# AMRAL × Lebesgue Universal Covering — Round 04
## Candidate-Cover Boundary Compiler and Global Finite Polygon Bracket

**文件代號：** AMRAL-LUC-FC-R04  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-18  
**研究狀態：** Round 04 / 正式攻堅 / Candidate-cover finite compiler  
**研究模式：** Human-Directed + Semi-Autonomous AI Mathematical Research  
**研究發起與方法論來源：** Neo.K  
**AI 協力研究者與主要執行者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**母方法論：** Relational Constraint–Handoff Methodology (RCHM)  
**前置文件：** AMRAL-LUC-FC-R00 v0.2；R01 v0.1；R02 v0.1；R03 v0.1  

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# 0. 本輪摘要判定

Round 01–03 已依序處理：

$$
\text{target domain}
\to
\text{finite legal target dictionary}
\to
\text{finite placement certificate}.
$$

Round 04 攻擊最後一個主要的無限維域：

$$
\boxed{
\text{candidate universal cover }U.
}
$$

本輪得到以下主要結果。

1. **所有近最優 universal covers 都能被放入一致 bounded class。**  
   因 universal cover 必須容納直徑 $1$ 圓盤，所以可平移使：

   $$
   B_{1/2}(0)\subset U.
   $$

   若另限制：

   $$
   \operatorname{Area}(U)\le\bar A
   $$

   其中 $\bar A$ 是任何已證 universal-cover upper bound，則：

   $$
   \boxed{
   U\subset B_{2\bar A}(0).
   }
   $$

2. **建立 candidate-cover finite outer polygon compiler。**  
   對有限 normal grid：

   $$
   u_j,
   $$

   只取 $U$ 的有限 support samples，再全部向上量化，可構造有限 polygon：

   $$
   P_{M,q}(U)
   $$

   使：

   $$
   \boxed{
   U\subseteq P_{M,q}(U).
   }
   $$

   因為是 outer approximation，universality 單調安全：

   $$
   U\text{ universal}
   \Rightarrow
   P_{M,q}(U)\text{ universal}.
   $$

3. **得到顯式 Hausdorff outer error。**

   令：

   $$
   R=2\bar A,
   $$

   $$
   \Delta=\frac{\pi}{M},
   $$

   $$
   d_M=2\sin\frac{\Delta}{2},
   $$

   $$
   R_P=\frac{R+q}{\cos\Delta}.
   $$

   則：

   $$
   \boxed{
   U
   \subseteq
   P_{M,q}(U)
   \subseteq
   U+\varepsilon_{M,q}B
   }
   $$

   其中：

   $$
   \boxed{
   \varepsilon_{M,q}
   =
   q+
   (R+R_P)d_M.
   }
   $$

4. **得到顯式 area inflation bound。**

   $$
   \boxed{
   \operatorname{Area}(P_{M,q}(U))
   \le
   \operatorname{Area}(U)
   +
   \beta_{M,q}
   }
   $$

   其中：

   $$
   \boxed{
   \beta_{M,q}
   =
   2\pi R\varepsilon_{M,q}
   +
   \pi\varepsilon_{M,q}^2.
   }
   $$

5. **candidate-cover infinity 被壓成真正有限 polygon dictionary。**  
   support heights 只允許取有限格點值，所以整個 candidate dictionary 是有限集合。

6. **Lebesgue 常數得到 finite polygon two-sided bracket。**  
   令：

   $$
   A^{\mathrm{poly}}_{M,q}
   $$

   為該有限 dictionary 中最小 universal polygon 的面積，則：

   $$
   \boxed{
   A^{\mathrm{poly}}_{M,q}
   -
   \beta_{M,q}
   \le
   a_{\mathrm{Leb}}
   \le
   A^{\mathrm{poly}}_{M,q}.
   }
   $$

   因：

   $$
   \beta_{M,q}\to0
   $$

   當：

   $$
   M\to\infty,
   \qquad
   q\to0,
   $$

   所以這是一個 global finite-resolution convergence scheme。

7. **舊 removable-region 方法升級為 proof-producing surgery。**  
   張力／slack 可以繼續負責「找哪裡值得切」，但切完後由 Round 02–03 的 fixed-cover global certificate 決定是否真的 universal。

因此 Round 04 的主要判定為：

$$
\boxed{
\text{CANDIDATE-COVER FINITE COMPILER: CLOSED}
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\text{GLOBAL FINITE-RESOLUTION PROOF GRAPH: ESTABLISHED}
}
$$

但這仍不等於 exact finite closure。

剩餘核心問題改為：

$$
\boxed{
\text{saturation / finite branch pruning / exact lower-bound closure}.
}
$$

