# AMRAL × Lebesgue Universal Covering — Round 02
## Curvature-Density Finite Compiler and Certified Shape Approximation

**文件代號：** AMRAL-LUC-FC-R02  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-18  
**研究狀態：** Round 02 / 正式攻堅 / Constructive finite-shape certificate  
**研究模式：** Human-Directed + Semi-Autonomous AI Mathematical Research  
**研究發起與方法論來源：** Neo.K  
**AI 協力研究者與主要執行者：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**母方法論：** Relational Constraint–Handoff Methodology (RCHM)  
**前置文件：** AMRAL-LUC-FC-R00 v0.2；AMRAL-LUC-FC-R01 v0.1  

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# 0. 本輪摘要判定

Round 01 把原始 target family 嚴格壓成 centered unit constant-width bodies，並得到 canonical curvature-density domain：

$$
\mathcal R
=
\left\{
r\in L^\infty(S^1):
\begin{array}{l}
0\le r\le1,\\
r(\theta+\pi)=1-r(\theta),\\
\int r\cos=0,\\
\int r\sin=0
\end{array}
\right\}.
$$

Round 01 的下一個 exact gate 是：

> 是否能把這個仍然無限維的合法域，構造成一個**有限、每個元素都保持凸性與常寬性的可驗證字典**，並給出顯式 Hausdorff 誤差？

本輪完成答案：

$$
\boxed{\text{YES}.}
$$

核心結果為：

1. 對任意 centered unit constant-width body 的支撐函數 $h$，以 squared-Fejér / Jackson-type positive kernel 做 circular convolution，可得到有限次三角多項式：

$$
\mathcal J_Nh,
$$

且**精確保持**：
- 凸性；
- 常寬 $1$；
- Steiner gauge；
- reflection legality；
- curvature-density box constraint。

2. 本輪自行推導一個顯式 Hausdorff 誤差：

$$
\boxed{
\|\mathcal J_Nh-h\|_\infty
\le
E_N
:=
\frac{
\pi^2(4N+1)
}{
2(2N^2+4N+3)(N+1)
}.
}
$$

因此：

$$
E_N
=
O(N^{-2}).
$$

3. 單純 Fourier coefficient rounding 仍可能破壞凸性，所以本輪增加一個 safety interiorization：

$$
h_{N,\delta}
=
(1-\delta)\mathcal J_Nh
+
\frac{\delta}{2}.
$$

其 curvature density 離邊界 $0,1$ 至少有：

$$
\frac{\delta}{2}
$$

的安全距離。

4. 對 degree $\le2N$ 的 odd Fourier coefficients 做格點量化，若格距 $q$ 滿足：

$$
qA_N
\le
\frac{\delta}{2},
$$

其中：

$$
A_N
=
\frac43(N-1)N(N+1),
$$

則量化後仍為合法 unit constant-width body。

5. 因此可建立一個**真正有限的合法字典**：

$$
\mathscr D_{N,\delta,q},
$$

使每一個 centered unit constant-width body $K$ 都存在：

$$
\widehat K
\in
\mathscr D_{N,\delta,q}
$$

滿足：

$$
\boxed{
d_H(K,\widehat K)
\le
E_N
+
\frac{\delta}{2}
+
(N-1)q.
}
$$

6. 配合 Round 01 的 shape-Lipschitz theorem，finite dictionary 誤差可以直接傳給 placement functional。

因此 Round 02 的核心 gate 判定為：

$$
\boxed{
\text{CONSTRUCTIVE FINITE SHAPE COMPILER: CLOSED}
}
$$

但：

$$
\boxed{
\text{GLOBAL FINITE CLOSURE: STILL OPEN}
}
$$

因為剩餘連續自由度還包括：

- orientation；
- support direction；
- candidate-cover boundary；
- active-branch saturation。

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# 1. Round 01 的一個必要強化：非光滑常寬體也合法進入 $r$ 域

