# AMRAL × Lebesgue Universal Covering — Round 07
## Mishra-Seed Minimizer Atlas and Threshold-Conditioned Witness Lifting

**文件代號：** AMRAL-LUC-FC-R07  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-18  
**研究狀態：** Round 07 / Witness-saturation phase / Minimizer-atlas compiler  
**研究模式：** Human-Directed + Semi-Autonomous AI Mathematical Research  
**研究發起與方法論來源：** Neo.K  
**AI 協力研究者與主要執行者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**母方法論：** Relational Constraint–Handoff Methodology (RCHM)  
**前置文件：** AMRAL-LUC-FC-R00 v0.2；R01–R06 v0.1  

---

# 0. 本輪摘要判定

Round 06 已建立：

$$
\boxed{
\text{NON-SATURATED}
\Rightarrow
\text{finite refinement eventually finds a separating witness batch}.
}
$$

但仍缺一個實際可用的 minimizer atlas 與「如何避免 witness 數增加時維度爆炸」的計算架構。

Round 07 以 Mishra 2026 的已證三 witness family：

$$
\mathcal F_3
=
\{D,B_3,B_5\}
$$

為 seed，完成以下工作。

---

## 結論 A：官方五維 seed 與 domain 已成功對接

normalized placement coordinates 可寫成：

$$
q
=
(x_3,y_3,\phi_5,x_5,y_5).
$$

其中：

$$
\phi_5
\in
[0,2\pi/5).
$$

對 certified target：

$$
T=0.8344,
$$

官方 sharper a-priori domain 給：

$$
|t_3|
\le
0.192366411526,
$$

$$
|t_5|
\le
0.195890714644.
$$

對本輪建議的下一 lower-bound milestone：

$$
\boxed{
T_1=0.8350,
}
$$

同一 analytic domain formula 給：

$$
\boxed{
|t_3|
\le
0.194856180909,
}
$$

$$
\boxed{
|t_5|
\le
0.197820670401.
}
$$

---

## 結論 B：官方 best exhibited seed 幾乎落在近共線／近同向 branch

官方 rigorous ceiling log 對：

$$
D+B_3+B_5
$$

給出 exhibited placement：

$$
x_3
=
-0.01215883209899,
$$

$$
y_3
\approx
-3.71\times10^{-8},
$$

$$
\phi_5
=
1.256661190387,
$$

$$
x_5
=
0.02299660691706,
$$

$$
y_5
\approx
-3.90\times10^{-6}.
$$

因：

$$
B_5
$$

具有 $5$ 重 rotational symmetry，

$$
2\pi/5
=
1.2566370614359\ldots
$$

所以 normalized angle：

$$
\boxed{
\phi_5^{\mathrm{mod}}
\approx
2.4128951\times10^{-5}.
}
$$

也就是：

- $B_3$ 與 $B_5$ 中心幾乎在同一水平線；
- $B_5$ 幾乎回到 symmetry-zero orientation；
- 三體 best exhibited arrangement 有明顯低維結構訊號。

官方 exact-kernel area：

$$
0.834780945912,
$$

rigorous outer area：

$$
0.834781190917.
$$

這只是 family minimum 的 upper witness，不是 lower certificate。

---

## 結論 C：建立 threshold-conditioned minimizer atlas

對 base family：

$$
\mathcal F
$$

與 threshold：

$$
T,
$$

定義：

$$
A_{\mathcal F}(q)
=
\operatorname{Area}
H_{\mathcal F}(q).
$$

真正需要加入新 witness 的 base configurations 只有：

$$
\boxed{
\mathcal Q_{<T}
=
\{q:A_{\mathcal F}(q)<T\}.
}
$$

若一個 base placement 本身已：

$$
A_{\mathcal F}(q)\ge T,
$$

新增任何 witness 後 hull area 只會更大，所以不必 lift 新 witness 的三個 placement parameters。

因此：

$$
\boxed{
\text{extra witness dimensions only need activation on the base sublevel atlas}.
}
$$

---

## 結論 D：Threshold-Conditioned Witness Lifting theorem

若 base configuration space 被有限 cells：

$$
C_1,\ldots,C_N
$$

覆蓋，且對每個 cell：

- 要嘛 base lower bound：

  $$
  L_{\mathcal F}(C_j)\ge T;
  $$

- 要嘛存在 witness：

  $$
  K_j
  $$

  使：

  $$
  \inf_{q\in C_j}
  \inf_{g\in E(2)}
  \operatorname{Area}
  \left(
  \operatorname{conv}
  (H_{\mathcal F}(q)\cup gK_j)
  \right)
  \ge T,
  $$

則對 batch：

$$
\mathcal B
=
\{K_j\},
$$

有：

$$
\boxed{
\Lambda(\mathcal F\cup\mathcal B)\ge T.
}
$$

這表示 witness lifting 可以 **cell-local**，而不是 global Cartesian-product expansion。

---

## 結論 E：Witness-switching lower theorem

對固定 base hull：

$$
H,
$$

定義單 witness lift functional：

$$
\boxed{
J_K(H)
=
\min_{g\in E(2)}
\operatorname{Area}
\left(
\operatorname{conv}(H\cup gK)
\right).
}
$$

