# AMRAL × Lebesgue Universal Covering — Round 10
## Reference Atlas Emitter and End-to-End Conditional-Lift Dry Run

**文件代號：** AMRAL-LUC-FC-R10  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-18  
**研究狀態：** Round 10 / Executable reference certificate / Local-domain dry run  
**研究模式：** Human-Directed + Semi-Autonomous AI Mathematical Research  
**研究發起與方法論來源：** Neo.K  
**AI 協力研究者與主要執行者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**前置文件：** AMRAL-LUC-FC-R00 v0.2；R01–R09 v0.1  

---

# 0. 本輪目的

Round 08–09 已完成：

$$
\text{certificate grammar}
+
\text{adaptive cost logic}.
$$

Round 10 的目標不是假裝已經完成全球：

$$
a_{\mathrm{Leb}}\ge0.8350.
$$

本輪做一件更具工程價值的事：

$$
\boxed{
\text{把整條 nested certificate pipeline 實際跑完一次。}
}
$$

因此本輪選擇：

- 一個**局部**五維 base neighborhood；
- 但每個 base leaf 都啟動**完整的 $B_7$ relevant placement root**；
- emitter 真正生成 finite DFS certificate bitstreams；
- independent verifier 真正重播全部 boxes；
- final summary 真正檢查 tree identity、hash、leaf lower bounds 與 stream exhaustion。

這是：

$$
\boxed{
\text{LOCAL-DOMAIN REFERENCE CERTIFICATE}
}
$$

不是 global Lebesgue theorem。

---

# 1. Local base domain

中心採官方 exhibited：

$$
D+B_3+B_5
$$

near-minimum placement。

normalized：

$$
q^\dagger
=
(
x_3,y_3,\phi_5,x_5,y_5
)
$$

其中：

$$
x_3
=
-0.01215883209899,
$$

$$
y_3
\approx
-3.7082\times10^{-8},
$$

$$
\phi_5
\approx
2.4128951083\times10^{-5},
$$

$$
x_5
=
0.02299660691706,
$$

$$
y_5
\approx
-3.89698\times10^{-6}.
$$

reference local halfwidth：

$$
\boxed{
(
4\times10^{-5},
4\times10^{-5},
4\times10^{-4},
4\times10^{-5},
4\times10^{-5}
).
}
$$

