# AMRAL × Lebesgue Universal Covering — Round 16
## Capacity-Aware Global Master-Root Pilot and Bottleneck Profiler

**文件代號：** AMRAL-LUC-FC-R16  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-19  
**研究狀態：** Round 16 / Global-domain finite-depth pilot  
**研究模式：** Human-Directed + Semi-Autonomous AI Mathematical Research  
**研究發起與方法論來源：** Neo.K  
**AI 協力研究者與主要執行者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**前置文件：** AMRAL-LUC-FC-R00 v0.2；R01–R15 v0.1

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# 0. 本輪最重要的改變

Round 10 是 local reference dry run。

Round 16 第一次把 pilot root 換成完整五維：

$$
\boxed{
D+B_3+B_5
}
$$

phase master target：

$$
\boxed{
T_M=0.8365.
}
$$

實際要 profile 的下一 theorem target仍為：

$$
\boxed{
T=0.8350.
}
$$

也就是：

> 這次真的從完整 global placement root 出發，但只跑 finite depth，不宣稱 complete certificate。

本輪目的不是取得新下界，而是回答：

1. 完整 global root 上 prune 結構長什麼樣？
2. 哪個 split scheduler真的省整棵樹？
3. master root 多出的 domain成本有多大？
4. raw `HARD` frontier中有多少是真 near-minimizer，又有多少只是 bound 太鬆？
5. B7 應該何時 activation？

---

# 1. Master root

Round 15 的 phase master target：

$$
T_M=0.8365.
$$

由 a-priori domain formula：

$$
\boxed{
t_3=0.20102352900741122,
}
$$

$$
\boxed{
t_5=0.20261828623043526,
}
$$

$$
\boxed{
t_7=0.20147344578628750.
}
$$

base root：

$$
x_3,y_3\in[-t_3,t_3],
$$

$$
\phi_5\in[0,2\pi/5),
$$

$$
x_5,y_5\in[-t_5,t_5].
$$

這是完整五維 enclosing root；square corners 仍可被 analytic a-priori rules排除。

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# 2. Pilot proof modes

本輪只允許 one-sided lower routes。

## `APR`

使用 disk + body contained center 的解析下界：

$$
f(d)
=
\frac14
\left(
\pi-\arccos\frac1{2d}
\right)
+
\frac12\sqrt{d^2-\frac14}.
$$

## `REP`

cell-center inner hull：

$$
A^-_{\rm center}
$$

減 Round 09 transfer error：

$$
\boxed{
4T\tau+\pi\tau^2.
}
$$

## `CORE`

對整個 placement cell建 Mishra-style common erosion cores：

$$
C_3,
\qquad
C_5,
$$

再用 finite boundary inner points 的 convex hull area 作 lower witness。

## `HARD`

pilot depth前仍不能以以上三種 route close。

重要：

本輪 boundary sampling是 one-sided geometry，但 floating policy仍只是：

$$
N_{\rm sample}=40,
\qquad
e_{\rm pilot}=10^{-9}.
$$

尚未建立 publication-grade floating theorem。

所以：

$$
\boxed{
\text{Round 16 metrics 是 profiling / architecture evidence，不是 }0.835\text{ final certificate}.
}
$$

---

# 3. Split scheduler A/B test

比較兩種 scheduler。

## A — Mishra / official first-order weight

$$
\max
\left
\{
h_{x3},
h_{y3},
R_5h_{\phi5},
h_{x5},
h_{y5}
\right\
\}.
$$

## B — Round 09 exact-$\tau$ one-step scheduler

每次選二分後：

$$
\tau_{\rm child}
$$

最小的 axis。

Round 09 已證 B 對 one-step certified Hausdorff radius optimal。

Round 16 測試的是：

> one-step $\tau$ optimal 是否等於 global tree-cost optimal？

答案：

$$
\boxed{
\text{不是。}
}
$$

---

# 4. Scheduler pilot table

| Pilot depth | Scheduler | Nodes | CORE-pruned | HARD leaves |
|---:|---|---:|---:|---:|
| 10 | official | 2,047 | 370 | 654 |
| 10 | exact-$\tau$ | 2,047 | 0 | 1,024 |
| 12 | official | 4,919 | 1,126 | 1,334 |
| 12 | exact-$\tau$ | 6,519 | 1,936 | 1,324 |
| 14 | official | 11,639 | 3,218 | 2,602 |
| 14 | exact-$\tau$ | 13,319 | 3,146 | 3,514 |
| 16 | official | 23,455 | 7,616 | 4,112 |
| 16 | exact-$\tau$ | 28,771 | 9,134 | 5,252 |

