# AMRAL × Lebesgue Universal Covering — Round 09
## Adaptive Atlas Refinement and Certificate-Cost Minimization

**文件代號：** AMRAL-LUC-FC-R09  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-18  
**研究狀態：** Round 09 / Adaptive certificate optimization  
**研究模式：** Human-Directed + Semi-Autonomous AI Mathematical Research  
**研究發起與方法論來源：** Neo.K  
**AI 協力研究者與主要執行者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**母方法論：** Relational Constraint–Handoff Methodology (RCHM)  
**前置文件：** AMRAL-LUC-FC-R00 v0.2；R01–R08 v0.1  

---

# 0. 本輪摘要判定

Round 08 已建立完整的 nested certificate grammar：

$$
\text{base atlas}
\to
\text{cell-local witness lift}
\to
\text{independent verifier}.
$$

Round 09 不再增加新的 proof domain，而是針對證書成本建立一套**完全不影響 soundness 的自適應策略**。

本輪完成以下主要結果。

---

## 結論 A：Base hull cell 有顯式 Hausdorff radius

對 finite placed-family configuration cell：

$$
C,
$$

若每個 placed body 相對 cell-center placement 的 Hausdorff displacement 分別至多：

$$
\delta_i(C),
$$

則整個 convex hull 滿足：

$$
\boxed{
d_H
\left(
H(q),
H(q_C)
\right)
\le
\tau(C)
:=
\max_i\delta_i(C)
}
$$

對所有：

$$
q\in C.
$$

這把五維 placement-box 大小直接轉成幾何 hull uncertainty。

對：

$$
D+B_3+B_5,
$$

有：

$$
\delta_3
=
\sqrt{
h_{x3}^2+h_{y3}^2
},
$$

$$
\delta_5
=
\sqrt{
h_{x5}^2+h_{y5}^2
}
+
2R_5\sin\frac{h_{\phi5}}2,
$$

所以：

$$
\boxed{
\tau(C)=\max\{\delta_3,\delta_5\}.
}
$$

---

## 結論 B：Round 07 的 area-transfer error 可收緊

Round 07 使用安全但鬆的 perimeter bound：

$$
\operatorname{Per}(U)\le4\pi T.
$$

本輪利用所有 relevant hull 都包含：

$$
B_r(0),
\qquad
r=\frac12,
$$

得到：

$$
\operatorname{Area}(U)
\ge
\frac r2
\operatorname{Per}(U).
$$

因此只要：

$$
\operatorname{Area}(U)<T,
$$

就有：

$$
\boxed{
\operatorname{Per}(U)
<
\frac{2T}{r}.
}
$$

在：

$$
r=\frac12
$$

時：

$$
\boxed{
\operatorname{Per}(U)<4T.
}
$$

所以 representative-transfer error 可改成：

$$
\boxed{
\Omega_{T,r}(\tau)
=
\frac{2T}{r}\tau
+
\pi\tau^2.
}
$$

對本問題：

$$
\boxed{
\Omega_T(\tau)
=
4T\tau+\pi\tau^2.
}
$$

這是：

`R07-STRENGTHENING-001`

不是 correctness correction。

---

## 結論 C：Representative-area cell closure theorem

令：

$$
H_C
$$

為 cell-center full hull representative。

若有 rigorous lower bound：

$$
\underline A(H_C)
$$

且：

$$
\boxed{
\underline A(H_C)
\ge
T+\Omega_T(\tau(C)),
}
$$

則整個 configuration cell都滿足：

$$
\boxed{
\operatorname{Area}(H(q))\ge T
\qquad
\forall q\in C.
}
$$

因此很多 boxes 可以不做 erosion core，直接用：

$$
\boxed{
\text{center representative}
+