則對 finite batch：

$$
\mathcal B,
$$

有：

$$
\boxed{
\Lambda(\mathcal F\cup\mathcal B)
\ge
\min_{q_{\mathcal F}}
\max_{K\in\mathcal B}
J_K(H_{\mathcal F}(q_{\mathcal F})).
}
$$

所以不同 base cells 可以由不同 witnesses 負責關閉。

新增 $r$ 個 witnesses 不必把 certificate 直接升成：

$$
d_{\mathcal F}+3r
$$

維的一個 joint box problem。

可以保留：

$$
d_{\mathcal F}
$$

維 base atlas，再對每個 cell 選一個：

$$
3\text{-D witness lift subproblem}.
$$

---

## 結論 F：對 $\mathcal F_3+B_7$，Round 07 提出第一個具體 milestone

官方 scaling data 對：

$$
D+B_3+B_5+B_7
$$

的 numerical optimum 報告：

$$
\boxed{
0.836494901
}
$$

但這只是 search ceiling，不是 rigorous lower bound。

官方 brute-force scaling 對直接 8-D certification 到：

$$
T=0.835
$$

外推為約：

$$
5.527\times10^{12}
$$

boxes，約：

$$
5635.8
$$

days at the measured throughput。

這不是 mathematical impossibility，只是現有 brute-force implementation 的 empirical cost extrapolation。

Round 07 因此選：

$$
\boxed{
T_1=0.8350
}
$$

作為第一個 threshold-conditioned lifting milestone。

---

## 結論 G：小型 SEARCH-ONLY probe 暫時把 $B_7$ 排在 regular Reuleaux 候選首位

固定在官方 exhibited $\mathcal F_3$ seed 附近，本輪用 boundary-sampled hull + numerical optimizer 做非證明探索：

| 新 witness | fixed-seed 最小 hull（SEARCH-ONLY） |
|---|---:|
| $B_7$ | 約 $0.83713$ |
| $B_9$ | 約 $0.83563$ |
| $B_{11}$ | 約 $0.83613$ |
| $B_{13}$ | 約 $0.83597$ |

因此在這個**單一 base representative**上：

$$
B_7
$$

最強。

但官方 full four-body search 的 numerical optimum：

$$
0.836494901
$$

低於 fixed-base $B_7$ lift 約 $0.83713$。

這正好證明：

> 新 witness 加入後，舊 base family 會重新配置；不能只測一個 old minimizer point。

所以 Round 07 的 minimizer atlas 是必要的。

---

本輪判定：

$$
\boxed{
\text{MINIMIZER-ATLAS SCHEMA: CLOSED}
}
$$

$$
\boxed{
\text{CONDITIONAL WITNESS LIFTING: CLOSED}
}
$$

$$
\boxed{
\text{FIRST ACTUAL }0.8350\text{ CERTIFICATE: COMPUTE-DEFERRED}
}
$$

---

# 1. 外部資料審計

本輪直接核對：

## Mishra 2026 paper

**Ujjwal Mishra, _Curves of constant width and Lebesgue's covering problem_, arXiv:2608.30538.**

已確認：

- test sets：

  $$
  D,B_3,B_5;
  $$

- 五維 normalized placement domain；
- certified lower bound：

  $$
  0.8344;
  $$

- certificate：

  $$
  486,799,600
  $$

  nodes；

- independent verifier；
- worst leaf slack：

  $$
  1.240900\times10^{-5};
  $$

- rigorous floating error：

  $$
  1.72\times10^{-9}.
  $$

---

## Official source repository

Repository：

`Ujjwal238/universal-cover-problem`

proof-path files checked：

- `src/domain.py`
- `src/geom.py`
- `src/verifyB.py`
- `src/ceilings.py`
- `src/phase1.py`
- `src/phase2.py`
- `src/certgen.py`
- `src/certemitB.py`
- `logs/domain.log`
- `logs/ceilings.log`
- `logs/scaling.log`
- `logs/phase4_B.log`

本輪沒有把 repo search output 當作新 theorem；只用它固定外部 certified seed、參數化、計算成本與 search-prior。

---

# 2. Base family normalization

seed family：

$$
\boxed{
\mathcal F_3
=
\{D,B_3,B_5\}.
}
$$

固定：

$$
D=B_{1/2}(0).
$$

用 global rotation gauge 固定：

$$
B_3
$$

orientation。

remaining continuous parameters：

$$
\boxed{
q
=
(x_3,y_3,\phi_5,x_5,y_5).
}
$$

其中：

$$
\phi_5
\in
[0,2\pi/5).
$$

reflection branch 因 regular Reuleaux bodies mirror-symmetric，不另增加 continuous dimension。

---

# 3. Threshold-dependent translation domain

官方 `domain.py` 定義：

$$
f(d)
=
\frac14
\left(
\pi-\arccos\frac{1}{2d}
\right)
+
\frac12
\sqrt{d^2-\frac14},
\qquad
d\ge\frac12.
$$

