# AMRAL × Lebesgue Universal Covering — Round 11
## Global Atlas Partition Strategy and Parallel Certificate Sharding

**文件代號：** AMRAL-LUC-FC-R11  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-18  
**研究狀態：** Round 11 / Global proof-state orchestration / Sharded certificate architecture  
**研究模式：** Human-Directed + Semi-Autonomous AI Mathematical Research  
**研究發起與方法論來源：** Neo.K  
**AI 協力研究者與主要執行者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**前置文件：** AMRAL-LUC-FC-R00 v0.2；R01–R10 v0.1  

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# 0. 本輪摘要判定

Round 10 首次實際跑通：

$$
\text{base leaf}
\to
\text{B7 lift tree}
\to
\text{certificate bytes}
\to
\text{independent replay}.
$$

但真正 global：

$$
T=0.8350
$$

計算不應綁在單一程序、單一機器或單一 AI 對話。

Round 11 建立：

$$
\boxed{
\text{Prefix-Free Certified Frontier}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{Shard / Resume / Merge proof state}.
}
$$

本輪主要結果：

1. global root 可由 prefix-free complete seed frontier 表示；
2. hard seed 可隨時合法替換成 descendants；
3. scheduling / work stealing / machine failure 不進 theorem premise；
4. shards 只要精確 partition frontier，就能獨立驗證再合併；
5. 建立 global forest identity：

   $$
   N=2L-S;
   $$

6. 建立 content-addressed shard manifest + Merkle root；
7. 建立跨機器 deterministic seed identity；
8. Round 10 的 4-leaf reference certificate 已實際拆成 $3$ shards，再獨立 merge replay 成功。

因此：

$$
\boxed{
\text{SHARDED CERTIFICATE ARCHITECTURE: CLOSED}
}
$$

$$
\boxed{
\text{GLOBAL }0.8350\text{ HEAVY RUN: COMPUTE-DEFERRED}
}
$$

---

# 1. Seed path

global base root記為空 path：

$$
\epsilon.
$$

每次 deterministic binary split：

- left child append：

  $$
  0;
  $$

- right child append：

  $$
  1.
  $$

所以每個 descendant box有唯一 path：

$$
p\in\{0,1\}^\star.
$$

若 production grammar使用 explicit split axis，則完整 seed identity應記：

$$
\boxed{
(\text{axis}_1,b_1),
(\text{axis}_2,b_2),
\ldots
}
$$

而不是只記 bit。

本輪 reference demo因 split rule固定，可只用 bit path。

---

# 2. Prefix-free frontier

令：

$$
\mathcal P
\subset
\{0,1\}^\star
$$

為 finite seed paths。

稱：

$$
\mathcal P
$$

prefix-free，若不存在：

$$
p,q\in\mathcal P,
\qquad
p\ne q,
$$

使：

$$
p
$$

為：

$$
q
$$

的 prefix。

這避免同時把 ancestor與descendant當成兩個獨立 proof roots。

---

# 3. Complete frontier

prefix-free：

$$
\mathcal P
$$

稱為 complete frontier，若從 root往下遞迴：

- 若 node path：

  $$
  p\in\mathcal P,
  $$

  則此 branch停止；

- 否則：

  $$
  p0
  $$

  與：

  $$
  p1
  $$

  兩個 child branches都必須繼續並最終命中 frontier。

等價地：

> root 到任意 infinite binary descent path都會先遇到唯一一個 frontier prefix。

---

# 4. Complete-Frontier Coverage Theorem

## 定理 4.1

假設每次 split都滿足：

$$
\boxed{
B(p)
\subseteq
B(p0)\cup B(p1).
}
$$

若：

$$
\mathcal P
$$

是 complete frontier，則：

$$
\boxed{
B(\epsilon)
\subseteq
\bigcup_{p\in\mathcal P}
B(p).
}
$$

### 證明

對 finite frontier tree做結構歸納。

若：

$$
\epsilon\in\mathcal P,
$$

平凡。

否則 root兩個 branches都由 complete frontiers覆蓋。

由：

$$
B(\epsilon)
\subseteq
B(0)\cup B(1)
$$

及 induction得結論。

Q.E.D.