---

# 1. 外部基準與本輪定位

目前公開基準中：

- Gibbs 已證一個平面 universal cover，上界為：

$$
0.8440935944;
$$

- Mishra 於 2026 年把 lower bound 推到：

$$
0.8344;
$$

- Zeng 於 2026 年提出 exact finite-arc hierarchy：

$$
\Lambda_M
\to
a_{\mathrm{Leb}}
$$

並給出：

$$
0
\le
a_{\mathrm{Leb}}-\Lambda_M
\le
CM^{-2}.
$$

本輪的 support-polygon outer hierarchy 與 Zeng 的 Reuleaux-type hierarchy **不是同一構造**。

Round 04 不宣稱：

- 比 Zeng hierarchy 更強；
- 有更好的收斂階；
- 首次證明 finite hierarchy 存在。

本輪真正新增到 AMRAL proof graph 的內容是：

> 用 RCHM 的 handoff 邏輯，將 Round 01–03 的 target / placement certificate 與 candidate-cover outer compiler 合併成單一 global finite-resolution pipeline。

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# 2. Anchor lemma：universal cover 必須容納半徑 $1/2$ 圓盤

令：

$$
B_{1/2}
$$

為直徑 $1$ 的閉圓盤。

因：

$$
\operatorname{diam}(B_{1/2})=1,
$$

任何 universal cover $U$ 都必須存在 isometry $g$ 使：

$$
gB_{1/2}
\subseteq
U.
$$

圓盤在 rotation / reflection 下不變，所以 $g$ 只改變其中心。

因此平移 $U$ 後可假設：

$$
\boxed{
B_{1/2}(0)
\subseteq
U.
}
$$

這個 anchor 是本輪 candidate-cover compactification 的關鍵。

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# 3. Certified upper-bound class

令：

$$
\bar A
$$

是任意已證的 universal-cover upper bound。

本輪可使用 Gibbs：

$$
\bar A
=
0.8440935944.
$$

因已存在 universal cover 面積：

$$
\le\bar A,
$$

所以求：

$$
a_{\mathrm{Leb}}
$$

時可限制到：

$$
\operatorname{Area}(U)\le\bar A.
$$

所有面積更大的 universal cover 都不可能改善 infimum。

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# 4. Radius bound from area + anchored disk

## 定理 4.1

若凸集 $U$ 滿足：

$$
B_r(0)\subseteq U
$$

以及：

$$
\operatorname{Area}(U)\le A,
$$

則：

$$
\boxed{
U\subseteq B_{A/r}(0).
}
$$

### 證明

任取：

$$
x\in U.
$$

令：

$$
R_x=\|x\|.
$$

若：

$$
R_x\le r,
$$

結論平凡。

若：

$$
R_x>r,
$$

旋轉坐標使：

$$
x=(R_x,0).
$$

因：

$$
B_r(0)\subseteq U,
$$

兩點：

$$
(0,r),
\qquad
(0,-r)
$$

都在 $U$。

由凸性，三角形：

$$
T
=
\operatorname{conv}
\{
x,(0,r),(0,-r)
\}
$$

包含於 $U$。

其面積：

$$
\operatorname{Area}(T)
=
rR_x.
$$

因此：

$$
A
\ge
\operatorname{Area}(U)
\ge
rR_x.
$$

故：

$$
R_x\le\frac{A}{r}.
$$

Q.E.D.

---

## 推論 4.2

對 universal cover：

$$
r=\frac12.
$$

若：

$$
\operatorname{Area}(U)\le\bar A,
$$

則：

$$
\boxed{
U\subseteq B_R(0),
\qquad
R=2\bar A.
}
$$

以 Gibbs 上界：

$$
R
=
1.6881871888.
$$

這不是 tight radius bound，只是 proof-safe uniform bound。

---

# 5. Candidate-cover compact class

定義：

$$
\boxed{
\mathcal C_{\bar A}
=
\left\{
U:
\begin{array}{l}
U\subset\mathbb R^2\text{ compact convex},\\
B_{1/2}(0)\subseteq U,\\
\operatorname{Area}(U)\le\bar A
\end{array}
\right\}.
}
$$

