# TCDC-14
## Bulk Mixed-Deficiency / Coarse-Balance Constant Closure
### Cube-Root Buchstab Branch Constants、Prime–Semiprime Bias、Joint-Transfer Parity Barrier、Bulk Capacity Rescue 與 Main-Order Closure Hierarchy

**母方法論：** TCDC — Target–Condition Dual Closure  
**對接研究線：** RG-SCP / SRBRD  
**輪次：** TCDC-14  
**日期：** 2026-10-02  
**版本：** v0.1  
**作者：** Neo.K；Aletheia（GPT-5.6 Sol）  
**性質：** Main-Order Constant Audit / Buchstab Branch Decomposition / Parity-Transfer Barrier / Bulk Capacity Closure  
**前置：** TCDC-00 ～ TCDC-13；SRBRD-00 ～ SRBRD-26  
**狀態：** 求出 cube-root RootRough 一維 prime / semiprime branch 的 exact leading ratio $1:\log2$；建立 joint survivor branch-transfer condition、coarse prime-share threshold與 Liouville parity formulation；導出 rank-one Buchstab branch matrix benchmark與 bulk mixed-capacity closure；證明 TCDC-13 mirror gain屬主階之後的 critical-layer correction；未證明 joint branch-transfer；Goldbach仍未證明

---

# 0. 本輪目的

TCDC-13 證明：

$$
\boxed{
M_{PP}
\ge
\Delta_0
+
\Gamma_{\mathrm{row}}
+
G_{\mathrm{mir}}^*
}
$$

其中：

$$
\Delta_0
=
n_0-n_{SP}.
$$

並指出：

- $\Delta_0$：
  coarse branch balance；
- $\Gamma_{\mathrm{row}}$：
  bulk mixed-capacity deficiency；
- $G_{\mathrm{mir}}^*$：
  mirror critical-layer correction。

所以 TCDC-14 回到主階。

第一個問題：

> 在 cube-root RootRough boundary裡，
> prime branch與 semiprime branch的一維 natural constants究竟是多少？

答案：

$$
\boxed{
1:\log2.
}
$$

---

# 1. One-Variable Cube-Root Boundary

令：

$$
\boxed{
z=X^{1/3}.
}
$$

考慮：

$$
\operatorname{RootRough}_z(x)
$$

for：

$$
1<x\le X.
$$

因：

$$
z^3=X,
$$

survivor不可能有三個或更多 prime factors。

所以：

## Theorem TCDC-14-T01

$$
\boxed{
\operatorname{RootRough}_{X^{1/3}}(x)
\Longrightarrow
x\in P_1\cup P_2.
}
$$

其中：

- $P_1$：
  prime；
- $P_2$：
  semiprime。

---

# 2. Prime Branch Main Term

定義：

$$
\boxed{
\mathcal P_1(X)
=
\#\left\{
p\le X:
p\in\mathbb P,
\quad
p>X^{1/3}
\right\}.
}
$$

PNT：

## Theorem TCDC-14-T02

$$
\boxed{
\mathcal P_1(X)
\sim
\frac{X}{\log X}.
}
$$

因：

$$
\pi(X^{1/3})
=
o
\left(
X/\log X
\right).
$$

---

# 3. Semiprime Branch

定義：

$$
\boxed{
\mathcal P_2(X)
=
\#\left\{
pq\le X:
p,q\in\mathbb P,
\quad
X^{1/3}<p\le q
\right\}.
}
$$

