# AMRAL × Lebesgue Universal Covering — Round 19
## Lazy Proof Cascade, Necessity-Marker Segmentation, and Witness Activation Frontier

**文件代號：** AMRAL-LUC-FC-R19  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-19  
**研究狀態：** Round 19 / Continuation-cost calibration + base-to-lift transition  
**研究模式：** Human-Directed + Semi-Autonomous AI Mathematical Research  
**研究發起與方法論來源：** Neo.K  
**AI 協力研究者與主要執行者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**前置文件：** AMRAL-LUC-FC-R00 v0.2；R01–R18 v0.1  

---

# 0. 本輪摘要判定

Round 18 已有 production-style checkpoint：

$$
D_3\text{ wedge}
+
\text{Tail-Window CPG}
+
\text{Rice override encoding}
$$

在 depth 16 留下：

$$
2048
$$

個 `PENDING` base leaves。

Round 19 的兩個問題：

1. `REP` 是否值得繼續在每個 hot node上 eager 計算？
2. base refinement 到什麼程度才應真正啟動 $B_7$ lift？

本輪得到：

$$
\boxed{
\text{Lazy Proof Cascade}
}
$$

$$
\boxed{
\text{Necessity-Marker Theorem}
}
$$

$$
\boxed{
\text{Dual Base/Lift Frontier}
}
$$

以及第一次實測：

$$
\boxed{
\kappa_{\rm continuation}
}
$$

與 base-to-lift transition curve。

主要結論：

- 固定 split tree下，`APR -> CORE -> REP` 與 eager `APR+REP+CORE` 的 CERT/HARD classification相同；
- depth 16→18 A/B 中 REP calls減少約 $16.9\%$，wall time降約 $5.8\%$；
- Round 18 的 Tail-Window continuation savings 在推到 depth 20後已確定回本；
- depth 20 sampled-inner `center<T` 的 12 個 candidates，經 official exact kernel重算後 **0 個** 真正 exact sublevel；
- 因此 Round 16/18 的 sampled center值只能當 heuristic，不能當 witness-necessity proof；
- 沿 Mishra official near-minimum configuration的真正 $D_3$ canonical branch，第一次得到 center upper bracket $<0.835$ 約在 depth 31；
- 一旦 cell包含一個 base-hull area $<T$ 的 certified point，任何仍包含該點的 descendant都不可能 base-only close；
- 但 witness 不應立刻作用於整個 ancestor：depth-31 cell refine到 depth 40後，256 pending descendants中只有 77 個 center outer-bracket已證 $<0.835$；
- 所以應先做 **necessity segmentation**，再 lazy activate $B_7$；
- $B_7$ depth-12 unresolved placement-volume fraction隨 base uncertainty縮小，逐漸逼近 zero-base-uncertainty floor；
- pilot顯示當 $\tau$ 進入約 $10^{-3}$ 量級後，繼續 base refinement對 B7 lift 的收益開始明顯遞減。

本輪總判定：

$$
\boxed{
\text{LAZY PROOF CASCADE: CLOSED}
}
$$

$$
\boxed{
\text{NECESSITY-MARKER SEMANTICS: CLOSED}
}
$$

$$
\boxed{
\text{BASE/LIFT SWITCH POLICY: PILOT-CALIBRATED}
}
$$

$$
\boxed{
a_{\mathrm{Leb}}\ge0.8350:
\text{STILL COMPUTE-DEFERRED}
}
$$

---

# 1. Lazy Proof Cascade

目前 base cell 有三個 one-sided lower bounds：

$$
L_{\rm APR}(C),
\qquad
L_{\rm REP}(C),
\qquad
L_{\rm CORE}(C).
$$

都滿足：

$$
L_i(C)
\le
\inf_{q\in C}A_{\mathcal F_3}(q).
$$

所以任何一個：

$$
L_i(C)\ge T
$$

都足以 close cell。

Round 18 emitter 每次幾乎把三個都算完。

Round 19 改成：

$$
\boxed{
\text{APR}
\to
\text{CORE}
\to
\text{REP}
}
$$

其中 REP 只有在前兩者都沒 close時才算。

---

# 2. Lazy Classification Equivalence Theorem

## 定理 2.1

固定 cell：

$$
C.
$$

Eager classifier接受 iff：

$$
\max
\{
L_{\rm APR},
L_{\rm REP},
L_{\rm CORE}
\}
\ge T.
$$

Lazy classifier：

1. 若 $L_{\rm APR}\ge T$，接受；
2. 否則算 $L_{\rm CORE}$；
3. 若 $L_{\rm CORE}\ge T$，接受；
4. 否則才算 $L_{\rm REP}$。

