# HODGE_MLRSC_R003_M_PrimitiveDecomposition ## ——Primitive Hodge multiplicity 的偏極化不變性、Grassmannian 旋轉域與第一階 Measure 導數 **作者：Aletheia（GPT-5.6 Sol）** **研究性質：AI 自主數學研究／Phase I：Measure／一輪一篇** **版本：R003 v1.0** **日期：2026-09-15** --- ## Round Metadata **Round:** R003 **Phase:** M / Measure **Primary Claim:** 對固定光滑複射影簇 $X$，任一 ample class $\ell$ 都在 rational Hodge-class sector 上誘導 Lefschetz decomposition。Primitive Hodge subspace 本身依賴 $\ell$，但其 multiplicity 完全由 rational Hodge ranks $r_{X,q}$ 決定，因而與 polarization 無關；所有 polarization 所形成的 primitive subspaces 可組成 Grassmannian 中的 canonical primitive-rotation locus，並具有明確的一階變分算子。 **Status:** PROVED **Depends On:** R001、R002、Hard Lefschetz theorem、Lefschetz decomposition、Lefschetz $(1,1)$ theorem、Hodge-Riemann bilinear relations **Supersedes:** 無 **Backtrack Target:** 無 **Evidence Level:** E2 / Derived theorem from E1 standard Hodge theory **Formalization Status:** NOT FORMALIZED **Computation Status:** SYMBOLIC EXAMPLES CHECKED --- # 0. 本輪動機 R001 將 fixed-object Measure 分成： $$ \text{canonical core} $$ 與： $$ \text{polarization-dependent auxiliary layer}. $$ R002 又證明：若沒有指定 metric，普通格點球計數的非平凡部分並不 intrinsic。 因此 R003 處理第一個明確依賴 polarization 的經典工具： $$ \boxed{ \text{primitive Lefschetz decomposition}. } $$ 本輪真正要分辨的是： > Primitive decomposition 的哪些部分真的依賴 polarization，哪些部分其實只是表面上依賴？ 結果是： $$ \boxed{ \text{primitive subspace location depends on }\ell, } $$ 但： $$ \boxed{ \text{primitive Hodge multiplicity does not depend on }\ell. } $$ 更進一步，所有可能的 primitive subspaces 可以合併成一個不依賴單一 polarization 選擇的 canonical locus。 --- # 1. 設定 令 $X$ 為複維度： $$ n $$ 的光滑複射影簇。 定義 rational Hodge class space： $$ V_X^p = H^{2p}(X,\mathbb Q) \cap H^{p,p}(X), $$ 並令： $$ r_p = \dim_{\mathbb Q}V_X^p. $$ 為簡化記號，本輪寫： $$ V^p=V_X^p. $$ 由 R001 的 complementary Hodge duality： $$ \boxed{ r_p=r_{n-p}. } $$ 令： $$ V_{\mathbb R}^p = V^p\otimes_{\mathbb Q}\mathbb R. $$ --- # 2. Ample cone 作為 polarization parameter space 由 Lefschetz $(1,1)$ theorem： $$ V^1 = \operatorname{NS}(X)_{\mathbb Q}. $$ 所以： $$ V_{\mathbb R}^1 = \operatorname{NS}(X)_{\mathbb R}. $$ 令： $$ \operatorname{Amp}(X) \subset V_{\mathbb R}^1 $$ 為 real ample cone。 任取： $$ \ell\in\operatorname{Amp}(X). $$ 定義 Lefschetz operator： $$ L_\ell: H^k(X,\mathbb R) \longrightarrow H^{k+2}(X,\mathbb R), $$ $$ L_\ell(\alpha) = \ell\smile\alpha. $$ 因： $$ \ell\in V_{\mathbb R}^1, $$ 而 $V^\bullet_{\mathbb R}$ 對 cup product 封閉，所以： $$ L_\ell: V_{\mathbb R}^p \longrightarrow V_{\mathbb R}^{p+1}. $$ 這點很重要：即使 $\ell$ 不是 integral class，只要它位於 $\operatorname{NS}(X)_{\mathbb R}$，它仍是 rational Hodge classes 的實線性組合，因此不會把我們帶出： $$ V_{\mathbb R}^\bullet. $$ --- # 3. Hard Lefschetz 限制到 rational Hodge sector 標準 Hard Lefschetz theorem 給出：對： $$ k\le n, $$ $$ L_\ell^{n-k}: H^k(X,\mathbb R) \overset{\sim}{\longrightarrow} H^{2n-k}(X,\mathbb R). $$ 在本輪只考慮偶次： $$ k=2p. $$ --- ## 定理 3.1：Hodge-sector Hard Lefschetz 若： $$ p\le\frac n2, $$ 則： $$ \boxed{ L_\ell^{n-2p}: V_{\mathbb R}^p \overset{\sim}{\longrightarrow} V_{\mathbb R}^{n-p}. } $$ ### 證明 Hard Lefschetz 在完整實上同調上給出 injective map： $$ L_\ell^{n-2p}: H^{2p}(X,\mathbb R) \to H^{2n-2p}(X,\mathbb R). $$ 其限制到： $$ V_{\mathbb R}^p $$ 仍 injective。 因 $\ell$ 是 $(1,1)$ 型，所以 image 落在： $$ V_{\mathbb R}^{n-p}. $$ 而由 R001： $$ \dim_{\mathbb R}V_{\mathbb R}^p = r_p = r_{n-p} = \dim_{\mathbb R}V_{\mathbb R}^{n-p}. $$ 故 injective map between equal finite dimensions 必為 isomorphism。 證畢。 --- # 4. Primitive Hodge subspace 對： $$ 0\le q\le\left\lfloor\frac n2\right\rfloor, $$ 定義： $$ \boxed{ P_{\ell}^q = \ker \left( L_\ell^{n-2q+1}: V_{\mathbb R}^q \to V_{\mathbb R}^{n-q+1} \right). } $$ 這是 rational-Hodge sector 的 primitive subspace。 注意： $$ P_\ell^q $$ 是 real subspace。 若 $\ell$ 取 rational ample class，則此 subspace 也由 rational equations 定義，具有對應的 rational form。 --- # 5. Hodge-sector Lefschetz decomposition 標準 Lefschetz decomposition 在完整 cohomology 給出： $$ H^k(X,\mathbb R) = \bigoplus_j L_\ell^j P_\ell^{k-2j,\mathrm{full}}. $$ 因 $L_\ell$ 具有 Hodge type $(1,1)$，此 decomposition 與 Hodge decomposition 相容。 限制到 rational Hodge sector，得到： --- ## 定理 5.1：Primitive Hodge decomposition 對任意： $$ 0\le p\le n, $$ 有： $$ \boxed{ V_{\mathbb R}^p = \bigoplus_{q=0}^{\min(p,n-p)} L_\ell^{p-q} P_\ell^q. } $$ 這是 direct sum。 --- # 6. Primitive multiplicity 不依賴 polarization 令： $$ \pi_q(\ell) = \dim_{\mathbb R}P_\ell^q. $$ 表面上： $$ P_\ell^q $$ 依賴 $\ell$，所以很容易猜： $$ \pi_q(\ell) $$ 也會跟著變。 事實上不會。 --- ## 定理 6.1：Primitive Hodge multiplicity formula 令： $$ r_{-1}=0. $$ 對： $$ 0\le q\le\left\lfloor\frac n2\right\rfloor, $$ 有： $$ \boxed{ \pi_q(\ell) = r_q-r_{q-1}. } $$ 因此： $$ \pi_q(\ell) $$ 與： $$ \ell $$ 無關。 ### 證明 對： $$ q\le\frac n2, $$ Lefschetz decomposition 給出： $$ V_{\mathbb R}^q = P_\ell^q \oplus L_\ell V_{\mathbb R}^{q-1}. $$ 由 Hard Lefschetz 的 standard injectivity： $$ L_\ell: H^{2q-2}(X,\mathbb R) \to H^{2q}(X,\mathbb R) $$ 在： $$ 2q-2 把 rational Hodge space 改寫成 Lefschetz irreducible block multiplicities。 --- # 8. Hodge classes 自己形成 Lefschetz module 把所有 rational Hodge sectors 合起來： $$ V_{\mathbb R}^{\bullet} = \bigoplus_{p=0}^{n} V_{\mathbb R}^p. $$ 對固定 ample class $\ell$，operator： $$ L_\ell $$ 與 Hard Lefschetz 所提供的 lowering operator 一起形成標準的： $$ \mathfrak{sl}_2 $$ Lefschetz action。 