# TCDC-07
## Two-Sink Capacity Ledger / $\eta$-Dual Optimization Closure
### Prime-Cost Minimum Principle、Endpoint Theorem、Failure Support Function、Vector Dual Prices 與 Separating-Certificate Architecture

**母方法論：** TCDC — Target–Condition Dual Closure  
**對接研究線：** RG-SCP / SRBRD  
**輪次：** TCDC-07  
**日期：** 2026-10-02  
**版本：** v0.1  
**作者：** Neo.K；Aletheia（GPT-5.6 Sol）  
**性質：** Dual-Capacity Optimization / Failure-Polytope Support Function / Weighted-Sieve–Transport Coupling  
**前置：** TCDC-00 ～ TCDC-06；SRBRD-00 ～ SRBRD-26  
**狀態：** 精確解出 scalar $\eta$ 在分離 capacity 模型中的最優化；證明最優 $\eta$ 必在端點，且 optimized prime cost等於 analytic prime upper與 failure prime-sink capacity的最小值；建立保留 failure-polytope coupling 的 vector-valued support-function certificate，此時 interior dual prices才可能有真正作用；未得到 positive uniform dual gap；Goldbach仍未證明

---

# 0. 本輪起點

TCDC-06 建立：

$$
\boxed{
S_{\lambda,\eta}
=
\Pi_\lambda
+
\eta P_\lambda,
\qquad
0\le\eta\le1.
}
$$

其中：

- $\Pi_\lambda$：
  strict semiprime / mirror branch；
- $P_\lambda$：
  prime-sink branch。

特例：

$$
\boxed{
\eta=0
}
$$

是 strict semiprime pressure。

$$
\boxed{
\eta=1
}
$$

是 branch-neutral：

$$
P_1/P_2
$$

mass。

TCDC-06 已有 weighted lower：

$$
\boxed{
S_{\lambda,\eta}
\ge
N_\lambda
-
(1-\eta)P_\lambda,
}
$$

其中：

$$
\boxed{
N_\lambda
=
A_1
-
\frac12A_2
-
\frac12E.
}
$$

本輪要回答：

> $\eta$ 真正怎麼選？

---

# 1. Analytic Prime Upper

假設有 proof-admissible：

$$
\boxed{
P_\lambda
\le
U_P^{\mathrm{ana}}.
}
$$

這可以來自：

- balanced prime-product + prime upper；
- linear sieve；
- convolution theorem；
- finite certified bound。

則：

## Theorem TCDC-07-T01

$$
\boxed{
S_{\lambda,\eta}
\ge
L_N
-
(1-\eta)
U_P^{\mathrm{ana}},
}
$$

只要：

$$
\boxed{
L_N\le N_\lambda.
}
$$

---

# 2. Failure Prime-Sink Capacity

在 Goldbach failure polytope中，

prime branch必須流向 prime sink。

假設有 failure-aware capacity：

$$
\boxed{
P_\lambda
\le
C_P^{\mathrm{fail}}.
}
$$

這和：

$$
U_P^{\mathrm{ana}}
$$

概念不同。

$U_P^{\mathrm{ana}}$：

> 不假設 Goldbach failure，
> 純 analytic upper。

$C_P^{\mathrm{fail}}$：

> 使用 failure transport constraints，
> 可以包含：
> - global prime-sink saturation；
> - center-divisor locks；
> - row cuts；
> - competing sender rows；
> - LP dual constraints。

---

# 3. Mirror-Sink Capacity

同理假設：

$$
\boxed{
\Pi_\lambda
\le
C_{\mathrm{mir}}^{\mathrm{fail}}
}
$$

under failure。

所以：

## Theorem TCDC-07-T02

failure時：

$$
\boxed{
S_{\lambda,\eta}
\le
C_{\mathrm{mir}}^{\mathrm{fail}}
+
\eta
C_P^{\mathrm{fail}}.
}
$$

---

# 4. Scalar $\eta$ Deficit

將 T01 與 T02 比較。

定義：

$$
\boxed{
\Delta_\eta
=
L_N
-
(1-\eta)U_P^{\mathrm{ana}}
-
C_{\mathrm{mir}}^{\mathrm{fail}}
-
\eta C_P^{\mathrm{fail}}.
}
$$