每個 semiprime只以：

$$
p\le q
$$

計一次。

---

# 4. Semiprime Main Integral

用 prime density：

$$
dp/\log p
$$

與：

$$
dq/\log q,
$$

對 fixed product scale：

$$
pq\asymp X,
$$

令：

$$
p=X^t.
$$

則：

$$
\frac{dp}{p}
=
\log X\,dt.
$$

semiprime density主積分：

$$
\boxed{
\int_{1/3}^{1/2}
\frac{
dt
}{
t(1-t)
}.
}
$$

---

# 5. Exact Integral

## Theorem TCDC-14-T03

$$
\boxed{
\int_{1/3}^{1/2}
\frac{
dt
}{
t(1-t)
}
=
\log2.
}
$$

proof：

$$
\frac1{t(1-t)}
=
\frac1t+\frac1{1-t}.
$$

所以：

$$
\left[
\log t-\log(1-t)
\right]_{1/3}^{1/2}
=
0-\log(1/2)
=
\log2.
$$

---

# 6. Semiprime Main Term

PNT + partial summation gives：

## Theorem TCDC-14-T04

$$
\boxed{
\mathcal P_2(X)
\sim
(\log2)
\frac{
X
}{
\log X
}.
}
$$

所以 cube-root rough boundary的 one-variable branch ratio：

$$
\boxed{
P_1:P_2
=
1:\log2.
}
$$

---

# 7. Buchstab Consistency

Buchstab theorem：

$$
\Phi(X,X^{1/u})
\sim
\omega(u)
\frac{
X
}{
\log X^{1/u}
}.
$$

for fixed：

$$
u>1.
$$

Buchstab function：

$$
u\omega(u)=1
$$

for：

$$
1\le u\le2,
$$

and：

$$
(u\omega(u))'
=
\omega(u-1).
$$

at：

$$
u=3,
$$

## Theorem TCDC-14-T05

$$
\boxed{
3\omega(3)
=
1+\log2.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
\Phi(X,X^{1/3})
\sim
(1+\log2)
\frac{
X
}{
\log X
}.
}
$$