令：

$$
d_\star(T)
$$

滿足：

$$
f(d_\star)=T.
$$

對 regular Reuleaux $n$-gon corner circumradius：

$$
R_n
=
\frac{1}
{
2\sin\left(
\frac{\pi(n-1)}{2n}
\right)
},
$$

translation radius bound：

$$
\boxed{
t_n(T)
=
-R_n\cos\frac{\pi}{n}
+
\sqrt{
R_n^2\cos^2\frac{\pi}{n}
-
R_n^2
+
d_\star(T)^2
}.
}
$$

---

# 4. Domain values

## At $T=0.8344$

$$
d_\star
\approx
0.693830648713.
$$

$$
\boxed{
t_3
\approx
0.192366411526,
}
$$

$$
\boxed{
t_5
\approx
0.195890714644.
}
$$

---

## At proposed milestone $T_1=0.8350$

$$
\boxed{
t_3(T_1)
\approx
0.194856180909,
}
$$

$$
\boxed{
t_5(T_1)
\approx
0.197820670401.
}
$$

domain 隨 target 增大而略增大，符合邏輯：

越高 threshold，能單靠 single-point / disk area estimate 排除的 translation 越少。

---

# 5. Mishra certificate 的資訊限制

headline certificate 採：

$$
1\text{ bit/node}
$$

DFS preorder：

- `1`：split；
- `0`：pruned leaf。

boxes 本身不存。

verifier 由 root + deterministic split rule 重新生成每個 box。

因此原始 certificate 適合：

$$
\boxed{
\text{verify all boxes were pruned at a fixed threshold}
}
$$

但不直接提供：

$$
\boxed{
\text{near-minimizer atlas}.
}
$$

所以 Round 07 不能聲稱：

> 已從官方 certificate 讀到 minimizer cells。

真正做法是：

> 修改／旁路 original traversal，新增 `retain-near-threshold` channel，再生成 atlas。

---

# 6. Threshold-conditioned sublevel atlas

對 base family：

$$
\mathcal F,
$$

configuration objective：

$$
A_{\mathcal F}(q)
=
\operatorname{Area}
H_{\mathcal F}(q).
$$

對 threshold：

$$
T,
$$

定義 true sublevel region：

$$
\boxed{
\mathcal Q_{<T}
=
\{q:A_{\mathcal F}(q)<T\}.
}
$$

我們不需要精確知道：

$$
\mathcal Q_{<T}
$$

的 boundary。

只需要 finite cell cover：

$$
\boxed{
\mathcal Q_{<T}
\subseteq
\bigcup_{j=1}^{N_T}C_j.
}
$$

---

# 7. Atlas emitter

對 base box：

$$
C
$$

已有官方 erosion lower bound：

$$
L_{\mathcal F}(C)
\le
A_{\mathcal F}(q)
\qquad
\forall q\in C.
$$

因此 traversal：

```text
visit base box C

if L_F(C) >= T:
    label BASE-PRUNED
    stop

else if max_effective_width(C) <= h_atlas:
    label ATLAS-RETAINED
    emit C
    stop

else:
    split C
```

輸出的：

$$
\{C_j\}
$$

保證覆蓋：

$$
\mathcal Q_{<T}.
$$

因為任何真正：

$$
A_{\mathcal F}(q)<T
$$

的 point 都不可能落在：

$$
L_{\mathcal F}(C)\ge T
$$

的被 prune cell。

---

# 8. Near-minimizer atlas 與 exact minimizer atlas 的差異

Round 07 不要求先精確求：

$$
\operatorname{Argmin}A_{\mathcal F}.
$$

對推新 lower bound：

$$
T
$$

真正 relevant 的是：

$$
\boxed{
A_{\mathcal F}(q)<T
}
$$

的全部 sublevel region。

所以：

$$
\boxed{
\text{Threshold Atlas}
}
$$

比：

$$
\boxed{
\text{Exact Minimizer Atlas}
}
$$

更直接。

若目標只是：

$$
T=0.8350,
$$

不必先把：

$$
0.8347809\ldots
$$

附近 minimizer 精確到 machine precision。

只要 cover 全部：

$$
A_{\mathcal F}<0.8350
$$

的 base configurations 即可。

這是第一個主要計算壓縮。

---

# 9. Single-witness lift functional

對 base hull：

$$
H
$$

與新 legal target：

$$
K,
$$

定義：

$$
\boxed{
J_K(H)
=
\min_{g\in E(2)}
\operatorname{Area}
\left(
\operatorname{conv}(H\cup gK)
\right).
}
$$

