# AMRAL × Lebesgue Universal Covering — Round 21
## Lift-Tail Geometry and Counterexample-Guided Witness Synthesis

**文件代號：** AMRAL-LUC-FC-R21  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-19  
**研究狀態：** Round 21 / Lift-tail atlas / Adversarial witness design  
**研究模式：** Human-Directed + Semi-Autonomous AI Mathematical Research  
**研究發起與方法論來源：** Neo.K  
**AI 協力研究者與主要執行者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**前置文件：** AMRAL-LUC-FC-R00 v0.2；R01–R20 v0.1  

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# 0. 本輪摘要

Round 20 已顯示 $B_7$ 是目前 long-horizon 最有希望的 regular witness，但 deep lift仍留下極小 unresolved tail。

Round 21 第一次把這些 unresolved leaves轉成 structured adversarial geometry，並用它們反向做 witness synthesis。

本輪得到：

1. B7 depth 22/24/26 tail atlas；
2. two-lobe phase-lock law；
3. area-minimizing placement ridge；
4. Counterexample-Guided Witness Synthesis cutting-plane protocol；
5. Finite-Tail Optimism Theorem；
6. legal 7-fold preserving support family；
7. smooth 7-fold / interiorized-B7 / nearby irregular Reuleaux7 synthesis tests；
8. 重要負結果：目前測試 family沒有在 fresh placement oracle下穩健超越 regular B7。

本輪判定：

$$
\boxed{\text{B7 LIFT-TAIL ATLAS: CLOSED}}
$$

$$
\boxed{\text{COUNTEREXAMPLE-GUIDED SYNTHESIS LOOP: CLOSED}}
$$

$$
\boxed{\text{NEW SUPERIOR WITNESS: NOT FOUND}}
$$

$$
\boxed{a_{\mathrm{Leb}}\ge0.8350:\ \text{STILL COMPUTE-DEFERRED}}
$$

---

# 1. Tail scope

固定 Round 19 tracked near-minimum branch的 depth-50 base cell：

$$
\tau_{\rm base}
\approx3.82517\times10^{-4}.
$$

因此目前看到的 lift tail已經主要是 witness-placement geometry，而不是 coarse base uncertainty。

---

# 2. B7 deep-tail volume

Lift depth 22：

$$
1046
$$

pending boxes，

$$
1046/2^{22}
\approx2.494\times10^{-4}.
$$

Lift depth 24：

$$
1397/2^{24}
\approx8.327\times10^{-5}.
$$

Lift depth 26：

$$
\boxed{
2143/2^{26}
\approx3.193\times10^{-5}.
}
$$

pending leaf數可以增加，但 placement volume持續快速縮小。

---

# 3. Phase-lock coordinate

定義：

$$
\boxed{
\delta_{\rm lock}
=
\operatorname{wrap}
(
\arg t_7-7\phi_7
).
}
$$

若：

$$
\delta_{\rm lock}\approx0,
$$

代表 translation direction與 heptagonal orientation phase鎖定。

---

# 4. Phase-lock contraction

$|\delta_{\rm lock}|$ 的中位數：

$$
0.1886
\to
0.1372
\to
0.1081
$$

for depth：

$$
22\to24\to26.
$$

95% 分位：

$$
0.4785
\to
0.3330
\to
0.2446.
$$

因此：

$$
\boxed{
\arg t_7\approx7\phi_7
}
$$

隨 certificate tail加深而更明顯。

---

# 5. Two-lobe atlas

depth 26 的 2143 個 tail boxes幾乎分成兩個高集中群。

## Lobe A

約：

$$
1000
$$

boxes。

$$
7\phi\approx2.5255,
$$

$$
\arg t\approx2.5536,
$$

$$
|t|\approx0.01213.
$$

## Lobe B

約：

$$
1143
$$

boxes。

$$
7\phi\approx5.8819,
$$

$$
\arg t\approx5.8989,
$$

$$
|t|\approx0.01248.
$$

circular concentration皆接近：

$$
0.98\text{–}0.99.
$$

所以 unresolved tail不是三維亂雲，而是兩條 narrow placement lobes。

---

# 6. Area-minimizing ridge

固定 $\phi_7$，只對 $(x_7,y_7)$ 做 full area minimization。

最低主要 ridge位置也落在相同兩個 orientation channels。

因此 numerical evidence支持：

$$
\boxed{
\text{deep certificate tail}
\approx
\text{thickened near-minimizing placement ridge}.
}
$$