exactly matching：

$$
P_1+P_2.
$$

---

# 8. One-End Branch Vector

定義：

$$
\boxed{
L=\log2.
}
$$

unnormalized branch vector：

$$
\boxed{
b=
\begin{pmatrix}
1\\
L
\end{pmatrix}.
}
$$

normalized：

$$
\boxed{
p_*
=
\frac1{1+L},
}
$$

$$
\boxed{
s_*
=
\frac{L}{1+L}.
}
$$

numerically：

$$
\boxed{
p_*
\approx
0.590616109150,
}
$$

$$
\boxed{
s_*
\approx
0.409383890850.
}
$$

---

# 9. One-Variable Prime Bias

prime share exceeds：

$$
1/2
$$

by：

## Theorem TCDC-14-T06

$$
\boxed{
\beta_*
=
p_*-\frac12
=
\frac{
1-L
}{
2(1+L)
}
}
$$

$$
\boxed{
\beta_*
\approx
0.090616109150.
}
$$

所以 one-variable cube-root survivor有約：

$$
\boxed{
9.06\%
}
$$

absolute prime-share buffer above：

$$
1/2.
$$

---

# 10. Relative Branch Gap

prime-minus-semiprime fraction：

$$
\boxed{
p_*-s_*
=
\frac{
1-L
}{
1+L
}
}
$$

numerically：

$$
\boxed{
0.181232218299.
}
$$

即 total rough survivor中約：

$$
\boxed{
18.12\%
}
$$

的 normalized branch imbalance。

---

# 11. Joint Goldbach Survivor

回到 SRBRD / TCDC。

令：

$$
\boxed{
\widehat{\mathcal S}_z(m)
}
$$

為 ordered Goldbach cube-root RootRough survivor states：

$$
x+y=2m,
$$

$$
x,y\text{ odd},
$$

$$
\operatorname{RootRough}_z(x),
$$

$$
\operatorname{RootRough}_z(y).
$$

在 cube-root boundary：

$$
x,y\in P_1\cup P_2.
$$

---

# 12. Joint Marginals

定義：

$$
\boxed{
S_m
=
|\widehat{\mathcal S}_z(m)|
}
$$

以及：

$$
\boxed{
n_0
=
n_P
=
M_{PP}+M_{PS},
}
$$

$$
\boxed{
n_{SP}
=
M_{PS}+M_{SS}.
}
$$

所以：

## Theorem TCDC-14-T07

$$
\boxed{
S_m
=
n_0+n_{SP}.
}
$$

---

# 13. Coarse Prime Share

定義：

$$
\boxed{
\theta_m
=
\frac{
n_0
}{
S_m
}.
}
$$

則：

$$
\boxed{
1-\theta_m
=
\frac{
n_{SP}
}{
S_m
}.
}
$$

coarse deficit：

$$
\boxed{
\Delta_0
=
n_0-n_{SP}
=
(2\theta_m-1)S_m.
}
$$

---

# 14. Exact Coarse Closure

SRBRD-14：

$$
M_{PP}
=
\Delta_0+M_{SS}.
$$

因：

$$
M_{SS}\ge0,
$$

得到：

## Theorem TCDC-14-T08
### Coarse Branch-Bias Closure

若：

$$
\boxed{
\theta_m>\frac12,
}
$$

則：

$$
\boxed{
M_{PP}>0.
}
$$

等價：

$$
\boxed{
n_0>n_{SP}.
}
$$

---

# 15. Buchstab Branch-Transfer Hypothesis

一維 T02–T06不能自動套到 joint survivor。

定義：

## Research Target TCDC-14-H01
### Buchstab Branch-Ratio Transfer

希望證：

$$
\boxed{
\theta_m
=
\frac1{1+\log2}
+
o(1).
}
$$

equivalently：

$$
\boxed{
\frac{
n_{SP}
}{
n_0
}
=
\log2
+
o(1).
}
$$

---

# 16. Conditional Coarse Closure

H01若成立，

則：

$$
\theta_m
\to
p_*
>
1/2.
$$

所以：

## Theorem TCDC-14-T09

H01 implies：

$$
\boxed{
M_{PP}>0
}
$$

for all sufficiently large：

$$
m.
$$

因此 H01本身已是一個 asymptotic Goldbach-level theorem。

不能把它當成普通 sieve technicality。

---

# 17. We Do Not Need Full Asymptotic Transfer

T08只需：

$$
\theta_m>1/2.
$$

predicted：

$$
\theta_*
=
0.590616109150.
$$

所以 branch-transfer estimate可允許 absolute error：

## Theorem TCDC-14-T10
### Transfer Tolerance

若：

$$
\boxed{
\theta_m
\ge
p_*-\varepsilon
}
$$

且：

$$
\boxed{
\varepsilon<\beta_*,
}
$$

則 Goldbach success。

其中：

$$
\boxed{
\beta_*
\approx
0.090616109150.
}
$$

所以不需要精確求到：

$$
o(1)
$$

branch ratio。

只需保住約：

$$
9.06\%
$$

absolute buffer。

---

# 18. Ratio Tolerance

等價地，

若能證：

$$
\boxed{
\frac{
n_{SP}
}{
n_0
}
<1,
}
$$

就夠。

predicted ratio：

$$
\boxed{
\log2
\approx
0.693147.
}
$$

所以 relative to the prediction，

可以承受相當大的 constant loss，

只要不超過：

$$
1.
$$

問題不是 margin小，

而是 parity branch本身難以證明。

---

# 19. Liouville Formulation

在 cube-root survivor中：

### Prime

$$
\lambda_{\mathrm L}(p)=-1.
$$

### Semiprime

$$
\lambda_{\mathrm L}(pq)=+1.
$$

定義 joint survivor left-end Liouville mean：

$$
\boxed{
\Lambda_m
=
\frac1{S_m}
\sum_{(x,y)\in\widehat{\mathcal S}_z}
\lambda_{\mathrm L}(x).
}
$$

則：

## Theorem TCDC-14-T11

$$
\boxed{
\Lambda_m
=
\frac{
n_{SP}-n_0
}{
S_m
}
=
1-2\theta_m.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\Delta_0>0
\iff
\Lambda_m<0.
}
$$

---

# 20. Predicted Liouville Bias

H01 predicts：

$$
\boxed{
\Lambda_m
\to
\frac{
L-1
}{
L+1
}
}
$$

numerically：

$$
\boxed{
-0.181232218299.
}
$$

所以 coarse Goldbach closure等價於證：

> joint cube-root rough survivor的 left-end Liouville mean
> 有 strictly negative bias。

這是 parity-sensitive statement。

---

# 21. Parity Firewall

plain sieve theory非常擅長估：

$$
\boxed{
P_1\cup P_2
}
$$

total rough mass。

但 distinguishing：

$$
P_1
$$

from：

$$
P_2
$$

exactly tracks parity of prime-factor count。

因此：

## Research Firewall TCDC-14-R01

$$
\boxed{
\text{一維 Buchstab ratio }1:\log2
\text{不能藉由 ordinary positive sieve weights
自動轉成 joint Goldbach branch ratio。}
}
$$

這正是 classical parity problem的型態。

---

# 22. Rank-One Buchstab Branch Matrix Benchmark

雖不能當 theorem，

若 Goldbach joint roughness對 branch type在 leading order沒有額外偏差，

則 normalized branch probabilities：

$$
\boxed{
(p_*,s_*).
}
$$

joint $2\times2$ transport matrix benchmark：

## Heuristic TCDC-14-H02

$$
\boxed{
\frac1{S_m}
\begin{pmatrix}
M_{PP}&M_{PS}\\
M_{PS}&M_{SS}
\end{pmatrix}
\approx
\begin{pmatrix}
p_*^2&p_*s_*\\
p_*s_*&s_*^2
\end{pmatrix}.
}
$$

這是 rank-one outer product：

$$
\boxed{
\begin{pmatrix}
p_*\\s_*
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
p_*&s_*
\end{pmatrix}.
}
$$

---

# 23. Benchmark Constants

numerically：

$$
\boxed{
p_*^2
\approx
0.348827388387,
}
$$

$$
\boxed{
p_*s_*
\approx
0.241788720763,
}
$$

$$
\boxed{
s_*^2
\approx
0.167595170088.
}
$$

所以 benchmark：

- $PP$：
  about $34.88\%$；
- each mixed orientation：
  about $24.18\%$；
- $SS$：
  about $16.76\%$。