---

# 5. Frontier Replacement Invariant

## 定理 5.1

若：

$$
\mathcal P
$$

為 complete prefix-free frontier，且：

$$
p\in\mathcal P,
$$

令：

$$
\boxed{
\mathcal P'
=
(\mathcal P\setminus\{p\})
\cup
\{p0,p1\}.
}
$$

則：

$$
\mathcal P'
$$

仍為 complete prefix-free frontier。

因此 hard seed可以合法：

$$
\boxed{
p
\rightsquigarrow
\{p0,p1\}.
}
$$

反覆使用即可把一個 hard shard拆成任意深的 complete descendant frontier。

---

# 6. Resume semantics

worker 不需要假裝 incomplete seed已 closure。

若 node cap / wall-time / machine preemption發生：

worker只需輸出：

```text
status = EXPANDED
old_seed = p
replacement_frontier = {p_1,...,p_k}
```

其中：

$$
\{p_1,\ldots,p_k\}
$$

是：

$$
p
$$

subtree的一個 complete prefix-free frontier。

global coordinator執行 frontier replacement。

所以：

$$
\boxed{
\text{interrupt}
\neq
\text{proof failure}.
}
$$

只有把 unresolved seed錯標成 certified leaf才是 proof failure。

---

# 7. Shard

shard：

$$
S_a
$$

是一個 finite seed subset：

$$
\mathcal P_a
\subseteq\mathcal P.
$$

每個 seed有：

- seed identity；
- reconstructed root box；
- certificate bytes / subtree；
- hash；
- verification summary。

shards只負責 work packaging。

它們不改數學 domain。

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# 8. Shard Partition Theorem

## 定理 8.1

若：

$$
\mathcal P
$$

是 complete frontier，且 shards滿足：

$$
\boxed{
\mathcal P
=
\bigsqcup_{a=1}^s
\mathcal P_a,
}
$$

也就是：

- 每個 frontier seed恰好屬於一個 shard；
- 無 duplicate seed；
- 無 missing seed；

且每個 shard中的每個 seed都被獨立證：

$$
\forall q\in B(p),
\quad
A(q)\ge T,
$$

則：

$$
\boxed{
\forall q\in B(\epsilon),
\quad
A(q)\ge T.
}
$$

這是 global merge 的核心 soundness theorem。

---

# 9. Shard order不重要

proof只依賴：

$$
\boxed{
\text{frontier coverage}
+
\text{seed certificate validity}.
}
$$

所以：

- shard順序；
- worker id；
- completion time；
- machine；
- AI agent；
- queue discipline；

全部不屬 theorem premise。

這讓：

$$
\boxed{
\text{distributed computation}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{proof semantics}
}
$$

完全分離。

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# 10. Forest structural identity

對一組：

$$
S
$$

個獨立 binary certificate roots。

若每棵樹所有 internal node恰有兩 child，

總 node：

$$
N,
$$

總 leaves：

$$
L,
$$

則：

$$
\boxed{
N=2L-S.
}
$$

這正是 Mishra verifier使用：

$$
2L-n_{\rm seed}=N
$$

的 global structural audit。

Round 11要求：

- per shard驗一次；
- merge後全 frontier再驗一次。

---

# 11. Dynamic reshard identity

若一個 seed certificate尚未完成，替換成：

$$
k
$$

個 complete descendant seeds，

global root count：

$$
S
$$

增加：

$$
k-1.
$$

最終 forest identity仍必須使用 final frontier size：

$$
\boxed{
S=|\mathcal P_{\rm final}|.
}
$$

所以 proof不需要記住中途曾經如何 reshard。

只需 final frontier與每個 terminal certificate。

---

# 12. Content-addressed shard

shard manifest payload canonicalize後：

$$
H_a
=
\operatorname{SHA256}
(
\text{canonical shard payload}
).
$$

payload至少包含：

- shard id；
- target；
- seed ids；
- root-box identities；
- certificate hashes；
- node / leaf metadata；
- proof policy version。