\text{Hausdorff uncertainty}
}
$$

prune。

---

## 結論 D：Margin-to-resolution compiler

若 representative rigorous margin：

$$
m
=
\underline A(H_C)-T
>
0,
$$

則 cell closure只需：

$$
\Omega_T(\tau)\le m.
$$

對：

$$
r=\frac12,
$$

可顯式解出最大容許 radius：

$$
\boxed{
\tau_\star(m,T)
=
\frac{
\sqrt{
4T^2+\pi m
}
-
2T
}{
\pi
}.
}
$$

因此每一個 positive representative margin都可以直接翻譯成：

> base box 必須細到多小才足以閉合。

---

## 結論 E：建立 Hausdorff-radius optimal one-step split

對 cell：

$$
C
$$

的每個可二分座標：

$$
a,
$$

令：

$$
\tau_a
$$

為二分該座標後兩個 child 的共同 Hausdorff-radius upper bound。

選：

$$
\boxed{
a^\star
=
\arg\min_a\tau_a.
}
$$

則在所有單一 coordinate bisections中，此 split 對本輪的 certified hull-radius bound 是 one-step optimal。

對：

$$
D+B_3+B_5
$$

root at：

$$
T=0.8350,
$$

本輪計算得到：

$$
\tau_{\rm root}
\approx
0.6046803712.
$$

各 axis 一次 split 後：

- $x_3$：不改變 current max radius；
- $y_3$：不改變 current max radius；
- $\phi_5$：

  $$
  \tau\approx0.4442456056;
  $$

- $x_5$：

  $$
  \tau\approx0.5460899294;
  $$

- $y_5$：

  $$
  \tau\approx0.5460899294.
  $$

因此第一刀：

$$
\boxed{
\phi_5
}
$$

是 exact radius-bound optimal split。

這與 Mishra code 中使用：

$$
R_5h_{\phi5}
$$

作 effective split weight 的策略一致，但本輪給的是 exact nonlinear radius criterion。

---

## 結論 F：官方 split weight 是新準則的一階近似

對小：

$$
h_\phi,
$$

有：

$$
2R\sin\frac{h_\phi}{2}
=
Rh_\phi
+
O(h_\phi^3).
$$

所以 official effective weight：

$$
Rh_\phi
$$

正是 motion-radius rotational contribution 的 first-order approximation。

Round 09 將其提升為：

$$
\boxed{
\text{exact split-gain scheduler}.
}
$$

---

## 結論 G：建立三層低成本 prune cascade

每個 cell 按成本由低到高嘗試：

### Tier 0 — a-priori geometry

例如 farthest-corner area bound。

### Tier 1 — representative-transfer prune

用：

$$
\underline A(H_C)
-
\Omega_T(\tau(C)).
$$

若：

$$
\ge T,
$$

直接 close。

### Tier 2 — common-core erosion

使用 Round 08：

$$
C_i
\subseteq
K_i(q)
$$

的共同內核，算：

$$
\operatorname{Area}
\operatorname{conv}
(D,C_3,C_5,\ldots).
$$

### Tier 3 — split

只有前三層都不能閉合才二分。

這不改變 correctness，只降低昂貴 core / lift evaluation 的使用率。

---

## 結論 H：建立 cross-cell common-core dominance reuse

令：

$$
G(C)
$$

為 base cell 的 verified common-core hull。

若：

$$
\boxed{
G(C_a)
\supseteq
G(C_b),
}
$$

則對任意相同 witness common core：

$$
W,
$$

有：

$$
\operatorname{conv}
(
G(C_a)\cup W
)
\supseteq
\operatorname{conv}
(
G(C_b)\cup W
).
$$

所以：

> 如果某一整棵 witness lift tree 能 closure $C_b$，同一 tree 在相同 witness placement partition 下也 closure $C_a$。