---

# 24. Benchmark Coarse Gap

$$
\boxed{
\frac{\Delta_0}{S_m}
\approx
p_*-s_*
=
0.181232218299.
}
$$

而：

$$
\boxed{
\frac{M_{SS}}{S_m}
\approx
s_*^2
=
0.167595170088.
}
$$

exact identity：

$$
M_{PP}
=
\Delta_0+M_{SS}
$$

becomes benchmark：

$$
\boxed{
p_*^2
=
(p_*-s_*)+s_*^2.
}
$$

這是 algebraically exact identity under：

$$
p_*+s_*=1.
$$

---

# 25. Why Bulk Deficiency Matters Even If Coarse Bias Is Unknown

joint branch-transfer H01 parity-sensitive。

但 mixed prime-sink branch：

$$
M_{PS}
$$

只需：

# Upper Bound

which is a friendlier sieve polarity。

所以 TCDC alternative：

> 不直接 prove：
> $$
> n_0>n_{SP},
> $$
> 而是 prove semiprime rows cannot send enough mass to prime sink。

---

# 26. Rowwise Bulk Mixed Capacity

TCDC-08：

$$
\boxed{
P_{\mathrm{row}}
=
\sum_r
\min(
n_r,U_r^P
).
}
$$

row deficiency：

$$
\boxed{
\Gamma_{\mathrm{row}}
=
n_{SP}-P_{\mathrm{row}}.
}
$$

Goldbach lower：

## Theorem TCDC-14-T12

$$
\boxed{
M_{PP}
\ge
\Delta_0+\Gamma_{\mathrm{row}}
=
n_0-P_{\mathrm{row}}.
}
$$

所以 closure condition：

$$
\boxed{
P_{\mathrm{row}}<n_0.
}
$$

---

# 27. Normalize the Bulk Capacity Route

define：

$$
\boxed{
\mu_m
=
\frac{
P_{\mathrm{row}}
}{
S_m
}.
}
$$

Then T12：

## Theorem TCDC-14-T13

$$
\boxed{
\frac{
M_{PP}
}{
S_m
}
\ge
\theta_m-\mu_m.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
\mu_m<\theta_m
}
$$

is sufficient for Goldbach。

這不需要：

$$
\theta_m>1/2.
$$

---

# 28. Two Main-Order Closure Routes

因此 coarse layer有兩條邏輯獨立 route。

## Route A — Branch Bias

$$
\boxed{
\theta_m>\frac12.
}
$$

## Route B — Prime-Sink Capacity

$$
\boxed{
\mu_m<\theta_m.
}
$$

Route A需要 parity-sensitive branch lower/upper。

Route B可以大量使用 upper-sieve / transport容量。

---

# 29. Benchmark Mixed Fraction

under H02：

actual mixed orientation：

$$
\boxed{
\frac{
M_{PS}
}{
S_m
}
\approx
p_*s_*.
}
$$

numerically：

$$
\boxed{
p_*s_*
\approx
0.241788720763.
}
$$

而：

$$
\theta_*
\approx
0.590616109150.
$$

所以 ideal actual mixed mass離 closure threshold：

$$
\theta_*
$$

非常遠。

真正困難是：

> rigorous upper capacity可能比 actual mixed branch鬆很多。

---

# 30. Benchmark Bulk Internal Fraction

H02 predicts：

$$
\boxed{
\frac{
M_{SS}
}{
S_m
}
\approx
s_*^2
\approx
0.167595170088.
}
$$

所以 actual semiprime network具有 main-order：

$$
\boxed{
S_m
}
$$

fraction，

不是 boundary correction。

這說明：

# Bulk Mixed Deficiency

確實可以是 main-order mechanism。

---

# 31. Standard Upper Constant Problem Reappears

TCDC-11 已看到：

standard separate prime upper multiplier：

$$
\approx2.97
$$

相對 ideal density太鬆。

同樣地，

若 bulk mixed upper只做到：

$$
\kappa
\times
\text{ideal mixed density},
$$

則需要：

$$
\boxed{
\kappa p_*s_*<p_*.
}
$$

即：

## Theorem TCDC-14-T14

$$
\boxed{
\kappa
<
\frac1{s_*}
=
\frac{
1+L
}{
L
}.
}
$$

numerically：

$$
\boxed{
\kappa
<
2.442695040889.
}
$$

這是 ideal rank-one benchmark下的 bulk-capacity multiplier ceiling。

---

# 32. Bulk Capacity Ceiling Is Looser Than Strict HSP Ceiling

TCDC-11 strict high-suffix standalone threshold約：

$$
1.625.
$$

bulk benchmark T14：

$$
\boxed{
\frac1{s_*}
\approx
2.442695040889
}
$$

larger。

所以 bulk route在 constant tolerance上較友善。

但它需要：

- broad label coverage；
- aggregate two-prime capacity；
- joint survivor normalization。