若：

$$
\boxed{
\Delta_\eta>0,
}
$$

failure impossible。

---

# 5. Affine Form

整理：

## Theorem TCDC-07-T03

$$
\boxed{
\Delta_\eta
=
L_N
-
C_{\mathrm{mir}}^{\mathrm{fail}}
-
U_P^{\mathrm{ana}}
+
\eta
\left(
U_P^{\mathrm{ana}}
-
C_P^{\mathrm{fail}}
\right).
}
$$

所以：

$$
\boxed{
\Delta_\eta
}
$$

對 scalar：

$$
\eta
$$

是 affine function。

---

# 6. Endpoint Principle

由 affine optimization：

## Theorem TCDC-07-T04
### Scalar Endpoint Principle

$$
\boxed{
\max_{0\le\eta\le1}
\Delta_\eta
}
$$

必在：

$$
\boxed{
\eta=0
}
$$

或：

$$
\boxed{
\eta=1
}
$$

取得。

更精確：

### 若

$$
U_P^{\mathrm{ana}}
>
C_P^{\mathrm{fail}},
$$

則：

$$
\boxed{
\eta^*=1.
}
$$

### 若

$$
U_P^{\mathrm{ana}}
<
C_P^{\mathrm{fail}},
$$

則：

$$
\boxed{
\eta^*=0.
}
$$

### 若相等

所有：

$$
\eta
$$

同值。

---

# 7. Prime-Cost Minimum Principle

由 T04：

## Theorem TCDC-07-T05

$$
\boxed{
\max_{\eta\in[0,1]}
\Delta_\eta
=
L_N
-
C_{\mathrm{mir}}^{\mathrm{fail}}
-
\min
\left(
U_P^{\mathrm{ana}},
C_P^{\mathrm{fail}}
\right).
}
$$

這是：

# Prime-Cost Minimum Principle

---

# 8. Meaning of T05

strict route：

$$
\eta=0
$$

支付：

$$
\boxed{
U_P^{\mathrm{ana}}.
}
$$

branch-neutral route：

$$
\eta=1
$$

支付：

$$
\boxed{
C_P^{\mathrm{fail}}.
}
$$

optimized proof自動選：

$$
\boxed{
\text{較便宜的 prime branch cost}.
}
$$

所以 $\eta$ 不是神奇創造一個新的中間 constant。

在 separable two-capacity model中，

它只是一個：

# Provider Selector

---

# 9. If the Same Prime Bound Is Used Twice, $\eta$ Does Nothing

若：

$$
\boxed{
U_P^{\mathrm{ana}}
=
C_P^{\mathrm{fail}}
=
C_P,
}
$$

則 T03：

$$
\boxed{
\Delta_\eta
=
L_N
-
C_{\mathrm{mir}}^{\mathrm{fail}}
-
C_P
}
$$

完全不依賴：

$$
\eta.
$$

所以：

## Corollary TCDC-07-C01

$$
\boxed{
\text{若 analytic prime upper 與 failure prime capacity沒有真正不同，
$\eta$ 只是表面自由度。}
}
$$

---

# 10. Transport Discount

定義：

$$
\boxed{
D_P
=
U_P^{\mathrm{ana}}
-
C_P^{\mathrm{fail}}.
}
$$

若：

$$
D_P>0,
$$

failure transport比 standalone analytic upper更便宜，

所以：

$$
\eta=1
$$

較好。

此：

$$
D_P
$$

可稱：

# Prime-Sink Transport Discount

---

# 11. Negative Transport Discount

若：

$$
D_P<0,
$$

則 failure-aware prime capacity反而較鬆。

最佳：

$$
\eta=0.
$$

這時：

> 不值得讓 prime branch進 transport ledger；
> 直接 analytic subtract較好。

所以 TCDC 不預設：

$$
\eta=1
$$

一定優於 strict route。

---

# 12. Neutral Core Constant

TCDC-06 在：

$$
u=8
$$

得到：

$$
\boxed{
C_{\mathrm{core}}(8)
\approx
0.406256897064.
}
$$

它是：

$$
A_1
-
\frac12A_2
$$

的 normalized pre-$E$ core。

若 exactly-one-medium correction normalized upper：

$$
C_E,
$$

則 branch-neutral weighted lower constant：

$$
\boxed{
C_N
=
C_{\mathrm{core}}(8)
-
\frac12C_E.
}
$$

---

# 13. Optimized Scalar Constant Gate

由 T05：

## Theorem TCDC-07-T06

在：

$$
u=8
$$

baseline，

scalar $\eta$ optimized closure需要：

$$
\boxed{
\frac12C_E
+
C_{\mathrm{mir}}^{\mathrm{fail}}
+
\min
\left(
C_P^{\mathrm{ana}},
C_P^{\mathrm{fail}}
\right)
<
0.406256897064.
}
$$