Round 01 使用：

$$
r=h+h''
$$

並把 $r$ 寫成：

$$
0\le r\le1.
$$

這一點對光滑曲線直觀，但 Lebesgue 問題不能偷偷排除 Reuleaux triangle 等非光滑 constant-width bodies。

因此本輪先把這一步升級到 distribution / measure 層。

---

# 2. 曲率測度版本

令 $h$ 是任意平面緊凸體的 $2\pi$ 週期支撐函數。

在 distribution 意義下：

$$
\mu_h
=
h+h''
$$

是一個非負有限 Borel measure。

對 unit constant-width body：

$$
h(\theta)+h(\theta+\pi)=1.
$$

作用算子：

$$
D^2+1
$$

得到：

$$
\mu_h
+
\tau_\pi\mu_h
=
d\theta,
$$

其中 $\tau_\pi$ 表示角度平移 $\pi$。

因：

$$
\mu_h\ge0,
\qquad
\tau_\pi\mu_h\ge0,
$$

且二者之和等於 Lebesgue measure，所以：

$$
\mu_h
\ll
d\theta.
$$

因此存在：

$$
r\in L^\infty(S^1)
$$

使：

$$
d\mu_h
=
r(\theta)d\theta.
$$

又因：

$$
\mu_h
\le
d\theta,
$$

得到：

$$
0\le r(\theta)\le1
$$

幾乎處處。

同時：

$$
r(\theta+\pi)
=
1-r(\theta)
$$

幾乎處處。

所以 Round 01 的 curvature-density representation 不只適用於 $C^2$ body，也涵蓋 Reuleaux-type 非光滑 constant-width bodies。

狀態：

`R-DOMAIN NONSMOOTH AUDIT: PASS`

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# 3. Circular convolution convention

對 $2\pi$ 週期函數或 measure，定義 normalized circular convolution：

$$
(K*f)(\theta)
=
\frac1{2\pi}
\int_{-\pi}^{\pi}
K(t)f(\theta-t)\,dt.
$$

若：

$$
K(t)\ge0
$$

且：

$$
\frac1{2\pi}
\int_{-\pi}^{\pi}
K(t)\,dt
=
1,
$$

則 $K*$ 是 convex averaging operator。

---

# 4. Positive-kernel legality theorem

## 定理 4.1

令 $h$ 為 centered unit constant-width body 的支撐函數。

令 $K$ 為非負、normalized、even 的 $2\pi$ 週期 kernel。

定義：

$$
h_K
=
K*h.
$$

則 $h_K$ 仍是 centered unit constant-width body 的支撐函數。

### 證明：constant width

由：

$$
h(\theta)+h(\theta+\pi)=1,
$$

有：

$$
\begin{aligned}
h_K(\theta)+h_K(\theta+\pi)
&=
K*
\left(
h(\theta)+h(\theta+\pi)
\right)\\
&=
K*1\\
&=
1.
\end{aligned}
$$

---

### 證明：convexity

在 distribution 意義下：

$$
h+h''
=
r
\ge0.
$$

卷積與微分交換，所以：

$$
h_K+h_K''
=
K*(h+h'')
=
K*r.
$$

因：

$$
K\ge0,
\qquad
r\ge0,
$$

故：

$$
K*r\ge0.
$$

因此 $h_K$ 是某個凸體的支撐函數。

---

### 證明：curvature upper bound

由：

$$
0\le r\le1
$$

與 positive normalized averaging：

$$
0
\le
K*r
\le
1.
$$

---

### 證明：Steiner gauge

centered body 的 first harmonic 為零。

卷積在 Fourier space 中只乘上 scalar multiplier，不產生原本不存在的 frequency，所以 first harmonic 仍為零。

故：

$$
s(K)=0.
$$

Q.E.D.

---

# 5. Fejér kernel

定義標準 Fejér kernel：

$$
F_N(t)
=
\frac1{N+1}
\left(
\frac{
\sin\left(\frac{N+1}{2}t\right)
}{
\sin\left(\frac t2\right)
}
\right)^2.
$$