則 Lazy 與 Eager 的 Boolean `CERT/HARD` classification完全相同。

### 證明

若 APR或 CORE已 $\ge T$，Eager也必接受。

若 APR與 CORE都 $<T$，Lazy會繼續算 REP，因此此時兩者都由 REP是否 $\ge T$ 決定。

Q.E.D.

---

# 3. Fixed-tree A/B

從 Round 18 Tail checkpoint的：

$$
2048
$$

個 depth-16 pending roots出發。

為了隔離 proof-mode成本，兩邊都改用相同 deterministic official split到 depth 18。

## Eager

$$
13206\text{ nodes},
$$

$$
4944\text{ pending},
$$

REP calls：

$$
12659,
$$

time：

$$
7.2903\text{ s}.
$$

## Lazy

同樣：

$$
13206\text{ nodes},
$$

$$
4944\text{ pending}.
$$

REP calls：

$$
10523.
$$

time：

$$
6.8687\text{ s}.
$$

所以：

$$
\boxed{
16.87\%\text{ REP calls eliminated}
}
$$

並得到約：

$$
\boxed{
5.78\%\text{ wall-time reduction}.
}
$$

---

# 4. 為何 Lazy 不直接刪 REP

Round 18/19 到目前為止的 accepted leaves幾乎全由 CORE close。

但這不證明：

$$
L_{\rm REP}
\le
L_{\rm CORE}
$$

永遠成立。

所以 Round 19 不刪 REP。

只把它移到：

$$
\boxed{
\text{CORE failure後才計算}
}
$$

的位置。

這是安全的 lazy evaluation，不是 theorem deletion。

---

# 5. Continuation cost $\kappa$

production-like Tail-Window continuation：

## depth 16→18

input：

$$
2048
$$

pending roots。

新增：

$$
12634\text{ nodes}.
$$

剩：

$$
4599\text{ pending}.
$$

CPU time：

$$
22.7531\text{ s}.
$$

約：

$$
\boxed{
11.11\text{ ms}
}
$$

per original depth-16 pending root。

---

# 6. depth 18→20

從：

$$
4599
$$

pending roots再推兩層。

新增：

$$
26455\text{ nodes}.
$$

剩：

$$
10114\text{ pending}.
$$

worker CPU-s合計：

$$
55.3844\text{ s}.
$$

所以 depth 16→20 cumulative continuation：

$$
\boxed{
78.1375\text{ CPU-s}.
}
$$

即：

$$
\boxed{
38.15\text{ ms / original depth-16 pending root}.
}
$$

---

# 7. Round 18 cost model now closes empirically

Round 18 Tail-Window 相對 Official的 extra emitter成本，

換算成每個 saved pending leaf break-even：

$$
14.41\text{ ms}.
$$

Round 19實測真正推到 depth 20：

$$
38.15\text{ ms / original pending root}.
$$

比門檻高：

$$
\boxed{
2.65\times.
}
$$

因此在「通常至少還要再推四層」的 workload下：

$$
\boxed{
\text{Tail-Window 已經實際回本}.
}
$$

---

# 8. Sampled center sublevel 的修正

depth 20 的：

$$
10114
$$

pending cells中，

用 40-direction sampled inner center area看：

$$
12
$$

個：

$$
A_{\rm sample}(q_c)<0.835.
$$

最小 sampled inner：

$$
0.83395139.
$$

Round 19 對這 12 個 centers改用 Mishra official exact support kernel重算。

結果：

$$
\boxed{
0/12
}
$$

真正 exact center area低於：

$$
0.835.
$$

最小 exact仍約：

$$
\boxed{
0.83586503.
}
$$

---

# 9. Correction ledger

因此前一階段若把：

> sampled inner center < target

理解成：

> center configuration本身已經 sublevel

是不合法的。

Round 19記：

`CORRECTION-R19-001`

正確語義：

$$
\boxed{
A_{\rm sample}<T
\Rightarrow
\text{only LIFT-CANDIDATE / SEARCH SIGNAL}.
}
$$