---

# 33. Coarse / Bulk / Mirror Hierarchy

TCDC-13 結合本輪後可正式寫：

## Level I — Coarse Branch Bias

$$
\boxed{
\Delta_0
}
$$

scale：

$$
\boxed{
S_m
\asymp
m/\log^2m
}
$$

under the expected joint rough scale。

## Level II — Bulk Mixed Deficiency

$$
\boxed{
\Gamma_{\mathrm{bulk}}
}
$$

can also be：

$$
\boxed{
m/\log^2m
}
$$

scale。

## Level III — Mirror Critical Layer

for fixed square-root suffix：

$$
\boxed{
G_{\mathrm{mir}}
}
$$

typically boundary：

$$
\boxed{
m/\log^3m
}
$$

scale under the TCDC-13 diagnostic。

---

# 34. Main-Order Master Program

所以 asymptotic TCDC不應先要求 mirror證明一切。

正確順序：

$$
\boxed{
\text{Branch Balance}
\to
\text{Bulk Capacity Deficiency}
\to
\text{Mirror Critical Layer}.
}
$$

---

# 35. Coarse Branch Bias Is the Cheapest Possible Closure If Accessible

H01若能證，

則：

$$
\boxed{
\theta_m
\to
0.5906\ldots
}
$$

with a huge：

$$
9.06\%
$$

absolute buffer。

這會直接解決 large Goldbach。

所以：

> 任何看似簡單的 argument聲稱 joint survivor branch ratio仍是 $1:\log2$，
> 都必須接受「它已經幾乎在證 Goldbach」的審查標準。