任何內容改變：

$$
\Rightarrow
H_a
$$

改變。

---

# 13. Merkle binding

排序所有 shard hashes：

$$
H_1,\ldots,H_s.
$$

建立 binary Merkle root：

$$
\boxed{
H_{\rm root}.
}
$$

global manifest保存：

$$
H_{\rm root}.
$$

這讓：

- shard replacement；
- stale result；
- accidental mismatch；

在 merge前即可被偵測。

Merkle root不是數學正確性的替代，只是資料完整性 binding。

---

# 14. Deterministic seed identity

跨機器重播最危險的不是數學，而是：

> 同一 seed id 是否真的代表同一個 box？

production有兩個可選模式。

---

## Mode A：Implicit deterministic split

seed path只存：

$$
0/1
$$

bits。

verifier依：

- root；
- split rule version；
- tie-break rule；

重建 axis與 box。

優點：

- 最小 metadata。

缺點：

- 對跨語言 / 跨 floating implementation敏感。

---

## Mode B：Explicit split-axis path

每步記：

$$
(a,b)
$$

其中：

- $a$ = split axis；
- $b\in\{0,1\}$ = side。

verifier只需：

1. 重建指定 axis midpoint split；
2. 檢查 children cover parent。

優點：

- 更適合 multi-runtime / multi-AI。

Round 11建議 production global certificate優先：

$$
\boxed{
\text{Mode B}.
}
$$

多幾個 bits換來更好的 portability。

---

# 15. Exact / dyadic interval state

若 root endpoints以 outward-rounded decimal rationals固定，

每次 midpoint split可在 exact dyadic-rational層表示。

因此 seed box可用：

$$
\boxed{
\text{root rational constants}
+
\text{axis/side path}
}
$$

精確重建。

floating point只在 geometric lower-bound calculation中出現。

這減少：

- box drift；
- platform-dependent midpoint；
- serialize / deserialize mismatch。

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# 16. Global 0.835 base root

Round 07 / 08已固定：

$$
T=0.835.
$$

base：

$$
D+B_3+B_5.
$$

safe translation radial domains：

$$
|t_3|
\le
0.194856180909,
$$

$$
|t_5|
\le
0.197820670401.
$$

orientation：

$$
\phi_5
\in
[0,2\pi/5).
$$

global production atlas root可用 enclosing box：

$$
x_3,y_3
\in
[-t_3,t_3],
$$

$$
x_5,y_5
\in
[-t_5,t_5],
$$

再由 a-priori radial proof prune square corners。

---

# 17. Initial seeding strategy

不建議一開始就固定照 Mishra：

$$
d=22
$$

切出：

$$
2^{22}
$$

seeds。

Mishra 的 depth 22是針對其 monolithic family-B emitter與 workload測得。

Round 11建議：

1. 選 modest initial depth：

   $$
   d_0;
   $$

2. pilot run估 seed cost；
3. hard seeds動態 frontier replacement；
4. easy seeds不額外碎裂。

因此 final seed sizes可高度不均一。

proof完全允許。

---

# 18. Work-cap continuation

對 shard worker設定：

$$
N_{\rm cap}
$$

node budget。

worker DFS：

```text
while stack:
    if certified:
        record certificate leaf
    elif work < N_cap:
        split and continue
    else:
        return unresolved complete frontier
```

未完成 work不寫成 proof leaf。

coordinator把 returned frontier重新排入 queue。

這與 official `certgen.py` 的 unfinished DFS stack requeue思想相容。

Round 11把它改寫成 content-addressed proof state。

---

# 19. Difficulty forecast from Round 09

若 cell有：

- uncertainty：

  $$
  \tau(C);
  $$

- representative rigorous margin：

  $$
  m(C)>0;
  $$

則 closure-required radius：

$$
\tau_\star(m,T).
$$

可定義 predicted refinement cycles：

$$
\boxed{
r_{\rm pred}(C)
=
\max
\left\{
0,
\left\lceil
\log_2
\frac{
S(C)
}{
\tau_\star(m,T)
}
\right\rceil
\right\}.
}
$$

其中：

$$
S(C)
$$

為 Round 09 linear motion surrogate。

這是 theorem-derived upper-depth forecast。

若：

$$
m(C)\le0,
$$

標記：

`ACTIVE/HARD`

不要假裝有 closure-depth estimate。

---

# 20. Scheduling heuristic

proof不依賴 scheduler。

可使用：

```text
priority:
    ACTIVE/HARD first
    then large predicted depth
    then high historical nodes/seed
```

或反過來先清 easy seeds。

這只是 throughput策略。

---

# 21. Shard output states

每個 shard只能：

## `COMPLETE`

shard中所有 terminal seeds都已有完整 certificate。

## `EXPANDED`

shard沒有宣稱完成。

只輸出新的 complete descendant frontier供重新排程。

## `FAILED`

發生：

- invalid geometry；
- arithmetic failure；
- corrupt stream；
- inconsistent root。

final global proof只接受：

`COMPLETE`

terminal shards。

---

# 22. Global merge checklist

merger 必須驗：

1. global manifest hash；
2. target / policy一致；
3. frontier prefix-free；
4. frontier complete；
5. every frontier seed exactly once；
6. shard payload hashes；
7. Merkle root；
8. each seed root box reconstruction；
9. each seed certificate；
10. per-shard forest identity；
11. global forest identity；
12. no `EXPANDED/FAILED/UNRESOLVED` terminal state；
13. verifier versions / arithmetic policies compatible。

