# BCODR-LUC-03 — True Common-Point Overlap and Provenance Resolution
## Root-6217 雙向圓核場的真正相交時間、Container-Separation Gap 與 root 127 的低維 Overlap Germ
### Correcting Coarse Box Contact into Same-Point Field Intersection

**文件代號：** `BCODR-LUC-03-v0.1`  
**版本：** v0.1  
**日期：** 2026-09-21  
**作者：** Neo.K  
**AI 協力：** Aletheia / ChatGPT, GPT-5.6 Sol  
**機構：** EveMissLab／一言諾科技有限公司  
**Target：** `ROOT6217_BARRIER_SHAPE`  
**前置：** BCODR-LUC-01/02；LESR Paper 09B  
**狀態：** `TRUE OVERLAP CORRECTION / PROVENANCE RESOLUTION`

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# 0. Recenter

BCODR-LUC-01 用：

$$
T_+(B)=d(B,\mathcal S_+),
$$

$$
T_-(B)=d(B,\mathcal S_-)
$$

定義 coarse container arrival，並令：

$$
T_{\rm box}(B)
=
\max\{T_+(B),T_-(B)\}.
$$

BCODR-LUC-02 已證明：

$$
\boxed{
\text{兩個 fields 各自碰到同一 coarse box}
\not\Rightarrow
\text{兩個 fields 在 box 裡同一點相交}.
}
$$

因此本篇正式定義真正的雙向 overlap。

---

# 1. True Common-Point Overlap

對：

$$
z\in B,
$$

令：

$$
d_+(z)=d(z,\mathcal S_+),
$$

$$
d_-(z)=d(z,\mathcal S_-).
$$

真正 overlap time：

$$
\boxed{
T_\cap^{\rm true}(B)
=
\inf_{z\in B}
\max\{d_+(z),d_-(z)\}.
}
$$

這才表示：

> 在同一個 point $z$ 上，兩個 kernel fields 第一次同時覆蓋。

---

# 2. Container Contact Theorem

有：

$$
\boxed{
T_\cap^{\rm true}(B)
\ge
T_{\rm box}(B).
}
$$

因為對任意 $z\in B$：

$$
d_+(z)\ge d(B,\mathcal S_+),
$$

$$
d_-(z)\ge d(B,\mathcal S_-).
$$

所以：

$$
\max(d_+,d_-)
\ge
T_{\rm box}.
$$

取 infimum 即得。

---

# 3. Container-Separation Gap

定義：

$$
\boxed{
G_{\rm sep}(B)
=
T_\cap^{\rm true}(B)-T_{\rm box}(B).
}
$$

理論上：

$$
G_{\rm sep}\ge0.
$$

本輪獨立 numerical optimizers 在少數 tail cells 有約 $10^{-9}$ 的反向誤差，因此：

$$
\varepsilon_{\rm num}=2\times10^{-9}
$$

以下只視為 numerical equality。

---

# 4. True-Overlap Active Mode

在 minimax point：

$$
z^\star,
$$

不一定：

$$
d_+(z^\star)=d_-(z^\star).
$$

因此加入新的分類。

## Balanced Both Active

$$
\boxed{
d_+(z^\star)
=
d_-(z^\star)
=
T_\cap^{\rm true}.
}
$$

表示兩個 fields 同時構成 overlap bottleneck。

## Outward-Limited

$$
\boxed{
d_+(z^\star)
=
T_\cap^{\rm true}
>
d_-(z^\star).
}
$$

表示 inward field 已經先覆蓋該點，真正瓶頸是 outward field。

## Inward-Limited

反之類推。

---

# 5. Selected Frontier Recalculation

| Parent | $T_{\rm box}$ | $T_\cap^{\rm true}$ | $G_{\rm sep}$ | Mode | True provenance | Provenance margin |
|---:|---:|---:|---:|---|---:|---:|
| 131 | 0.000000000 | 0.047333350 | 0.047333350 | BALANCED_BOTH_ACTIVE | 155 | 0.129443345 |
| 166 | 0.374427483 | 0.374427483 | 0.000000000 | OUTWARD_LIMITED | 155 | 0.013910203 |
| 167 | 0.374240737 | 0.374240737 | 0.000000000 | OUTWARD_LIMITED | 155 | 0.013381480 |
| 164 | 0.354956900 | 0.354956900 | 0.000000000 | OUTWARD_LIMITED | 155 | 0.040327807 |
| 165 | 0.366167082 | 0.366167081 | 0.000000000 | OUTWARD_LIMITED | 155 | 0.024079410 |
| 127 | 0.125000000 | 0.126953668 | 0.001953668 | BALANCED_BOTH_ACTIVE | 155 | 0.042014904 |
| 101 | 0.729883874 | 0.729883873 | 0.000000000 | OUTWARD_LIMITED | 28 | 0.000000000 |
| 104 | 0.743496189 | 0.743496188 | 0.000000000 | OUTWARD_LIMITED | 28 | 0.000000000 |
| 103 | 0.745259994 | 0.745259993 | 0.000000000 | OUTWARD_LIMITED | 28 | 0.000000000 |