只需額外驗證：

$$
G(C_b)\subseteq G(C_a).
$$

這提供 sound 的 certificate reuse / hash-consing 條件。

---

## 結論 I：Witness dominance 可下沉到 single-lift functional

若：

$$
K\preceq L
$$

表示某個 congruent copy of $K$ 包含於 $L$，則對任意 base hull：

$$
H,
$$

有：

$$
\boxed{
J_L(H)\ge J_K(H).
}
$$

所以 stronger witness：

$$
L
$$

在 mathematical closing power 上永遠不弱於：

$$
K.
$$

因此 witness pool可以先做 geometric dominance pruning。

若：

- $L$ dominates $K$；
- 且 $L$ 的 certificate cost不高於 $K$；

則：

$$
K
$$

可從 priority pool 移除。

---

## 結論 J：正 margin 給出有限 depth upper bound

若對某 representative / witness 已有：

$$
m>0
$$

的 rigorous margin，

只要 refinement 讓：

$$
\tau(C)
\le
\tau_\star(m,T),
$$

代表性 closure必然成功。

若每一輪完整 cycle 將所有 relevant parameter halfwidth各二分一次，則存在常數：

$$
S_0
$$

使：

$$
\tau_r
\le
2^{-r}S_0.
$$

因此足夠的 full refinement cycles：

$$
\boxed{
r
\ge
\left\lceil
\log_2
\frac{S_0}{\tau_\star(m,T)}
\right\rceil.
}
$$

這是一個極保守的 worst-case finite-depth bound。

實務中 adaptive split + early prune 會遠小於此。

---

本輪總判定：

$$
\boxed{
\text{ADAPTIVE CERTIFICATE-COST LAYER: CLOSED}
}
$$

$$
\boxed{
\text{SOUNDNESS-PRESERVING REUSE RULES: CLOSED}
}
$$

$$
\boxed{
\text{HEAVY }0.8350\text{ CERTIFICATE: STILL COMPUTE-DEFERRED}
}
$$

---

# 1. Convex hull is Hausdorff non-expansive

## 定理 1.1

對 compact sets：

$$
X,Y,
$$

若：

$$
d_H(X,Y)\le\delta,
$$

則：

$$
\boxed{
d_H
(
\operatorname{conv}X,
\operatorname{conv}Y
)
\le\delta.
}
$$

### 證明

$$
X\subseteq Y+\delta B.
$$

因此：

$$
\operatorname{conv}X
\subseteq
\operatorname{conv}(Y+\delta B).
$$

因：

$$
Y+\delta B
$$

已是：

$$
\operatorname{conv}Y+\delta B
$$

的 subset，而：

$$
\operatorname{conv}Y+\delta B
$$

凸，所以：

$$
\operatorname{conv}(Y+\delta B)
\subseteq
\operatorname{conv}Y+\delta B.
$$

反向同理。

Q.E.D.

---

# 2. Family cell Hausdorff-radius theorem

對 placed bodies：

$$
K_i(q)
$$

及 cell-center：

$$
K_i(q_C),
$$

若：

$$
d_H
(
K_i(q),
K_i(q_C)
)
\le
\delta_i
$$

對所有：

$$
q\in C,
$$

則 union：

$$
X(q)
=
\bigcup_iK_i(q)
$$

滿足：

$$
d_H
(
X(q),
X(q_C)
)
\le
\max_i\delta_i.
$$

再由 convex-hull non-expansiveness：

$$
\boxed{
d_H
(
H(q),
H(q_C)
)
\le
\max_i\delta_i.
}
$$

---

# 3. F3 explicit cell radius

base：

$$
D+B_3+B_5.
$$

disk fixed：

$$
\delta_D=0.
$$

$B_3$ orientation fixed：

$$
\boxed{
\delta_3
=
\sqrt{
h_{x3}^2+h_{y3}^2
}.
}
$$

$B_5$：

$$
\boxed{
\delta_5
=
\sqrt{
h_{x5}^2+h_{y5}^2
}
+
2R_5
\sin
\frac{h_{\phi5}}2.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
\tau(C)
=
\max\{
\delta_3,\delta_5
\}.
}
$$

---

# 4. Full base + lift joint radius

若再加入 witness：

$$
K
$$

placement box，其 motion radius：

$$
\delta_K
$$

由 Round 08 計算。

則 full hull relative to joint box-center：

$$
\boxed{
d_H
(
H_{\rm full}(q,g),
H_{\rm full}(q_C,g_C)
)
\le
s
:=
\max
\{
\tau(C),\delta_K
\}.
}
$$