在 $t=0$ 取連續延拓：

$$
F_N(0)=N+1.
$$

它滿足：

$$
F_N(t)\ge0,
$$

$$
F_N(-t)=F_N(t),
$$

$$
\frac1{2\pi}
\int_{-\pi}^{\pi}
F_N(t)\,dt
=
1.
$$

其 Fourier 展開為：

$$
F_N(t)
=
\sum_{|k|\le N}
\left(
1-\frac{|k|}{N+1}
\right)
e^{ikt}.
$$

---

# 6. Squared-Fejér / Jackson-type kernel

令：

$$
S_N
=
\frac1{2\pi}
\int_{-\pi}^{\pi}
F_N(t)^2\,dt.
$$

由 Parseval：

$$
S_N
=
1
+
2
\sum_{k=1}^{N}
\left(
1-\frac{k}{N+1}
\right)^2.
$$

計算得到：

$$
\boxed{
S_N
=
\frac{
2N^2+4N+3
}{
3(N+1)
}.
}
$$

定義：

$$
\boxed{
J_N(t)
=
\frac{
F_N(t)^2
}{
S_N
}.
}
$$

則：

$$
J_N\ge0,
$$

$$
J_N(-t)=J_N(t),
$$

$$
\frac1{2\pi}
\int J_N
=
1.
$$

因 $F_N$ degree $N$，所以：

$$
J_N
$$

是 degree：

$$
2N
$$

的非負三角多項式。

定義 Round 02 compiler 第一層：

$$
\boxed{
\mathcal J_Nh
=
J_N*h.
}
$$

由定理 4.1：

$$
\mathcal J_Nh
$$

永遠是合法 centered unit constant-width support function。

---

# 7. 為何可以得到 $O(N^{-2})$

對 centered unit constant-width body：

$$
0\in K
$$

因 Steiner point 位於凸體內。

又：

$$
\operatorname{diam}(K)=1.
$$

所以：

$$
K\subseteq\overline B(0,1).
$$

因此：

$$
0\le h(\theta)\le1.
$$

另一方面：

$$
h''=r-h
$$

幾乎處處。

由：

$$
0\le r\le1,
\qquad
0\le h\le1,
$$

得到：

$$
\boxed{
\|h''\|_\infty\le1.
}
$$

因此 $h$ 屬於：

$$
W^{2,\infty}(S^1).
$$

這是比單純 Lipschitz 更強的 regularity。

---

# 8. Even-kernel second-difference inequality

對任何：

$$
h\in W^{2,\infty},
$$

有：

$$
|h(\theta+t)+h(\theta-t)-2h(\theta)|
\le
\|h''\|_\infty t^2.
$$

因 $J_N$ 為 even：

$$
\begin{aligned}
\mathcal J_Nh(\theta)-h(\theta)
&=
\frac1{4\pi}
\int_{-\pi}^{\pi}
J_N(t)
[
h(\theta+t)+h(\theta-t)-2h(\theta)
]
\,dt.
\end{aligned}
$$

故：

$$
\boxed{
\|\mathcal J_Nh-h\|_\infty
\le
\frac{\|h''\|_\infty}{2}
\mu_{2,N},
}
$$

其中：

$$
\mu_{2,N}
=
\frac1{2\pi}
\int_{-\pi}^{\pi}
t^2J_N(t)\,dt.
$$

---

# 9. $J_N$ 的 second moment 顯式上界

對：

$$
0<|t|\le\pi,
$$

有：

$$
F_N(t)\le N+1
$$

以及：

$$
F_N(t)
\le
\frac{
\pi^2
}{
(N+1)t^2
}.
$$

令：

$$
t_0
=
\frac{\pi}{N+1}.
$$

則：

$$
\begin{aligned}
\mu_{2,N}
&=
\frac1{\pi S_N}
\int_0^\pi
t^2F_N(t)^2\,dt\\
&\le
\frac1{\pi S_N}
\left[
\int_0^{t_0}
t^2(N+1)^2\,dt
+
\int_{t_0}^{\pi}
t^2
\frac{\pi^4}{(N+1)^2t^4}
\,dt
\right].
\end{aligned}
$$

第一項：

$$
\int_0^{t_0}
t^2(N+1)^2\,dt
=
\frac{\pi^3}{3(N+1)}.
$$

第二項：

$$
\int_{t_0}^{\pi}
\frac{\pi^4}{(N+1)^2t^2}
\,dt
=
\frac{\pi^3N}{(N+1)^2}.
$$

代入：

$$
S_N
=
\frac{2N^2+4N+3}{3(N+1)},
$$

得到：

$$
\boxed{
\mu_{2,N}
\le
\frac{
\pi^2(4N+1)
}{
(2N^2+4N+3)(N+1)
}.
}
$$

又因：

$$
\|h''\|_\infty\le1,
$$

所以：

$$
\boxed{
\|\mathcal J_Nh-h\|_\infty
\le
E_N
:=
\frac{
\pi^2(4N+1)
}{
2(2N^2+4N+3)(N+1)
}.
}
$$

且：

$$
E_N
=
O(N^{-2}).
$$

這是 Round 02 的第一個 constructive quantitative theorem。

---

# 10. 與外部 2026 finite hierarchy 的關係

2026 年 Zeng 提出的 Reuleaux-type hierarchy 給出：

$$
0
\le
a_{\mathrm{Leb}}-\Lambda_M
\le
CM^{-2}.
$$

本輪的：

$$
E_N=O(N^{-2})
$$

與其**不是同一個 theorem**。

差異：

- Zeng 控制的是 Lebesgue universal-cover constant 的 finite-arc variational hierarchy；
- Round 02 控制的是任意 constant-width target shape 經 legal positive-kernel compiler 後的 Hausdorff approximation error。