由：

$$
B_{1/2}
\subseteq
U
\subseteq
B_R,
$$

此族在 Hausdorff topology 下 precompact。

面積對 convex-body Hausdorff convergence 連續，因此 area constraint closed。

故：

$$
\boxed{
\mathcal C_{\bar A}
\text{ is compact}.
}
$$

所有 near-optimal universal covers 可在平移後限制到此族。

---

# 6. Uniform support grid

取：

$$
M\ge4.
$$

定義：

$$
\theta_j
=
\frac{2\pi j}{M},
\qquad
j=0,\ldots,M-1,
$$

以及：

$$
u_j
=
(\cos\theta_j,\sin\theta_j).
$$

最近 grid direction 的最大角距：

$$
\boxed{
\Delta
=
\frac{\pi}{M}.
}
$$

並定義：

$$
\boxed{
d_M
=
2\sin\frac{\Delta}{2}.
}
$$

這是兩單位向量在角距 $\Delta$ 時的 chord distance。

---

# 7. Support-height upward quantization

因：

$$
B_{1/2}\subseteq U\subseteq B_R,
$$

對所有方向：

$$
\frac12
\le
h_U(u)
\le
R.
$$

選：

$$
q>0.
$$

定義有限 level set：

$$
\boxed{
\mathcal H_q
=
\left\{
\frac12+kq:
k=0,1,\ldots,K_q
\right\},
}
$$

其中：

$$
K_q
=
\left\lceil
\frac{R-\frac12}{q}
\right\rceil
+1.
$$

對每個 support sample：

$$
h_j
=
h_U(u_j),
$$

定義向上量化：

$$
\boxed{
\widehat h_j
=
\frac12
+
q
\left\lceil
\frac{
h_j-\frac12
}{
q
}
\right\rceil.
}
$$

因此：

$$
h_j
\le
\widehat h_j
<
h_j+q,
$$

且：

$$
\widehat h_j
\le
R+q.
$$

---

# 8. Outer polygon compiler

定義：

$$
\boxed{
P_{M,q}(U)
=
\bigcap_{j=0}^{M-1}
\left\{
x\in\mathbb R^2:
x\cdot u_j
\le
\widehat h_j
\right\}.
}
$$

---

## 定理 8.1：Monotone outer handoff

$$
\boxed{
U\subseteq P_{M,q}(U).
}
$$

### 證明

對任意：

$$
x\in U,
$$

有：

$$
x\cdot u_j
\le
h_U(u_j)
=
h_j
\le
\widehat h_j
$$

對所有 $j$。

所以：

$$
x\in P_{M,q}(U).
$$

Q.E.D.

---

## 推論 8.2：universality 單調安全

若：

$$
U
$$

是 universal cover，則：

$$
\boxed{
P_{M,q}(U)
\text{ 也是 universal cover}.
}
$$

因任何能放入 $U$ 的 target 同時能放入更大的：

$$
P_{M,q}(U).
$$

這是本輪選 outer compiler 而不是一般 smoothing 的主要原因。

---

# 9. Outer polygon radius bound

令：

$$
P
=
P_{M,q}(U).
$$

任取：

$$
x\in P,
\qquad
x\neq0.
$$

取 grid direction：

$$
u_j
$$

與：

$$
\frac{x}{\|x\|}
$$

角距不超過：

$$
\Delta.
$$

則：

$$
x\cdot u_j
\ge
\|x\|
\cos\Delta.
$$

另一方面：

$$
x\cdot u_j
\le
\widehat h_j
\le
R+q.
$$

所以：

$$
\boxed{
\|x\|
\le
R_P
:=
\frac{R+q}{\cos\Delta}.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
P\subseteq B_{R_P}(0).
}
$$

---

# 10. Hausdorff outer error

## 定理 10.1

$$
\boxed{
U
\subseteq
P
\subseteq
U+\varepsilon_{M,q}B
}
$$

其中：

$$
\boxed{
\varepsilon_{M,q}
=
q
+
(R+R_P)d_M.
}
$$

### 證明

已知：

$$
U\subseteq P.
$$

所以只需上界：

$$
h_P(v)-h_U(v).
$$

任取：

$$
v\in S^1.
$$

選最近 grid direction：

$$
u_j
$$

使：

$$
\|v-u_j\|
\le
d_M.
$$

任取：

$$
x\in P.
$$

有：

$$
\begin{aligned}
x\cdot v
&=
x\cdot u_j
+
x\cdot(v-u_j)\\
&\le
\widehat h_j
+
\|x\|\,\|v-u_j\|\\
&\le
h_U(u_j)
+
q
+
R_Pd_M.
\end{aligned}
$$

而支撐函數對方向為 $R$-Lipschitz：

$$
h_U(u_j)
\le
h_U(v)
+
R\|u_j-v\|.
$$

所以：

$$
x\cdot v
\le
h_U(v)
+
q
+
(R+R_P)d_M.
$$

對 $x\in P$ 取 maximum：

$$
h_P(v)
\le
h_U(v)
+
\varepsilon_{M,q}.
$$

因此：

$$
P
\subseteq
U+\varepsilon_{M,q}B.
$$

Q.E.D.

