# AMRAL × Lebesgue Universal Covering — Round 18
## Production Shard Emitter, Rice-Coded Overrides, and End-to-End Replay Economics

**文件代號：** AMRAL-LUC-FC-R18  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-19  
**研究狀態：** Round 18 / Production-style checkpoint certificate format  
**研究模式：** Human-Directed + Semi-Autonomous AI Mathematical Research  
**研究發起與方法論來源：** Neo.K  
**AI 協力研究者與主要執行者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**前置文件：** AMRAL-LUC-FC-R00 v0.2；R01–R17 v0.1

---

# 0. 本輪目標

Round 17 已得到目前 global proof stack 的兩層結構：

$$
\boxed{
D_3\text{ canonical wedge}
}
$$

以及 performance-only：

$$
\boxed{
\text{Official default split}
+
\text{Tail-Window CPG override}.
}
$$

Round 18 不再只比較：

- nodes；
- HARD leaves；
- emitter wall time。

本輪把它落成真正可保存與 replay 的 **production-style shard checkpoint format**，並回答：

1. topology 如何編碼？
2. `SYM / CERT / PENDING` 如何區分？
3. 非 default split axis 如何 sparse encode？
4. verifier 是否需要重跑 CPG？
5. Tail-Window 多花的 emitter cost，何時能由 replay / future continuation 收回？
6. 這個 checkpoint 是否真的可以獨立 replay？

本輪實際生成：

- 8 個 global D3 shards；
- Official certificate forest；
- Tail-Window CPG certificate forest；
- independent handwritten-hull verifier；
- Rice-coded sparse override events；
- pending frontier；
- benchmark / cost-policy artifacts。

結果：

$$
\boxed{
\text{PRODUCTION CHECKPOINT FORMAT: VERIFIED}
}
$$

但：

$$
\boxed{
\text{PENDING}>0
}
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{GLOBAL }a_{\mathrm{Leb}}\ge0.8350
\text{ 尚未完成。}
}
$$

---

# 1. Global scope

本輪使用：

$$
T=0.835,
$$

search safety threshold：

$$
T_{\rm search}=0.8350002,
$$

phase master root：

$$
T_M=0.8365.
$$

root semantics：

$$
\boxed{
0\le \arg t_3\le\frac{\pi}{3}
}
$$

即 Round 17：

`D3-WEDGE-v0.1`。

---

# 2. Fixed seed partition

為了讓每個 shard 可獨立 emit / replay，本輪先用 implicit official split 將 D3 master root 固定切到：

$$
\boxed{
\text{seed depth}=3.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
S=2^3=8
}
$$

個 shard roots：

```text
000
001
010
011
100
101
110
111
```

每個 shard 再獨立跑到最大 global depth：

$$
\boxed{
16.
}
$$

這是一個 checkpoint forest。

不是 final theorem forest。

---

# 3. Production node grammar

每個 shard使用 preorder tree。

## Topology stream

每 node：

$$
\boxed{1\text{ bit}}
$$

- `1` = internal split；
- `0` = leaf。

## Leaf tag stream

每 leaf：

$$
\boxed{2\text{ bits}}
$$

```text
00 = SYM
01 = CERT
10 = PENDING
11 = RESERVED
```