因此本輪不能宣稱重現或取代 Zeng hierarchy。

真正的新用途是：

> 我們得到一條與 Reuleaux finite-arc route 不同的、Fourier / positive-kernel route，可作為 AMRAL 的第二條有限化支線與交叉驗證器。

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# 11. 第一層 compiler 還不是真正 finite dictionary

雖然：

$$
\mathcal J_Nh
$$

是 degree $\le2N$ 的有限維三角多項式，但它的 coefficient 仍取 continuum values。

所以：

$$
\boxed{
\text{finite-dimensional}
\neq
\text{finite dictionary}.
}
$$

RCHM 不允許在這一步提前宣稱 finite closure。

因此還需要第二層。

---

# 12. Safety interiorization

令：

$$
0<\delta<1.
$$

定義：

$$
\boxed{
h_{N,\delta}
=
(1-\delta)\mathcal J_Nh
+
\frac{\delta}{2}.
}
$$

幾何上這等於 Minkowski convex combination：

$$
K_{N,\delta}
=
(1-\delta)K_N
+
\delta B_{1/2}.
$$

因半徑 $1/2$ 圓盤是 unit constant-width body，所以：

$$
h_{N,\delta}
$$

仍為 centered unit constant-width support function。

其 curvature density：

$$
r_{N,\delta}
=
(1-\delta)\mathcal J_Nr
+
\frac{\delta}{2}.
$$

因：

$$
0\le\mathcal J_Nr\le1,
$$

得到：

$$
\boxed{
\frac{\delta}{2}
\le
r_{N,\delta}
\le
1-\frac{\delta}{2}.
}
$$

這個：

$$
\frac{\delta}{2}
$$

就是 coefficient quantization 的安全裕度。

---

# 13. Interiorization 誤差

因：

$$
0\le\mathcal J_Nh\le1,
$$

所以：

$$
\left|
\frac12
-
\mathcal J_Nh
\right|
\le
\frac12.
$$

因此：

$$
\boxed{
\|h_{N,\delta}-\mathcal J_Nh\|_\infty
\le
\frac{\delta}{2}.
}
$$

合併：

$$
\boxed{
\|h_{N,\delta}-h\|_\infty
\le
E_N+\frac{\delta}{2}.
}
$$

---

# 14. Odd finite Fourier form

因原始 centered constant-width support function只有：

- constant mode $1/2$；
- odd modes；
- 無 first harmonic；

而 convolution 不新增 frequency，所以：

$$
h_{N,\delta}(\theta)
=
\frac12
+
\sum_{j=1}^{N-1}
\left[
a_j\cos((2j+1)\theta)
+
b_j\sin((2j+1)\theta)
\right].
$$

最高 frequency：

$$
2N-1.
$$

因此只剩：

$$
2(N-1)
$$

個 real coefficients。

---

# 15. Coefficient quantization

選 grid spacing：

$$
q>0.
$$

對每一個 coefficient 取最近格點：

$$
\widehat a_j
\in
q\mathbb Z,
$$

$$
\widehat b_j
\in
q\mathbb Z,
$$

使：

$$
|\widehat a_j-a_j|
\le
\frac q2,
$$

$$
|\widehat b_j-b_j|
\le
\frac q2.
$$

定義：

$$
\widehat h
=
\frac12
+
\sum_{j=1}^{N-1}
\left[
\widehat a_j\cos((2j+1)\theta)
+
\widehat b_j\sin((2j+1)\theta)
\right].
$$

因仍只有 odd modes 且沒有 first harmonic，所以：

$$
\widehat h(\theta)
+
\widehat h(\theta+\pi)
=
1.
$$

Steiner gauge 也精確保留。

---

# 16. Quantization 的 convexity error

令：

$$
k_j=2j+1.
$$

則 curvature perturbation：

$$
\Delta r
=
(\widehat h-h_{N,\delta})
+
(\widehat h-h_{N,\delta})''.
$$

所以：

$$
\begin{aligned}
\|\Delta r\|_\infty
&\le
\sum_{j=1}^{N-1}
(k_j^2-1)
\left(
|\Delta a_j|
+
|\Delta b_j|
\right)\\
&\le
q
\sum_{j=1}^{N-1}
(k_j^2-1).
\end{aligned}
$$