這對 witness synthesis很重要：

> unresolved boxes可以當 adversarial placement atlas。

---

# 7. B7 tail與 B23 counterexample不是同一機制

B7 deep tail：

$$
|t_7|\sim0.012.
$$

Round 20 B23 counterexample：

$$
|t_{23}|
\approx3.19\times10^{-4}.
$$

後者接近直接重合既有 disk。

所以至少有兩種 failure geometry：

1. finite-translation phase-locked channel；
2. near-disk hiding channel。

witness synthesis必須分辨 adversarial mechanism，不能只看 pending fraction。

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# 8. Witness design as max-min

令 $\mathcal S$ 為 legal witness shape family，$\mathcal P$ 為完整 placement domain。

定義：

$$
F(K,p)
=
A(
\operatorname{conv}
(H_{\rm base}\cup pK)
).
$$

真正 robust witness design：

$$
\boxed{
V^\star
=
\max_{K\in\mathcal S}
\min_{p\in\mathcal P}
F(K,p).
}
$$

這是 shape-player vs placement-adversary 的 minimax。

---

# 9. Cutting-plane synthesis

保存有限 adversarial placement set：

$$
P_m=\{p_1,\ldots,p_m\}.
$$

Shape step：

$$
\boxed{
K_m
\in
\arg\max_K
\min_{p\in P_m}
F(K,p).
}
$$

Fresh oracle：

$$
\boxed{
p_{m+1}
\in
\arg\min_{p\in\mathcal P}
F(K_m,p).
}
$$

再：

$$
P_{m+1}=P_m\cup\{p_{m+1}\}.
$$

任何 synthesized witness都必須經 fresh placement oracle，而不能只報已知 tail training score。

---

# 10. Finite-Tail Optimism Theorem

定義：

$$
v_m
=
\max_K
\min_{p\in P_m}F(K,p).
$$

因：

$$
P_m\subseteq\mathcal P,
$$

所以 finite-tail training一定比 true robust problem更樂觀。

並且：

$$
\boxed{
v_{m+1}\le v_m.
}
$$

因為 adversarial set只會增加。

這正式解釋 Round 21 的 overfitting現象。

---

# 11. Legal 7-fold preserving family

測試：

$$
\boxed{
h_{\lambda,a,\psi}
=
(1-\lambda)h_{B_7}
+
\lambda/2
+
a\cos(7\theta+\psi).
}
$$

constant width保持為 1。

interiorization給 curvature floor $\lambda/2$。

$k=7$ harmonic curvature amplitude為 $48|a|$。

所以充分 legality：

$$
\boxed{
|a|\le\lambda/96.
}
$$

而且仍保留 7-fold rotation symmetry，orientation period仍為：

$$
2\pi/7.
$$

---

# 12. Regular B7 baseline

在 official near-minimum base placement上，fresh placement search對 regular B7得到約：

$$
\boxed{
0.83712806.
}
$$

這是 search evidence，不是 lower certificate。

---

# 13. Smooth 7-fold family

測：

$$
h(\theta)=1/2+a\cos7\theta.
$$

即使：

$$
a=0.0103
$$

已非常接近 convexity boundary，fresh search minimum約：

$$
0.8369528,
$$

仍低於 regular B7 baseline。

---

# 14. Tail-targeted overfitting實測

第一輪只針對已知 B7 tail lobes優化 shape。

training score可以拉到：

$$
0.8377708.
$$

但 fresh placement oracle立刻找到：

$$
\boxed{
0.8369560.
}
$$

的新低谷。

繼續 cutting-plane：

- Iter 1 oracle：
  $$
  0.8370455;
  $$
- Iter 2：
  $$
  0.8371292;
  $$
- Iter 3：
  $$
  0.8371286.
  $$