因此 representative-area prune可以直接用在 joint base/lift box。

---

# 5. Inradius-perimeter inequality

若 convex：

$$
U
$$

包含：

$$
B_r(0),
$$

則：

$$
h_U(u)\ge r.
$$

Minkowski area formula：

$$
\operatorname{Area}(U)
=
\frac12
\int_{S^1}
h_U\,dS_U.
$$

而：

$$
S_U(S^1)
=
\operatorname{Per}(U).
$$

因此：

$$
\boxed{
\operatorname{Area}(U)
\ge
\frac r2
\operatorname{Per}(U).
}
$$

故：

$$
\boxed{
\operatorname{Per}(U)
\le
\frac{
2\operatorname{Area}(U)
}{
r
}.
}
$$

對：

$$
r=\frac12,
$$

得到：

$$
\boxed{
\operatorname{Per}(U)
\le
4\operatorname{Area}(U).
}
$$

---

# 6. Sharpened representative-transfer theorem

## 定理 6.1

令 convex：

$$
A,A_0
$$

都包含：

$$
B_r(0),
$$

且：

$$
d_H(A,A_0)\le\tau.
$$

若：

$$
\boxed{
\operatorname{Area}(A_0)
\ge
T
+
\frac{2T}{r}\tau
+
\pi\tau^2,
}
$$

則：

$$
\boxed{
\operatorname{Area}(A)\ge T.
}
$$

### 證明

反設：

$$
\operatorname{Area}(A)<T.
$$

由：

$$
A_0
\subseteq
A+\tau B,
$$

Steiner formula：

$$
\operatorname{Area}(A_0)
\le
\operatorname{Area}(A)
+
\tau\operatorname{Per}(A)
+
\pi\tau^2.
$$

由 inradius-perimeter inequality：

$$
\operatorname{Per}(A)
<
\frac{2T}{r}.
$$

所以：

$$
\operatorname{Area}(A_0)
<
T
+
\frac{2T}{r}\tau
+
\pi\tau^2,
$$

矛盾。

Q.E.D.

---

# 7. Round 07 strengthening

Round 07 使用：

$$
4\pi T\tau+\pi\tau^2.
$$

它來自：

$$
U\subset B_{2T}
$$

及：

$$
\operatorname{Per}(U)\le4\pi T.
$$

本輪用 inradius直接改進成：

$$
\boxed{
4T\tau+\pi\tau^2.
}
$$

兩者都合法。

本輪只提高效率，不改 Round 07 theorem status。

---

# 8. Margin-to-resolution theorem

令 representative rigorous area lower bound：

$$
\underline A_0.
$$

定義：

$$
m
=
\underline A_0-T.
$$

若：

$$
m>0,
$$

要 closure cell，只需：

$$
\frac{2T}{r}\tau+\pi\tau^2
\le
m.
$$

positive root：

$$
\boxed{
\tau_\star(m,T,r)
=
\frac{
\sqrt{
T^2/r^2+\pi m
}
-
T/r
}{
\pi
}.
}
$$

