

## `TRAINING-SCORE`

只在 finite adversarial placements上計算。

## `OPTIMISTIC-CANDIDATE`

fresh placement search，但 seed / resolution不足。

## `ROBUST-SEARCH-CANDIDATE`

full proven orientation period、多 seed fresh oracle。

## `COMPILED-CANDIDATE`

Round 02 finite support dictionary可表示。

## `LIFT-VERIFIED`

完整 relevant placement root被 certificate closure。

只有最後一級具有 positive theorem value。

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# 7. Multi-mode random/adversarial search

在四個 Round 20 necessity-marked base configurations上，

先用 regular $B_7$ bad placements作 training adversaries。

一個合法 multi-mode candidate training minimum可達：

$$
0.83770073.
$$

單 seed fresh oracle仍有：

$$
0.83733308.
$$

但完整 multi-seed full-$2\pi$ re-search後四個 base minima：

$$
0.83683248,
$$

$$
0.83677292,
$$

$$
0.83674967,
$$

$$
\boxed{
0.83668617.
}
$$

regular $B_7$ 同四個 base configuration worst search：

$$
\boxed{
0.83692628.
}
$$

所以此 candidate：

- forcing較弱；
- orientation domain大 7 倍。

在目前兩個主軸上被 $B_7$ Pareto dominate。

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# 8. Multi-base adversarial re-training