---

# 4. `SYM` leaf

`SYM` 不代表 area lower bound。

它代表整個 cell 位於 D3 canonical wedge外：

$$
y_{3,\min}
>
\sqrt3\,x_{3,\max}.
$$

verifier直接重算此幾何條件。

所以：

$$
\boxed{
\texttt{SYM}
=
\text{root-domain quotient proof}
}
$$

而不是 search heuristic。

---

# 5. `CERT` leaf

Emitter 使用：

$$
T_{\rm search}=0.8350002
$$

作 pruning buffer。

Independent verifier 不相信 emitter mode。

它重新計算：

- APR；
- REP；
- CORE。

並只要求 current proof target：

$$
\boxed{
0.835.
}
$$

任何一個 independent one-sided route成功即接受 leaf。

---

# 6. `PENDING` leaf

`PENDING` 只能出現在：

$$
\boxed{
\text{global depth}=16.
}
$$

它不是 failure。

它表示：

> 此 checkpoint尚未繼續 refine 此 branch。

因此 final global status：

$$
\boxed{
\texttt{theorem\_ready}=false
}
$$

只要：

$$
\texttt{PENDING}>0.
$$

---

# 7. Default split is implicit

大部分 internal nodes使用：

`MISHRA-FIRST-ORDER`

也就是比較：

$$
h_{x3},
\quad
h_{y3},
\quad
R_5h_{\phi5},
\quad
h_{x5},
\quad
h_{y5}.
$$

最大者為 split axis。

因此 default axis不需寫進 certificate。

verifier自己重建。

---

# 8. Why not use one override bit per internal node

Round 17 Tail-Window override只佔 internal nodes約一成。

若仍為每個 internal node保存：

$$
\text{override flag}
$$

則所謂 sparse override其實仍付：

$$
O(N_{\rm internal})
$$

metadata。

Round 18 改成 event coding。

---

# 9. Sparse override event

對每個 override internal node，記：

1. 距上一個 override internal index 的 gap；
2. 非 default axis是哪一個。

default axis移除後只剩四個候選，故 axis rank只需：

$$
\boxed{2\text{ bits}.}
$$

---

# 10. Rice-coded gap

令連續 override internal indices：

$$
i_1<i_2<\cdots<i_m.
$$

定義：

$$
g_j
=
i_j-i_{j-1}-1,
$$

其中：

$$
i_0=-1.
$$

選 Rice parameter：

$$
k\in\{0,1,\ldots,6\}.
$$

寫：

$$
g_j
=
2^k q_j+r_j,
$$

用：

- unary $q_j$；
- $k$-bit remainder $r_j$；
- 2-bit axis rank。

每個 shard自行選 bit length最短的：

$$
\boxed{k.}
$$

因此 override metadata真正跟：

$$
\boxed{
\#\text{overrides}
}
$$

而不是所有 internal nodes成正比。

---

# 11. Verifier does not reproduce CPG

這是本輪最重要的 interface rule之一。

Verifier不需要知道：

- $b3=0.025$；
- activation depth $10$；
- child scoring；
- tie-break；
- expected prune model。

它只讀：

1. implicit default split；
2. 若有 override event，就改用 explicit axis；
3. 檢查 midpoint children cover parent。