這是本輪最重要 numeric ledger。

---

# 14. Standard Prime Upper Is Automatically Rejected if Transport Is Better

TCDC-06：

$$
\boxed{
C_P^{\mathrm{std}}
\approx
0.742113507496.
}
$$

但：

$$
C_P^{\mathrm{std}}
>
C_{\mathrm{core}}(8).
$$

所以若只剩：

$$
C_P^{\mathrm{std}},
$$

strict route不能 crossing。

但 T06只需要：

$$
\boxed{
C_P^{\mathrm{fail}}
<
C_{\mathrm{core}}(8)
-
\frac12C_E
-
C_{\mathrm{mir}}.
}
$$

就可讓：

$$
\eta=1
$$

接管。

這把 analytic prime-upper bottleneck正式移給 failure transport。

---

# 15. Ideal Prime Density Benchmark

TCDC-06 ideal prime-density diagnostic：

$$
\boxed{
C_P^{\mathrm{ideal}}
=
1/4
}
$$

at：

$$
u=8.
$$

所以若：

$$
C_E=0,
$$

$$
C_{\mathrm{mir}}=0,
$$

還有：

$$
\boxed{
0.406256897064
-
1/4
\approx
0.156256897064
}
$$

的 strict ideal window。

這只是一個 benchmark，

不是已證 provider。

---

# 16. Residual Capacity Budget

定義：

$$
\boxed{
B_{\mathrm{sink}}
=
C_{\mathrm{core}}(8)
-
\frac12C_E.
}
$$

那 closure target變成：

$$
\boxed{
C_{\mathrm{mir}}
+
C_P^{\mathrm{eff}}
<
B_{\mathrm{sink}},
}
$$

其中：

$$
\boxed{
C_P^{\mathrm{eff}}
=
\min
\left(
C_P^{\mathrm{ana}},
C_P^{\mathrm{fail}}
\right).
}
$$

---

# 17. Why Scalar $\eta$ Is Not the End

T04 的 endpoint principle成立是因：

$$
C_{\mathrm{mir}},
\quad
C_P
$$

被分離成兩個 independent scalar capacities。

但 failure polytope中：

- prime sink；
- mirror sink；
- row conservation；
- cross-cell capacities；
- center locks；

其實互相耦合。

如果保留耦合，

failure weighted capacity不再 necessarily 是：

$$
C_{\mathrm{mir}}+\eta C_P.
$$

這時 interior：

$$
\eta
$$

可以重新有意義。

---

# 18. Selected Sender Set

取任意 semiprime sender rows：

$$
\boxed{
B\subseteq\mathcal R_m.
}
$$

對：

$$
r\in B,
$$

定義 actual：

$$
c_r=M_{r,0},
$$

$$
i_r=\sum_sM_{r,s}.
$$

row conservation：

$$
\boxed{
c_r+i_r=n_r.
}
$$

---

# 19. Vector Branch Prices

定義：

$$
\boxed{
\boldsymbol\eta
=
(\eta_r)_{r\in B},
\qquad
0\le\eta_r\le1.
}
$$

weighted sender functional：

$$
\boxed{
\mathcal S_B(\boldsymbol\eta)
=
\sum_{r\in B}
\left(
i_r+\eta_r c_r
\right).
}
$$

等價：

$$
\boxed{
\mathcal S_B(\boldsymbol\eta)
=
\sum_{r\in B}n_r
-
\sum_{r\in B}
(1-\eta_r)c_r.
}
$$