Round 22進一步把 fresh low placements加入 adversarial set再搜尋。

新的 Fourier candidates仍反覆出現：

> training score漂亮，但 fresh full-orientation oracle打開新的 lower basin。

目前沒有 candidate在四個 marked base configurations上 robustly超越 regular $B_7$。

因此 Round 21 的 overfitting結論在 symmetry-breaking family依然成立。

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# 9. Pure Harmonic Family

另一條完全不同的 proof-cost路線：

$$
\boxed{
h_k(\theta)
=
\frac12+a\cos(k\theta),
\qquad
k\text{ odd}.
}
$$

它本身就是 width one。

curvature：

$$
r_k(\theta)
=
\frac12-(k^2-1)a\cos(k\theta).
$$

所以 smooth convex legality **exactly**：

$$
\boxed{
|a|
\le
\frac{1}{2(k^2-1)}.
}
$$

---

# 10. Curvature Reserve

定義：

$$
\boxed{
\sigma_k
=
\frac12-(k^2-1)|a|.
}
$$

若：

$$
\sigma_k>0,
$$

generic support erosion：

$$
h_{\rm core}=h-\delta
$$

在：

$$
\boxed{
\delta\le\sigma_k
}
$$

時仍是 legal convex support。

所以：

$$
\boxed{
\sigma_k
}
$$

是 witness certificate的重要 proof-cost資源。

---

# 11. Near-boundary amplitude is not free

若取 legality上限的：

$$
99.5\%,
$$

則：

$$
\sigma_k=0.0025.
$$

不論 $k$。

這雖然讓 forcing較強，

但 placement box motion radius必須切到：

$$
\delta\le0.0025
$$

generic support core才能合法。

因此：

> 「orientation period短」不代表 certificate一定便宜。

必須同時計：

$$
\boxed{
P_\phi,\ \sigma,\ \text{forcing}.
}
$$

---

# 12. 90% amplitude proof-cost branch

Round 22因此特別測：

$$
|a|
=
0.9
\cdot
\frac1{2(k^2-1)}.
$$

此時：

$$
\boxed{
\sigma=0.05.
}
$$

generic core容易很多。

---

# 13. $k=11$ candidate

$$
a_{11}=0.00375.
$$

orientation period：

$$
2\pi/11.
$$

relative B7：

$$
\boxed{
7/11\approx0.636.
}
$$

四個 marked base fresh search worst：

$$
\boxed{
0.83574698.
}
$$

found worst placement的 dense support bracket：

$$
0.83578614
\le A
\le
0.83581539.
$$

search-only仍未證 global witness minimum。

---

# 14. $k=13$

$$
a_{13}\approx0.00267857,
$$

$$
\sigma=0.05.
$$

orientation ratio：

$$
7/13\approx0.538.
$$

four-base search worst：

$$
\boxed{
0.83563803.
}
$$

dense bracket at found worst placement：

$$
0.83567775
\le A
\le
0.83569731.
$$

---

# 15. Thin-margin high-k branch

high-resolution search：

## $k=17$

$$
\boxed{
\min_{\rm search}\approx0.83507834.
}
$$

orientation ratio：

$$
7/17\approx0.412.
$$

## $k=19$

$$
\boxed{
\min_{\rm search}\approx0.83504963.
}
$$

orientation ratio：

$$
7/19\approx0.368.
$$

兩者仍在 target上方，

但 forcing margin已非常薄。

因此：

$$
\boxed{
\text{certificate cheapness增加時，counterexample risk快速上升}.
}
$$

---

# 16. Generic support-core lift pilot

在 Round 20 tracked depth-50 marked base cell，

用 generic support core：

$$
h_{\rm core}=h-\delta
$$

測 pure harmonics。

translation square pilot root：

$$
[-0.21,0.21]^2.
$$

orientation：

$$
[0,2\pi/k).
$$

---

# 17. Depth-20 comparison

## Regular $B_7$

special Reuleaux erosion：

$$
7037\text{ nodes},
$$

unresolved placement volume：

$$
\boxed{
1.4107\times10^{-4}.
}
$$

## $k=11$, 90%

$$
9623\text{ nodes},
$$

$$
1.8536\times10^{-4}.
$$

## $k=13$, 90%

$$
9211,
$$

$$
1.4270\times10^{-4}.
$$

## $k=17$, 90%

$$
7399,
$$

$$
\boxed{
9.5317\times10^{-5}.
}
$$

## $k=19$, 90%

$$
7221,
$$

$$
\boxed{
8.3671\times10^{-5}.
}
$$

所以高-$k$ harmonic真的能利用較小 orientation root，

在 unresolved **absolute placement volume** 上低於 $B_7$。

---

# 18. But B7 has stronger tail contraction

不能只看 depth 20 volume。

Round 20 已知 $B_7$：

- forcing margin厚；
- deep tail contraction快。

而 $k=17/19$ 的 forcing search margin只有：

$$
O(10^{-5}).
$$

所以它們更適合：

$$
\boxed{
\text{cheap auxiliary / cell-specific witness}
}
$$

而不是取代 primary robust $B_7$。

---

# 19. Proof-Cost Pareto Vector

Round 22不再輸出單一 witness score。

每個 witness保存：

$$
\boxed{
\Pi(K)
=
(
m_{\rm force},
P_\phi,
\sigma,
N_d,
V_d,
\rho_{\rm tail}
).
}
$$

其中：

- $m_{\rm force}$：search forcing margin；
- $P_\phi$：orientation domain；
- $\sigma$：curvature reserve；
- $N_d$：certificate nodes；
- $V_d$：unresolved placement volume；
- $\rho_{\rm tail}$：multi-depth contraction。

---

# 20. Current Pareto roles

## Regular $B_7$

角色：

$$
\boxed{\text{PRIMARY ROBUST CLOSER}}
$$

特點：

- forcing厚；
- specialized erosion；
- deep-tail contraction強。

## $H_{11}/H_{13}$

角色：

$$
\boxed{\text{BALANCED AUXILIARY}}
$$

特點：

- forcing仍有 $6\text{–}7\times10^{-4}$ search margin；
- orientation domain更小；
- $\sigma=0.05$。

## $H_{17}/H_{19}$

角色：

$$
\boxed{\text{CHEAP / RAZOR-THIN AUXILIARY}}
$$

特點：

- small orientation root；
- low unresolved volume；
- forcing只比 target高幾個 $10^{-5}$；
- 必須高度警戒 hidden counterexamples。

---

# 21. Full symmetry-breaking candidate verdict

目前 tested full-$2\pi$ multi-mode candidates：

- 沒有 robustly超過 $B_7$；
- orientation domain至少多 7 倍；
- 並增加 generic support-core / compiler complexity。

所以：

$$
\boxed{
\text{NOT PROMOTED TO PRODUCTION WITNESS POOL}.
}
$$

但保留：

`SEARCH ARCHIVE`

供 future multi-base / batch synthesis。

---

# 22. What Round 22 changes

Round 21 的下一步原本是：

> 找一個 symmetry-breaking witness打贏 B7。

Round 22結果改成：

> 不應要求單一 shape全面打贏 B7；應建立 proof-cost-aware witness portfolio。

這是策略上的重要轉向。

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# 23. Witness Portfolio Principle

對不同 marked cells / proof horizon，

最佳 witness可能不同。

所以 production應維持：

$$
\boxed{
\mathcal W_{\rm portfolio}
=
\{
B_7,
H_{11},
H_{13},
H_{17},
H_{19},
\ldots
\}.
}
$$

但只有真正經該 cell negative filter、lift probe與 verifier support的 witness才可被選。

---

# 24. Search status warning

所有 Fourier forcing minimum目前仍：

`SEARCH-ONLY`.

即使 found placement dense inner area $>T$，

也不能證：

$$
\min_pF(K,p)>T.
$$

因 placement oracle不是 exhaustive certificate。

positive theorem仍需要：

- Round 02 finite compiler；
- Round 08 generic support core；
- full lift tree。

---

# 25. New compiler path

pure harmonic witness的好處是 representation極小：

```text
k
a
phase
centering
```

它不需要完整 generic Fourier dictionary。

所以 Round 02 compiler可以新增：

`PURE-HARMONIC-CW`

快速路徑。

verifier只需：

1. odd $k$；
2. amplitude legality；
3. symmetry period；
4. curvature reserve；
5. support/contact evaluation。

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# 26. Current strongest new candidate class

Round 22 沒找到 stronger-than-B7 witness。

但找到：

$$
\boxed{
H_{11}/H_{13}
}
$$

作為第一批「forcing仍明顯高於 target、proof domain較便宜」的 auxiliary candidates。

$H_{17}/H_{19}$則適合當：

> high-risk / low-domain-cost experiment，

不應直接作 primary production closer。

---

# 27. Round 23

## Witness Portfolio Closure and Batch-Cover Optimization

下一輪不再繼續無限 shape search。

直接拿：

$$
\boxed{
B_7,H_{11},H_{13},H_{17},H_{19}
}
$$

對 Round 20 necessity-marked atlas做：

1. negative filter；
2. shallow + deep lift probes；
3. cell × witness incidence；
4. weighted set cover；
5. portfolio cost：
   - nodes；
   - root volume；
   - replay；
   - forcing risk；
6. 測試：
   - 是否不同 witnesses可以分工 closure不同 marked cells；
7. 若 portfolio仍留下共同 hard tail，再回到 multi-witness joint / asymmetric synthesis。

---

# 28. 最短交接

Round 22沒有找到一個：

$$
K_{\rm new}>B_7
$$

的單一新 witness。

但得到更重要的結構：

$$
\boxed{
\text{witness design不是單一最大化問題，
而是 proof-cost Pareto portfolio問題}.
}
$$

regular $B_7$ 仍是 robust primary。

smooth high-$k$ harmonics則提供：

$$
\boxed{
\text{smaller orientation domain}
+
\text{generic support-core}
}
$$

的另一種 certificate economics。

下一步應直接讓這些 witness在 necessity atlas上競爭／合作，
而不是繼續盲目追求一個「全面最強 shape」。