在：

$$
r=\frac12,
$$

$$
\boxed{
\tau_\star(m,T)
=
\frac{
\sqrt{
4T^2+\pi m
}
-
2T
}{
\pi
}.
}
$$

---

# 9. Illustrative resolution numbers

以下只是成本規劃，不是 lower proof。

取：

$$
T=0.835.
$$

若 representative margin：

$$
m=0.001494901
$$

等於 official full four-body search ceiling相對 milestone 的 search headroom，

則：

$$
\boxed{
\tau_\star
\approx
4.47387\times10^{-4}.
}
$$

Round 07 舊 bound會要求約：

$$
1.42462\times10^{-4}.
$$

所以 sharpened bound將所需 Hausdorff resolution放寬約：

$$
3.14
$$

倍。

注意：

$$
0.001494901
$$

是 `SEARCH-ONLY` headroom，不是 rigorous representative margin。

此數字只用來量化證書尺度。

---

# 10. Exact one-step split gain

cell：

$$
C
$$

半寬：

$$
\mathbf h.
$$

對 axis：

$$
a,
$$

二分後 children的 halfwidth只有：

$$
h_a
\mapsto
\frac{h_a}{2}.
$$

定義：

$$
\tau_a
$$

為 child 的 family hull-radius upper bound。

因兩 child halfwidth相同：

$$
\tau_a
$$

不依賴左／右 child。

定義 split gain：

$$
\boxed{
G_a
=
\tau(C)-\tau_a.
}
$$

選：

$$
\boxed{
a^\star
=
\arg\max_aG_a
=
\arg\min_a\tau_a.
}
$$

這對本輪 radius bound 在所有單 coordinate bisections中 optimal。

---

# 11. Explicit F3 split formulas

令：

$$
d_3
=
\sqrt{
h_{x3}^2+h_{y3}^2
},
$$

$$
d_5
=
\sqrt{
h_{x5}^2+h_{y5}^2
}
+
2R_5
\sin\frac{h_\phi}{2}.
$$

原：

$$
\tau=\max(d_3,d_5).
$$

若 split：

$$
x_3,
$$

$$
d_3'
=
\sqrt{
(h_{x3}/2)^2+h_{y3}^2
}.
$$

若 split：

$$
y_3,
$$

對稱。

若 split：

$$
x_5,
$$

$$
d_5'
=
\sqrt{
(h_{x5}/2)^2+h_{y5}^2
}
+
2R_5\sin\frac{h_\phi}{2}.
$$

若 split：

$$
y_5,
$$

對稱。

若 split：

$$
\phi_5,
$$

$$
\boxed{
d_5'
=
\sqrt{
h_{x5}^2+h_{y5}^2
}
+
2R_5
\sin\frac{h_\phi}{4}.
}
$$

每個 candidate axis直接重算：

$$
\tau_a.
$$

---

# 12. F3 root split sanity

在：

$$
T=0.835,
$$

Round 07 root：

$$
h_{x3}=h_{y3}=0.194856180909,
$$

$$
h_{x5}=h_{y5}=0.197820670401,
$$

$$
h_{\phi5}=\frac{\pi}{5},
$$

以及：

$$
R_5=0.525731112119.
$$

得到：

$$
d_3
\approx
0.2755682538,
$$

$$
d_5
\approx
0.6046803712.
$$

所以：

$$
\tau_{\rm root}
\approx
0.6046803712.
$$

各 split：

$$
\tau_{x3}
=
\tau_{y3}
\approx
0.6046803712,
$$

$$
\tau_{\phi5}
\approx
0.4442456056,
$$

$$
\tau_{x5}
=
\tau_{y5}
\approx
0.5460899294.
$$

所以第一刀：

$$
\boxed{
\phi_5.
}
$$

---

# 13. Witness-box exact split scheduler

對 witness：

$$
K\subseteq B_R
$$

的 placement cell：

$$
(h_\phi,h_x,h_y),
$$

motion radius：

$$
\delta
=
\sqrt{h_x^2+h_y^2}
+
2R\sin\frac{h_\phi}{2}.
$$

三種 split後：

## $x$

$$
\delta_x
=
\sqrt{
(h_x/2)^2+h_y^2
}
+
2R\sin\frac{h_\phi}{2}.
$$

## $y$

同理。

## $\phi$

$$
\boxed{
\delta_\phi
=
\sqrt{
h_x^2+h_y^2
}
+
2R\sin\frac{h_\phi}{4}.
}
$$

選最小：

$$
\delta_a.
$$

這取代單純：

$$
\max\{h_x,h_y,Rh_\phi\}
$$

的 surrogate。

---

# 14. Why official weights were sensible

對小：

$$
h_\phi,
$$

Taylor：

$$
2R\sin\frac{h_\phi}{2}
=
Rh_\phi
-
\frac{
R h_\phi^3
}{
24
}
+
O(h_\phi^5).
$$