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# 23. Multi-AI independent replay

Round 11 的雲端雙線架構可直接映射到 shards。

Frontier AI：

- emit / improve shards；
- maintain global manifest。

Lagged verifier AI：

- 隨機或系統抽 shards；
- 從 seed root獨立 replay；
- 不讀 emitter search heuristics；
- 回傳：

  - `PASS`
  - `CORRECTION`
  - `COUNTEREXAMPLE`
  - `ARITHMETIC-DISAGREEMENT`

第三個 local verifier可全量 replay。

這不是 majority vote。

任何一個 valid counterexample足以拒絕 shard。

---

# 24. Shard ancestry

shard重算／拆分不得覆寫歷史。

記錄：

```text
shard_id
parent_shard_id
replaces_seed_paths
new_frontier_paths
reason
source_hash
result_hash
verifier_hash
```

若舊 shard有錯：

標：

`CORRECTED`

或：

`REJECTED`

不要刪掉舊版本。

---

# 25. Reference sharding dry run

Round 10 local reference frontier：

$$
\boxed{
\mathcal P
=
\{00,01,10,11\}.
}
$$

它是 depth-two complete prefix-free frontier。

Round 11故意非均勻分成：

### Shard A

$$
\{00,11\}
$$

### Shard B

$$
\{01\}
$$

### Shard C

$$
\{10\}
$$

順序與相鄰性都不重要。

---

# 26. Actual reference shard replay

Round 11 standalone reference package複製 Round 10：

- independent verifier；
- certificate bytes；
- source manifest。

然後：

1. 建 $3$ 個 shard manifests；
2. SHA-256 bind each payload；
3. 建 shard Merkle root；
4. merge verifier重建：

   $$
   \{00,01,10,11\};
   $$

5. 檢查 prefix-free complete frontier；
6. independently replay all $4$ lift certificates；
7. 檢查 per-shard forest identities；
8. 檢查 global forest identity。

結果：

$$
\boxed{
\texttt{REFERENCE-SHARDED-VERIFIED}
}
$$

---

# 27. Reference counts

global：

$$
\boxed{
S=4
}
$$

roots。

$$
\boxed{
N=11372
}
$$

nodes。

$$
\boxed{
L=5688
}
$$

leaves。

檢查：

$$
2L-S
=
2(5688)-4
=
11372
=
N.
$$

PASS。

---

# 28. Per-shard identities

## Shard A

兩 roots：

$$
00,\ 11.
$$

其：

$$
N_A
=
2833+2853
=
5686,
$$

$$
L_A
=
1417+1427
=
2844.
$$

檢查：

$$
2L_A-2
=
5686.
$$

---

## Shard B

一 root：

$$
01.
$$

$$
N_B=2853,
\qquad
L_B=1427.
$$

$$
2L_B-1=2853.
$$

---

## Shard C

一 root：

$$
10.
$$

$$
N_C=2833,
\qquad
L_C=1417.
$$

$$
2L_C-1=2833.
$$

全部 PASS。

---

# 29. Reference scope remains local

Round 11 的 actual shard replay仍然只綁定 Round 10 local base neighborhood。

所以：

$$
\boxed{
\texttt{REFERENCE-SHARDED-VERIFIED}
}
$$

不是：

$$
\boxed{
a_{\mathrm{Leb}}\ge0.835.
}
$$

production global run要把 frontier root換成完整 Round 07 global base domain。

---

# 30. Production shard manifest minimum fields

```text
program_id
round
target

root_domain_hash
split_policy_hash
arithmetic_policy_hash
witness_catalog_hash

shard_id
shard_status

seed_entries:
    seed_path
    seed_box_hash
    certificate_hash
    nodes
    leaves
    worst_slack

payload_sha256
```

---

# 31. Global manifest minimum fields

```text
global_root_hash
target
proof_policy_version

frontier_seed_paths

shards:
    shard_id
    shard_payload_hash
    seed_paths

shard_merkle_root

verifier_requirements
```

---

# 32. Checkpoint manifest

非 final checkpoint可另外存：

```text
complete_shards
expanded_shards
pending_frontier
failed_shards
total_verified_nodes
total_pending_seeds
```