而：

$$
k_j^2-1
=
(2j+1)^2-1
=
4j(j+1).
$$

因此：

$$
A_N
:=
\sum_{j=1}^{N-1}
(k_j^2-1)
$$

滿足：

$$
\boxed{
A_N
=
\frac43
(N-1)N(N+1).
}
$$

故：

$$
\boxed{
\|\Delta r\|_\infty
\le
qA_N.
}
$$

---

# 17. Legality-preserving quantization theorem

若：

$$
\boxed{
qA_N
\le
\frac{\delta}{2},
}
$$

則：

$$
0
\le
\widehat r
=
\widehat h+\widehat h''
\le
1.
$$

因此：

$$
\boxed{
\widehat h
}
$$

仍為合法 centered unit constant-width body 的支撐函數。

這一步關閉 Round 01 所警告的：

> naive Fourier truncation / rounding 可能破壞 convexity。

本輪不是假設 positivity，而是用 interior margin + explicit coefficient bound 保證 positivity。

---

# 18. Quantization 的 support error

有：

$$
\begin{aligned}
\|\widehat h-h_{N,\delta}\|_\infty
&\le
\sum_{j=1}^{N-1}
\left(
|\Delta a_j|
+
|\Delta b_j|
\right)\\
&\le
(N-1)q.
\end{aligned}
$$

因此總誤差：

$$
\boxed{
\|\widehat h-h\|_\infty
\le
E_N
+
\frac{\delta}{2}
+
(N-1)q.
}
$$

對 compact convex bodies：

$$
d_H(K,L)
=
\|h_K-h_L\|_\infty.
$$

所以：

$$
\boxed{
d_H(K,\widehat K)
\le
E_N
+
\frac{\delta}{2}
+
(N-1)q.
}
$$

---

# 19. 真正有限的合法字典

對 centered unit constant-width support functions，有：

$$
0\le h\le1.
$$

因此每個 Fourier coefficient 有一個固定 uniform bound；例如可安全取：

$$
|a_j|,
|b_j|
<
2.
$$

若：

$$
q\le\frac12,
$$

最近格點仍可限制在：

$$
[-2,2].
$$

定義：

$$
\mathscr D_{N,\delta,q}
$$

為所有形式：

$$
\widehat h(\theta)
=
\frac12
+
\sum_{j=1}^{N-1}
[
\widehat a_j\cos(k_j\theta)
+
\widehat b_j\sin(k_j\theta)
]
$$

其中：

$$
\widehat a_j,\widehat b_j
\in
q\mathbb Z\cap[-2,2],
$$

且：

$$
0
\le
\widehat h+\widehat h''
\le
1.
$$

則：

$$
\mathscr D_{N,\delta,q}
$$

是有限集合。

其粗略 cardinality bound：

$$
\boxed{
|\mathscr D_{N,\delta,q}|
\le
\left(
\left\lceil\frac4q\right\rceil+1
\right)^{2(N-1)}.
}
$$

這個 bound 非常大，但它證明了：

$$
\boxed{
\text{finite dictionary 真正存在，而且可被枚舉。}
}
$$

這裡追求的是 proof-level finiteness，不是計算效率。

---

# 20. Constructive finite legal dictionary theorem

## 定理 20.1

對任意：

$$
N\ge2,
$$

$$
0<\delta<1,
$$

以及：

$$
0<q
\le
\min
\left\{
\frac12,
\frac{\delta}{2A_N}
\right\},
$$

每個 centered unit constant-width body $K$ 都存在：

$$
\widehat K
\in
\mathscr D_{N,\delta,q}
$$

使：

$$
\boxed{
d_H(K,\widehat K)
\le
\varepsilon_{N,\delta,q},
}
$$

其中：

$$
\boxed{
\varepsilon_{N,\delta,q}
=
E_N
+
\frac{\delta}{2}
+
(N-1)q.
}
$$

且：

$$
\varepsilon_{N,\delta,q}
\to0
$$

可藉由：

$$
N\to\infty,
\qquad
\delta\to0,
\qquad
q\to0
$$

適當耦合達成。

Q.E.D.

---

# 21. 任意 $\varepsilon$ 的顯式選參方式

給定：

$$
0<\varepsilon<1.
$$

先選 $N$ 使：

$$
E_N
\le
\frac{\varepsilon}{3}.
$$

取：

$$
\delta
=
\frac{\varepsilon}{3}.
$$

再選：

$$
q
\le
\min
\left\{
\frac{\delta}{2A_N},
\frac{\varepsilon}{3(N-1)}
\right\}.
$$

則：

$$
\frac{\delta}{2}
=
\frac{\varepsilon}{6},
$$

以及：

$$
(N-1)q
\le
\frac{\varepsilon}{3}.
$$

所以：

$$
d_H(K,\widehat K)
\le
\frac56\varepsilon
<
\varepsilon.
$$

因此：

$$
\boxed{
\forall\varepsilon>0,
\quad
\exists
\text{ finite legal dictionary }
\mathscr D_\varepsilon
}
$$