在 depth 16：

$$
\boxed{
\text{official 少約 }18.48\%\text{ nodes}
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\text{official 少約 }21.71\%\text{ HARD leaves}.
}
$$

---

# 5. 這不是 Round 09 的錯誤

Round 09 的 theorem 是：

> exact-$\tau$ split 在單一 coordinate bisection中，對 certified Hausdorff radius bound是 one-step optimal。

它從未證：

> 此 axis會讓整棵 branch-and-bound tree最小。

Round 16顯示：

$$
\boxed{
\text{uncertainty reduction objective}
\neq
\text{certificate prune objective}.
}
$$

所以狀態：

`R09-STRENGTHENING-EMPIRICAL-001`

不是 correction。

production 暫時保留 official split作 baseline。

future應研究：

$$
\boxed{
\text{Expected Certified Prune Gain scheduler}.
}
$$

---

# 6. Master root vs immediate root

同樣 depth 16、official scheduler：

## Immediate root $T_M=0.835$

$$
N=24691,
$$

$$
CORE=8004,
$$

$$
HARD=4342.
$$

## Phase master root $T_M=0.8365$

$$
N=23455,
$$

$$
CORE=7616,
$$

$$
HARD=4112.
$$

master root幾何 volume較大，但這次 finite-depth pilot反而略少 nodes。

不能由此推出 master root普遍更快。

真正結論是：

$$
\boxed{
\text{domain volume overhead 不能直接線性換算 certificate cost}.
}
$$

split order、core geometry、prune timing共同決定 tree cost。

因此 Round 15 的約 $11.66\%$ base translation-volume overhead仍是正確幾何描述，但不是 runtime multiplier。

---

# 7. Detailed global pilot：depth 18

完整 $T_M=0.8365$ root，official split：

$$
\boxed{
N=45651.
}
$$

分類：

$$
APR=0,
$$

$$
REP=0,
$$

$$
CORE=12378,
$$

$$
\boxed{
HARD=10448.
}
$$

在目前解析度，真正發揮作用的是 `CORE`。

`APR/REP=0` 不代表它們永遠沒用，只代表在 depth 18 之前：

- APR contained-center bound仍不夠接近 $0.835$；
- cell Hausdorff radius仍太大，REP transfer penalty太高。

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# 8. Raw HARD 不等於 active frontier

最重要的 profiling結果：

10448 個 HARD cells 的 cell-center inner hull：

$$
\boxed{
\min A^-_{\rm center}
=
0.8356828349502634
>
0.835.
}
$$

而且：

$$
\boxed{
\#\{A^-_{\rm center}<0.835\}=0.
}
$$

所以 depth-18 的 `HARD` 主要代表：

> common-core / box uncertainty太鬆，尚不能 certificate closure。

不是：

> 我們已觀察到一萬個實際低於 target 的中心配置。

這是非常不同的意思。

---

# 9. Near-frontier 壓縮

用 cell-center inner area離 target 的距離作 profiling proxy。

10448 HARD 中：

| Center area 範圍 | Cell 數 |
|---|---:|
| $\le T+0.00075$ | 2 |
| $\le T+0.001$ | 2 |
| $\le T+0.002$ | 8 |
| $\le T+0.005$ | 70 |
| $\le T+0.01$ | 196 |
| $\le T+0.02$ | 714 |

因此：

$$
\boxed{
10448\text{ raw HARD}
\to
8\text{ very-near-frontier center cells at }+0.002.
}
$$