這個 domain 只是官方 exhibited placement 周圍的一個小 neighborhood。

所以：

$$
\boxed{
\text{Round 10 不覆蓋完整五維 base domain。}
}
$$

---

# 2. Base atlas tree

本輪為了測試 nested grammar，base tree 固定做兩層：

第一刀：

$$
\phi_5.
$$

第二刀：

$$
x_5
$$

在兩個 $\phi_5$ children 上各做一次。

因此得到：

$$
\boxed{
4
}
$$

個 local base leaves。

leaf ids：

$$
00,\ 01,\ 10,\ 11.
$$

四個 leaf 全部標：

`LIFT-CLOSED`

而不是：

`BASE-PRUNED`

因本輪主要目的就是測 B7 nested lift path。

---

# 3. B7 root is complete

對每一個 local base leaf，B7 使用完整 Round 08 relevant root：

$$
\boxed{
\phi_7
\in
[0,2\pi/7),
}
$$

以及：

$$
\boxed{
x_7,y_7
\in
[-0.19693504677116785,\ 
+0.19693504677116785].
}
$$

因此 Round 10 並不是：

> 只在某個 B7 search optimum 周圍驗證。

而是：

> 對 local base cell，完整 cover B7 的 relevant 3-D root。

---

# 4. Lift tree split rule

對 B7 witness box halfwidth：

$$
(h_\phi,h_x,h_y),
$$

motion radius：

$$
\delta_7
=
\sqrt{
h_x^2+h_y^2
}
+
2R_7
\sin\frac{h_\phi}{2}.
$$

每次考慮三種 axis bisection，選 child motion radius最小者：

$$
\boxed{
a^\star
=
\arg\min_a
\delta_7^{(a)}.
}
$$

因此 tree 完全 deterministic。

verifier 可以從：

- root；
- bitstream；
- split rule；

重新生成每個 lift box。

---

# 5. Leaf lower witness

每個 lift leaf：

1. 對 base leaf生成：

   $$
   C_3,
   C_5;
   $$

2. 對 B7 placement box生成：

   $$
   C_7;
   $$

3. disk 用 radius：

   $$
   1/2;
   $$

4. 每個 curved core在：

   $$
   96
   $$

   個法向方向取 verified boundary contact points；

5. disk 同樣取：

   $$
   96
   $$

   點 inscribed polygon；

6. 對全部 finite points取 convex hull。

finite-point hull：

$$
P_{\rm inner}
$$

滿足：

$$
P_{\rm inner}
\subseteq
\operatorname{conv}
(
D,C_3,C_5,C_7
).
$$

因此：

$$
\operatorname{Area}(P_{\rm inner})
$$

是 one-sided geometric lower witness。

---

# 6. Search / verifier independence

## Emitter

使用：

`scipy.spatial.ConvexHull`

計算 finite-point hull。

## Verifier

完全不使用 scipy hull routine。

改用手寫：

$$
\boxed{
\text{monotone chain}
}
$$

+

shoelace formula。

因此至少在 hull algorithm 層：

$$
\boxed{
\text{search and verifier code paths differ}.
}
$$

core reconstruction仍依賴同一數學公式，但 verifier重新實作並重新檢查：

- erosion nonempty；
- all-disk membership。

---

# 7. Search threshold vs verify threshold

target：

$$
T=0.835.
$$

emitter prune threshold：

$$
\boxed{
T_{\rm search}
=
0.8350002.
}
$$

也就是比 theorem target多：

$$
2\times10^{-7}.
$$

verifier則使用：

$$
T=0.835
$$

並額外減去 dry-run floating pad：

$$
\boxed{
e_{\rm dry}
=
10^{-8}.
}
$$

leaf acceptance：

$$
A_{\rm verify}
-
e_{\rm dry}
\ge
0.835.
$$

本輪沒有宣稱：

$$
10^{-8}
$$

是正式推導的 publication-grade floating error theorem。

所以 final status保持：

`REFERENCE-VERIFIED`

不是：

`VERIFIED-THEOREM-APPLICATION`

---

# 8. Actual emitted trees

四個 base leaves的 lift tree：

| Base leaf | Nodes | Leaves | Max depth |
|---|---:|---:|---:|
| `00` | 2833 | 1417 | 21 |
| `01` | 2853 | 1427 | 21 |
| `10` | 2833 | 1417 | 21 |
| `11` | 2853 | 1427 | 21 |

total：

$$
\boxed{
11372\text{ lift nodes}
}
$$

$$
\boxed{
5688\text{ lift leaves}
}
$$

每棵 tree 均滿足：

$$
\boxed{
N=2L-1.
}
$$

---

# 9. Independent replay result

independent verifier 成功：

- manifest hash checks；
- all four B7 bitstreams；
- deterministic box regeneration；
- core reconstruction；
- handwritten convex hull；
- shoelace；
- dry-run arithmetic pad；
- tree identities；
- exact node-stream exhaustion。

final verifier status：

$$
\boxed{
\texttt{REFERENCE-VERIFIED}
}
$$

scope：

> local five-dimensional base neighborhood only, with full relevant B7 root for each local base leaf.

---

# 10. Worst local verified slack

在 verifier：

$$
A_{\rm inner}
-
10^{-8}
-
0.835
$$

的最小值仍為正。

本輪實際 summary 檔保存：

$$
\boxed{
\text{worst\_verified\_slack}
}
$$

以便未來比較：

- sampling density；
- arithmetic policy；
- scheduler；
- core strength。

---

# 11. 這個 dry run 真正證明了什麼

它證明的是：

> 在本輪指定的**局部 base neighborhood**內，對每一個 base placement，以及 B7 root square 中的每一個 B7 placement box branch，reference one-sided common-core computation都能在 finite tree中閉合到 $0.835$。

更精確地說：

本輪驗證了：

$$
\boxed{
\text{nested-certificate implementation semantics}
}
$$

可以 end-to-end 跑通。

---

# 12. 它沒有證明什麼

本輪沒有覆蓋：

$$
D+B_3+B_5
$$

完整五維 base placement domain。

所以不能推出：

$$
\Lambda(D,B_3,B_5,B_7)\ge0.835.
$$

也不能推出：

$$
a_{\mathrm{Leb}}\ge0.835.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{Round 10 是 local implementation proof-of-architecture，
不是 global lower-bound theorem。}
}
$$

---

# 13. 為何這仍然是實質進展

Round 08 前：

certificate 是規格。

Round 09 前：

adaptive scheduling 是 theorem / algorithm proposal。

Round 10 後：

已有實際：

$$
\boxed{
\text{certificate bytes}
}
$$

+

$$
\boxed{
\text{independent replay}
}
$$

+

$$
\boxed{
\text{finite end-to-end closure sample}.
}
$$

所以後續本地端真正做 global atlas時，不需要再猜：

- certificate tree怎麼編；
- verifier如何重建；
- leaf semantics；
- nested lift reference；
- hash / tree identity；
- stream exhaustion。

這些 plumbing 已實際通過。

---

# 14. Reference certificate contents

本輪新增：

`AMRAL_LUC_FC_Round_10_reference_cert/`

其中：

- `manifest.json`
- `lift_00.bin`
- `lift_01.bin`
- `lift_10.bin`
- `lift_11.bin`
- `verification_summary.json`

