# AMRAL × Lebesgue Universal Covering — Round 17
## Residual $D_3$ Symmetry Quotient and Certified-Prune-Gain Scheduling

**文件代號：** AMRAL-LUC-FC-R17  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-19  
**研究狀態：** Round 17 / Global quotient + scheduler-cost pilot  
**研究模式：** Human-Directed + Semi-Autonomous AI Mathematical Research  
**研究發起與方法論來源：** Neo.K  
**AI 協力研究者與主要執行者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**前置文件：** AMRAL-LUC-FC-R00 v0.2；R01–R16 v0.1

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# 0. 本輪摘要判定

Round 16 的 global master-root pilot 顯示：raw `HARD` frontier 遠大於真正 near-minimizer frontier，而且 exact-$\tau$ split 的 one-step uncertainty 最優，不等於整體 certificate-cost 最優。

Round 17 完成兩個新層：

$$
\boxed{\text{Residual }D_3\text{ exact symmetry quotient}}
$$

以及：

$$
\boxed{\text{Certified-Prune-Gain scheduling}}
$$

核心結論：

- normalized $D+B_3+B_5$ placement space 仍有 residual $D_3$ symmetry；
- 可精確限制到 $60^\circ$ 的 $t_3$ canonical wedge；
- `SYM` half-space prune 可直接加入現有 axis-aligned verifier；
- depth 16，$D_3$ quotient 相對 full root official：nodes 約減少 **47.32%**，HARD 約減少 **32.73%**；
- unrestricted CPG 很會縮短樹，但可能 myopic；
- tail-only Windowed CPG 在 depth 16 進一步比 $D_3$ official 少 **19.10%** nodes、**25.96%** HARD，override density 約 **10.72%**。

本輪判定：

$$
\boxed{D_3\text{ SYMMETRY QUOTIENT: CLOSED}}
$$

$$
\boxed{\text{TAIL-WINDOW CPG: PILOT-RECOMMENDED}}
$$

$$
\boxed{a_{\mathrm{Leb}}\ge0.8350:\ \text{仍為 COMPUTE-DEFERRED}}
$$

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# 1. Residual $120^\circ$ rotation symmetry

目前 gauge 固定 disk 於原點，並用 global rotation 固定 $B_3$ orientation。配置：

$$
q=(x_3,y_3,\phi_5,x_5,y_5),
\qquad
\phi_5\in[0,2\pi/5).
$$

令：

$$
r=R_{2\pi/3}.
$$

因 regular Reuleaux triangle 有三重 rotational symmetry：

$$
R_{2\pi/3}B_3=B_3.
$$

因此：

$$
t_3\mapsto R_{2\pi/3}t_3,
$$

$$
t_5\mapsto R_{2\pi/3}t_5,
$$

$$
\phi_5\mapsto\phi_5+2\pi/3\pmod{2\pi/5}.
$$

整個 convex hull 只受到共同剛體 rotation，所以：

$$
\boxed{A(q)=A(rq)}.
$$

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# 2. Residual reflection symmetry

令：

$$
s(x,y)=(x,-y).
$$

目前 canonical $B_3$ 對 $x$ 軸 mirror symmetric，所以：

$$
(x_3,y_3)\mapsto(x_3,-y_3),
$$

$$
(x_5,y_5)\mapsto(x_5,-y_5),
$$

$$
\phi_5\mapsto-\phi_5\pmod{2\pi/5}.
$$

故：

$$
\boxed{A(q)=A(sq)}.
$$

又有：

$$
r^3=e,\qquad s^2=e,\qquad srs=r^{-1}.
$$

因此 residual group：

$$
\boxed{G\cong D_3},
\qquad |G|=6.
$$

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# 3. Canonical-Wedge Theorem

對 $t_3\neq0$，令其 polar angle 為 $\theta_3$。$D_3$ 作用為 $120^\circ$ rotations 加 reflections，因此 standard fundamental sector 可取：

$$
\boxed{0\le\theta_3\le\pi/3}.
$$

## 定理 3.1

每個 relevant normalized configuration orbit 至少有一個 representative 滿足：

$$
0\le\arg t_3\le\pi/3.
$$

因此：

$$
\boxed{
\min_{q\in\mathcal Q_{\rm full}}A(q)
=
\min_{q\in\mathcal Q_{D_3}}A(q)
}.
$$