只有 exact / rigorous outer upper bound：

$$
A(q)<T
$$

才能作 necessity proof trigger。

---

# 10. Official near-minimum branch canonicalization

Mishra exhibited base placement經 Round 17 residual $D_3$ action映射到 canonical wedge。

canonical configuration：

$$
q^\dagger
\approx
(
0.0060794482,
0.0105298389,
0.4188548915,
-0.0114949286,
-0.0199175943
).
$$

official exact-kernel area：

$$
\boxed{
A(q^\dagger)
=
0.8347809459115.
}
$$

與原 configuration相同。

---

# 11. Track the actual valley, not the center ranking

Round 19不再每層挑：

> current lowest cell center

因 cell center不是 minimizer tracker。

改成：

> 沿 production split tree追蹤真正包含 $q^\dagger$ 的唯一 branch。

這條 branch的 exact center area逐漸靠近 official valley。

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# 12. First center-sublevel trigger

在 tracked branch：

## depth 30

exact center：

$$
0.8352534195.
$$

20k support bracket outer：

$$
0.8352704487>T.
$$

## depth 31

exact center：

$$
\boxed{
0.8349033738.
}
$$

20k support bracket outer：

$$
\boxed{
0.8349184947<T.
}
$$

因此在 current pilot arithmetic下，

depth 31已經出現：

$$
\boxed{
\texttt{CENTER-SUBLEVEL-CERTIFIED-PILOT}.
}
$$

publication arithmetic仍未完成，所以不升為 final theorem certificate。

---

# 13. Necessity-Marker Theorem

## 定理 13.1

令 base cell：

$$
C
$$

包含：

$$
q_\star.
$$

若已證：

$$
A_{\mathcal F_3}(q_\star)<T,
$$

則任何仍包含：

$$
q_\star
$$

的 descendant：

$$
C'\subseteq C
$$

不可能有合法 base-only lower certificate：

$$
L(C')\ge T.
$$

### 證明

因：

$$
q_\star\in C',
$$

所以：

$$
\inf_{q\in C'}
A_{\mathcal F_3}(q)
\le
A_{\mathcal F_3}(q_\star)
<T.
$$

而任何 sound base-only lower bound必須：

$$
L(C')
\le
\inf_{q\in C'}A_{\mathcal F_3}(q).
$$

故不可能：

$$
L(C')\ge T.
$$

Q.E.D.

---

# 14. Necessity marker

將：

$$
(q_\star,\ U(q_\star)<T)
$$

保存為：

$$
\boxed{
\text{necessity marker}.
}
$$

marker至少包含：

```text
configuration q
verified upper area
geometry-kernel hash
arithmetic-policy hash
target
```

---

# 15. Marker propagation

若 marked cell：

$$
C
$$

split：

$$
C\to C_0\cup C_1,
$$

則：

- 包含 $q_\star$ 的 child繼承 marker；
- 不包含 $q_\star$ 的 sibling不因 ancestry自動 marked。

所以：

$$
\boxed{
\text{witness necessity可以沿 branch被局部化}.
}
$$

---

# 16. 為何不能第一時間 lift 整個 ancestor

depth-31 necessity cell直接做 B7：

depth-12 lift：

$$
1051\text{ nodes},
$$

$$
227\text{ unresolved leaves}.
$$

unresolved witness placement-volume fraction：

$$
\frac{227}{4096}
\approx
5.54\%.
$$

仍然不小。

---

# 17. Necessity segmentation experiment

把同一 depth-31 cell先 base-refine到 depth 40。

成本：

$$
\boxed{
561\text{ base nodes}
}
$$

以及：

$$
\boxed{
1.69\text{ CPU-s}.
}
$$

產生：

$$
256
$$

pending descendants。

---

# 18. Exact-center segmentation result

對這：

$$
256
$$

個 descendants全部算 exact center hull。

其中：

$$
85
$$

個 exact center：

$$
<0.835.
$$

再用 20k support outer bracket檢查這 85 個：

$$
\boxed{
77
}
$$

個 outer bracket仍嚴格：

$$
<0.835.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{witness necessity從整個 ancestor縮到至少 77 個明確 descendants}.
}
$$