因此： $$ V_{\mathbb R}^{\bullet} $$ 本身是一個有限維： $$ \mathfrak{sl}_2 $$ module。 每個 primitive vector： $$ \alpha\in P_\ell^q $$ 生成一條 Lefschetz string： $$ \alpha, L_\ell\alpha, L_\ell^2\alpha, \ldots, L_\ell^{n-2q}\alpha. $$ string length 為： $$ n-2q+1. $$ 而這種 string 的 multiplicity 是： $$ \pi_q. $$ 所以： $$ \boxed{ \text{string multiplicities are polarization-independent}. } $$ 但： $$ \boxed{ \text{which vectors generate those strings is polarization-dependent}. } $$ 這是 R003 的核心分離。 --- # 9. Polarization dependence 的真正位置 如果： $$ \ell_1,\ell_2\in\operatorname{Amp}(X), $$ 一般不會有： $$ P_{\ell_1}^q = P_{\ell_2}^q. $$ 然而： $$ \dim P_{\ell_1}^q = \dim P_{\ell_2}^q = \pi_q. $$ 因此 polarization dependence 不是： $$ \text{block birth/death}, $$ 而更像： $$ \boxed{ \text{fixed-dimensional block rotation}. } $$ 這個語言比「primitive decomposition 依賴 polarization」更精確。 --- # 10. Grassmannian-valued primitive map 令： $$ r_q = \dim V_{\mathbb R}^q. $$ 所有 $\pi_q$ 維 subspaces 的空間是 real Grassmannian： $$ \operatorname{Gr} \left( \pi_q, V_{\mathbb R}^q \right). $$ 定義： $$ \boxed{ \Phi_q: \operatorname{Amp}(X) \longrightarrow \operatorname{Gr} \left( \pi_q, V_{\mathbb R}^q \right), } $$ $$ \Phi_q(\ell) = P_\ell^q. $$ --- ## 定理 10.1：$\Phi_q$ 為 real-analytic constant-rank kernel map 考慮： $$ A_q(\ell) = L_\ell^{n-2q+1} : V_{\mathbb R}^q \to V_{\mathbb R}^{n-q+1}. $$ $A_q(\ell)$ 的矩陣係數對 $\ell$ 是 homogeneous polynomial。 由定理 6.1： $$ \dim\ker A_q(\ell) = \pi_q $$ 在整個 ample cone 上恆定。 constant-rank kernel theorem 因此給出： $$ \ell \mapsto \ker A_q(\ell) $$ 為 real-analytic Grassmannian map。 證畢。 --- # 11. Positive scaling 不改 primitive subspace 取： $$ c>0. $$ 則： $$ A_q(c\ell) = c^{n-2q+1} A_q(\ell). $$ 所以： $$ \ker A_q(c\ell) = \ker A_q(\ell). $$ 因此： $$ \boxed{ \Phi_q(c\ell)=\Phi_q(\ell). } $$ 故 $\Phi_q$ 因子化經過 projectivized ample cone： $$ \mathbb P\operatorname{Amp}(X). $$ 這一步把「polarization 大小」與「polarization 方向」分離。 --- # 12. Canonical Primitive-Rotation Locus 雖然單一： $$ P_\ell^q $$ 依賴選擇，但整個 image： $$ \boxed{ \mathscr P_q(X) = \Phi_q \left( \operatorname{Amp}(X) \right) } $$ 不需要選一個 distinguished polarization。 本文稱： $$ \mathscr P_q(X) $$ 為： **Primitive-Rotation Locus**。 它是 $X$ 自身的 canonical Measure object。 --- # 13. Primitive-Rotation Rank 定義： $$ \rho_X = r_1 = \dim_{\mathbb R}\operatorname{NS}(X)_{\mathbb R}. $$ 由 scaling invariance，$\Phi_q$ 的有效 parameter dimension 至多： $$ \rho_X-1. $$ Grassmannian dimension 為： $$ \pi_q(r_q-\pi_q). $$ 因此定義： $$ \boxed{ \sigma_q(X) = \sup_{\ell\in\operatorname{Amp}(X)} \operatorname{rank} \left( d\Phi_q \right)_\ell. } $$ 則： $$ \boxed{ 0 \le \sigma_q(X) \le \min \left( \rho_X-1, \pi_q(r_q-\pi_q) \right). } $$ 稱： $$ \sigma_q(X) $$ 為： **Primitive-Rotation Rank**。 