理由：若 $t_3=0$ 已在 wedge boundary；若 $t_3\neq0$，六個 dihedral angular images 必有一個落入長度 $\pi/3$ 的 fundamental sector。同一 group element只對 $t_5$ 做 rigid rotation/reflection，保持 radial legality，而 $\phi_5$ modulo $2\pi/5$ 仍回到 normalized interval。area 由剛體不變性保持。

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# 4. Axis-aligned implementation and `SYM`

對 phase-master radius $t_3^\star$，canonical wedge 包含於：

$$
0\le x_3\le t_3^\star,
$$

$$
0\le y_3\le\frac{\sqrt3}{2}t_3^\star.
$$

再加 canonical half-space：

$$
\boxed{y_3\le\sqrt3\,x_3}.
$$

對 axis-aligned cell，如果：

$$
\boxed{y^-_3>\sqrt3\,x^+_3},
$$

則 cell 與 canonical wedge 無交，可標：

`SYM`

並停止。

`SYM` 不是 area lower-bound leaf，而是 quotient-domain exclusion leaf。final verifier 必須把 $D_3$ quotient theorem 列為 root semantics。

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# 5. Symmetry implementation sanity

Round 17 用 120-direction inner-polygon grid 做 numeric cross-check，避免 Round 16 的 $N=40$ sampling grid 對 $120^\circ$ rotation產生方向偏差。

samples：20。

reflection 最大 area discrepancy：

$$
6.661e-16.
$$

$120^\circ$ rotation 最大 discrepancy：

$$
8.882e-16.
$$

皆為 floating noise 等級。這只是 implementation sanity；symmetry theorem 本身是解析的。

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# 6. Full-root to $D_3$ pilot

Round 16 full root + official scheduler，depth 16：

$$
23455\text{ nodes},\qquad4112\text{ HARD}.
$$

Round 17 $D_3$ root + official：

$$
\boxed{12357\text{ nodes}},
$$

$$
\boxed{2766\text{ HARD}}.
$$

所以：

$$
\boxed{47.32\%\text{ fewer nodes}},
$$

$$
\boxed{32.73\%\text{ fewer HARD}}.
$$

這足以把 $D_3$ quotient 升為 production root baseline。

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# 7. Split-Choice Soundness

對任一 cell $C$，只要實際 split children 滿足：

$$
C\subseteq C_0\cup C_1,
$$

選哪個 axis 只改變 tree topology / cost / metadata，不改 proof soundness。

因此 scheduler 是 performance layer；verifier只需知道實際 split axis並驗 children cover parent。

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# 8. Certified-Prune-Gain

對 HARD parent $C$ 與 candidate axis $a$，定義：

$$
P(a)
=
\mathbf1[C^-_a\text{ certified}]
+
\mathbf1[C^+_a\text{ certified}].
$$

所以：

$$
P(a)\in\{0,1,2\}.
$$

prototype primary objective：

$$
\boxed{\max_aP(a)}.
$$

若 tie，再依序比較：

1. $\min(L_-,L_+)$；
2. $L_-+L_+$；
3. child Hausdorff radius；
4. deterministic axis order。

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# 9. Unrestricted CPG is myopic

$D_3$ root，depth 14 full CPG：

$$
2975\text{ nodes},\qquad1210\text{ HARD},
$$

lower-bound evaluations：

$$
14719.
$$

它把 node 數壓得很低，但 pilot-depth HARD 反而比 windowed policy 多。

因此：

$$
\boxed{
\text{maximize immediate prune}
\not\equiv
\text{minimize long-run unresolved frontier}
}.
$$

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# 10. Windowed CPG

Round 17 設 performance gate：

$$
\boxed{L(C)\ge T-\gamma},
$$

$$
\gamma=0.025.
$$

在本 phase：

$$
L(C)\ge0.81.
$$

只有 official split 立即 closure 0 children，且 parent 已進 proof-near window 時，才評估 alternate axes。

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# 11. Depth-14 full vs windowed CPG

full CPG：

$$
N=2975,\quad H=1210,\quad E=14719.
$$

windowed CPG：

$$
N=4173,\quad H=863,\quad E=8424.
$$

windowed：

- node 更多，但 unresolved HARD 更少；
- lower-bound evaluations 約減少 **42.77%**；
- wall time 約減少 **42.45%**。

所以 unrestricted CPG 不作 production default。

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# 12. Full-window CPG at depth 16