它回答：

> base hull 固定後，新增 witness $K$ 能塞得最省面積時，至少要多少 area？

顯然：

$$
J_K(H)
\ge
\operatorname{Area}(H).
$$

---

# 10. Threshold-Conditioned Witness Lifting theorem

## 定理 10.1

設 base configuration domain 被 finite cells：

$$
C_1,\ldots,C_N
$$

覆蓋。

對每個 cell：

$$
C_j,
$$

假設至少滿足以下二者之一。

### Type A：base closed

$$
\boxed{
L_{\mathcal F}(C_j)\ge T.
}
$$

### Type B：witness lifted

存在：

$$
K_j
$$

使：

$$
\boxed{
\inf_{q\in C_j}
J_{K_j}
\left(
H_{\mathcal F}(q)
\right)
\ge T.
}
$$

令：

$$
\mathcal B
=
\{K_j:\ C_j\text{ Type B}\}.
$$

則：

$$
\boxed{
\Lambda(\mathcal F\cup\mathcal B)\ge T.
}
$$

### 證明

任取 full family placement。

其 base restriction 對應某：

$$
q\in C_j.
$$

若：

$$
C_j
$$

為 Type A，則 base hull 已：

$$
\ge T.
$$

full hull 包含 base hull，所以：

$$
\ge T.
$$

若為 Type B，full hull 包含：

$$
\operatorname{conv}
\left(
H_{\mathcal F}(q)\cup gK_j
\right)
$$

對該 full placement 中的：

$$
gK_j.
$$

由 cell-lift assumption，不論：

$$
g
$$

怎麼選，area 都：

$$
\ge T.
$$

故 full hull：

$$
\ge T.
$$

所有 full placements 均成立，因此：

$$
\Lambda(\mathcal F\cup\mathcal B)\ge T.
$$

Q.E.D.

---

# 11. Witness-switching lower theorem

對 base configuration：

$$
q,
$$

令：

$$
H(q)=H_{\mathcal F}(q).
$$

對 finite witness batch：

$$
\mathcal B,
$$

## 定理 11.1

$$
\boxed{
\Lambda(\mathcal F\cup\mathcal B)
\ge
\min_q
\max_{K\in\mathcal B}
J_K(H(q)).
}
$$

### 證明

固定 base：

$$
q.
$$

full placement 為：

$$
\{g_K\}_{K\in\mathcal B}.
$$

full hull area：

$$
A_{\mathrm{full}}
$$

對任意：

$$
K
$$

都有：

$$
A_{\mathrm{full}}
\ge
\operatorname{Area}
\left(
\operatorname{conv}(H(q)\cup g_KK)
\right).
$$

所以：

$$
A_{\mathrm{full}}
\ge
\max_{K\in\mathcal B}
A_K(q,g_K).
$$

對每個：

$$
g_K
$$

獨立最小化：

$$
\min_{\{g_K\}}
\max_K
A_K(q,g_K)
=
\max_K
\min_{g_K}
A_K(q,g_K)
=
\max_K
J_K(H(q)).
$$

最後對：

$$
q
$$

取 minimum。

Q.E.D.

---

# 12. 為何這個 theorem 重要

naive 加：

$$
r
$$

個 witnesses：

$$
K_1,\ldots,K_r
$$

會把 placement continuous dimension：

$$
d_{\mathcal F}
$$

直接變成：

$$
d_{\mathcal F}+3r
$$

減掉可能 symmetry gauge 後仍然快速爆炸。

Witness-switching theorem 改成：

$$
\boxed{
d_{\mathcal F}
\text{-D base atlas}
+
\text{cell-local }3\text{-D witness lifts}.
}
$$

不同 cells 可以用不同：

$$
K.
$$

因此 batch cardinality 不直接乘進局部 placement dimension。

---

# 13. Lazy dimension activation

Round 07 將此策略稱為：

$$
\boxed{
\text{Lazy Witness Dimension Activation}.
}
$$

對 base cell：

1. 先算：

   $$
   L_{\mathcal F}(C).
   $$

2. 若：

   $$
   L_{\mathcal F}(C)\ge T,
   $$

   不建立任何新 witness dimensions。

3. 只有：

   $$
   L_{\mathcal F}(C)<T
   $$

   的 cells 才啟動：

   $$
   (\phi_K,x_K,y_K)
   $$

   三維 witness placement search。

4. 若一個 witness 已關閉 cell，不再測其他 witnesses。

這是 exact branch-and-bound 邏輯，不是 heuristic pruning。

---

# 14. Erosion bound 可直接延伸到 lifted witness

Mishra 的核心 lemma：

> placement box 內若每個 Reuleaux corner 的最大位移為 $\delta$，則把每個 defining unit disk radius 從 $1$ erosion 到 $1-\delta$ 得到的 fixed core，包含於該 box 的每一個 placement。

所以 base cell：

$$
C
$$

與新 witness placement box：

$$
B_K
$$

可直接形成 common cores：

$$
E_3(C),
\qquad
E_5(C),
\qquad
E_K(B_K).
$$

則：

$$
\boxed{
\operatorname{Area}
\operatorname{conv}
\left(
D,
E_3,
E_5,
E_K
\right)
}
$$

是整個：

$$
C\times B_K
$$

上 hull area 的 rigorous lower bound。

因此 Conditional Lifting 不需要另發明新的 curved-body lower bound。

只需把官方 erosion machinery改成：

$$
\boxed{
\text{base cell persistent}
+
\text{one lazily activated witness box}.
}
$$

---

# 15. Cell-switching verifier

對 atlas cell：

$$
C_j
$$

與 witness pool：

$$
\mathcal P
=
\{K^{(1)},\ldots,K^{(s)}\},
$$

依序嘗試：

$$
K^{(a)}.
$$

若其完整三維 placement domain能被 finite erosion certificate證：

$$
\inf_{q\in C_j,g}
\operatorname{Area}
\operatorname{conv}
(H(q)\cup gK^{(a)})
\ge T,
$$