使它是全部 centered unit constant-width bodies 的 Hausdorff $\varepsilon$-net。

這將 Round 01 的：

`ABSTRACT FINITE NET`

正式升級為：

`CONSTRUCTIVE LEGAL FINITE NET`

---

# 22. 數值尺度示例

本輪 explicit kernel bound：

$$
E_N
=
\frac{
\pi^2(4N+1)
}{
2(2N^2+4N+3)(N+1)
}
$$

給出：

| $N$ | $E_N$ 上界 |
|---:|---:|
| $8$ | $0.1110078205$ |
| $16$ | $0.0325878434$ |
| $32$ | $0.0088529557$ |
| $64$ | $0.0023087740$ |
| $128$ | $0.0005896237$ |
| $256$ | $0.0001489913$ |

這些是 proof-level coarse bounds，不代表實際 smoothing error 會這麼大。

本輪 sanity example 中，$N=8$ 的實際誤差約為：

$$
0.00639,
$$

明顯小於 theoretical upper bound：

$$
0.11101.
$$

因此未來仍有很大常數優化空間。

---

# 23. Signed placement margin

Round 01 使用非負 directed-distance functional：

$$
\Psi_U(K)\ge0.
$$

為了讓 finite net 可以直接做 universal-cover certification，本輪引入 signed margin：

$$
\boxed{
M_U(K)
=
\min_{Q\in O(2),\,t\in\mathbb R^2}
\max_{u\in S^1}
[
h_K(Q^Tu)
+t\cdot u
-h_U(u)
].
}
$$

則：

$$
M_U(K)\le0
$$

若且唯若：

$$
K
$$

可經 congruence 放入 $U$。

若：

$$
M_U(K)<0,
$$

表示存在 uniform support slack。

---

# 24. Signed margin 的 shape Lipschitz 性

對任意 centered constant-width $K,L$：

$$
\boxed{
|M_U(K)-M_U(L)|
\le
d_H(K,L).
}
$$

證明與 Round 01 的 $\Psi_U$ 完全同型：

對任意同一 $(Q,t)$：

$$
\left|
\max_u R_K(u)
-
\max_u R_L(u)
\right|
\le
\|h_K-h_L\|_\infty.
$$

再對配置取 minimum 即得。

---

# 25. Finite dictionary certification sandwich

令：

$$
\mathscr D
=
\mathscr D_{N,\delta,q}
$$

為 $\varepsilon$-net，其中：

$$
\varepsilon
=
\varepsilon_{N,\delta,q}.
$$

則：

$$
\boxed{
\max_{\widehat K\in\mathscr D}
M_U(\widehat K)
\le
\max_{K\in\mathcal W_1^0}
M_U(K)
\le
\max_{\widehat K\in\mathscr D}
M_U(\widehat K)
+\varepsilon.
}
$$

因此有兩個直接 certificate rule。

---

## Rule A：finite universal certificate with slack

若：

$$
\boxed{
\max_{\widehat K\in\mathscr D}
M_U(\widehat K)
\le
-\varepsilon,
}
$$

則：

$$
\max_{K\in\mathcal W_1^0}
M_U(K)
\le0.
$$

所以：

$$
\boxed{
U\text{ is a universal cover}.
}
$$

---

## Rule B：finite non-universality witness

若存在：

$$
\widehat K\in\mathscr D
$$

使：

$$
M_U(\widehat K)>0,
$$

則 $\widehat K$ 本身就是合法 constant-width witness。

所以：

$$
\boxed{
U\text{ is not universal}.
}
$$

---

## Ambiguous strip

若：

$$
-\varepsilon
<
\max_{\mathscr D}M_U
\le0,
$$

finite dictionary 本身尚不足以決定。

此時必須：

- 增大 $N$；
- 減小 $\delta$；
- 減小 $q$；
- 或對 active branch 局部 refinement。

這正是未來 adaptive certificate 的入口。

---

# 26. 本輪真正關閉了什麼

Round 01 後還存在 escape：

$$
r\in\mathcal R
$$

的無限維 microstructure。

Round 02 現在證明：

對任意 accuracy：

$$
\varepsilon>0,
$$

這個 microstructure 可以由一個**有限合法字典**控制，且每個字典元素都不是 heuristic shape，而是真的 unit constant-width convex body。