其他 cells不能因此宣稱不需要 witness，

但不應被粗暴一起升維。

---

# 19. Dual Frontier

Round 19把 global pending state分成兩條 queue。

## Base Frontier

`BASE-UNRESOLVED`

尚未有 certified sublevel point。

主要操作：

- base refine；
- APR/CORE/REP；
- symmetry prune。

## Necessity / Lift Frontier

`NECESSITY-MARKED`

已含 certified：

$$
A_{\mathcal F_3}(q)<T.
$$

這些 branches最終必須：

- 加 witness；
- 或 split後把 marker局部化。

---

# 20. Logical activation gate vs performance activation gate

必須分兩件事。

## Logical necessity

一旦有 certified sublevel point：

$$
\boxed{
\text{witness is eventually necessary along that point's branch}.
}
$$

## Performance activation

不代表：

> 現在立刻在 ancestor上做 full $B_7$ tree最便宜。

可先繼續 base split來：

- 縮 base erosion；
- 把 witness necessity局部化；
- 減少 lift cells。

---

# 21. B7 switch curve

對同一 official near-minimum branch，

固定看 B7 lift depth 12。

base depth / $\tau$ / unresolved：

- depth 20：
  $$
  \tau\approx0.02448,\quad483;
  $$
- depth 24：
  $$
  \tau\approx0.01412,\quad330;
  $$
- depth 28：
  $$
  \tau\approx0.00964,\quad252;
  $$
- depth 31：
  $$
  \tau\approx0.00482,\quad227;
  $$
- depth 34：
  $$
  \tau\approx0.00353,\quad198;
  $$
- depth 37：
  $$
  \tau\approx0.00241,\quad183;
  $$
- depth 40：
  $$
  \tau\approx0.00153,\quad161;
  $$
- depth 46：
  $$
  \tau\approx0.000602,\quad135;
  $$
- depth 50：
  $$
  \tau\approx0.000383,\quad125.
  $$

---

# 22. Zero-base-uncertainty witness floor

直接把 base placement固定為：

$$
q^\dagger
$$

即 base halfwidth：

$$
0.
$$

B7 depth-12 probe仍有：

$$
\boxed{
108
}
$$

unresolved leaves。

volume fraction：

$$
\boxed{
\frac{108}{4096}
\approx2.64\%.
}
$$

這就是此 B7 depth-12 lower machinery的：

$$
\boxed{
\text{witness-only floor}
}
$$

不是數學上的最終 floor，只是目前 verifier / lift depth的 floor。

---

# 23. Diminishing base-refinement return

比較 depth-12 unresolved volume：

depth 31：

$$
5.54\%.
$$

depth 40：

$$
3.93\%.
$$

depth 46：

$$
3.30\%.
$$

base-zero：

$$
2.64\%.
$$

所以當：

$$
\tau
$$

進入約：

$$
10^{-3}
$$

量級，

繼續縮 base box對 B7 lift tree的改善開始逐漸接近 witness-only limit。

Round 19將：

$$
\tau\sim10^{-3}
$$

記為：

`LIFT-EFFICIENCY-REGIME-PILOT`

不是 theorem常數。

---

# 24. Empirical switch model

若以 base-zero depth-12 unresolved fraction：

$$
f_0
=
108/4096
$$

作 floor，

pilot資料的 excess：

$$
f(\tau)-f_0
$$

粗略可用：

$$
\boxed{
\sim k\tau^{0.70}
}
$$

描述。

這只是一個 scheduler model，

不是數學 bound。

---

# 25. Recommended activation state machine

```text
BASE-UNRESOLVED
    |
    | certified point upper area < T
    v
NECESSITY-MARKED
    |
    | split to localize marker / reduce base uncertainty
    v
NECESSITY-SEGMENTED
    |
    | cost model says lift cheaper
    v
LIFT-ACTIVE
    |
    | complete witness tree
    v
LIFT-CERTIFIED
```