$D_3$ official：

$$
12357\text{ nodes},\qquad2766\text{ HARD}.
$$

從 root 啟動 Windowed CPG：

$$
8625\text{ nodes},\qquad1862\text{ HARD}.
$$

相對 official：

$$
\boxed{30.20\%\text{ fewer nodes}},
$$

$$
\boxed{32.68\%\text{ fewer HARD}}.
$$

但 emitter lower-bound evaluations 約增加到：

$$
1.82\times.
$$

---

# 13. Tail-only Windowed CPG

Round 16 已顯示真正 bottleneck 位於 deeper tail，所以 production 更適合：

- depth $<10$：純 official；
- depth $\ge10$：若 $L(C)\ge0.81$ 且 official closure 0 child，才允許 CPG override。

Depth 16 pilot：

$$
\boxed{N=9997},
$$

$$
\boxed{H=2048}.
$$

override density：

$$
\boxed{10.72\%}.
$$

相對 $D_3$ official：

$$
\boxed{19.10\%\text{ fewer nodes}},
$$

$$
\boxed{25.96\%\text{ fewer HARD}}.
$$

目前這是最平衡的 production candidate。

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# 14. Search cost vs replay cost

Tail-window CPG 的 emitter lower-bound evaluations 約為 official：

$$
2.02\times.
$$

因此它不是免費優化。但 certificate 之後會被 canonical verifier、lagged AI、其他 independent verifier 反覆 replay。

真正 optimization objective 應是：

$$
\boxed{
C_{\rm total}
=
C_{\rm emit}
+
\lambda C_{\rm replay}
}.
$$

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# 15. Sparse override semantics

production 保留 `MISHRA-FIRST-ORDER` 作 implicit default axis。

只有 tail-window CPG 選出非 default axis 時，certificate 額外存 override。

verifier：

- 不重算 CPG；
- 讀 declared override axis；
- 只驗 child boxes cover parent。

五個 axes 中 default 已知，所以 override axis 只剩四種，理論上 2 bits 足夠表示 axis；node-location codec 下一輪再固定。

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# 16. Theorem-critical vs performance-only

## Theorem-critical

- $D_3$ group action；
- canonical wedge theorem；
- `SYM` prune；
- child coverage。

## Performance-only

- $\gamma=0.025$；
- activation depth 10；
- CPG score；
- override codec；
- scheduler version。

所以 future scheduler更新不應 stale symmetry/root theorem。

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# 17. Production stack after Round 17

目前最佳已知組合：

$$
\boxed{
D_3\text{ wedge}
+
\text{official implicit split}
+
\text{tail-window CPG override}
+
\text{Round 16 tail-first shard priority}
}.
$$

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# 18. COMPUTE-DEFERRED

- production grammar 加入 `SYM` leaves；
- production grammar 加入 sparse split overrides；
- 在真實 tail shards 重校準 $\gamma$ 與 activation depth；
- 實測 emitter CPU / compressed bytes / verifier replay time / multi-AI audit total cost。

目前：

$$
\gamma=0.025,
\qquad
d_{\rm activate}=10
$$

都只是 pilot performance parameters。

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# 19. Round 18 指定題目

## AMRAL-LUC-FC-R18
### Production Shard Emitter, Sparse Override Codec, and Replay-Cost Optimization

下一輪主攻：

1. 正式 production emitter / verifier 使用 $D_3$ root；
2. 真正 encode `SYM` leaves；
3. 真正 encode sparse override stream；
4. 比較 raw / RLE / delta-index / compression codec；
5. 實際測 emit vs replay economics；
6. 把 tail-window CPG 變成 production shard format。

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# 20. Reproducibility checklist

- Residual $D_3$ group — `PROVED`
- 60° canonical wedge — `PROVED`
- `SYM` prune — `PROVED`
- Symmetry implementation sanity — `PASS`
- $D_3$ global pilot — `PASS`
- CPG — `IMPLEMENTED`
- Windowed CPG — `PILOT-PASS`
- Tail-window CPG — `PILOT-PASS / PRODUCTION CANDIDATE`
- Global $0.8350$ theorem — `STILL OPEN / COMPUTE-DEFERRED`

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# 21. 最短交接結論

Round 17 把 global search 再縮兩層。

第一層是 exact：

$$
\boxed{\mathcal Q_{\rm full}/D_3}
$$

只需搜索：

$$
\boxed{0\le\arg t_3\le\pi/3}.
$$

第二層是 performance：

$$
\boxed{
\text{official split}
+
\text{tail-window CPG override}
}.
$$

目前 global long-run stack 應更新為：

$$
\boxed{
D_3\text{ quotient}
+
\text{base-refine-first}
+
\text{tail-window CPG}
+
\text{tail-first shard scheduling}
}.
$$