---

# 6. Selected Balanced Germs

在 BCODR-LUC-02 的 9 個 selected parents 中，目前真正：

```text
BALANCED_BOTH_ACTIVE
```

只有：

$$
\boxed{
127,\ 131.
}
$$

其他 selected tail cells 都是：

```text
OUTWARD_LIMITED
```

也就是 inward certificate field 已經先進入，真正 event time 由 analytic outward field 決定。

---

# 7. 這修正了「7 個 BOTH classes」的語義

BCODR-LUC-02 的 `BOTH` 是：

> 在各自 child synchronization radius 下，兩個 fields 都有碰到 child。

這仍然是有效的 adaptive refinement signal。

但它不等於：

> true minimax point 上兩側都 active。

所以：

$$
\boxed{
\text{arrival BOTH}
\neq
\text{balanced true-overlap germ}.
}
$$

---

# 8. Root 131：False Zero-Radius Nexus

131 原本：

$$
T_{\rm box}=0.
$$

但：

$$
\boxed{
T_\cap^{\rm true}(131)
=
0.0473333498927312.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
G_{\rm sep}(131)
=
0.0473333498927312.
}
$$

而且真正 meeting point 是 analytic-ray 最近點與 prune-155 最近點的 midpoint，殘差：

$$
2.786e-08.
$$

所以 131 是：

$$
\boxed{
\texttt{COARSE\_SEPARATED\_CONTACT}
}
$$

而不是 zero-radius true overlap。

---

# 9. Root 127：Near-True Balanced Germ

127：

$$
T_{\rm box}=0.125.
$$

真正：

$$
\boxed{
T_\cap^{\rm true}(127)
=
0.126953667790942.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
G_{\rm sep}(127)
=
0.00195366779094197.
}
$$