---

# 20. Failure Polytope Restriction

令：

$$
\boxed{
\mathfrak F_B
}
$$

是 TCDC-01 failure polytope投影到和：

$$
B
$$

相關 variables：

- $c_r$；
- $M_{r,s}$；
- relevant receivers；
- global prime-sink constraints；

後的 proof-admissible outer polytope。

---

# 21. Failure Support Function

定義：

## Definition TCDC-07-D01

$$
\boxed{
\mathcal H_B(\boldsymbol\eta)
=
\sup_{M\in\mathfrak F_B}
\mathcal S_B(\boldsymbol\eta).
}
$$

這是：

# Failure Support Function

---

# 22. Convexity

因：

$$
\mathcal H_B
$$

是對 linear functions：

$$
\boldsymbol\eta
\mapsto
\mathcal S_B(\boldsymbol\eta)
$$

取 supremum，

所以：

## Theorem TCDC-07-T07

$$
\boxed{
\mathcal H_B(\boldsymbol\eta)
\text{ is convex and piecewise linear}
}
$$

for finite polyhedral：

$$
\mathfrak F_B.
$$

---

# 23. Weighted-Sieve Lower Function

假設對同一 sender set：

$$
B
$$

有 proof-admissible weighted lower：

$$
\boxed{
\mathcal L_B(\boldsymbol\eta)
\le
\mathcal S_B(\boldsymbol\eta).
}
$$

$\mathcal L_B$ 可以來自：

- generalized Chen half-weight；
- rowwise cutoff；
- aggregate prime-product sieve；
- finite certified lower；
- sum of dyadic lower providers。

---

# 24. Exact Separating Certificate

## Theorem TCDC-07-T08
### Support-Function Closure Theorem

若存在：

$$
\boxed{
\boldsymbol\eta\in[0,1]^B
}
$$

使：

$$
\boxed{
\mathcal L_B(\boldsymbol\eta)
>
\mathcal H_B(\boldsymbol\eta),
}
$$

則：

$$
\boxed{
\mathfrak F_B=\varnothing.
}
$$

因此 global Goldbach failure不可能。

所以：

$$
\boxed{
M_{PP}>0.
}
$$

---

# 25. Proof of T08

若 failure存在，

則 actual matrix：

$$
M
$$

屬：

$$
\mathfrak F_B.
$$

所以：

$$
\mathcal S_B(\boldsymbol\eta)
\le
\mathcal H_B(\boldsymbol\eta).
$$

另一方面 weighted lower：

$$
\mathcal L_B(\boldsymbol\eta)
\le
\mathcal S_B(\boldsymbol\eta).
$$

若：

$$
\mathcal L_B>
\mathcal H_B,
$$

矛盾。

---

# 26. T08 Is the Exact TCDC Dual Form

TCDC-00：

$$
\boxed{
\text{Target}
\to
\text{Condition}
\to
\text{Failure Non-Closure}.
}
$$

T08把 failure non-closure寫成：

$$
\boxed{
\text{lower support of actual sender}
>
\text{upper support of all failure states}.
}
$$

也就是：

# Separating Hyperplane Certificate

---

# 27. Scalar Two-Sink Model Is a Relaxation of the Support Function

如果只保留：

$$
\Pi_B\le C_{\mathrm{mir}},
$$

$$
P_B\le C_P,
$$

則：

$$
\boxed{
\mathcal H_B(\eta)
\le
C_{\mathrm{mir}}
+
\eta C_P.
}
$$

此 upper是 affine。

所以 scalar endpoint principle其實來自：

> 用一個很粗的 affine outer support替代真正 convex：
> $$
> \mathcal H_B.
> $$

---

# 28. Interior $\eta$ Can Matter Only Through Coupling

真正：

$$
\mathcal H_B(\eta)
$$

若因：

- sink competition；
- shared receivers；
- prime saturation；
- center locks；

產生 kink，

則：

$$
\mathcal L_B(\eta)-\mathcal H_B(\eta)
$$

可能在：

$$
0<\eta<1
$$

取得最大值。

所以：

## Corollary TCDC-07-C02

$$
\boxed{
\text{interior dual price只在保留 failure coupling時才有真正價值。}
}
$$

---

# 29. Rowwise Separable Prime Costs

若 failure capacity仍可 rowwise分離：

$$
c_r\le C_{P,r}^{\mathrm{fail}},
$$

analytic：

$$
c_r\le U_{P,r}^{\mathrm{ana}},
$$

且 mirror part independent，

則每個：

$$
\eta_r
$$

可獨立 optimize。

---

# 30. Rowwise Prime-Cost Minimum Principle

## Theorem TCDC-07-T09

在 separable row model中，

optimized prime cost為：

$$
\boxed{
\sum_{r\in B}
\min
\left(
U_{P,r}^{\mathrm{ana}},
C_{P,r}^{\mathrm{fail}}
\right).
}
$$