則記：

`CELL-CLOSED-BY = K^(a)`

並停止該 cell。

如果沒有一個 witness 單獨關閉 cell：

- 細分 base cell；
- 或擴充 witness pool；
- 不必立即把兩個 witnesses 聯合成 6-D search。

因細分後可能由不同 single witnesses 分別關閉 children。

---

# 16. Batch witness certificate 是 local-switchable 的

假設 atlas 有：

$$
1000
$$

個 hard cells。

其中：

- $B_7$ 關閉 $600$；
- 某 asymmetric Fourier target 關閉 $250$；
- $B_9$ 關閉剩下 $150$。

則 global family：

$$
\boxed{
\mathcal F_3
\cup
\{B_7,K_{\mathrm{asym}},B_9\}
}
$$

即可由定理 10.1 證：

$$
\Lambda\ge T.
$$

不要求同一 witness 關閉全部 cells。

這是 Round 06 separating-batch 理論的 area-threshold版本。

---

# 17. Robust cell-lift transfer theorem

有時我們不是直接對整個：

$$
C\times B_K
$$

跑 erosion，而是有 base representative hull：

$$
H_C
$$

與：

$$
d_H
\left(
H(q),H_C
\right)
\le
\tau
\qquad
\forall q\in C.
$$

這時可以用 area continuity 建立 robust transfer。

---

## 定理 17.1

令：

$$
D=B_{1/2}(0)
\subset H(q),H_C.
$$

若：

$$
J_K(H_C)
>
T
+
\omega_T(\tau),
$$

其中：

$$
\boxed{
\omega_T(\tau)
=
4\pi T\tau
+
\pi\tau^2,
}
$$

則：

$$
\boxed{
J_K(H(q))\ge T
\qquad
\forall q\in C.
}
$$

### 證明

反設某：

$$
q\in C
$$

滿足：

$$
J_K(H(q))<T.
$$

則存在 placement：

$$
g
$$

使：

$$
C_q
=
\operatorname{conv}(H(q)\cup gK)
$$

面積：

$$
<T.
$$

因：

$$
D\subset C_q,
$$

Round 04 radius theorem給：

$$
C_q\subset B_{2T}(0)
$$

在共同 anchor 後成立。

所以：

$$
\operatorname{Per}(C_q)
\le
4\pi T.
$$

又：

$$
H_C
\subset
H(q)+\tau B.
$$

所以：

$$
\operatorname{conv}(H_C\cup gK)
\subset
C_q+\tau B.
$$

Steiner formula：

$$
\operatorname{Area}
(C_q+\tau B)
\le
\operatorname{Area}(C_q)
+
4\pi T\tau
+
\pi\tau^2.
$$

故：

$$
J_K(H_C)
<
T+\omega_T(\tau),
$$

矛盾。

Q.E.D.

---

# 18. Atlas cell record schema

每個：

$$
C_j
$$

至少保存：

```text
cell_id
parent_id
depth
parameter_intervals:
    x3
    y3
    phi5
    x5
    y5

base_lower_area
base_center_area (SEARCH-ONLY unless rigorous upper)
effective_widths
erosion_delta_R3
erosion_delta_R5
R3_core_nonempty
R5_core_nonempty

hull_support_interval_hash
hausdorff_cell_radius (if available)

status:
    BASE-PRUNED
    ATLAS-RETAINED
    LIFT-ACTIVE
    CELL-CLOSED
    COMPUTE-DEFERRED

closed_by_witness
lift_lower_bound
threshold
margin
provenance_hash
```

這是 future cloud/local crystal 的 minimum cell schema。

---

# 19. Root atlas for $T_1=0.8350$

本輪建議第一個 improvement milestone：

$$
\boxed{
T_1=0.8350.
}
$$

這會把公開 lower bound：

$$
0.8344
$$

提高：

$$
6\times10^{-4}.
$$

base normalized domain：

$$
\phi_5\in[0,2\pi/5).
$$

translation radial cut：

$$
|t_3|
\le
0.194856180909,
$$

$$
|t_5|
\le
0.197820670401.
$$

實作可先用 enclosing square boxes：

$$
x_3,y_3
\in
[-t_3,t_3],
$$

$$
x_5,y_5
\in
[-t_5,t_5],
$$

再用 radial a-priori test prune square corners。

---

# 20. Official best exhibited seed

official `logs/ceilings.log`：

$$
q^\dagger
=
(
-0.01215883209899,
-3.7081986\times10^{-8},
1.256661190387,
0.02299660691706,
-3.8969815\times10^{-6}
).
$$

modulo：

$$
2\pi/5,
$$

寫成：

$$
\boxed{
q^\dagger_{\mathrm{norm}}
\approx
(
-0.01215883210,
0,
2.4128951\times10^{-5},
0.02299660692,
0
).
}
$$