最後回到 regular B7 baseline附近。

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# 15. Interpretation

這不是 B7 optimality theorem。

但它表示：

> 在目前 tested 7-fold preserving legal deformation family內，regular B7 對 placement adversary相當 robust。

補掉現有 tail後，placement oracle會在另一處開新洞。

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# 16. Nearby irregular Reuleaux7

本輪另做 nearby irregular Reuleaux7 exploratory search：

- 30 個 random projected constant-width candidates；
- coarse top 6 再做 robust full-orientation re-search。

best robust value約：

$$
0.83697744,
$$

沒有超過 regular B7。

所以目前也沒有 nearby irregular Reuleaux7 improvement。

---

# 17. Early symmetry-breaking pilot

初步 $k=3$ symmetry-breaking deformation會失去 7-fold orientation quotient。

coarse-top candidates重新以 full：

$$
\phi\in[0,2\pi)
$$

做 placement oracle後，best tested約：

$$
0.83628622.
$$

仍未超過 B7。

這不是對 symmetry-breaking的否定，只表示 naive single-mode breaking不足。

---

# 18. Shape gain must pay proof cost

未來 witness objective不能只看：

$$
V(K)=\min_pF(K,p).
$$

還要考慮 certificate cost：

$$
\boxed{
\mathcal J(K)
=
V(K)
-
\lambda_{\rm cert}
\operatorname{Cost}_{\rm lift}(K).
}
$$

因 symmetry-breaking可能把 orientation fundamental period從：

$$
2\pi/7
$$

擴成：

$$
2\pi.
$$

即使 forcing稍微變強，也可能使正式 certificate成本大增。

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# 19. Current synthesis conclusion

本輪沒有找到 superior witness。

但它排除了三個容易誤判的方向：

1. smooth single $k=7$ wave；
2. 只針對現有 tail一次 fitting；
3. nearby irregular Reuleaux7 without fresh full placement oracle。

所以：

$$
\boxed{
B_7
\text{ remains the primary deep-tail witness}.
}
$$

---

# 20. Next search space

真正值得開的新自由度是 multi-tail symmetry-breaking odd Fourier modes：

$$
\boxed{
k=3,5,7,9,11.
}
$$

這時必須：

1. Round 02 legality；
2. full orientation placement oracle；
3. proof-cost penalty；
4. fresh adversarial placement loop；
5. 多個 base necessity markers共同訓練。

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# 21. Status ledger

- B7 lift-tail atlas: `VERIFIED-COMPUTATIONAL-PILOT`
- Two-lobe phase lock: `NUMERICAL-EVIDENCE`
- Cutting-plane witness synthesis: `FORMALIZED + IMPLEMENTED`
- Finite-tail optimism theorem: `PROVED`
- 7-fold legal deformation family: `PROVED`
- superior 7-fold witness: `NOT FOUND`
- nearby irregular Reuleaux7 improvement: `NOT FOUND`
- regular B7 local minimax interpretation: `NUMERICAL-EVIDENCE`
- global $0.8350$: `COMPUTE-DEFERRED`

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# 22. Round 22

## Symmetry-Breaking Fourier Witness Oracle and Proof-Cost-Aware Shape Search

下一輪：

1. 用 two-lobe atlas + multiple necessity markers當 adversarial training set；
2. 允許 $k=3,5,7,9,11$；
3. enforce Round 02 curvature / constant-width legality；
4. fresh placement oracle完整走 $[0,2\pi)$；
5. objective同時衡量 forcing與 certificate cost；
6. candidate若通過 search，再進 Round 02 finite compiler + Round 08 generic support-core verifier。

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# 23. 最短交接

Round 21 最重要的結果不是新 witness，

而是把：

$$
\boxed{\text{unresolved leaves}}
$$

轉成：

$$
\boxed{\text{structured adversarial atlas}}.
$$

B7 tail是 two-lobe、phase-locked placement ridge。

但：

$$
\boxed{
\text{tail fitting without fresh oracle = overfitting}.
}
$$

因此 witness synthesis正式變成：

$$
\boxed{
\text{shape player}
\leftrightarrow
\text{placement adversary}
}
$$

的 cutting-plane minimax process。