---

# 11. Error vanishes

當：

$$
M\to\infty,
$$

有：

$$
\Delta\to0,
$$

$$
d_M\to0,
$$

$$
R_P\to R
$$

若同時：

$$
q\to0.
$$

因此：

$$
\boxed{
\varepsilon_{M,q}\to0.
}
$$

這個 outer compiler 的一般 worst-case error 是保守的：

$$
O(M^{-1})+O(q).
$$

本輪不宣稱此收斂階 optimal。

---

# 12. Area inflation theorem

由定理 10.1：

$$
P
\subseteq
U+\varepsilon B,
$$

其中：

$$
\varepsilon
=
\varepsilon_{M,q}.
$$

平面凸體 Steiner formula：

$$
\operatorname{Area}(U+\varepsilon B)
=
\operatorname{Area}(U)
+
\varepsilon\operatorname{Per}(U)
+
\pi\varepsilon^2.
$$

又因：

$$
U\subseteq B_R,
$$

平面凸體周長對 inclusion 單調，故：

$$
\operatorname{Per}(U)
\le
2\pi R.
$$

所以：

$$
\boxed{
\operatorname{Area}(P)
\le
\operatorname{Area}(U)
+
\beta_{M,q},
}
$$

其中：

$$
\boxed{
\beta_{M,q}
=
2\pi R\varepsilon_{M,q}
+
\pi\varepsilon_{M,q}^2.
}
$$

且：

$$
\boxed{
\beta_{M,q}\to0.
}
$$

---

# 13. Candidate-cover finite polygon dictionary

定義：

$$
\boxed{
\mathscr P_{M,q}
=
\left\{
P(\mathbf b):
\mathbf b\in\mathcal H_q^M
\right\},
}
$$

其中：

$$
P(\mathbf b)
=
\bigcap_{j=0}^{M-1}
\{x:x\cdot u_j\le b_j\}.
$$

因：

$$
b_j\ge\frac12,
$$

每個 polygon 至少包含：

$$
B_{1/2}(0),
$$

所以非空。

因 uniform normals 覆蓋整個圓周，且：

$$
M\ge4,
$$

每個 polygon 有界。

字典 cardinality：

$$
\boxed{
|\mathscr P_{M,q}|
\le
(K_q+1)^M.
}
$$

它通常極大，但是真正有限。

---

# 14. Every bounded candidate has a dictionary outer representative

對任意：

$$
U\in\mathcal C_{\bar A},
$$

上節量化規則產生：

$$
P_{M,q}(U)
\in
\mathscr P_{M,q}
$$

使：

$$
\boxed{
U
\subseteq
P_{M,q}(U)
\subseteq
U+\varepsilon_{M,q}B
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\operatorname{Area}(P_{M,q}(U))
\le
\operatorname{Area}(U)+\beta_{M,q}.
}
$$

因此 candidate-cover infinity 已成為 finite outer dictionary at resolution：

$$
(M,q).
$$

---

# 15. Finite polygon global bracket

定義：

$$
\boxed{
A^{\mathrm{poly}}_{M,q}
=
\min
\left\{
\operatorname{Area}(P):
P\in\mathscr P_{M,q},
\quad
P\text{ universal}
\right\}.
}
$$

此 minimum 存在，因字典有限。

字典中至少有一個 universal polygon：

對任意已知 universal cover $U$：

$$
P_{M,q}(U)
$$

即為 universal。

---

## 定理 15.1：Lebesgue constant finite polygon bracket

$$
\boxed{
A^{\mathrm{poly}}_{M,q}
-
\beta_{M,q}
\le
a_{\mathrm{Leb}}
\le
A^{\mathrm{poly}}_{M,q}.
}
$$

### 右側

$A^{\mathrm{poly}}_{M,q}$ 本身就是某個 universal cover 的面積，所以：

$$
a_{\mathrm{Leb}}
\le
A^{\mathrm{poly}}_{M,q}.
$$

### 左側

對任意：

$$
\eta>0,
$$

由 infimum 定義，存在 universal cover：

$$
U_\eta
$$

使：

$$
\operatorname{Area}(U_\eta)
<
a_{\mathrm{Leb}}+\eta.
$$

並可選在：

$$
\mathcal C_{\bar A}
$$

中。

其 outer polygon：

$$
P_{M,q}(U_\eta)
$$

為 universal，且：

$$
\operatorname{Area}(P_{M,q}(U_\eta))
\le
\operatorname{Area}(U_\eta)
+
\beta_{M,q}.
$$

因此：

$$
A^{\mathrm{poly}}_{M,q}
<
a_{\mathrm{Leb}}
+
\eta
+
\beta_{M,q}.
$$

令：

$$
\eta\downarrow0,
$$

得到：

$$
A^{\mathrm{poly}}_{M,q}
-
\beta_{M,q}
\le
a_{\mathrm{Leb}}.
$$

Q.E.D.