---

# 36. Bulk Route Is More TCDC-Native

TCDC不必直接判斷：

$$
P_1
$$

vs：

$$
P_2
$$

誰多。

它可以問：

> semiprime rows能否把所有足夠的 mass送進 prime sink？

這正是：

- capacity；
- LP；
- shadow price；
- transport；

框架的優勢。

所以即使 Route A卡 parity，

Route B仍有不同 proof polarity。

---

# 37. Liouville vs Capacity Duality

Route A：

$$
\boxed{
\Lambda_m<0
}
$$

是 branch parity statement。

Route B：

$$
\boxed{
P_{\mathrm{row}}<n_0
}
$$

是 transport capacity statement。

TCDC把：

# Parity Sign

轉成：

# Sink Saturation Failure

這是整條研究線的 conceptual core。

---

# 38. Joint Survivor Total Need Not Be Precisely Known

T13只需：

$$
\theta_m,
\quad
\mu_m.
$$

如果兩者都以同一：

$$
S_m
$$

normalize，

大量：

- Goldbach singular factors；
- rough Euler products；
- geometric length；

可 cancel。

所以 proof design應優先尋：

# Relative Capacity Inequalities

而不一定先求 absolute asymptotic。

---

# 39. Relative Prime-Share Target

定義：

$$
\boxed{
\theta_m
=
\frac{n_0}{S_m}.
}
$$

we only need lower：

$$
\boxed{
\theta_m\ge\theta_-
}
$$

for some：

$$
\theta_->0.
$$

bulk capacity只需：

$$
\boxed{
\mu_m\le\mu_+
}
$$

with：

$$
\boxed{
\mu_+<\theta_-.
}
$$

Then：

## Theorem TCDC-14-T15
### Relative Coarse-Bulk Closure

$$
\boxed{
M_{PP}
\ge
(\theta_--\mu_+)S_m
>0.
}
$$

這避免直接要求：

$$
\theta_->1/2.
$$

---

# 40. Relative Route Can Be Strictly Easier

例如如果只能證：

$$
\theta_m\ge0.45,
$$

這對 Route A完全不夠。

但若同時可證：

$$
\mu_m\le0.40,
$$

則 Route B立即 closure。

所以：

$$
\boxed{
\text{capacity theorem可以補償 branch-bias theorem的不足}.
}
$$

---

# 41. Benchmark Relative Numbers

rank-one benchmark：

$$
\boxed{
\theta_*
=
0.590616109150,
}
$$

$$
\boxed{
\mu_*^{actual}
=
p_*s_*
=
0.241788720763.
}
$$

gap：

$$
\boxed{
\theta_*-\mu_*^{actual}
=
p_*^2
=
0.348827388387.
}
$$

正好是 predicted $PP$ branch fraction。

所以 T13 lower：

$$
\theta-\mu
$$

在 ideal matrix中不是鬆 bound，

而是 exact：

$$
\boxed{
M_{PP}/S_m.
}
$$

---

# 42. This Explains Why Transport Matrix Is Natural

matrix identity：

$$
n_0=M_{PP}+M_{PS}.
$$

if：

$$
P_{\mathrm{row}}
$$

could equal actual：

$$
M_{PS},
$$

then：

$$
\boxed{
n_0-P_{\mathrm{row}}
=
M_{PP}.
}
$$

所以 prime-sink maximum / capacity approach本質上是在：

> 從上方逼近 mixed branch，
> 直到 exact $PP$ mass被露出。

---

# 43. Finite Calibration

selected exact finite data：

| $m$ | $n_0$ | $n_{SP}$ | prime share $\theta_m$ | ratio $n_{SP}/n_0$ |
|---:|---:|---:|---:|---:|
| 96 | 29 | 9 | 0.763158 | 0.310345 |
| 255 | 78 | 20 | 0.795918 | 0.256410 |
| 783 | 137 | 47 | 0.744565 | 0.343066 |
| 870 | 186 | 48 | 0.794872 | 0.258065 |
| 969 | 153 | 49 | 0.757426 | 0.320261 |
| 1000 | 101 | 35 | 0.742647 | 0.346535 |

one-variable Buchstab benchmark：

$$
\boxed{
\theta_*
\approx
0.590616109150,
}
$$

$$
\boxed{
n_{SP}/n_0
\approx
\log2
\approx
0.693147180560.
}
$$

selected finite cases顯示更強 prime bias，

但：

$$
\boxed{
\text{finite data is computational evidence only}.
}
$$

---

# 44. Earlier Scan Context

earlier finite scan：

$$
3\le m\le5000
$$

observed：

$$
\boxed{
n_0>n_{SP}
}
$$

throughout sampled range。

這和 one-variable branch bias方向一致。

但不能外推成：

$$
\boxed{
\forall m
}
$$

or asymptotic theorem。

---

# 45. Why Finite Bias Can Exceed $p_*$

finite：

$$
\theta_m
$$

不需要接近：

$$
p_*.
$$

可能原因：

- endpoint interval geometry；
- finite cube-root cutoff；
- center-divisor local factors；
- additive correlation；
- small-prime singular effects；
- parity correlation本身。

因此：

$$
\boxed{
p_*
}
$$

只是 one-variable asymptotic benchmark，

不是 finite target value。

---

# 46. A More Conservative Research Target

與其直接證 H01，

可以定義：

# JPB
## Joint Prime Bias

尋：

$$
\boxed{
\delta>0
}
$$

使：

$$
\boxed{
n_0
\ge
\left(
\frac12+\delta
\right)
S_m
}
$$

for sufficiently large：

$$
m.
$$

任何：

$$
\delta>0
$$

都足夠。

predicted可用 buffer：

$$
\delta\approx0.0906.
$$

---

# 47. Capacity-Assisted Joint Prime Bias

若只能得：

$$
\delta\le0,
$$

仍可定義 mixed-capacity gain：

$$
\boxed{
\gamma_m
=
\frac{
n_{SP}-P_{\mathrm{row}}
}{
S_m
}.
}
$$

then：

$$
\boxed{
\frac{M_{PP}}{S_m}
\ge
2\theta_m-1+\gamma_m.
}
$$

closure iff：

$$
\boxed{
2\theta_m-1+\gamma_m>0.
}
$$

這是：

# Bias + Capacity

joint main-order gate。

---

# 48. Mirror Correction Added Last

TCDC-13：

$$
\boxed{
\frac{M_{PP}}{S_m}
\ge
2\theta_m-1
+
\gamma_m
+
\frac{
G_{\mathrm{mir}}^*
}{
S_m
}.
}
$$

所以 full hierarchy：

$$
\boxed{
\text{Branch Bias}
+
\text{Bulk Capacity}
+
\text{Mirror Critical Correction}.
}
$$

---

# 49. Main-Order Target Should Be Relative

absolute quantities：

$$
m/\log^2m
$$

帶很多 singular factors。

relative normalized gate：

$$
\boxed{
2\theta_m-1+\gamma_m>0
}
$$

更適合：

- theorem comparison；
- LP normalization；
- finite-to-asymptotic pattern mining。

這應成為 TCDC-14 之後的 coarse benchmark。

---

# 50. Formal Theorem Queue

```yaml
TCDC_14:

  T01:
    cube_root_RootRough_only_P1_or_P2

  T02:
    prime_branch_main_term

  T03:
    semiprime_integral_equals_log2

  T04:
    semiprime_branch_main_term

  T05:
    Buchstab_u3_consistency

  T06:
    one_variable_prime_bias

  T07:
    joint_survivor_partition

  T08:
    coarse_branch_bias_closure

  T09:
    branch_transfer_implies_large_Goldbach

  T10:
    branch_transfer_tolerance

  T11:
    joint_Liouville_bias_identity

  T12:
    bulk_capacity_Goldbach_lower

  T13:
    normalized_bulk_capacity_closure

  T14:
    benchmark_bulk_multiplier_ceiling

  T15:
    relative_coarse_bulk_closure
```