因此：

$$
\boxed{
\text{scheduler intelligence}
\notin
\text{proof premise}.
}
$$

---

# 12. Forest identity

每個 shard是一棵 full binary tree：

$$
N_s=2L_s-1.
$$

8-shard forest：

$$
\boxed{
N=2L-S,
\qquad
S=8.
}
$$

Independent verifier重新檢查。

---

# 13. Official production checkpoint

Official scheduler實際結果：

$$
\boxed{
N_O=12350
}
$$

leaves：

$$
L_O=6179.
$$

其中：

$$
\texttt{SYM}=109,
$$

$$
\texttt{CERT}=3304,
$$

$$
\boxed{
\texttt{PENDING}=2766.
}
$$

所有 CERT leaf在本輪 verifier中由 CORE route重證成功。

---

# 14. Tail-Window production checkpoint

Tail-Window CPG：

$$
\boxed{
N_T=10086
}
$$

leaves：

$$
L_T=5047.
$$

其中：

$$
\texttt{SYM}=106,
$$

$$
\texttt{CERT}=2893,
$$

$$
\boxed{
\texttt{PENDING}=2048.
}
$$

override events：

$$
\boxed{
573.
}
$$

internal nodes：

$$
4983.
$$

所以 override fraction：

$$
\boxed{
11.37\%.
}
$$

---

# 15. Tree reduction

相對 Official：

nodes reduction：

$$
\boxed{
18.33\%.
}
$$

pending reduction：

$$
\boxed{
25.96\%.
}
$$

即減少：

$$
\boxed{
718
}
$$

個下一階段 continuation obligations。

---

# 16. Sparse axis metadata result

若每個 Tail-Window internal node都 explicit存 3-bit axis：

$$
15117\text{ bits}.
$$

Rice-coded sparse override events實際只需：

$$
\boxed{
3823\text{ bits}.
}
$$

所以 split-axis control metadata只有 explicit-all-axis方案的：

$$
\boxed{
25.29\%.
}
$$

---

# 17. Raw binary stream size

Official：

$$
3094\text{ bytes}.
$$

Tail-Window + Rice：

$$
\boxed{
3011\text{ bytes}.
}
$$

因此即使 Tail-Window 多了 scheduler metadata，最終 raw binary stream仍小：

$$
\boxed{
2.68\%.
}
$$

---

# 18. Compression nuance

若只把所有 binary streams直接 concatenated，再 zlib-9：

Official：

$$
1660\text{ bytes}.
$$

Tail：

$$
1782\text{ bytes}.
$$

Tail反而大約：

$$
7.35\%
$$

因 override event entropy較高。

但完整 shard directory包含：

- manifests；
- pending paths；
- streams。

實際 ZIP：

Official：

$$
25045\text{ bytes}.
$$

Tail：

$$
\boxed{
22263\text{ bytes}.
}
$$

完整 artifact反而小：

$$
\boxed{
11.11\%.
}
$$

主因是 Tail 的：

- node數較少；
- pending frontier較短；
- manifest / path data也更少。

---

# 19. Independent replay result

Verifier使用：

- standalone geometry reconstruction；
- handwritten monotone-chain hull；
- shoelace area；
- independent stream parser。

它不使用：

- SciPy ConvexHull；
- CPG score；
- CPG gate；
- emitter split-choice logic。

Official replay：

$$
\boxed{
2.3140\text{ s}
}
$$

Tail replay：

$$
\boxed{
1.9887\text{ s}
}
$$

約：

$$
\boxed{
14.06\%\text{ faster}.
}
$$

---

# 20. Replay leaf safety

Independent verifier最差 accepted CERT slack：

Official：

$$
6.15\times10^{-6}.
$$

Tail：

$$
1.14\times10^{-5}.
$$

都為正。

但：

本輪仍使用 pilot：

$$
\texttt{FP\_PAD}=10^{-9}.
$$

沒有把它升格為 publication-grade floating theorem。

---

# 21. Emitter cost

Official：

$$
E_O
\approx
6.98\text{ s}.
$$

Tail：

$$
E_T
\approx
17.32\text{ s}.
$$

所以 Tail emitter約：

$$
\boxed{
2.48\times
}
$$

較慢。

這是 sparse lookahead換 tree size的直接成本。

---

# 22. Total proof-system cost model

Round 18 不再把 scheduler cost只看：

$$
E.
$$

定義：

$$
\boxed{
C
=
E
+
R V
+
\kappa P
+
\mu B.
}
$$

其中：

- $E$：一次 emitter成本；
- $V$：一次 independent replay；
- $R$：預計 replay / audit 次數；
- $P$：pending leaves；
- $\kappa$：每 pending obligation的未來 continuation cost；
- $B$：artifact bytes；
- $\mu$：storage/network權重。

這才是長時間 distributed proof 的 scheduler objective。

---

# 23. Replay-only break-even

先取：

$$
\kappa=0,
\qquad
\mu=0.
$$

Tail值得的條件：

$$
E_T+RV_T
<
E_O+RV_O.
$$

解：

$$
R
>
\frac{E_T-E_O}{V_O-V_T}.
$$

本輪：

$$
\boxed{
R_\star
\approx
31.79.
}
$$

所以若只是：

> emit一次、驗一次、就丟掉

Official更省 CPU。

---

# 24. Continuation-aware break-even

Tail少：

$$
\Delta P
=
2766-2048
=
718
$$

個 pending obligations。

如果完全不計 replay：

$$
R=0,
\quad
\mu=0,
$$

Tail只要滿足：

$$
\kappa
>
\frac{E_T-E_O}{718}.
$$

得到：

$$
\boxed{
\kappa
>
0.0144\text{ s / pending leaf}.
}
$$

也就是：

> 只要一個被省掉的 pending leaf，未來平均會需要超過約 14.4 ms 的 continuation work，Tail在此 pilot的 long-run cost 就已能回本。

這是一個 empirical break-even，不是數學 theorem。

---

# 25. Why checkpoint economics favors Tail-Window

在 global proof中，PENDING通常不是免費 metadata。

它意味：

- 下輪仍要重建 box；
- 再做 lower evaluation；
- 可能繼續 split；
- 可能進 B7 lift；
- 還要在多 AI verifier中重播。