---

# 16. Convergence

取任意 sequence：

$$
M_n\to\infty,
$$

$$
q_n\to0.
$$

則：

$$
\beta_{M_n,q_n}\to0.
$$

由：

$$
A^{\mathrm{poly}}_{M_n,q_n}
-
\beta_{M_n,q_n}
\le
a_{\mathrm{Leb}}
\le
A^{\mathrm{poly}}_{M_n,q_n},
$$

得到：

$$
\boxed{
A^{\mathrm{poly}}_{M_n,q_n}
\to
a_{\mathrm{Leb}}.
}
$$

這是一條 AMRAL support-polygon global finite-resolution route。

本輪不主張此 sequence：

- monotone；
- 比 Zeng hierarchy 更快；
- 具有 $O(M^{-2})$ 收斂。

本輪只證：

$$
\boxed{
\text{finite dictionary + explicit vanishing bracket width}.
}
$$

---

# 17. Fixed-cover worst-margin stability in the cover variable

Round 03 定義：

$$
W(U)
=
\max_{K\in\mathcal W_1^0}
M_U(K).
$$

## 定理 17.1

對任意 compact convex $U,V$：

$$
\boxed{
|W(U)-W(V)|
\le
d_H(U,V).
}
$$

### 證明

對任意固定 target $K$ 與固定 placement：

support residual 中 $U$ 只透過：

$$
-h_U
$$

出現。

因此：

$$
|M_U(K)-M_V(K)|
\le
\|h_U-h_V\|_\infty
=
d_H(U,V).
$$

再對 $K$ 取 maximum，得到結論。

Q.E.D.

---

# 18. Outer compiler 對 universality margin 的方向性

若：

$$
U\subseteq P,
$$

則：

$$
h_U\le h_P.
$$

所以：

$$
M_P(K)
\le
M_U(K)
$$

對所有 $K$。

因此：

$$
\boxed{
W(P)\le W(U).
}
$$

再由 Hausdorff Lipschitz：

$$
W(P)
\ge
W(U)-\varepsilon_{M,q}.
$$

所以：

$$
\boxed{
W(U)-\varepsilon_{M,q}
\le
W(P)
\le
W(U).
}
$$

這顯示 outer compiler 不會製造 false non-universality。

---

# 19. Candidate cell pruning theorem

對固定 support quantization vector：

$$
\mathbf b,
$$

考慮所有被同一 upward quantization 映射到：

$$
P(\mathbf b)
$$

的 candidate covers。

每個此類 $U$ 都滿足：

$$
U\subseteq P(\mathbf b).
$$

因此：

## 定理 19.1

若：

$$
P(\mathbf b)
$$

本身已被證明 non-universal，則該 cell 中所有 $U$ 都 non-universal。

亦即：

$$
\boxed{
P(\mathbf b)\text{ non-universal}
\Rightarrow
\text{entire candidate cell pruned}.
}
$$

這提供真正的 candidate-space branch-and-bound prune rule。

---

# 20. 為何 universal polygon 的零 margin 會造成驗證問題

若 polygon $P$ 剛好 universal，則通常：

$$
W(P)=0
$$

可能由 active targets 飽和。

Round 03 的 finite error upper certificate 若沒有 strict negative slack，可能需要無限 refinement 才能直接證：

$$
W(P)\le0.
$$

因此本輪引入一個 certification buffer。

---

# 21. Outer safety inflation

取：

$$
\gamma>0.
$$

定義：

$$
\boxed{
P^\gamma
=
P+\gamma B.
}
$$

其 support function：

$$
h_{P^\gamma}
=
h_P+\gamma.
$$

因此對任意 target：

$$
M_{P^\gamma}(K)
=
M_P(K)-\gamma.
$$

所以：

$$
\boxed{
W(P^\gamma)
=
W(P)-\gamma.
}
$$

若 $P$ universal：

$$
W(P)\le0,
$$

則：

$$
\boxed{
W(P^\gamma)\le-\gamma.
}
$$

因此存在 strict certificate slack。

---

# 22. Safety inflation area overhead

因：

$$
P\subseteq B_{R_P},
$$

有：

$$
\operatorname{Per}(P)\le2\pi R_P.
$$

Steiner formula：

$$
\operatorname{Area}(P^\gamma)
=
\operatorname{Area}(P)
+
\gamma\operatorname{Per}(P)
+
\pi\gamma^2.
$$

因此：

$$
\boxed{
\operatorname{Area}(P^\gamma)
\le
\operatorname{Area}(P)
+
2\pi R_P\gamma
+
\pi\gamma^2.
}
$$

合併 outer polygon：

$$
\operatorname{Area}(P^\gamma)
\le
\operatorname{Area}(U)
+
\beta_{M,q}
+
2\pi R_P\gamma
+
\pi\gamma^2.
$$