---

# 51. Research Targets

```yaml
TCDC_14_Targets:

  H01:
    Buchstab_Branch_Ratio_Transfer:
      n_SP/n_0:
        log(2)+o(1)

  JPB:
    Joint_Prime_Bias:
      n_0/S_m:
        > 1/2+delta

  Bulk:
    mixed_capacity:
      P_row/S_m:
        < n_0/S_m

  Relative_Master:
    2*theta_m-1+gamma_m:
      > 0
```

---

# 52. Barrier Queue

```yaml
TCDC_14_Barriers:

  B01:
    one_variable_branch_ratio_does_not_transfer_automatically_to_joint_survivor

  B02:
    joint_prime_vs_semiprime_split_is_parity_sensitive

  B03:
    no_joint_Liouville_negative_bias_theorem

  B04:
    bulk_two_prime_capacity_not_sharp_enough_uniformly

  B05:
    relative_prime_share_lower_not_proved

  B06:
    relative_mixed_capacity_upper_not_proved_below_prime_share

  B07:
    no_positive_uniform_main_order_gap
```

---

# 53. Acceptance Gate

TCDC-14 formal core前需：

1. distinguish one-variable rough count from Goldbach joint survivor；
2. semiprime counted once with $p\le q$；
3. cube-root branch integral checked；
4. Buchstab formula used only as one-variable consistency；
5. $1:\log2$ never silently promoted to joint theorem；
6. branch-transfer labeled research target；
7. parity firewall explicit；
8. heuristic rank-one matrix labeled heuristic；
9. exact transport lower separated from heuristic matrix；
10. bulk capacity route proof-admissible；
11. mirror layer kept lower-order / conditional where appropriate；
12. finite calibration labeled computational；
13. no large-Goldbach proof claim；
14. no Goldbach proof claim。

---

# 54. Verdict

本輪可以正式給：

$$
\boxed{
\mathrm{TCDC\mbox{-}14\ COARSE\mbox{-}BULK\ BRANCH\ KERNEL\ PASS}.
}
$$

最重要一維 exact asymptotic：

$$
\boxed{
P_1:P_2
=
1:\log2
}
$$

at the cube-root rough boundary。

normalized benchmark：

$$
\boxed{
p_*
=
\frac1{1+\log2}
\approx
0.590616109150,
}
$$

$$
\boxed{
s_*
=
\frac{\log2}{1+\log2}
\approx
0.409383890850.
}
$$

so prime branch has：

$$
\boxed{
9.0616\%
}
$$

absolute buffer above：

$$
1/2.
$$

但將此 bias轉到 Goldbach joint survivor會要求：

$$
\boxed{
\Lambda_m<0,
}
$$

即對 joint rough survivor中的 Liouville parity證 strictly negative bias。

這是實質 parity-sensitive correlation，

不能由 ordinary rough-number sieve自動得到。

因此主階 closure現在正式分兩路：

### Branch Route

$$
\boxed{
\theta_m>\frac12.
}
$$

### Capacity Route

$$
\boxed{
\mu_m<\theta_m.
}
$$

而 full relative master：

$$
\boxed{
\frac{M_{PP}}{S_m}
\ge
2\theta_m-1
+
\gamma_m
+
\frac{
G_{\mathrm{mir}}^*
}{
S_m
}.
}
$$

其中：

- branch bias：
  main order；
- bulk mixed deficiency：
  main order；
- mirror gain：
  critical-layer correction。

所以 TCDC proof program正式變成：

$$
\boxed{
\text{Coarse Branch Bias}
\;\lor\;
\text{Bulk Capacity Closure}
\;\to\;
\text{Mirror Critical Layer}.
}
$$

目前：

$$
\boxed{
\mathrm{NO\ JOINT\ BRANCH\ TRANSFER\ THEOREM}.
}
$$

$$
\boxed{
\mathrm{NO\ UNIFORM\ BULK\ CAPACITY\ GAP}.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\mathrm{GOLDBACH\ STILL\ OPEN}.
}
$$