而最優：

$$
\boxed{
\eta_r^*
=
\begin{cases}
1,
&
C_{P,r}^{\mathrm{fail}}
<
U_{P,r}^{\mathrm{ana}},
\\
0,
&
C_{P,r}^{\mathrm{fail}}
>
U_{P,r}^{\mathrm{ana}},
\\
\text{arbitrary},
&
=
.
\end{cases}
}
$$

---

# 31. Center Rows Automatically Prefer Transport Pricing

若：

$$
r\mid m,
$$

SRBRD-15：

$$
\boxed{
C_{P,r}^{\mathrm{fail}}
\le1.
}
$$

而 generic analytic progression upper通常遠大於：

$$
1
$$

for nontrivial row。

所以 center rows自然：

$$
\boxed{
\eta_r^*=1.
}
$$

也就是：

> prime branch交給 transport capacity付費。

這是 rowwise dual pricing的第一個 canonical例子。

---

# 32. Noncenter Rows Can Prefer Analytic Pricing

若某 row：

- failure transport沒有特殊 lock；
- analytic switching upper很 sharp；

可能：

$$
\boxed{
U_{P,r}^{\mathrm{ana}}
<
C_{P,r}^{\mathrm{fail}}.
}
$$

則：

$$
\boxed{
\eta_r^*=0.
}
$$

這表示同一個 proof可以：

- center rows用 branch-neutral pricing；
- generic rows用 strict analytic pricing。

---

# 33. This Is Stronger Than One Global $\eta$

global scalar：

$$
\eta
$$

只能二選一：

- 所有 row strict；
- 所有 row neutral；

在 separable model optimum也只能 endpoint。

vector：

$$
\boldsymbol\eta
$$

則可以混合。

所以：

$$
\boxed{
\sum_r\min(U_r,C_r)
\le
\min
\left(
\sum_rU_r,
\sum_rC_r
\right).
}
$$

因此 rowwise pricing至少不差於 scalar pricing。

---

# 34. Mixed Strategy Gain

定義：

$$
\boxed{
G_{\mathrm{mix}}
=
\min
\left(
\sum_rU_r,
\sum_rC_r
\right)
-
\sum_r\min(U_r,C_r).
}
$$

則：

$$
\boxed{
G_{\mathrm{mix}}\ge0.
}
$$

$G_{\mathrm{mix}}>0$ iff：

> 不同 rows偏好不同 provider。

這是 TCDC dual pricing相對單一 sieve strategy的純結構性 gain。

---

# 35. Full Failure Coupling Can Beat Even Rowwise Minimum

rowwise minimum仍忽略：

- prime sink total：
  $$
  \sum_rc_r=n_P;
  $$
- shared mirror receiver；
- symmetric $M_{r,s}$；
- geometric cuts；
- diagonal restrictions。

所以真正 support function可能：

$$
\boxed{
\mathcal H_B(\boldsymbol\eta)
<
\text{separable row-capacity upper}.
}
$$

這就是 failure-polytope coupling提供的額外 gain。

---

# 36. Support Function as an LP

對 fixed：

$$
m,
B,
\boldsymbol\eta,
$$

計算：

$$
\mathcal H_B(\boldsymbol\eta)
$$

是一個 linear program：

### variables

$$
c_r,
$$

$$
y_{r,s}.
$$

### constraints

TCDC-01 / 02：

- row conservation；
- symmetry；
- mixed capacity；
- mirror support；
- center locks；
- cell capacities；
- global prime saturation。

### objective

$$
\boxed{
\sum_{r\in B}
\left(
\eta_r c_r
+
\sum_sy_{r,s}
\right).
}
$$

---

# 37. LP Dual Gives Human-Readable Prices

LP dual variables可對應：

- row conservation price；
- prime-sink price；
- mirror-receiver price；
- cell-capacity price；
- symmetry / cut price。