因此 proof-producing universal certificates 可以用 arbitrarily small：

$$
\gamma.
$$

---

# 23. Practical finite upper hierarchy

Round 03 fixed-cover certificate 對 strict margin：

$$
W(P^\gamma)\le-\gamma
$$

在 sufficiently fine target / placement resolution 下會得到負 upper bound。

因此：

> 對每個 true universal dictionary polygon $P$，其任意 $\gamma>0$ outer inflation 最終都能被 Round 02–03 certificate 以有限資料驗證為 universal。

所以 practical finite upper search 不必等待 exact zero-margin classification。

---

# 24. Practical finite lower hierarchy

若 polygon $P$ non-universal，則：

$$
W(P)>0.
$$

因 Round 01 已證 target family compact，worst-case maximum 會被取到。

Round 02–03 lower certificate 隨 resolution refinement 收斂到：

$$
W(P).
$$

所以：

> 每個 true non-universal dictionary polygon 最終都能以 finite positive witness certificate 被排除。

因每一層 dictionary 是有限的，所以對任何低於：

$$
A^{\mathrm{poly}}_{M,q}
$$

的面積閾值，所有候選 polygon 最終都可被逐一有限排除。

這是 lower-bound exhaustive certification 的理論接口。

---

# 25. Global lower-certificate rule

若對某個：

$$
L
$$

已證明：

> 所有：

$$
P\in\mathscr P_{M,q}
$$

且：

$$
\operatorname{Area}(P)
<
L+\beta_{M,q}
$$

的 polygon 全部 non-universal，

則：

$$
\boxed{
a_{\mathrm{Leb}}
\ge L.
}
$$

### 證明

反設：

$$
a_{\mathrm{Leb}}<L.
$$

則存在 universal：

$$
U
$$

使：

$$
\operatorname{Area}(U)<L.
$$

其 outer dictionary polygon：

$$
P_{M,q}(U)
$$

為 universal，且：

$$
\operatorname{Area}(P_{M,q}(U))
<
L+\beta_{M,q},
$$

與全部此面積範圍 polygon 已證 non-universal 矛盾。

Q.E.D.

---

# 26. Global upper-certificate rule

若任意 polygon：

$$
P\in\mathscr P_{M,q}
$$

或其 safety inflation：

$$
P^\gamma
$$

被 Round 03 證為 universal，則立即得到：

$$
\boxed{
a_{\mathrm{Leb}}
\le
\operatorname{Area}(P^\gamma).
}
$$

因此 lower 與 upper proof 都可以完全落在 finite certificate package 中。

---

# 27. 舊 removable-region 方法的重新定位

2026-07 六路 Q6 曾定義 finite-family support slack：

$$
s(u)
=
\min_i
[
h_U(u)-h_{g_iK_i}(u)
].
$$

若：

$$
s(u)>0,
$$

可在該 finite placed family 下向內切。

當時只能得到：

> 對目前有限測試族，這個 cut 安全。

不能推出：

> 切後仍為 Lebesgue universal cover。

---

# 28. Certificate-safe boundary surgery

Round 04 現在把 Q6 升級成：

## Search stage

用：

- active tension；
- finite placed witnesses；
- support slack；
- low-activity boundary directions；

提出一個 inward cut：

$$
U'
=
U
\cap
\left\{
x:
x\cdot v
\le
h_U(v)-\tau
\right\}.
$$

## Proof stage

不要相信 search heuristic。

直接對：

$$
U'
$$

執行 Round 02 + Round 03 fixed-cover global certificate。

若得到：

$$
\boxed{
W^+(U')\le0,
}
$$

則：

$$
U'
$$

被嚴格證明 universal。

若同時：

$$
\operatorname{Area}(U')
<
\operatorname{Area}(U),
$$

得到真正的新 upper bound candidate。

因此：

$$
\boxed{
\text{tension search}
\to
\text{boundary surgery}
\to
\text{global independent certificate}
}
$$

成為可重播研究循環。

---

# 29. Area–coverage dual tension

本輪將舊直覺正式整理成兩個 quantity。

## Coverage margin

$$
W(U).
$$

Universal condition：

$$
W(U)\le0.
$$

## Area objective

$$
A(U)
=
\operatorname{Area}(U).
$$

候選體 inward perturbation：

$$
U_\tau
\subset U
$$

產生：

$$
\Delta A
=
A(U)-A(U_\tau)>0
$$

與：

$$
\Delta W
=
W(U_\tau)-W(U)\ge0
$$

通常成立。

定義 finite-difference tension ratio：

$$
\boxed{
\rho
=
\frac{
\Delta W
}{
\Delta A
}.
}
$$

search algorithm 可優先選：

$$
\rho
$$

低的 inward surgery。

但：

$$
\rho
$$

只負責 candidate generation。

最終 correctness 始終由：

$$
W^+(U_\tau)\le0
$$

決定。

---

# 30. 三層 finite compiler 現況

Round 01–04 合併後：

## Layer T：target

$$
\text{all diameter-}\le1\text{ targets}
$$

被壓成：

$$
\text{finite legal constant-width dictionary}
+
\varepsilon_{\mathrm{target}}.
$$