---

# 55. 下一輪建議

# TCDC-15
## Joint Buchstab Transfer / Parity-Defect Decomposition

下一輪不直接試圖證：

$$
n_0/n_{SP}
=
1/\log2.
$$

而是把 joint branch-transfer error拆開。

### Part A — Neutral Joint Survivor

先估：

$$
S_m
=
n_0+n_{SP}.
$$

這是 parity-neutral。

### Part B — Parity Defect

定義：

$$
\boxed{
\mathcal E_{\mathrm{par}}
=
n_{SP}-n_0
}
$$

or normalized：

$$
\Lambda_m.
$$

### Part C — Buchstab Prediction + Defect

寫：

$$
\boxed{
\theta_m
=
p_*
+
\varepsilon_{\mathrm{par}}(m).
}
$$

Goldbach只需：

$$
\boxed{
\varepsilon_{\mathrm{par}}
>
-\beta_*.
}
$$

### Part D — Capacity Substitute

如果無法直接控制：

$$
\varepsilon_{\mathrm{par}},
$$

尋找：

$$
\gamma_m
$$

使：

$$
2\varepsilon_{\mathrm{par}}
+
\gamma_m
>
-2\beta_*.
$$

即：

> bulk capacity允許 parity defect不必被完全消滅。

### Part E — External Technology Audit

檢查：

- dispersion；
- Type-II / Type-III；
- Liouville-twisted convolution；
- parity-breaking bilinear forms；

哪一種真正能碰：

$$
\Lambda_m.
$$

這會把「parity barrier」從一句警告變成一個 quantitatively bounded defect variable。

---

# 附錄 A：Cube-Root Branch Constants

```yaml
L:
  log(2)

prime:
  constant:
    1

semiprime:
  constant:
    log(2)

total:
  constant:
    1+log(2)

normalized:

  p_star:
    1/(1+log(2))

  s_star:
    log(2)/(1+log(2))

prime_bias_above_half:
  (1-log(2))/(2*(1+log(2)))
```

---

# 附錄 B：Rank-One Benchmark

```yaml
branch_vector:
  - p_star
  - s_star

matrix_fraction:

  PP:
    p_star^2

  PS:
    p_star*s_star

  SP:
    p_star*s_star

  SS:
    s_star^2

warning:
  heuristic_joint_transfer_only: true
```

---

# 附錄 C：Relative Closure

```yaml
S_m:
  n_0+n_SP

theta:
  n_0/S_m

mu:
  P_row/S_m

gamma:
  (n_SP-P_row)/S_m

exact_lower:
  M_PP/S_m:
    >= theta-mu

equivalent:
  M_PP/S_m:
    >= 2*theta-1+gamma

closure_if:
  theta > mu
```

---

# 附錄 D：Finite Calibration

| $m$ | $n_0$ | $n_{SP}$ | prime share $\theta_m$ | $n_{SP}/n_0$ |
|---:|---:|---:|---:|---:|
| 96 | 29 | 9 | 0.763158 | 0.310345 |
| 255 | 78 | 20 | 0.795918 | 0.256410 |
| 783 | 137 | 47 | 0.744565 | 0.343066 |
| 870 | 186 | 48 | 0.794872 | 0.258065 |
| 969 | 153 | 49 | 0.757426 | 0.320261 |
| 1000 | 101 | 35 | 0.742647 | 0.346535 |

benchmark:

```yaml
prime_share:
  0.590616109150

semiprime_to_prime_ratio:
  0.693147180560
```

All finite statements are computational evidence only.

---

# 附錄 E：Commit Decision

```yaml
research_round:
  TCDC-14

decision:

  cube_root_prime_semiprime_ratio:
    proved_one_variable

  Buchstab_consistency:
    verified

  joint_transfer:
    not_proved

  parity_defect:
    formalized

  rank_one_branch_matrix:
    heuristic_benchmark

  bulk_capacity_route:
    formalized

  main_order_hierarchy:
    formalized

  uniform_positive_main_gap:
    not_proved

  Goldbach_proved:
    false

next:
  TCDC-15_JointBuchstabTransfer_ParityDefect_Decomposition
```

---

# References / External Benchmarks

1. Buchstab rough-number asymptotic.

   For fixed $u>1$ and:

   $$
   y=x^{1/u},
   $$

   the rough-number count satisfies:

   $$
   \Phi(x,y)
   \sim
   \omega(u)\frac{x}{\log y}.
   $$

   The Buchstab function obeys:

   $$
   u\omega(u)=1
   $$

   on $1\le u\le2$, and:

   $$
   (u\omega(u))'=\omega(u-1)
   $$

   for $u>2$.

   At $u=3$ this yields:

   $$
   3\omega(3)=1+\log2.
   $$

2. Prime Number Theorem.

   Used for:

   $$
   \mathcal P_1(X)
   \sim
   X/\log X
   $$

   and for the partial-summation evaluation of the cube-root semiprime shell.

3. Terence Tao, **Open question: The parity problem in sieve theory**, 2007, and **A general parity problem obstruction**, 2014.

   Relevant conceptual fact:
   ordinary sieve methods can efficiently count parity-neutral almost-prime sets, but distinguishing numbers with odd versus even prime-factor parity is the classical parity obstruction. The TCDC joint prime-versus-semiprime branch-transfer target is of this parity-sensitive type.