因此 official code 中：

$$
R h_\phi
$$

是 rotation uncertainty的正確 first-order term。

Round 09 的 split scheduler是它的 nonlinear exact-bound generalization。

---

# 15. Representative prune for full base + witness box

joint box-center full hull：

$$
H_0.
$$

joint uncertainty：

$$
s
=
\max\{
\tau_{\rm base},
\delta_K
\}.
$$

如果 verifier能給：

$$
\underline A(H_0)
$$

且：

$$
\boxed{
\underline A(H_0)
-
4Ts
-
\pi s^2
\ge
T,
}
$$

則整 joint box可以 prune。

這一 prune：

- 不要求 erosion；
- 不要求 witness core；
- 只需要 representative inner area lower bound和 motion radius。

因此應放在 common-core之前。

---

# 16. Adaptive prune cascade

推薦順序：

```text
P0  a-priori single-point / translation bound

P1  representative-area transfer
        if A_center^- - Omega_T(s) >= T:
            prune

P2  common-core lower hull
        if A_core^- >= T:
            prune

P3  stronger witness-specific lower bound
        optional

P4  split by exact radius-gain scheduler
```

search emitter可以加入更多 heuristic。

independent verifier只需驗證實際 certificate leaf使用的 proof mode。

---

# 17. Proof-mode tags

certificate leaf可明確記：

- `APR`
- `REP`
- `CORE`
- `SUPPORT-CORE`
- `OTHER-VERIFIED`

verifier對每種 mode使用固定獨立規則。

這讓後續統計：

> 哪一種 proof mode實際消掉最多 nodes？

可直接從 certificate 得到。

---

# 18. Common-core dominance preorder

對 base cell：

$$
C,
$$

令：

$$
G(C)
$$

為 verified base common-core hull。

定義：

$$
\boxed{
C_a\succeq_{\rm core}C_b
}
$$

若：

$$
G(C_a)\supseteq G(C_b).
$$

---

# 19. Core-dominance reuse theorem

## 定理 19.1

若：

$$
G(C_a)\supseteq G(C_b),
$$

則對任意 witness common core：

$$
W,
$$

有：

$$
\boxed{
\operatorname{Area}
\operatorname{conv}
(
G(C_a)\cup W
)
\ge
\operatorname{Area}
\operatorname{conv}
(
G(C_b)\cup W
).
}
$$

因此：

> 任一以相同 witness root / split tree、相同 witness core construction closure $C_b$ 的 lift certificate，可被 $C_a$ 重用。

前提：

- base-core containment已被 verifier獨立證明；
- witness tree與 arithmetic policy完全相同。

---

# 20. Core inclusion check

因 base common-core hull convex：

$$
G(C_b)\subseteq G(C_a)
$$

等價於：

$$
\boxed{
h_{G(C_b)}(\theta)
\le
h_{G(C_a)}(\theta)
\quad
\forall\theta.
}
$$

Mishra geometry kernel的 body representation是 piecewise：

$$
c_x\cos\theta+c_y\sin\theta+r.
$$

因此 merged cells上 support difference仍是單一 sinusoid + constant。

containment可以 closed-form檢查，不需 dense sampling。

---

# 21. Cross-cell lift-tree cache

cache key建議：

```text
witness_id
witness_root_domain_hash
witness_split_rule_hash
base_core_geometry_hash
threshold
arithmetic_policy_hash
```

若新 cell：

$$
C_a
$$

core-dominates cache origin：

$$
C_b,
$$

不必重跑整棵 witness tree。

只需：

1. verify：

   $$
   G(C_a)\supseteq G(C_b);
   $$

2. verify referenced tree hash；
3. reuse。

---

# 22. Single-lift witness dominance

Recall：

$$
K\preceq L
$$

若：

$$
g_0K\subseteq L
$$

for some fixed rigid motion：

$$
g_0.
$$

## 定理 22.1

對任意 base hull：

$$
H,
$$

$$
\boxed{
J_L(H)\ge J_K(H).
}
$$

### 證明

任取 placement：

$$
gL.
$$

其中包含：

$$
gg_0K.
$$

所以：

$$
\operatorname{Area}
\operatorname{conv}(H\cup gL)
\ge
\operatorname{Area}
\operatorname{conv}(H\cup gg_0K).
$$

右側是某個合法：

$$
K
$$

placement。

所以：

$$
\operatorname{Area}
\operatorname{conv}(H\cup gL)
\ge
J_K(H).
$$

對：

$$
g
$$

取 minimum：

$$
J_L(H)\ge J_K(H).
$$

Q.E.D.