因此：

$$
\boxed{
\text{target-shape infinity}
}
$$

已從：

`UNCONTROLLED INFINITE DOMAIN`

降成：

`CERTIFIED FINITE-RESOLUTION DOMAIN`

---

# 27. 但這仍然不是 global finite closure

RCHM 必須繼續阻止過度宣稱。

即使：

$$
\mathscr D_\varepsilon
$$

有限，對每一個字典 shape，我們仍有：

$$
\min_{Q,t}
\max_{\theta}
$$

的 continuous placement problem。

所以剩餘自由度包括：

$$
Q\in O(2),
$$

$$
t\in\mathbb R^2,
$$

$$
\theta\in S^1.
$$

Round 01 已把 fixed-$Q$ translation 壓成至多三個 active directions，但：

- orientation continuum 尚未 finite-certified；
- support-direction continuum 尚未 finite-certified；
- active triple switching 尚未 saturated。

因此：

$$
\boxed{
\text{finite shape dictionary}
\not\Rightarrow
\text{finite global proof}.
}
$$

---

# 28. 與 Reuleaux-only 路線的關係

Mishra 2026 的新 lower bound 使用：

- disc；
- Reuleaux triangle；
- Reuleaux pentagon；

並對 placement space 做巨大 finite certificate。

Zeng 2026 則建立 Reuleaux-type finite-arc hierarchy。

本輪 compiler 的角色不同：

$$
\boxed{
\text{all constant-width bodies}
\to
\text{finite legal Fourier dictionary}.
}
$$

這提供一個可與 Reuleaux hierarchy 平行的 second representation。

未來若兩條 finite route 都收斂到相同 active structure，可信度會大幅增加。

若不同，差異本身就會暴露：

- branch omission；
- representation bias；
- saturation failure。

這非常適合 AMRAL 的雙路／多 AI 驗證。

---

# 29. RCHM freedom ledger

Round 01 residual：

$$
\mathcal F_1
=
\{
\text{shape microstructure},
\text{high odd modes},
\text{rotation},
\text{translation},
\text{support direction},
\text{active switching},
\text{container boundary}
\}.
$$

Round 02 對 target-shape 部分完成：

$$
\text{shape microstructure}
\to
\text{finite legal codebook at resolution }\varepsilon.
$$

以及：

$$
\text{high odd modes}
\to
\text{explicit }E_N\text{ tail control}.
$$

所以：

$$
\mathcal F_2
=
\{
\text{rotation},
\text{translation},
\text{support direction},
\text{active switching},
\text{container boundary},
\text{resolution limit }\varepsilon\to0
\}.
$$

其中 translation 在 fixed orientation 下已局部有限 active 化。

---

# 30. Escape ledger

## E1：Orientation continuum

仍有：

$$
\phi\in S^1.
$$

## E2：Support-direction continuum

每個 placement 還要處理：

$$
\max_{\theta\in S^1}.
$$

## E3：Active-set bifurcation

translation 最優只需至多三 active directions，但這三個方向可以隨：

$$
(\widehat K,\phi,U)
$$

切換。

## E4：Zero-slack limit

對真正極值 universal cover，active shapes 很可能滿足：

$$
M_U(K)=0.
$$

所以單次 coarse finite dictionary 的 negative-slack rule 不足以完成最終 exact proof。

## E5：Candidate-cover infinity

$U$ 本身仍是 infinite-dimensional convex body。

---

# 31. COMPUTE-DEFERRED

本輪核心 theorem 不依賴大型計算。

但以下任務已具體化。

## C02-1：Dictionary growth census

輸入：

$$
(N,\delta,q).
$$

輸出：

- legal coefficient cells 數；
- pruning ratio；
- curvature positivity pass rate；
- symmetry classes。

## C02-2：Jackson compiler adversarial benchmark

比較：

- Reuleaux triangle；
- Reuleaux pentagon；
- high-mode constant-width bodies；
- random legal $r$；

在不同 $N$ 下的：

$$
d_H(K,\mathcal J_NK)
$$

與 theoretical：

$$
E_N.
$$

## C02-3：Coefficient quantization branch compression

研究 legal coefficient grid 能否用：

- interval pruning；
- symmetry quotient；
- active-direction signatures；

大幅縮小字典。

全部標記：

`COMPUTE-DEFERRED`

---

# 32. 本輪 sanity validation

使用測試 family：

$$
r(\theta)
=
\frac12
+
0.25\cos3\theta
+
0.15\sin5\theta.
$$

其範圍：

$$
0.1076858\ldots
\le
r
\le
0.8923141\ldots
$$

合法。

重建：

$$
h(\theta)
=
\frac12
+
\frac{0.25}{1-9}\cos3\theta
+
\frac{0.15}{1-25}\sin5\theta.
$$