注意這仍是 proxy；cell內可能包含比 center更低的配置。

但它已足以做 scheduler priority。

---

# 10. HARD center-area distribution

quantiles：

$$
Q_{0}=0.835682835,
$$

$$
Q_{0.01}=0.841831848,
$$

$$
Q_{0.10}=0.858184427,
$$

$$
Q_{0.50}=0.884118492,
$$

$$
Q_{0.99}=0.914281848.
$$

所以絕大多數 HARD seed center其實遠高於：

$$
0.835.
$$

它們是 certification-resolution problem，不是 obvious minimizer problem。

---

# 11. Current common-core looseness

HARD lower-bound quantiles：

$$
Q_{0.50}
\approx
0.822136323,
$$

$$
Q_{0.90}
\approx
0.832177159,
$$

$$
Q_{0.99}
\approx
0.834731887,
$$

max：

$$
0.834989575.
$$

所以已有一批 seeds其 core bound離 target只剩：

$$
\sim10^{-5}.
$$

而另外一些仍因 erosion loss差到：

$$
\sim10^{-2}.
$$

這說明 hard frontier本身高度異質。

---

# 12. Margin-to-resolution profiler

沿用 Round 09：

$$
\tau_\star(m,T)
=
\frac{
\sqrt{4T^2+\pi m}-2T
}{\pi},
$$

其中：

$$
m=A^-_{\rm center}-T.
$$

將 current：

$$
\tau=0.03855318146790454
$$

換算成「完整 parameter refinement cycles」的保守 proxy。

結果 quantiles：

$$
Q_{0.10}=1,
$$

$$
Q_{0.50}=2,
$$

$$
Q_{0.90}=3,
$$

$$
Q_{0.99}=5,
$$

$$
\max=8.
$$

---

# 13. Tail counts

至少需要：

$$
\ge3\text{ cycles}:2186,
$$

$$
\ge4:432,
$$

$$
\ge5:142,
$$

$$
\ge6:48,
$$

$$
\ge7:8,
$$

$$
\boxed{
\ge8:2.
}
$$

換句話說：

$$
\boxed{
\text{約 }90\%\text{ HARD cells 在此 proxy 下不超過 3 cycles}.
}
$$

真正 scheduler tail相當小。

---

# 14. 最尾端兩個 base cells

最低 center inner area的兩個 cells：

$$
A^-_{\rm center}
\approx
0.83568283495.
$$

它們 current core lower只有：

$$
\approx0.79907297849.
$$

也就是 erosion / box loss約：

$$
\boxed{
3.66\times10^{-2}.
}
$$

這遠大於我們目前想從 B7取得的 milliscale improvement。

所以在此解析度立刻啟動 B7並不合理。

---

# 15. B7 shallow-lift probe

對上述兩個最接近 target 的 base cells，各自啟動完整 phase-master B7 root：

$$
\phi_7\in[0,2\pi/7),
$$

$$
x_7,y_7\in[-t_7(0.8365),t_7(0.8365)].
$$

B7 local tree跑到 depth 12。

每個結果完全相同：

$$
\boxed{
2403\text{ nodes}
}
$$

其中：

$$
568\text{ closed leaves},
$$

但仍有：

$$
\boxed{
634\text{ unresolved leaves}.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{B7-ACTIVATE-NOW：NO（此 base resolution）}.
}
$$

這不是說 B7無效。

而是：

> B7 tree正在替過度 erosion 的 $B_3/B_5$ base cores付成本。

先 refine base比較合理。

---

# 16. Base-First / Lift-Later policy

Round 16 建議 production policy：

## Phase A — Base refinement

先繼續：

$$
D+B_3+B_5
$$

atlas refinement。

優先 tail：

- ≥5-cycle：142 seeds；
- ≥7-cycle：8 seeds；
- ≥8-cycle：2 seeds。

## Phase B — Near-frontier re-profile

當：

- common-core loss明顯下降；
- REP開始能 prune；
- cell-center / core gap進入 milliscale；

再啟動 B7。

## Phase C — Witness lifting

只對真正 persistent frontier開：

$$
3\text{-D }B_7
$$

或 fallback witness batch。

這是 compute policy，不是 theorem assumption。

---

# 17. Scheduler production decision

目前：

$$
\boxed{
\text{official first-order split = production baseline}.
}
$$

exact-$\tau$仍保留，作為：

- uncertainty metric；
- margin-to-resolution forecast；
- tie-break feature。

但不再單獨決定 split axis。

---

# 18. 新 scheduler research target

Round 16 暴露真正 scheduler objective：

$$
\boxed{
\text{Expected Certified Prune Gain}.
}
$$

理想 score應估計：

$$
\frac{
\Pr(\text{child closes after split})
\times
\text{expected subtree saved}
}{
\text{split / bound evaluation cost}
}.
$$

可以使用：

- $\tau$ reduction；
- current CORE gap；
- center margin；
- historical sibling prune率；
- proof mode；
- path symmetry class。