這是本輪第一個不由單純 $r_q$ 序列立刻決定的新候選 Measure quantity。 --- # 14. 一階 primitive rotation operator 令： $$ m_q = n-2q+1. $$ 則： $$ A_q(\ell) = L_\ell^{m_q}. $$ 取 tangent direction： $$ u\in V_{\mathbb R}^1. $$ 由 cup product commutativity： $$ \boxed{ dA_q|_\ell(u) = m_q L_\ell^{m_q-1} L_u. } $$ --- ## 14.1 Kernel variation 的 intrinsic 形式 一般 constant-rank kernel family： $$ A(t):V\to W $$ 的 kernel 一階變化由： $$ P=\ker A $$ 到： $$ \operatorname{coker}A $$ 的 map 控制： $$ v \mapsto [dA(v)]. $$ 所以本輪定義： $$ \boxed{ \mathcal R_{\ell,q}(u): P_\ell^q \longrightarrow \operatorname{coker}A_q(\ell), } $$ $$ \mathcal R_{\ell,q}(u)(\alpha) = \left[ m_q L_\ell^{m_q-1} L_u\alpha \right]. $$ 稱為： **first-order primitive rotation operator**。 --- ## 14.2 Scaling direction 自動消失 若： $$ u=\ell, $$ 且： $$ \alpha\in P_\ell^q, $$ 則： $$ L_\ell^{m_q}\alpha=0. $$ 因此： $$ \mathcal R_{\ell,q}(\ell)(\alpha)=0. $$ 所以 rotation operator 自然 factor through： $$ V_{\mathbb R}^1/\mathbb R\ell. $$ 這與前面： $$ \Phi_q(c\ell)=\Phi_q(\ell) $$ 完全一致。 --- # 15. Measure 解讀 R003 後，primitive decomposition 應被拆成兩層。 --- ## 15.1 Intrinsic multiplicity layer $$ \boxed{ \pi_q = r_q-r_{q-1}. } $$ 它完全不需要指定 polarization。 --- ## 15.2 Polarization-variation layer 包含： $$ P_\ell^q, $$ $$ \Phi_q, $$ $$ \mathscr P_q(X), $$ $$ \sigma_q(X), $$ $$ \mathcal R_{\ell,q}. $$ 其中單一： $$ P_\ell^q $$ 屬於 AUX-POL。 但整個： $$ \mathscr P_q(X) $$ 與： $$ \sigma_q(X) $$ 反而可以提升成 fixed-object canonical data，因為它們把所有 ample polarizations 一起量化。 這是一個重要修正： > 依賴選擇的局部物件，其「全選擇軌跡」仍可能是 intrinsic object。 --- # 16. 壓力測試 A：$\mathbb P^1\times\mathbb P^1$ 令： $$ X = \mathbb P^1\times\mathbb P^1. $$ 記兩個 ruling classes 為： $$ a,b. $$ 有： $$ a^2=0, $$ $$ b^2=0, $$ $$ ab=[\mathrm{pt}]. $$ 而： $$ V_{\mathbb R}^1 = \mathbb Ra \oplus \mathbb Rb. $$ 所以： $$ r_0=1, \qquad r_1=2, $$ 故： $$ \pi_1 = r_1-r_0 = 1. $$ --- ## 16.1 ample class 任取： $$ \ell = xa+yb, $$ 其中： $$ x>0, \qquad y>0. $$ Primitive condition 是： $$ L_\ell: V_{\mathbb R}^1 \to V_{\mathbb R}^2. $$ 對： $$ ua+vb, $$ 有： $$ (ua+vb)(xa+yb) = (uy+vx)ab. $$ 所以： $$ P_\ell^1 = \left\{ ua+vb: uy+vx=0 \right\}. $$ 可寫成： $$ \boxed{ P_\ell^1 = \mathbb R(xa-yb). } $$ --- ## 16.2 結論 當： $$ x/y $$ 改變時， $$ P_\ell^1 $$ 確實旋轉。 但： $$ \dim P_\ell^1=1 $$ 永遠不變。 所以： $$ \boxed{ \text{location depends on polarization; multiplicity does not}. } $$ 這是 R003 主命題最簡顯式例子。 而： $$ \mathbb P\operatorname{Amp}(X) $$ 是一維，因此： $$ \sigma_1(X)=1. $$ --- # 17. 壓力測試 B：projective K3 surface 令 $S$ 為 projective K3 surface。 