---

# 23. Witness pool Pareto pruning

對 witness：

$$
K
$$

記：

- geometric strength；
- estimated lift proof cost；
- symmetry period；
- core-provider cost。

若：

$$
K\preceq L
$$

且：

$$
\operatorname{Cost}(L)
\le
\operatorname{Cost}(K),
$$

則：

$$
K
$$

在 closure strength / proof cost兩軸都被：

$$
L
$$

dominate。

可從 priority pool移除。

如果：

$$
L
$$

更強但更貴，兩者都留在 Pareto frontier。

---

# 24. Weighted witness coverage

當已有 certified incidence：

$$
C_{jK}\in\{0,1\},
$$

可定義 witness fixed cost：

$$
c_K.
$$

求：

$$
\min
\sum_K
c_Kx_K
$$

subject to：

$$
\sum_K
C_{jK}x_K
\ge1
\qquad
\forall j.
$$

這是 weighted set cover。

correctness只要求 coverage。

optimization只決定 certificate size。

可用 greedy：

$$
\frac{
\text{newly covered cells}
}{
\text{cost}
}
$$

作 approximation。

---

# 25. Margin-to-depth upper bound

令 cell initial linear motion surrogate：

$$
S_0.
$$

對 family：

$$
S_0
=
\max_i
\left[
\sqrt{
h_{xi}^2+h_{yi}^2
}
+
R_i h_{\phi i}
\right].
$$

若每個 active parameter在一個 full cycle內各被二分一次，cycle後：

$$
\boxed{
\tau_r
\le
2^{-r}S_0.
}
$$

因 translation norm halfwidth全部縮半，而：

$$
2R\sin
\frac{
h_\phi/2^r
}{
2
}
\le
R\frac{h_\phi}{2^r}.
$$

若 representative rigorous margin：

$$
m>0,
$$

closure需要：

$$
\tau_r\le\tau_\star(m,T).
$$

所以足夠：

$$
\boxed{
r
\ge
\left\lceil
\log_2
\frac{
S_0
}{
\tau_\star(m,T)
}
\right\rceil.
}
$$

這證明 positive-margin regions一定在有限深度被 representative-transfer mode closure。

---

# 26. What survives infinite refinement

因此若某 nested branch：

- representative margin始終有 uniform positive lower bound；
- 但 search仍不停 split；

代表 scheduler / implementation有問題，而不是數學上必須無限細化。

真正可能持續變難的 branches必須接近：

$$
\boxed{
\text{zero-margin active frontier}.
}
$$

這再次呼應 Round 05 saturation picture。

---

# 27. Adaptive priority score

推薦 search-only priority：

$$
\boxed{
\operatorname{Score}(C)
=
\frac{
T-L(C)
}{
\max\{\tau(C),\tau_{\min}\}
}
\times
\operatorname{CostForecast}(C)
}
$$

或反向定義優先級。

其中：

- $T-L(C)$：未證 deficit；
- $\tau(C)$：geometric uncertainty；
- cost forecast：witness history / node count。