exact-kernel family area：

$$
\boxed{
0.834780945912.
}
$$

rigorous outer polygon：

$$
\boxed{
0.834781190917.
}
$$

所以 relative to：

$$
T_1=0.8350,
$$

base headroom只有約：

$$
\boxed{
2.19\times10^{-4}.
}
$$

這表示：

$$
T_1
$$

只需要處理非常接近 base family ceiling 的 sublevel region。

---

# 21. Official full 8-D search prior

official `logs/scaling.log` 對：

$$
D+B_3+B_5+B_7
$$

報告 numerical optimum：

$$
\boxed{
0.836494901.
}
$$

該數字是 search ceiling：

$$
\Lambda(D,B_3,B_5,B_7)
\le
0.836494901
$$

的 numerical evidence。

不是 lower bound。

對 naive full 8-D certification target：

$$
0.8350,
$$

official empirical scaling extrapolation：

$$
\boxed{
\sim5.527\times10^{12}
\text{ boxes}
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\sim5635.8\text{ days}
}
$$

at measured throughput。

Round 07 的 atlas-lift strategy 正是為了避免：

$$
\boxed{
\text{在所有 base configurations 上預先展開 B7 的三個維度}.
}
$$

---

# 22. SEARCH-ONLY fixed-seed probe

本輪使用：

- official exhibited base placement；
- sampled Reuleaux boundaries；
- numerical convex hull；
- differential evolution；

只做 candidate ranking。

這**不是證書**。

reproduced base inner-sampled hull約：

$$
0.8347793.
$$

與 official exact：

$$
0.834780945912
$$

接近，但 sampled hull 是 inner approximation，所以不能拿來作 rigorous upper/lower theorem。

---

# 23. Regular Reuleaux candidate ranking

在 fixed base seed 上：

## $B_7$

search-only：

$$
\boxed{
J_{B_7}(H^\dagger)
\approx
0.83713.
}
$$

## $B_9$

$$
\approx
0.83563.
$$

## $B_{11}$

$$
\approx
0.83613.
$$

## $B_{13}$

$$
\approx
0.83597.
$$

因此在這個 seed：

$$
\boxed{
B_7
}
$$

的 lift 最強。

status：

`SEARCH-PRIOR ONLY`

---

# 24. 為何 fixed-seed $0.83713$ 不是四體 lower bound

官方 full four-body numerical ceiling：

$$
0.836494901
$$

比：

$$
0.83713
$$

更低。

原因：

加入：

$$
B_7
$$

後：

$$
B_3,B_5
$$

也可以重新移動。

所以：

$$
\boxed{
\min_{q_3}
J_{B_7}(H_{\mathcal F_3}(q_3))
<
J_{B_7}(H_{\mathcal F_3}(q^\dagger)).
}
$$

這個差異本身就是 Round 07 minimizer-atlas 思路的驗證：

> old best point 不是足夠的 base state；必須 cover 整個 threshold sublevel region。

---

# 25. $B_7$ 的當前身份

目前可標：

`SEARCH-PRIOR`

+

`EXTERNAL-NUMERICAL-FAMILY-CEILING`

尚不能標：

`NEW-SEPARATOR-CERTIFIED`

因還沒證：

$$
\inf_{q\in\mathcal Q_{<0.835}}
J_{B_7}(H(q))
\ge
0.835.
$$

Round 07 只把這句變成下一個可計算 exact gate。

---

# 26. New exact gate R07-G1

## Gate R07-G1

證明：

$$
\boxed{
\forall q\in\mathcal Q_{<0.8350},
\quad
J_{B_7}(H_{\mathcal F_3}(q))
\ge
0.8350.
}
$$

若成立：

$$
\boxed{
\Lambda(D,B_3,B_5,B_7)
\ge
0.8350.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
a_{\mathrm{Leb}}
\ge
0.8350.
}
$$

這會是相對：

$$
0.8344
$$

的真正新嚴格 improvement。

目前：

`COMPUTE-DEFERRED`

---

# 27. 更一般的 batch gate

若：

$$
B_7
$$

不能單獨關閉全部 atlas cells，不代表失敗。

可找 finite：

$$
\mathcal B
=
\{B_7,K_2,\ldots,K_r\}
$$

使：

$$
\boxed{
\forall q\in\mathcal Q_{<T},
\quad
\max_{K\in\mathcal B}
J_K(H(q))
\ge T.
}
$$

則 witness-switching theorem 給：

$$
\boxed{
\Lambda(\mathcal F_3\cup\mathcal B)\ge T.
}
$$

不同 atlas cell 可由不同：

$$
K
$$

閉合。

這正是 Round 06 separating batch 的 area-threshold upgrade。

---

# 28. Witness pool 不得只含 regular Reuleaux polygons

第一優先 pool 可以含：

$$
B_7,B_9,B_{11},B_{13}.
$$

但 Round 02 已告訴我們全部 constant-width target domain 可 finite approximate。

所以後續一定要加入：

- low odd Fourier-mode bodies；
- asymmetric constant-width bodies；
- curvature-density dictionary；
- near-extreme $r(\theta)\in\{0,1\}$ 型 candidates；
- regular Reuleaux polygons。

如果只跑：

$$
B_{2k+1},
$$

可能產生 representation bias。

---

# 29. Atlas refinement policy

對 cell：

$$
C
$$

可計算：

- base lower：

  $$
  L_{\mathcal F}(C);
  $$

- base center search area；
- current best witness-lift lower；
- cell width；
- erosion slack。

建議 priority：

$$
\boxed{
\text{priority}(C)
=
(T-L_{\mathcal F}(C))
\times
\text{uncertainty}(C)
\times
\text{witness-failure score}.
}
$$