所以：

$$
\kappa=0
$$

通常是極不現實的 lower estimate。

因此本輪工程判斷：

$$
\boxed{
\text{long-running checkpoint: Tail-Window preferred}
}
$$

而：

$$
\boxed{
\text{one-shot emitter benchmark: Official preferred}.
}
$$

---

# 26. Scheduler selection becomes workload-dependent

Round 17 是：

> 哪個 scheduler tree比較小？

Round 18 變成：

> 對這個 proof lifecycle，哪個 scheduler總成本最低？

因此 scheduler不能有唯一靜態 winner。

取決於：

$$
(R,\kappa,\mu).
$$

這也是未來 learned scheduler真正應學的 target。

不是單純：

$$
\min \tau.
$$

也不是單純：

$$
\max P(a).
$$

而是：

$$
\boxed{
\min
\mathbb E[
\text{lifetime proof cost}
].
}
$$

---

# 27. Proof-mode audit

本輪 depth-16 accepted CERT leaves：

Official：

$$
3304
$$

全部由 independent verifier重證為：

$$
\boxed{
\texttt{CORE}.
}
$$

Tail：

$$
2893
$$

同樣全部為：

$$
\boxed{
\texttt{CORE}.
}
$$

這不是說 APR / REP永遠沒用。

只表示在此 root / depth / proof target下：

> 真正完成 closure的 leaf目前都靠 common-core erosion。

此觀察可用於 Round 19 的 lazy proof-mode evaluation optimization。

---

# 28. Shard status

本輪 8 個 shards目前全部仍有 PENDING。

因此 shard status是：

`EXPANDED`

而不是：

`COMPLETE`。

它們的 pending leaf paths已經直接輸出，能餵給 Round 12–15 的：

- checkpoint；
- scheduler；
- capacity planner。

---

# 29. Checkpoint semantics

本輪產出的不是 search log。

它是 machine-verifiable checkpoint：

$$
\boxed{
\text{certified leaves}
+
\text{explicit pending frontier}.
}
$$

所以中止 depth-16並不破壞 coverage。

每個 branch不是：

- certified；

就是：

- explicit pending。

沒有 hidden abandoned branch。

---

# 30. Production-final delta

距真正 final $0.8350$ certificate仍缺：

1. 將 PENDING frontier全部 closure；
2. 將 pilot FP policy換成 publication-grade arithmetic theorem；
3. 必要時 activation B7 / fallback witnesses；
4. final A1 replay；
5. global theorem-ready merge。

格式本身已不再是 blocker。

---

# 31. Round 18 status ledger

## Production shard grammar

`CLOSED`

## D3 root replay

`VERIFIED`

## Rice-coded sparse override

`IMPLEMENTED + VERIFIED`

## Official checkpoint replay

`PASS`

## Tail-Window checkpoint replay

`PASS`

## Pending frontier preservation

`PASS`

## Lifetime cost model

`FORMALIZED + EMPIRICALLY CALIBRATED`

## Final $0.8350$ theorem

`COMPUTE-DEFERRED`

---

# 32. Round 19 指定題目

## AMRAL-LUC-FC-R19
### Lazy Proof-Mode Evaluation and Deep-Tail Continuation

Round 18 發現：

> depth-16 accepted leaves目前全由 CORE closure。

下一輪最值得做：

1. APR cheap first；
2. CORE second；
3. REP只在需要 margin forecast / special cells時計算；
4. 測試 emitter / verifier是否能再砍掉大量 center-hull evaluations；
5. 直接對 Round 18 Tail pending frontier繼續到 depth 18 / 20；
6. 將 Round 16 的 tail-first predicted cycles與實際 continuation cost對照；
7. 找到 base-refine → B7-lift 的 empirical switch boundary。

這會第一次讓：

$$
\kappa
$$

從抽象 continuation cost變成實測 quantity。

---

# 33. 最短交接結論

Round 18 已把：

$$
\boxed{
D_3
+
\text{Tail-Window CPG}
}
$$

從 pilot tree變成：

$$
\boxed{
\text{sharded binary checkpoint}
+
\text{independent replay}.
}
$$

Rice-coded sparse overrides使 Tail 即使有非 default axis metadata，raw streams仍比 Official小。

更重要的是，scheduler objective現在正式從：

$$
\text{one-step geometry}
$$

升級成：

$$
\boxed{
\text{lifetime distributed proof cost}.
}
$$

目前 production long-run recommendation：

$$
\boxed{
D_3\text{ wedge}
+
\text{Tail-Window CPG}
+
\text{Rice override events}
+
\text{tail-first continuation}.
}
$$