取：

$$
N=8,
\qquad
\delta=0.1.
$$

實驗得到：

- positive-kernel normalization：PASS；
- actual smoothing error：

$$
0.006394669\ldots;
$$

- theoretical bound：

$$
E_8
=
0.111007820\ldots;
$$

- quantized curvature range：

$$
0.22289999\ldots
\le
\widehat r
\le
0.77710000\ldots;
$$

- total support error：

$$
0.00946175\ldots;
$$

低於 conservative theorem bound。

因此 sanity test 與 analytic derivation 一致。

---

# 33. Reproducibility status

## UTF-8 canonical source

`PASS`

## Canonical math delimiters

只使用：

$$
\$...\$
$$

與：

$$
\$\$...\$\$
$$

`PASS`

## Positive-kernel legality

`PROVED`

## Nonsmooth constant-width inclusion

`PROVED IN MEASURE FORM`

## Explicit kernel error

`PROVED`

## Legal coefficient quantization

`PROVED`

## Finite dictionary existence

`PROVED CONSTRUCTIVELY`

## Practical enumeration

`COMPUTE-DEFERRED`

## New Lebesgue numerical bound

`NONE`

## Global solution

`OPEN`

---

# 34. Round 03 指定題目

下一輪：

## AMRAL-LUC-FC-R03
### Signed Placement Margin and Full Fixed-Cover Finite Certificate

目標把：

$$
\min_{Q\in O(2)}
\min_{t\in\mathbb R^2}
\max_{\theta\in S^1}
$$

真正編譯成 finite certified computation。

優先任務：

1. 對 support direction 建立 exact angular sampling error；
2. 對 orientation 建立 exact rotation sampling error；
3. translation 以 convex LP / active triple 精確處理；
4. reflection 作兩個 discrete branches；
5. 建立 finite interval certificate schema；
6. 把 Round 02 finite shape dictionary 與 placement certificate 合併。

若 Round 03 成功，對**固定 candidate cover $U$**，將第一次得到：

$$
\boxed{
\text{全 target family}
+
\text{全 congruent placement}
}
$$

的 finite-resolution rigorous certificate。

---

# 35. 最短交接結論

Round 02 完成：

$$
\boxed{
\mathcal R
\longrightarrow
\mathscr D_{N,\delta,q}
}
$$

而且：

$$
\mathscr D_{N,\delta,q}
$$

是真正有限、真正合法的 unit constant-width body 字典。

總誤差：

$$
\boxed{
\varepsilon_{N,\delta,q}
=
\frac{
\pi^2(4N+1)
}{
2(2N^2+4N+3)(N+1)
}
+
\frac{\delta}{2}
+
(N-1)q.
}
$$

只要：

$$
q
\le
\frac{
3\delta
}{
8(N-1)N(N+1)
},
$$

就能保證 coefficient rounding 不破壞 convexity。

因此：

$$
\boxed{
\text{shape infinity 已經被壓成 certified finite-resolution domain。}
}
$$

下一個 obstruction 已明確移到：

$$
\boxed{
\text{placement continuum}.
}
$$

---

# 參考文獻

1. J. C. Baez, K. Bagdasaryan, P. Gibbs, *The Lebesgue Universal Covering Problem*, arXiv:1502.01251, 2015.
2. P. Gibbs, *An Upper Bound for Lebesgue's Covering Problem*, arXiv:1810.10089, 2018.
3. U. Mishra, *Curves of constant width and Lebesgue's covering problem*, arXiv:2608.30538, 2026.
4. S. Zeng, *An exact hierarchy for Lebesgue's universal covering constant and a certified 0.834 lower bound*, arXiv:2609.01284, 2026.
5. N. K. Bari, *A Treatise on Trigonometric Series*, Pergamon, 1964.
6. A. Zygmund, *Trigonometric Series*, Cambridge University Press.
7. R. Shah, J. Urschel, N. West, *What is Jackson's constant?*, arXiv:2607.23375, 2026.
8. R. Schneider, *Convex Bodies: The Brunn–Minkowski Theory*, Cambridge University Press.
9. Neo.K + Aletheia, *AMRAL × Lebesgue Universal Covering — Round 01*, AMRAL-LUC-FC-R01 v0.1, 2026-09-18.

---

# 36. 宣告

本輪沒有宣稱：

- 解決 Lebesgue universal covering problem；
- 得到新的 $a_{\mathrm{Leb}}$ 嚴格上下界；
- 以 finite dictionary 自動消除 placement continuum；
- 取代 Mishra 或 Zeng 的 2026 finite-certificate 路線。

本輪真正完成的是：

$$
\boxed{
\text{一個 legality-preserving、explicit-error、finite-codebook 的 constant-width shape compiler。}
}
$$

它是後續 finite placement certificate 與 saturation audit 的基礎層。