但 final theorem manifest中：

$$
\boxed{
\text{pending}=0.
}
$$

---

# 33. Why sharding does not weaken proof

global theorem原本要求：

$$
\forall q\in B_{\rm root},
\quad
A(q)\ge T.
$$

sharding只把：

$$
B_{\rm root}
$$

寫成：

$$
\bigcup_{p\in\mathcal P}
B(p).
$$

每個 seed仍逐一：

$$
\forall q\in B(p).
$$

所以沒有：

- sampling；
- statistical assumption；
- majority assumption；
- worker trust assumption。

worker可完全不可信。

只要 verifier重播 certificate即可。

---

# 34. Reshard example

假設：

$$
p=0101
$$

太難。

可替換為：

$$
01010,
\qquad
01011.
$$

若：

$$
01010
$$

仍太難，再：

$$
01010
\to
010100,
010101.
$$

frontier變：

$$
\ldots,
010100,
010101,
01011,
\ldots
$$

仍 complete。

因此 global queue可以永遠只保存：

$$
\boxed{
\text{current frontier}
}
$$

不需要保存 scheduler歷史才能證 coverage。

---

# 35. Cross-machine arithmetic policy

不同機器可以：

- emit；
- verify；
- cross-check。

但同一 production theorem layer必須固定：

$$
\boxed{
\text{arithmetic policy contract}.
}
$$

例如：

- double + proven error budget；
- interval arithmetic；
- rational inner points；
- hybrid。

shard若使用不同 policy，可以接受，但 manifest必須標明，global verifier必須支援並逐 shard驗證。

不能把某一 shard的 error theorem套到另一 policy。

---

# 36. Cross-version safety

若 geometry kernel升版：

新 shard必須帶：

$$
\text{geometry\_hash}.
$$

舊 shard可繼續存在。

global manifest不可默默混合不相容版本。

merger要嘛：

1. verifier同時支援兩版本；
2. 要嘛要求該 shard重算。

---

# 37. COMPUTE-DEFERRED

## C11-1 — Global seed pilot

對完整：

$$
T=0.835
$$

base root跑 modest depth pilot。

輸出：

- seed count；
- base prune rate；
- predicted hard fraction；
- nodes/seed distribution。

---

## C11-2 — Dynamic reshard

設定 worker cap。

hard seeds自動：

$$
p\to\{p0,p1\}.
$$

保存 frontier checkpoint。

---

## C11-3 — B7 lift shards

對 retained hard base seeds / leaves啟動 B7 lift。

lift certificates可以另做 sub-shards，但 base seed必須保留 references。

---

## C11-4 — Independent shard verifier pool

第二 AI / local verifier分片重播。

---

## C11-5 — Global merge

只有：

$$
\text{pending}=0
$$

且全 shard PASS才允許輸出：

`GLOBAL-CERTIFICATE-CANDIDATE`

之後仍需 publication-grade arithmetic audit。

---

# 38. Round 12 指定題目

## AMRAL-LUC-FC-R12
### Global Checkpoint Crystal and Multi-AI Shard Audit Protocol

若 global compute尚未回來：

1. 建 persistent frontier checkpoint format；
2. 定義 shard claim ledger；
3. 定義 cross-AI revalidation sampling；
4. 定義 correction propagation；
5. 定義 stale shard invalidation；
6. 把雲端 State Crystal直接變成 global distributed proof-state。

如果已有 partial global atlas：

直接 ingest：

- complete shards；
- hard seed distribution；
- B7 closure rate；
- pending frontier。

---

# 39. Reproducibility checklist

## Prefix-free frontier theorem

`PROVED`

## Frontier replacement invariant

`PROVED`

## Shard partition theorem

`PROVED`

## Global forest identity

`PROVED`

## Content-addressed shard binding

`IMPLEMENTED`

## Merkle root binding

`IMPLEMENTED`

## Reference shard replay

`PASS`

## Global 0.835 heavy run

`COMPUTE-DEFERRED`

---

# 40. 最短交接結論

Round 11 將：

$$
\boxed{
\text{global exhaustive proof}
}
$$

從一個巨大 monolithic job改寫成：

$$
\boxed{
\text{complete prefix-free frontier}
+
\text{independently verifiable shards}.
}
$$

最重要 invariant：

$$
\boxed{
p
\rightsquigarrow
\{p0,p1\}
}
$$

可以任意次發生而不改 proof coverage。

所以之後：

- 機器中斷；
- 額度重置；
- 第二 AI接手；
- shard重算；
- 多機平行；
- hard seed再次拆分；

都不需要破壞或重啟整個 global proof。

真正 theorem-critical 的只有：

$$
\boxed{
\text{final frontier complete}
+
\text{every terminal seed certified}.
}
$$