這只是 scheduling heuristic。

correctness 不依賴 priority。

---

# 30. Atlas lineage

每個 child cell 必須保留：

```text
parent_id
split_axis
split_point
child_index
```

並保留：

```text
base_bound_version
geometry_kernel_hash
target_threshold
witness_pool_version
```

這使第二個 AI 可以獨立重播：

- 哪些 cells 被 base prune；
- 哪些 cells 需要 lift；
- 哪個 witness 關閉哪個 cell；
- 哪些 cell 尚未 closed。

---

# 31. Atlas status taxonomy

## `BASE-PRUNED`

$$
L_{\mathcal F}(C)\ge T.
$$

## `LIFT-CLOSED`

某：

$$
K
$$

已證：

$$
\inf_{q\in C}J_K(H(q))\ge T.
$$

## `MULTI-WITNESS-CLOSED`

由 witness-switching batch 關閉。

## `REFINE`

尚無 certificate，繼續 split。

## `SEARCH-HIT`

只有 numerical witness candidate，尚未證。

## `COMPUTE-DEFERRED`

需要本地 heavy search。

## `BOUNDARY-ANOMALY`

某 erosion / core / interval assumption 失敗，要單獨處理。

---

# 32. Local compute specification for $T_1=0.8350$

## Phase A：Base atlas

input：

$$
\mathcal F_3=D+B_3+B_5.
$$

threshold：

$$
T_1=0.8350.
$$

root：

$$
q=(x_3,y_3,\phi_5,x_5,y_5).
$$

使用：

- official exact geometry kernel；
- official erosion lower bound；
- sharper domain；
- deterministic split weights。

輸出：

$$
\mathcal A_{0.835}
$$

finite retained cells。

---

## Phase B：B7 lazy lift

對每個 retained base cell：

1. attach：

   $$
   (\phi_7,x_7,y_7);
   $$

2. symmetry：

   $$
   \phi_7\in[0,2\pi/7);
   $$

3. use threshold-dependent translation bound for $B_7$；
4. erosion base bodies and $B_7$ over joint cell；
5. prune if hull-core area：

   $$
   \ge0.8350;
   $$

6. if all $B_7$ placement boxes close：

   `CELL-CLOSED-BY-B7`

7. otherwise retain failing subcells for alternative witness scan。

---

# 33. Why this is not the same as naive 8-D certification

naive：

```text
root 8-D box
split all eight variables as needed
```

Round 07：

```text
5-D base traversal
    |
    +-- base lower >= T  -> close, never create B7 dimensions
    |
    +-- base lower < T   -> retain atlas cell
                              |
                              +-- activate local 3-D B7 search
```

所以：

$$
\boxed{
\text{new dimensions exist only on the hard base sublevel region}.
}
$$

計算節省幅度未知，必須實測。

本輪不宣稱一定會把 5635.8 days 降到可接受時間。

---

# 34. Exact certificate format for conditional lift

每個 base leaf：

```text
base_cell_id
base_box_intervals
base_lower_bound
base_status
```

若 lifted：

```text
witness_id
witness_root_domain
lift_certificate_stream_hash
lift_nodes
lift_leaves
lift_worst_slack
lift_error_bound
threshold
verdict
```

global verifier：

1. replay base atlas；
2. 每個 leaf 必須：
   - `BASE-PRUNED`，或
   - 有至少一個 valid lift certificate；
3. verify all child coverage；
4. verify no unclassified leaf；
5. aggregate：

   $$
   \Lambda\ge T.
   $$

這個 verifier 可以與 search code 分離。

---

# 35. Batch-switch certificate format

若多 witnesses：

```text
cell_id -> witness_id
```

是一個 finite assignment。

每個 witness_id 都指向：

$$
\text{cell-local 3-D lift certificate}.
$$

global correctness 只要求：

$$
\boxed{
\forall\text{ retained base cell},
\quad
\exists\text{ one valid witness lift certificate}.
}
$$