## Layer G：placement

$$
O(2)\times\mathbb R^2\times S^1
$$

被壓成：

$$
\text{finite reflection/orientation/support LPs}
+
\varepsilon_{\mathrm{placement}}.
$$

## Layer U：candidate cover

$$
\mathcal C_{\bar A}
$$

被壓成：

$$
\mathscr P_{M,q}
+
\varepsilon_{\mathrm{cover}}
+
\beta_{\mathrm{area}}.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{target infinity}
+
\text{placement infinity}
+
\text{candidate-cover infinity}
}
$$

都已經進入同一個 finite-resolution proof graph。

---

# 31. 這仍然不是 exact finite closure

RCHM 必須區分：

$$
\text{finite-resolution convergence}
$$

與：

$$
\text{finite exact closure}.
$$

本輪只證明：

對任意精度，存在 finite dictionary / finite certificates。

仍沒有證明存在某個固定：

$$
(M,q,N,\delta,\ldots)
$$

使：

$$
a_{\mathrm{Leb}}
$$

在某一有限層就完全等於該層答案。

所以：

$$
\boxed{
\text{finite-resolution global closure: YES}
}
$$

但：

$$
\boxed{
\text{finite exact saturation: OPEN}.
}
$$

---

# 32. 與 Zeng hierarchy 的關係

Zeng 的 2026 hierarchy 已公開宣稱：

$$
a_{\mathrm{Leb}}
=
\lim_{M\to\infty}\Lambda_M
$$

且：

$$
0
\le
a_{\mathrm{Leb}}-\Lambda_M
\le
CM^{-2}.
$$

Round 04 的：

$$
A^{\mathrm{poly}}_{M,q}
$$

route 具有不同方向：

- Zeng：finite Reuleaux / finite-arc variational hierarchy；
- AMRAL Round 04：finite support-normal outer polygon dictionary + full placement verifier。

因此本輪目前只宣稱：

> independent finite representation / cross-check route。

是否有真正 mathematical novelty，必須等完整比較 Zeng 內文與外部審閱後再判定。

---

# 33. Sanity example

使用合法 candidate support：

$$
h_U(\theta)
=
0.515
+
0.01\cos2\theta.
$$

其 curvature density：

$$
h_U+h_U''
=
0.515
-
0.03\cos2\theta
>
0.
$$

而：

$$
h_U(\theta)
\ge0.505>\frac12,
$$

所以：

$$
B_{1/2}(0)\subset U.
$$

其 exact Fourier-area formula：

$$
\operatorname{Area}(U)
=
\frac12
\int_0^{2\pi}
(h_U^2-h_U'^2)\,d\theta.
$$

本輪用：

$$
M=128,
\qquad
q=5\times10^{-4}
$$

建立 outward-quantized polygon。

數值檢查：

1. 所有 boundary sample 均滿足 polygon halfspaces；
2. polygon numerical Hausdorff excess 小於 analytic：

$$
\varepsilon_{M,q};
$$

3. polygon area inflation 小於：

$$
\beta_{M,q}.
$$

`SANITY: PASS`

analytic bound 使用全域安全半徑：

$$
R=2\bar A
$$

所以非常保守；實際 error 遠小於 theorem bound。

---

# 34. COMPUTE-DEFERRED

以下任務現在可以真正交給本地端。

## C04-1：Known upper-cover polygonization

輸入 Gibbs 2018 candidate cover：

- 建 exact / interval support oracle；
- 外逼近成：

$$
\mathscr P_{M,q};
$$

- 用 Round 03 certificate 重驗 universality。

## C04-2：Candidate-cell pruning

枚舉低 support-resolution cell：

- outer polygon；
- fixed-cover nonuniversality certificate；
- prune entire cell。

## C04-3：Certificate-safe inward surgery

對目前最好 universal candidate：

1. 用 support slack 找 cut；
2. 切掉；
3. 面積重算；
4. Round 03 全域驗證；
5. 若通過，記錄新 upper-bound candidate。