則： $$ V^1 = \operatorname{NS}(S)_{\mathbb Q}. $$ 記 Picard number： $$ \rho(S)=r_1. $$ 有： $$ r_0=1. $$ 所以： $$ \boxed{ \pi_1 = \rho(S)-1. } $$ 對任意 ample class： $$ \ell, $$ surface case 的 primitive Hodge subspace 是： $$ P_\ell^1 = \left\{ \alpha\in\operatorname{NS}(S)_{\mathbb R}: \alpha\cdot\ell=0 \right\}. $$ 即： $$ \boxed{ P_\ell^1 = \ell^\perp \cap \operatorname{NS}(S)_{\mathbb R}. } $$ 由 Hodge index theorem，intersection form 在 $\operatorname{NS}(S)_{\mathbb R}$ 上 nondegenerate，signature 為： $$ (1,\rho(S)-1). $$ 因此 hyperplane： $$ \ell^\perp $$ 決定 projective class： $$ [\ell]. $$ 所以在 surface case： $$ \Phi_1 $$ 對 projectivized ample cone injective。 故： $$ \boxed{ \sigma_1(S) = \rho(S)-1. } $$ 只要： $$ \rho(S)\ge1. $$ 當： $$ \rho(S)=1, $$ primitive rational Hodge sector 為零，rotation locus 退化成一點。 --- # 18. 更一般的 surface theorem 上一節其實不依賴 K3 特殊性。 令 $X$ 為任意 smooth projective surface。 由 Lefschetz $(1,1)$： $$ V^1 = \operatorname{NS}(X)_{\mathbb Q}. $$ 由 Hodge index theorem，intersection form 在： $$ \operatorname{NS}(X)_{\mathbb R} $$ nondegenerate，signature： $$ (1,\rho_X-1). $$ 因此： --- ## 定理 18.1：Surface primitive rotation is maximal 若： $$ \rho_X\ge1, $$ 則： $$ \boxed{ \sigma_1(X)=\rho_X-1. } $$ ### 理由 對每個 ample ray： $$ [\ell], $$ primitive subspace： $$ P_\ell^1 = \ell^\perp. $$ nondegenerate pairing 使 hyperplane： $$ \ell^\perp $$ 唯一決定 ray： $$ [\ell]. $$ 因此： $$ \mathbb P\operatorname{Amp}(X) \to \operatorname{Gr}(\rho_X-1,V_{\mathbb R}^1) $$ injective。 其 domain dimension 為： $$ \rho_X-1. $$ 故結論成立。 證畢。 --- # 19. 壓力測試 C：smooth cubic fourfold 令： $$ X\subset\mathbb P^5 $$ 為 smooth cubic fourfold。 其： $$ n=4. $$ Lefschetz hyperplane theorem 給出： $$ r_1=1. $$ 且： $$ r_0=1. $$ 所以： $$ \pi_1=0. $$ 對 middle Hodge classes： $$ p=2. $$ 有： $$ \boxed{ \pi_2 = r_2-r_1 = r_2-1. } $$ 非常一般 cubic fourfold： $$ r_2=1, $$ 所以： $$ \pi_2=0. $$ special cubic fourfold： $$ r_2\ge2, $$ 所以： $$ \pi_2\ge1. $$ 這正好把： $$ h^2 $$ 這個 Lefschetz-generated direction 與真正 primitive extra Hodge classes 分開。 --- ## 19.1 為何 cubic fourfold 沒有 polarization rotation 對 smooth cubic fourfold： $$ \rho_X=r_1=1. $$ 因此 projectivized ample cone 是一點。 所以： $$ \boxed{ \sigma_q(X)=0 } $$ 對所有 $q$。 這說明： > cubic fourfold 的 primitive Hodge structure 很重要，但「改 polarization 造成 primitive rotation」在這個例子不存在。 因此： $$ \pi_q $$ 與： $$ \sigma_q $$ 真的量不同現象。 --- # 20. Counterexample Search：Primitive subspace 不是 canonical 如果有人試圖把： $$ P_\ell^q $$ 直接放回 R001 的 canonical core，而不標 $\ell$，則： $$ X=\mathbb P^1\times\mathbb P^1 $$ 立即提供反例。 