不要求：

$$
\forall K\in\mathcal B
$$

在每個 cell 都被計算。

這可以大幅降低證書量。

---

# 36. Relation to RCHM saturation

Round 05：

$$
\text{finite witness saturation}
$$

問的是 lower family 是否能達 truth。

Round 06：

$$
\text{exchange compiler}
$$

保證未 saturated 時終會找到 batch。

Round 07 現在把 batch exchange 變成：

$$
\boxed{
\text{threshold sublevel atlas}
+
\text{cell-local witness lift}
}
$$

因此 RCHM residual gate 從：

$$
\text{abstract witness discovery}
$$

再壓成：

$$
\boxed{
\text{finite atlas coverage problem}.
}
$$

---

# 37. Current witness ancestry

## $D$

`REUSED / ANCHOR`

## $B_3$

`DOMINANCE-UPGRADE`

相對 classical：

$$
P_3.
$$

## $B_5$

`DOMINANCE-UPGRADE`

相對 classical：

$$
P_5.
$$

## $B_7$

目前：

`SEARCH-PRIOR`

若 R07-G1 成功：

`NEW-SEPARATOR-CERTIFIED`

## $B_9,B_{11},B_{13}$

目前：

`SEARCH-PRIOR`

不因 fixed-seed numerical lift 自動升級。

---

# 38. COMPUTE-DEFERRED

## C07-1：Base sublevel atlas $T=0.8350$

必做。

輸出 retained cell count、depth distribution、support/hull intervals。

---

## C07-2：B7 conditional lift

優先。

若全部 cells close：

立即進 full independent verifier。

---

## C07-3：Unclosed-cell target scan

只對：

$$
B_7
$$

失敗 cells 跑：

- $B_9$；
- $B_{11}$；
- $B_{13}$；
- Round 02 Fourier dictionary。

---

## C07-4：Batch set cover

建：

$$
\text{atlas cells}\times\text{witnesses}
$$

incidence。

解最小 / 高 margin set cover。

---

## C07-5：Independent verifier

search emitter 與 verifier 必須：

- 不共享 prune decision；
- 只共享 mathematical constants / definitions；
- verifier 重建 boxes；
- verifier 檢查每個 base leaf 都被合法分類；
- lifted certificate hashes 固定。

---

# 39. Small exploratory code in package

本輪 package 含：

`AMRAL_LUC_FC_Round_07_search_prior.py`

用途：

1. 重建 regular Reuleaux boundary representation；
2. 使用 official exhibited $\mathcal F_3$ seed；
3. 對：

   $$
   B_7,B_9,B_{11},B_{13}
   $$

   做 fixed-base numerical placement search；
4. 輸出：

   `SEARCH-ONLY`

   ranking。

此程式：

- 不使用 interval arithmetic；
- convex hull由 boundary sampling；
- 不構成 lower certificate；
- 只為 witness ordering。

---

# 40. Round 08 指定題目

## AMRAL-LUC-FC-R08
### Conditional-Lift Certificate Compiler for the $0.8350$ Milestone

若本地端尚未返回 heavy compute，Round 08 仍可先做：

1. exact lifted-box erosion formulas；
2. $B_7$ threshold-dependent domain；
3. base/lift split scheduler；
4. certificate stream grammar；
5. verifier invariants；
6. fallback multi-witness branch。

若本地端已有 atlas：

直接開始：

$$
\boxed{
\mathcal A_{0.835}
\to
B_7\text{ cell closure}.
}
$$

---

# 41. Reproducibility checklist

## External seed source

`VERIFIED`

## Official five-dimensional parameterization

`VERIFIED`

## Sharper translation domain

`VERIFIED`

## Official exhibited near-minimizer seed

`VERIFIED`

## Threshold-conditioned atlas theorem

`PROVED`

## Witness-switching theorem

`PROVED`

## Lazy dimension activation

`PROVED AS CERTIFICATE LOGIC`

## Robust cell-lift transfer

`PROVED`

## Regular Reuleaux ranking

`SEARCH-ONLY`

## $B_7$ as certified next witness

`OPEN`

## $0.8350$ lower bound

`OPEN / COMPUTE-DEFERRED`

---

# 42. 最短交接結論

Round 07 的核心不在於已經找到第四個 certified witness。

真正完成的是：

$$
\boxed{
\text{5-D base family sublevel atlas}
\to
\text{cell-local 3-D witness lifting}
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\Lambda(\mathcal F\cup\mathcal B)
\ge
\min_q
\max_{K\in\mathcal B}
J_K(H_{\mathcal F}(q)).
}
$$

所以 witness batch 不再等於維度直接相加。

對第一個實際 milestone：

$$
\boxed{
T_1=0.8350,
}
$$

下一 exact gate 已經變成：

$$
\boxed{
\forall q\in\mathcal Q_{<0.835},
\quad
J_{B_7}(H(q))
\ge0.835
\ ?
}
$$

如果 $B_7$ 不能單獨完成：

使用 finite witness-switching batch。

這是從「找第四個形狀」提升成「覆蓋整個 near-minimizer atlas」的策略轉換。

---

# 參考文獻

1. U. Mishra, *Curves of constant width and Lebesgue's covering problem*, arXiv:2608.30538, 2026.
2. U. Mishra, official source repository `Ujjwal238/universal-cover-problem`, 2026.
3. P. Gibbs, *An Upper Bound for Lebesgue's Covering Problem*, arXiv:1810.10089, 2018.
4. P. Gibbs, *A New Slant on Lebesgue's Universal Covering Problem*, arXiv:1401.8217, 2014.
5. S. Zeng, *An exact hierarchy for Lebesgue's universal covering constant and a certified 0.834 lower bound*, arXiv:2609.01284, 2026.
6. Neo.K + Aletheia, *AMRAL × Lebesgue Universal Covering — Round 00–06*, 2026-09-18.

---

# 43. 宣告

本輪沒有宣稱：

- $B_7$ 已經嚴格把 lower bound 提升到 $0.8350$；
- fixed-seed numerical ranking 是 theorem；
- official four-body numerical optimum 是 rigorous lower bound；
- atlas-lift 一定比 full 8-D search 快多少。

本輪真正完成的是：

$$
\boxed{
\text{minimizer-set exchange}
\to
\text{threshold-conditioned atlas lifting}.
}
$$

大型 atlas 與 lift certificate 計算保留為 `COMPUTE-DEFERRED`，不把尚未執行的計算寫成證明。