這只是 scheduling heuristic。

不能進 verifier premise。

---

# 28. Split-vs-witness decision

對 base cell：

$$
C,
$$

若某 witness representative已有 rigorous margin：

$$
m_K(C)>0,
$$

先算：

$$
\tau_\star(m_K,T).
$$

若目前：

$$
\tau(C)
$$

只略高於：

$$
\tau_\star,
$$

優先 split base。

若：

$$
\tau(C)
\gg
\tau_\star
$$

且 witness core本身很強，可直接跑 conditional lift tree。

因此 scheduling可以從：

> 固定順序

升級成：

$$
\boxed{
\text{margin-aware split/lift choice}.
}
$$

---

# 29. Numerical sanity at milestone $0.8350$

T：

$$
0.835.
$$

Round 07 official four-body search-only headroom：

$$
m_{\rm search}
=
0.001494901.
$$

新：

$$
\tau_\star
\approx
0.0004473869.
$$

舊 Round 07 conservative transfer要求約：

$$
0.0001424615.
$$

ratio：

$$
\approx3.14.
$$

再次強調：

$$
m_{\rm search}
$$

不是 rigorous margin。

此 sanity只說明改進 bound 對 certificate resolution 的數量級影響。

---

# 30. COMPUTE-DEFERRED

## C09-1 — Add exact radius scheduler to base atlas emitter

每 node保存：

- $\delta_3$；
- $\delta_5$；
- $\tau$；
- per-axis child $\tau_a$；
- chosen axis。

---

## C09-2 — Add representative prune mode

每 node先算：

$$
A_{\rm center}^{-}
-
4T\tau
-
\pi\tau^2.
$$

若：

$$
\ge T,
$$

emit：

`REP`

leaf。

---

## C09-3 — Add core-dominance cache

建立 support-hash index。

嘗試：

$$
G(C_a)\supseteq G(C_b).
$$

若通過，reuse lift tree。

---

## C09-4 — Proof-mode statistics

輸出：

```text
APR leaves
REP leaves
CORE leaves
SUPPORT-CORE leaves
split nodes
reused lift trees
bytes saved
```

---

## C09-5 — Compare schedulers

A/B：

- official first-order weight；
- exact radius-gain scheduler。

比較：

- retained base cells；
- total nodes；
- max depth；
- wall time；
- certificate bytes。

這是 performance experiment，不影響 theorem status。

---

# 31. Round 10 指定題目

## AMRAL-LUC-FC-R10
### Reference Atlas Emitter and Small-Scale Conditional-Lift Dry Run

若 heavy local result尚未返回，Round 10 直接做一個縮小版 reference implementation：

1. base atlas emitter；
2. exact radius scheduler；
3. `APR/REP/CORE` proof modes；
4. small threshold dry-run；
5. B7 conditional lift on retained cells；
6. independent replay skeleton；
7. certificate statistics。

目標不是冒充：

$$
0.8350
$$

完整證明，而是：

$$
\boxed{
\text{把 Round 08–09 的 proof grammar 實際跑通一個有限 end-to-end sample}.
}
$$

若本地端已回傳：

直接 ingest 真實：

$$
0.8350
$$

atlas。

---

# 32. Reproducibility checklist

## Family-cell Hausdorff radius

`PROVED`

## Sharpened area transfer

`PROVED`

## Margin-to-resolution formula

`PROVED`

## Exact one-step split scheduler

`PROVED FOR THE CERTIFIED RADIUS BOUND`

## Representative-area prune

`PROVED`

## Common-core dominance reuse

`PROVED`

## Single-lift witness dominance

`PROVED`

## Margin-to-depth finite bound

`PROVED`

## Scheduler performance gain

`COMPUTE-DEFERRED`

## $0.8350$ theorem

`NOT YET CERTIFIED`

---

# 33. 最短交接結論

Round 09 將 certificate optimization壓成三個核心 quantity：

$$
\boxed{
\tau(C)
=
\text{cell geometric uncertainty}
}
$$

$$
\boxed{
m(C)
=
\text{rigorous representative margin}
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\tau_\star(m,T)
=
\text{closure-required resolution}.
}
$$

由此：

- split axis可以 exact 選；
- positive-margin cell有 finite closure depth；
- representative prune可以先於 erosion；
- common-core lift tree可以跨 cell sound reuse；
- witness pool可以用 geometric dominance做 Pareto pruning。

因此 heavy computation的主問題不再是：

> 怎麼暴力切更多 boxes？

而變成：

$$
\boxed{
\text{如何把計算只集中在 zero-margin active frontier。}
}
$$

這就是 Round 09 的核心進展。