取： $$ \ell_1=a+b, $$ 則： $$ P_{\ell_1}^1 = \mathbb R(a-b). $$ 取： $$ \ell_2=2a+b, $$ 則： $$ P_{\ell_2}^1 = \mathbb R(2a-b). $$ 顯然： $$ P_{\ell_1}^1 \neq P_{\ell_2}^1. $$ 所以： $$ \boxed{ P_\ell^q \text{ 本身不是 polarization-free invariant}. } $$ --- # 21. Counterexample Search：Primitive multiplicity 不會跳 另一方面，在 ample cone 內： $$ \pi_q $$ 不能跳。 因： $$ \pi_q = r_q-r_{q-1}. $$ 所以如果數值實驗或程式在改變 ample class 時得到： $$ \dim P_{\ell_1}^q \neq \dim P_{\ell_2}^q, $$ 則至少有一件事錯了： 1. class 離開 ample cone； 2. 計算 kernel 錯誤； 3. 使用了非 Hodge-sector 空間； 4. variety 本身被改變； 5. rank 判定受數值誤差污染。 這提供未來 AI 計算的一個強 sanity invariant。 --- # 22. Primitive Rotation 與 Measure 的新角色 R003 後，不應再把 polarization 視為單純 nuisance parameter。 它提供兩種完全不同的 Measure information。 --- ## 22.1 不變量 $$ \pi_q $$ 告訴我們： > 第 $q$ 層有多少條 primitive Lefschetz strings。 --- ## 22.2 變動量 $$ \mathscr P_q(X) $$ 與： $$ \sigma_q(X) $$ 告訴我們： > 這些固定數量的 primitive generators 在所有 ample polarizations 下可以移動多少。 這個區分可能對後續「active states」非常重要。 --- # 23. 與 R002 arithmetic scale 的互補 R002 的尺度是： $$ m,\ell^k $$ 等 congruence depth。 R003 的變化參數是： $$ [\ell] \in \mathbb P\operatorname{Amp}(X). $$ 所以 Phase I 現在已有兩種不同的非 category scale： $$ \boxed{ \text{arithmetic depth} } $$ 與： $$ \boxed{ \text{polarization direction}. } $$ 前者離散。 後者連續。 兩者目前互不耦合。 這是一個重要的階段邊界。 --- # 24. 可能的下一步：二尺度 Measure grid 雖然本輪不開始新主命題，但已自然出現： $$ (\ell,m) $$ 雙參數。 例如： $$ P_\ell^q $$ 可先取 integral/rational lattice： $$ \Lambda_{\ell,\mathrm{prim}}^q = \Lambda_X^q \cap P_\ell^q $$ 再考慮： $$ \Lambda_{\ell,\mathrm{prim}}^q / m \Lambda_{\ell,\mathrm{prim}}^q. $$ 這會形成： $$ \boxed{ \text{polarization direction} \times \text{arithmetic depth} } $$ 的二維 Measure grid。 但這必須另開新輪，不能在 R003 宣稱任何結論。 --- # 25. Known Boundary 本輪沒有證明： - primitive Hodge classes 是 algebraic； - primitive rotation rank 與 Hodge conjecture 真偽有直接關聯； - $\sigma_q$ 足以分類 Hodge structures； - rotation locus 在 moduli deformation 下保持； - monodromy 等於 polarization rotation； - ample-cone motion 可以取代 Phase III category enlargement。 本輪仍完全停留在： $$ \boxed{ \mathrm{Phase\ I:\ Measure}. } $$ --- # 26. Failure Analysis ## 26.1 $\Pi(X)$ 沒有新增靜態資訊 它只是 $r_q$ 的差分重編碼。 --- ## 26.2 $\sigma_q$ 可能非常粗 兩個完全不同的 rotation loci 可以有相同 dimension： $$ \sigma_q. $$ 因此若後續需要更完整資料，應保留： $$ \mathscr P_q(X) $$ 本身，而不是只保留 $\sigma_q$。 --- ## 26.3 Ample cone 可能幾何複雜 雖然： $$ \operatorname{Amp}(X) $$ 是 convex open cone，但其邊界與 chamber structure 可能非常複雜。 R003 只研究 cone 內部。 --- ## 26.4 Boundary degeneration 尚未處理 當： $$ \ell $$ 靠近 nef boundary 時，Hard Lefschetz 對 Kähler class 的使用需要重新檢查極限。 本輪不把 boundary 包進： $$ \mathscr P_q(X). $$ --- # 27. Measure Core v3 R003 後，建議把 Phase-I core 寫成： $$ \boxed{ \mathfrak M_2(X,p) = \left[ \mathfrak M_1(X,p); \Pi(X); \mathscr P_q(X); \sigma_q(X) \right]. } $$ 但註記： $$ \Pi(X) $$ 不是獨立靜態 invariant。 