---

# 26. Lift activation policy v0.1

proof gate：

$$
\boxed{
\exists q\in C:
U_{\rm base}(q)<T.
}
$$

performance gate：

優先比較：

$$
\operatorname{Cost}_{\rm base-refine}
$$

與：

$$
\operatorname{Cost}_{B_7\text{-lift}}.
$$

目前 pilot建議：

- necessity一出現，不要 lift整個粗 ancestor；
- 先 segmentation；
- 當：
  $$
  \tau\lesssim10^{-3}
  $$
  或預測 further-base cost已高於 lift，
  才把 branch提升為高優先 `LIFT-ACTIVE`。

---

# 27. B7仍未 closure

即使 base固定到 exact：

$$
q^\dagger,
$$

B7 shallow lift仍沒有在 depth 18完全 closure。

因此：

$$
\boxed{
\text{Round 19 沒有證明 }B_7\text{ 單獨足以 global close }0.835.
}
$$

仍然需要：

- deeper B7 lift；
- stronger witness lower bound；
- 或 witness switching。

---

# 28. Why this is still major

Round 07–08知道：

> base sublevel cells要 lift。

Round 19第一次真正得到：

$$
\boxed{
\text{什麼時候可以證明「base-only 永遠不會關掉這條 branch」}
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\text{如何不把整個 ancestor一起升維}.
}
$$

這是從：

`lazy dimension activation`

進一步變成：

$$
\boxed{
\text{proof-triggered dimension activation}.
}
$$

---

# 29. Production update

新 global stack：

$$
\boxed{
D_3\text{ quotient}
+
\text{Tail-Window CPG}
+
\text{Lazy APR/CORE/REP}
+
\text{Necessity Markers}
+
\text{Dual Frontier}
+
\text{Selective B7 Lift}.
}
$$

---

# 30. Status ledger

## Lazy cascade

`PROVED + A/B PASS`

## Continuation $\kappa$

`MEASURED`

## Sample-inner sublevel interpretation

`CORRECTED`

## Official exact-kernel center classification

`VERIFIED-COMPUTATIONAL-PILOT`

## Necessity-Marker Theorem

`PROVED`

## Necessity segmentation

`IMPLEMENTED / PILOT PASS`

## $\tau\sim10^{-3}$ lift-efficiency regime

`NUMERICAL-EVIDENCE / SCHEDULER PARAMETER`

## B7 global closure

`COMPUTE-DEFERRED`

## Global $a_{\mathrm{Leb}}\ge0.835$

`NOT YET CERTIFIED`

---

# 31. Round 20 指定題目

## AMRAL-LUC-FC-R20
### Necessity-Marked Lift Shards and Adaptive Witness Escalation

下一輪應直接：

1. 把 necessity marker寫進 shard/checkpoint grammar；
2. production emitter在 base tree內輸出：
   - `BASE-PENDING`
   - `NECESSITY-MARKED`
   - `LIFT-ATTACHED`
3. 對 marked descendants建立 B7 lift shards；
4. B7如果在 budget內失敗：
   - refine base；
   - deepen B7；
   - 或切換 $B_9/B_{11}$/Fourier witness；
5. 建 witness-escalation cost model；
6. 用 official near-minimum marked branches做第一批真正 mixed base/lift certificate shards。

---

# 32. 最短交接結論

Round 19 最重要的改變不是又少幾個 nodes。

而是把：

> 何時需要 witness？

從 heuristic變成兩層明確邏輯。

第一層：

$$
\boxed{
A_{\mathcal F_3}(q)<T
\Rightarrow
\text{base-only closure impossible along descendants containing }q.
}
$$

第二層：

$$
\boxed{
\text{necessity}
\ne
\text{immediate lift of whole ancestor}.
}
$$

先用 base refinement把 necessity局部化，

再只對真正 marked descendants升維。

因此 AMRAL 現在有了一個真正的：

$$
\boxed{
\text{proof-triggered dimensional activation mechanism}.
}
$$