## C04-4：Area lower-cell bound

對每個 support quantization cell 建立：

$$
\inf
\operatorname{Area}(U)
$$

的 certified lower bound，用於 branch-and-bound ordering。

全部標記：

`COMPUTE-DEFERRED`

---

# 35. RCHM freedom ledger

Round 03 後：

$$
\mathcal F_3
=
\{
\text{candidate-cover boundary},
\text{resolution limit},
\text{saturation}
\}.
$$

Round 04：

## Candidate-cover boundary

從：

$$
\text{infinite-dimensional convex-body domain}
$$

壓成：

$$
\boxed{
\text{finite outward support-height dictionary}
}
$$

並有：

$$
\varepsilon_{M,q},
\qquad
\beta_{M,q}.
$$

## Resolution limit

仍需：

$$
M\to\infty,
\qquad
q\to0.
$$

所以不是 exact finite layer。

## Saturation

目前最大 obstruction 已明確變成：

$$
\boxed{
\text{能否有限層就識別所有 active branch / exact extremizer？}
}
$$

---

# 36. Round 05 指定題目

## AMRAL-LUC-FC-R05
### Global Candidate-Cell Branch-and-Bound and Saturation Gate

下一輪不再建立新的 representation。

直接開始研究：

1. candidate support cells 的 area lower bounds；
2. outer nonuniversality prune；
3. universal upper candidates；
4. active-cell refinement；
5. 是否存在 finite branch stabilization；
6. Reuleaux hierarchy 與 support-polygon hierarchy 的 cross-map；
7. exact-saturation failure modes。

Round 05 的核心問題：

$$
\boxed{
\text{finite-resolution hierarchy 何時能停止，而不是只會無限細化？}
}
$$

這就是：

$$
\boxed{
\text{Saturation Gate}.
}
$$

---

# 37. Reproducibility checklist

## Universal disk anchor

`PROVED`

## Uniform radius bound

`PROVED`

## Finite outward support compiler

`PROVED`

## Universality monotonicity

`PROVED`

## Explicit Hausdorff error

`PROVED`

## Explicit area inflation

`PROVED`

## Finite candidate dictionary

`PROVED`

## Global finite polygon bracket

`PROVED`

## Cover-margin Hausdorff stability

`PROVED`

## Candidate-cell prune rule

`PROVED`

## Certificate-safe surgery

`PROOF SCHEMA ESTABLISHED`

## Numerical sanity

`PASS`

## New numerical bound

`NONE`

## Exact finite saturation

`OPEN`

---

# 38. 最短交接結論

Round 04 建立：

$$
\boxed{
U
\to
P_{M,q}(U)
\in
\mathscr P_{M,q}
}
$$

其中：

$$
U\subseteq P_{M,q}(U),
$$

$$
d_H(U,P_{M,q}(U))
\le
\varepsilon_{M,q},
$$

以及：

$$
\operatorname{Area}(P_{M,q}(U))
-
\operatorname{Area}(U)
\le
\beta_{M,q}.
$$

因此：

$$
\boxed{
A^{\mathrm{poly}}_{M,q}
-
\beta_{M,q}
\le
a_{\mathrm{Leb}}
\le
A^{\mathrm{poly}}_{M,q}.
}
$$

Round 01–04 至此已完成：

$$
\boxed{
\text{target}
\to
\text{placement}
\to
\text{candidate cover}
}
$$

三層的 finite-resolution compiler。

下一階段不再問：

> 如何有限化？

而改問：

$$
\boxed{
\text{如何證明有限 branch 已 saturated？}
}
$$

---

# 參考文獻

1. J. C. Baez, K. Bagdasaryan, P. Gibbs, *The Lebesgue Universal Covering Problem*, arXiv:1502.01251.
2. P. Gibbs, *An Upper Bound for Lebesgue's Covering Problem*, arXiv:1810.10089, 2018.
3. U. Mishra, *Curves of constant width and Lebesgue's covering problem*, arXiv:2608.30538, 2026.
4. S. Zeng, *An exact hierarchy for Lebesgue's universal covering constant and a certified 0.834 lower bound*, arXiv:2609.01284, 2026.
5. R. Schneider, *Convex Bodies: The Brunn–Minkowski Theory*.
6. Neo.K + Aletheia, *AMRAL × Lebesgue Universal Covering — Round 00–03*, 2026-09-18.

---

# 39. 宣告

本輪沒有宣稱解決 Lebesgue universal covering problem。

本輪沒有改進目前公開上下界。

本輪完成的是：

$$
\boxed{
\text{candidate-cover infinite domain}
\to
\text{finite outward polygon dictionary}
+
\text{explicit geometric error}
+
\text{explicit area error}.
}
$$

與 Round 01–03 結合後，AMRAL 現在已有一套 global finite-resolution proof architecture。

是否能從 convergence hierarchy 進一步壓成 finite exact closure，留給 Round 05 之後的 saturation program。