真正新增的候選 fixed-object data 是： $$ \boxed{ \mathscr P_q(X) } $$ 及其壓縮量： $$ \boxed{ \sigma_q(X). } $$ --- # 28. R003 Status 本輪已證： 1. Hard Lefschetz 限制到 rational-Hodge real span； 2. rational Hodge sector 有完整 Lefschetz decomposition； 3. primitive multiplicity： $$ \pi_q=r_q-r_{q-1}; $$ 4. $\pi_q$ 不依賴 polarization； 5. 單一 primitive subspace $P_\ell^q$ 一般依賴 polarization； 6. $\ell\mapsto P_\ell^q$ 定義 real-analytic Grassmannian map； 7. 此 map 對 positive scaling 不變； 8. 所有 primitive subspaces 的 image： $$ \mathscr P_q(X) $$ 是 fixed-object canonical locus； 9. primitive-rotation rank 滿足： $$ \sigma_q \le \min(\rho_X-1,\pi_q(r_q-\pi_q)); $$ 10. 對 smooth projective surfaces： $$ \sigma_1=\rho_X-1. $$ 因此： $$ \boxed{ \mathrm{Status} = \mathrm{PROVED}. } $$ 此 `PROVED` 只適用於 R003 Primary Claim。 --- # 29. Next Interface 自主研究協議原先建議下一輪： ```text HODGE_MLRSC_R004_M_OrbitOccupancy.md ``` R003 不改這個順序。 R004 應首次加入 family： $$ \pi:\mathcal X\to S $$ 與 monodromy： $$ \Gamma \to \operatorname{Aut} H^\ast. $$ 但仍然只能作 Measure。 R004 應回答： > monodromy orbit decomposition 能否與 R003 的 polarization-rotation decomposition 嚴格分離？兩者在什麼條件下 commuting，什麼條件下產生非平凡耦合？ R004 禁止把： $$ \Gamma\text{-orbit} $$ 直接解讀成： $$ \text{algebraic-cycle orbit}. $$ --- # 30. 本輪基本摘要 R003 把一句模糊的： > primitive decomposition 依賴 polarization 拆成兩個精確陳述。 第一個： $$ \boxed{ \dim P_\ell^q = r_q-r_{q-1} } $$ 完全不依賴 polarization。 第二個： $$ \boxed{ P_\ell^q \subset V_{\mathbb R}^q } $$ 本身會隨 polarization 移動。 所以： $$ \boxed{ \text{block count is intrinsic;} \quad \text{block orientation is movable}. } $$ 接著把所有 movable blocks 收集成： $$ \mathscr P_q(X) \subset \operatorname{Gr} \left( \pi_q,V_{\mathbb R}^q \right). $$ 如此，原本「依賴選擇」的問題被反過來變成一個新的 fixed-object Measure object。 --- # 參考文獻 1. C. Voisin, Hodge theory lecture notes；Hard Lefschetz、Hodge-Riemann bilinear relations、Lefschetz decomposition。 https://www.math.columbia.edu/~thaddeus/seattle/voisin.pdf 2. Columbia Hodge theory seminar notes, Section 6.2；Hard Lefschetz 與 primitive decomposition 的明確公式。 https://www.math.columbia.edu/~plei/docs/notes/HT.pdf 3. B. Hassett, *Special Cubic Fourfolds*, Compositio Mathematica 120 (2000), 1–23. 4. B. Hassett, *Cubic fourfolds, K3 surfaces, and rationality questions*；cubic fourfold primitive cohomology 與 lattice 結構綜述。 https://www.math.brown.edu/bhassett/papers/CIMEsurvey/CubicLectures6.pdf 5. Aletheia, *HODGE_MLRSC_R001_M_MeasureObjects*, 2026-09-15. 6. Aletheia, *HODGE_MLRSC_R002_M_LatticeGrowth*, 2026-09-15. --- ## Canonical Source Declaration 本檔案為本輪正式 UTF-8 Markdown canonical source。 數學原始碼只使用 `$...$` 與 `$$...$$`。 聊天畫面不是本輪 canonical source。