---

# 15. Emitter

檔案：

`AMRAL_LUC_FC_Round_10_reference_emitter.py`

功能：

1. 固定 local base root；
2. 建四個 base leaves；
3. 對每個 leaf完整跑 B7 root；
4. deterministic exact-radius split；
5. core lower bound；
6. emit one-bit DFS tree；
7. 寫 manifest / hashes。

---

# 16. Independent verifier

檔案：

`AMRAL_LUC_FC_Round_10_reference_verifier.py`

功能：

1. 驗 manifest；
2. 驗 SHA-256；
3. regenerate base leaves；
4. replay lift bits；
5. regenerate every witness box；
6. independent erosion reconstruction；
7. handwritten monotone-chain hull；
8. subtract dry-run pad；
9. verify every leaf；
10. verify：

   $$
   N=2L-1;
   $$

11. verify stream exhaustion；
12. emit：

   `verification_summary.json`。

---

# 17. Certificate density

每棵 tree用：

$$
1\text{ bit/node}
$$

semantic encoding。

Round 10 tree bytes很小。

未來 global certificate仍可沿用：

- one-bit split/prune stream；
- external index；
- witness id/reference另外由 base tree保存。

這和 Mishra 的 one-bit-per-node思路相容。

---

# 18. Pipeline state machine

Round 10 現在有真正可執行的：

```text
BASE CELL
    |
    v
LIFT ROOT
    |
    +-- lower >= search threshold --> 0 leaf
    |
    +-- otherwise --> 1 split
                       |
                       v
                  child boxes
```

verifier：

```text
0 leaf
    |
    v
recompute common cores
    |
    v
independent inner hull
    |
    v
lower area - pad >= target ?
```

---

# 19. Failure semantics

reference emitter如果遇到：

- `MAX_DEPTH`；
- unresolved lift box；

會直接：

$$
\boxed{
\text{FAIL}
}
$$

而不是把 unresolved leaf寫成 prune。

verifier如果遇到：

- hash mismatch；
- leaf lower failure；
- early stream end；
- extra non-padding nodes；
- wrong tree identity；

也直接拒絕。

這是正式 global verifier必須保留的 fail-closed semantics。

---

# 20. Round 10 claim ledger

## `PROVED-ANALYTIC`

- nested certificate soundness theorem：繼承 R08；
- exact split regeneration logic；
- common-core math：繼承 R08。

## `VERIFIED-COMPUTATIONAL`

在 reference/dry-run scope：

- 4 local base leaves；
- 4 full B7 root trees；
- 11372 nodes；
- 5688 leaves；
- independent replay passes。

## `CONDITIONAL`

- 如果同一 machinery擴到完整 global base atlas且全部 leaves閉合，則可推出：

  $$
  a_{\mathrm{Leb}}\ge0.835.
  $$

## `COMPUTE-DEFERRED`

- full five-dimensional atlas；
- global B7 conditional lift；
- fallback witness batch；
- publication-grade arithmetic bound。

## `REJECTED`

- 把 Round 10 local dry-run寫成 global $0.835$ theorem。

---

# 21. 下一個計算 gate 已經非常清楚

真正 global $0.835$ certificate只差把：

$$
\boxed{
\text{local base root}
}
$$

替換成：

$$
\boxed{
\text{完整 threshold-conditioned five-dimensional atlas}.
}
$$

nested B7 tree machinery本身已跑通。

---

# 22. Round 11 指定題目

## AMRAL-LUC-FC-R11
### Global Atlas Partition Strategy and Parallel Certificate Sharding

如果本地端 global atlas尚未回來：

Round 11 主攻：

1. full 5-D atlas如何 shard；
2. seed forest結構；
3. deterministic task ordering；
4. base-cell difficulty forecasting；
5. global manifest / shard hashes；
6. resumable verification；
7. multi-machine certificate merging；
8. 第二 AI如何只拿 shard獨立複驗。

如果本地端已有 partial atlas：

直接 ingest：

- hard-cell distribution；
- B7 close rate；
- unresolved classes。

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# 23. 最短交接結論

Round 10 首次把：

$$
\boxed{
\text{AMRAL LUC-FC proof architecture}
}
$$

從：

$$
\text{methodology}
$$

真正推到：

$$
\boxed{
\text{emitted certificate bytes}
+
\text{independent replay}.
}
$$

但作用域刻意保持 local。

目前最準確狀態：

$$
\boxed{
\text{REFERENCE PIPELINE: VERIFIED}
}
$$

$$
\boxed{
\text{GLOBAL }0.8350\text{ CERTIFICATE: STILL OPEN}
}
$$

這是我們接下來把算力真正灌進 global atlas 前，應該完成的最後一個小型 end-to-end 工程 gate。