這是 future scheduler，不進 current verifier。

---

# 19. Symmetry signal

最尾端 seeds出現明顯 sign / orientation paired patterns。

例如最低兩個 center configurations具有 mirrored translation signs，center area幾乎完全相同。

狀態：

`NUMERICAL-SYMMETRY-SIGNAL`

不是 formal quotient theorem。

未來值得建立：

$$
\boxed{
\text{global atlas symmetry canonicalization}.
}
$$

如果能安全 quotient，可直接再砍 distributed workload。

---

# 20. Master-root decision

雖然 $T_M=0.8365$ root比 immediate $0.835$ root稍大，

本輪 finite-depth pilot沒有觀察到 node penalty。

因此保留：

$$
\boxed{
T_M=0.8365
}
$$

作 B7-phase master domain。

理由：

1. root overhead幾何上中等；
2. 可支援 Round 15 threshold ladder；
3. 避免每次 target小幅提升就重建 seed identities；
4. pilot未顯示明顯 tree-cost劣化。

但：

`MASTER-ROOT-PERFORMANCE-NOT-A-THEOREM`。

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# 21. Production shard tiers

以 depth-18 pilot作 initial difficulty prior。

## Tail-A

$$
\ge5\text{ predicted cycles}
$$

共：

$$
\boxed{142}.
$$

優先長任務 / duplicate audit。

## Tail-B

3–4 cycles：

$$
2186-142
=
\boxed{2044}.
$$

## Bulk

1–2 cycles：

$$
10448-2186
=
\boxed{8262}.
$$

這可直接餵 Round 13 tail-first scheduler。

---

# 22. Global long-run architecture after Round 16

現在 production flow建議：

```text
MASTER ROOT T_M=0.8365
        |
        v
base F3 refinement
        |
        +-- easy -> CORE/REP closure
        |
        +-- tail -> deeper base refinement
                      |
                      v
               near-frontier profiler
                      |
                      +-- base can close -> continue
                      |
                      +-- persistent -> activate B7
                                          |
                                          v
                                  conditional lift / batch
```

而不是：

```text
all HARD -> B7 immediately
```

---

# 23. New actual artifact

Round 16 package保存：

- complete pilot methodology；
- actual depth-18 raw JSON；
- actual multi-depth scheduler metrics；
- near-frontier top cells；
- B7 shallow probes；
- reproduction code；
- production long-run spec。

---

# 24. Status ledger

## Full global five-dimensional root used

`YES`

## Finite-depth global pilot

`VERIFIED-COMPUTATIONAL / PILOT`

## Official vs exact-$\tau$ scheduler comparison

`VERIFIED-COMPUTATIONAL / PILOT`

## Near-frontier compression signal

`NUMERICAL-EVIDENCE`

## B7 base-first activation recommendation

`EMPIRICAL-COMPUTE-POLICY`

## New rigorous lower bound

`NONE`

## $a_{\rm Leb}\ge0.8350$

`OPEN / COMPUTE-DEFERRED`

---

# 25. Round 17 指定題目

## AMRAL-LUC-FC-R17
### Symmetry Canonicalization and Expected-Prune-Gain Scheduler

下一輪有兩條現在非常值得做的工作：

### A. Formal symmetry quotient

把 Round 16 near-frontier的 paired seeds提升成合法 canonicalization：

- reflections；
- Reuleaux body rotational symmetries；
- global normalization剩餘群作用。

目標：

$$
\boxed{
\text{proof-preserving duplicate seed elimination}.
}
$$

### B. Prune-gain scheduler

利用 Round 16 pilot data，從：

$$
\text{one-step }\tau\text{ optimization}
$$

升成：

$$
\boxed{
\text{predicted certificate-cost minimization}.
}
$$

如果本地 global long run在此之前已啟動，Round 17直接 ingest真實 shard statistics更新 cost model。

---

# 26. 最短交接結論

Round 16 第一次真正看到了完整 global root 的形狀。

最重要的發現不是：

> 還有 10448 個 hard seeds。

而是：

$$
\boxed{
\text{raw HARD frontier} \gg \text{真正 near-minimizer frontier}.
}
$$

在 depth 18：

- 10448 HARD；
- 只有 8 個 center在 target + 0.002內；
- 90% 預估不超過 3 full refinement cycles；
- B7在最尾端兩個 coarse base cells上仍因 base erosion loss而無法快速閉合。

所以 production 策略應是：

$$
\boxed{
\text{Base Refine}
\to
\text{Frontier Concentration}
\to
\text{B7 Lift}.
}
$$

而不是一看到 HARD 就增加 witness dimensions。