而且在 minimax point：

$$
d_+=d_-=T_\cap^{\rm true}.
$$

所以 127 是真正：

$$
\boxed{
\texttt{BALANCED\_NEAR\_TRUE\_OVERLAP\_GERM}.
}
$$

---

# 10. Root 127 True Provenance

最早 inward provenance 是：

$$
\boxed{
155.
}
$$

第二名 `144` 的 common-point time：

$$
0.168968571407971.
$$

margin：

$$
\boxed{
\Delta T_{\rm prov}
=
0.0420149036170295.
}
$$

所以 BCODR-LUC-02 發現的：

$$
144\rightarrow155
$$

provenance flip 在真正 minimax geometry 中仍成立。

---

# 11. Root 127 Active Geometry

meeting point 落在 root 127 的：

$$
\boxed{
x_3\text{ lower face}.
}
$$

而 $y_3$ 與 $x_5$ 可以同時匹配：

- analytic critical ray；
- prune-155 interior。

所以競爭幾何主要剩：

$$
\boxed{
x_3,\rho_5,y_5.
}
$$

原本 5D minimax 可以解析降維。

---

# 12. Reduced Geometry

令 $p(r)$ 為 normalized Paper-09B critical ray。

root-127 active face：

$$
z_1=r_1=-0.125.
$$

prune-155 relevant upper coordinates：

$$
q_1=-0.25,
$$

$$
q_3=-0.4375,
$$

$$
q_5=0.375.
$$

定義：

$$
a(r)=r_1-p_1(r),
$$

$$
b=r_1-q_1=0.125,
$$

$$
D^2(r)
=
(p_3(r)-q_3)^2
+
(p_5(r)-q_5)^2.
$$

---

# 13. Equal-Distance Reduction

寫：

$$
z_\perp
=
p_\perp
+
\lambda(q_\perp-p_\perp).
$$

balanced optimum 要求：

$$
d_+=d_-.
$$

所以：

$$
a^2+\lambda^2D^2
=
b^2+(1-\lambda)^2D^2.
$$

得到：

$$
\boxed{
\lambda(r)
=
\frac{
b^2-a(r)^2+D(r)^2
}{
2D(r)^2
}.
}
$$

以及：

$$
\boxed{
T_{127,155}(r)^2
=
a(r)^2+\lambda(r)^2D(r)^2.
}
$$

因此 5D common-point minimax 降成：

$$
\boxed{
\min_{0\le r\le0.003}
T_{127,155}(r).
}
$$

---

# 14. Reduced Solution

$$
\boxed{
r^\star
=
0.0025452863775066,
}
$$

$$
\boxed{
\lambda^\star
=
0.760555242947675,
}
$$

$$
\boxed{
T_{127,155}(r^\star)
=
0.126953667790925.
}
$$

和 full 5D SLSQP 的差：

$$
\boxed{
1.707e-14.
}
$$

目前 active-set checks 全部通過。

publication 級 interval audit 待本地端完成。

---

# 15. Low-Dimensional Overlap Germ

127 的 earliest overlap 不是一個已經充滿 root box 的厚 region。

它先在 constrained face 上誕生。

所以更精確地稱：

$$
\boxed{
\text{low-dimensional balanced overlap germ}.
}
$$

kernel radius 繼續增加後，它才會向周圍長成有厚度區域。

---

# 16. Tail Cells 的新解讀

164、165、166、167、101、103、104 等 selected cells 在 true minimax 上主要是：

$$
\boxed{
\texttt{OUTWARD\_LIMITED}.
}
$$

因此它們不是「兩側同時施壓的 balanced frontier」。

它們更像：

> inward exclusion field 已經充分覆蓋，analytic candidate field 還在追上。

對這些 cells，有限 $A_{\rm ref}$ certificate 仍比局部 $\Phi_2$ 更自然。

---

# 17. Provenance Degeneracy

若：

$$
\Delta T_{\rm prov}
=
T_{\rm second}-T_{\rm first}
$$

接近 numerical tolerance，

則標：

```text
PROVENANCE_DEGENERATE
```

101、103、104 就接近這一類。

root 127 的 margin約：

$$
0.0420149036170295,
$$

所以：

```text
PROVENANCE_RESOLVED = 155
```

---

# 18. BCODR Information Vector v2

每個 cell 現在保存：

$$
\boxed{
\mathcal I
=
(
T_{\rm box},
T_\cap^{\rm true},
G_{\rm sep},
M_{\rm active},
\Delta T_{\rm prov},
H_B,
P_{\rm refine}
).
}
$$

其中：

$$
M_{\rm active}
$$

是：

- BALANCED；
- OUTWARD-LIMITED；
- INWARD-LIMITED。

---

# 19. Cut Scheduler 修正

未來優先切：

1. $G_{\rm sep}$ 大的 coarse containers；
2. BALANCED true-overlap germs；
3. provenance-degenerate regions；
4. high adaptive persistence regions。

而不是只看：

$$
H_B.
$$

---

# 20. Calculus Responsibility

現在 selected frontier 中，真正值得優先交給局部 calculus 的是：

$$
\boxed{
127
}
$$

因為它同時：

- true balanced；
- gap 小；
- provenance resolve 到 155；
- 5D minimax 已可一維化；
- 仍連接 Paper-09B critical ray。

131 雖 balanced，但：

$$
G_{\rm sep}
$$

很大，應先做 coarse separation geometry，不急著上 $\Phi_2$。

---

# 21. BCODR-LUC-04

下一輪建議：

$$
\boxed{
\textbf{True Overlap Germ Tangent Decomposition}
}
$$

只研究 root 127。

任務：

1. 對 $z^\star$ 做 active-set linearization；
2. 找 true overlap germ 的 tangent cone；
3. 計算 $t=t^\star+\varepsilon$ 時各方向的生長速率；
4. 判定 germ 的 local dimension；
5. 將 surviving tangent directions交回 LESR $\Phi_2$。

---

# 22. Canonical Terminology Correction

自本篇起：

## `T_box`

正式稱：

```text
CONTAINER_CONTACT_TIME
```

## `T_true`

正式稱：

```text
TRUE_COMMON_POINT_OVERLAP_TIME
```

## `BOTH`

只表示 arrival-membership signature。

## `BALANCED_BOTH_ACTIVE`

才表示 true minimax point 上兩側同時 active。

---

# 23. 結論

BCODR-LUC-03 將「重疊」從 coarse box bookkeeping 升成真正 metric geometry。

核心 theorem：

$$
\boxed{
T_\cap^{\rm true}\ge T_{\rm box}.
}
$$

核心修正：

$$
\boxed{
\text{arrival BOTH}
\neq
\text{balanced true overlap}.
}
$$

selected frontier 中：

$$
\boxed{
127,\ 131
}
$$

才是真正 balanced common-point germs。

其中 127：

$$
T_{\rm box}=0.125,
$$

$$
T_\cap^{\rm true}
\approx
0.1269536678,
$$

且 true inward provenance 是：

$$
\boxed{
155.
}
$$

更重要的是，它的 5D minimax 已經降成一維 scalar problem。

所以新的主線不再是「繼續把很多 box 切碎」。

而是：

$$
\boxed{
\text{找到真正 overlap germ}
\rightarrow
\text{解析降維}
\rightarrow
\text{抽 tangent spine}
\rightarrow
\text{最後才用微積分}.
}
$$

---

# Canonical Source Declaration

本檔為 `BCODR-LUC-03-v0.1` 的 UTF-8 Markdown canonical source。

數學 delimiter 僅使用 `$...$` 與 `$$...$$`。

本篇永久區分：

- container contact；
- true common-point overlap；
- balanced vs one-sided active overlap；
- provenance margin；
- adaptive refinement persistence。

===END===