所以：

$$
\boxed{
\boldsymbol\eta
}
$$

只是 dual system的一部分。

完整 certificate可由 solver自動生成，

再人工 / AI轉成 uniform inequality。

---

# 38. Dual Search Objective

定義：

$$
\boxed{
\Delta_B^*
=
\sup_{
\boldsymbol\eta\in[0,1]^B
}
\left[
\mathcal L_B(\boldsymbol\eta)
-
\mathcal H_B(\boldsymbol\eta)
\right].
}
$$

若：

$$
\boxed{
\Delta_B^*>0,
}
$$

則 failure impossible。

這是：

# TCDC Weighted Dual Gap

---

# 39. Computational Use

finite：

$$
m
$$

可：

1. 建：
   $$
   \mathfrak F_B;
   $$
2. 計：
   $$
   \mathcal H_B(\eta);
   $$
3. 以 grid / LP / cutting-plane optimize：
   $$
   \eta;
   $$
4. 找 positive dual gap；
5. extract active constraints；
6. 猜 uniform certificate。

但：

$$
\boxed{
\text{finite positive }\Delta_B^*
\neq
\text{uniform theorem}.
}
$$

---

# 40. Continuous / Asymptotic Dual Price

若：

$$
r=X^t,
$$

finite：

$$
\eta_r
$$

可能收斂成：

$$
\boxed{
\eta(t).
}
$$

則 continuum certificate可能：

$$
\boxed{
\int
L(t,\eta(t))\,dt
>
\mathcal H[\eta(\cdot)].
}
$$

這將：

- sieve weight；
- transport cut；
- constant ledger；

統一成：

# Functional Dual Optimization

---

# 41. The $u$ Cutoff Can Also Be a Dual Variable

TCDC-06：

$$
u
$$

控制 weighted-sieve lower quality。

所以更完整 optimization：

$$
\boxed{
\sup_{
u,\boldsymbol\eta
}
\left[
\mathcal L_{B,u}(\boldsymbol\eta)
-
\mathcal H_B(\boldsymbol\eta)
\right].
}
$$

finite / asymptotic optimum：

$$
u\approx8
$$

只是目前 neutral-core diagnostic，

不一定是 full two-sink optimum。

---

# 42. $E_1$ Is a Third Sink-Like Cost

TCDC-06：

$$
E_1
$$

包含：

- medium $P_2$；
- medium $P_3$。

它們不是：

- prime sink；
- mirror semiprime sink；

而是：

# Cutoff-Descent Loss

所以完整 normalized budget有三種 cost：

$$
\boxed{
\text{Descent Cost}
+
\text{Prime Sink}
+
\text{Mirror Sink}.
}
$$

---

# 43. Three-Cost Ledger at $u=8$

define normalized：

$$
\boxed{
C_{\mathrm{des}}
=
\frac12C_E.
}
$$

$$
\boxed{
C_{\mathrm{prime}}
=
C_P^{\mathrm{eff}}.
}
$$

$$
\boxed{
C_{\mathrm{mir}}
=
C_{\mathrm{mir}}^{\mathrm{fail}}.
}
$$

closure requires：

## Theorem TCDC-07-T10

$$
\boxed{
C_{\mathrm{des}}
+
C_{\mathrm{prime}}
+
C_{\mathrm{mir}}
<
0.406256897064.
}
$$

with：

$$
\boxed{
C_{\mathrm{prime}}
=
\min
\left(
C_P^{\mathrm{ana}},
C_P^{\mathrm{fail}}
\right)
}
$$

in scalar separable optimization。

---

# 44. Budget Sensitivity

at：

$$
u=8,
$$

total available：

$$
\boxed{
0.406256897064.
}
$$

所以：

### if

$$
C_{\mathrm{des}}=0.05,
$$

remaining sinks：

$$
\boxed{
0.356257.
}
$$

### if

$$
C_{\mathrm{des}}=0.10,
$$

remaining：

$$
\boxed{
0.306257.
}
$$

### if

$$
C_{\mathrm{des}}=0.15,
$$

remaining：

$$
\boxed{
0.256257.
}
$$

所以 exactly-one-medium cost的品質非常重要。

---

# 45. Strict Standard Prime Upper Cannot Fit Any Positive Descent Cost

standard：

$$
C_P^{\mathrm{std}}
\approx
0.742113507496.
$$

已經：

$$
\boxed{
C_P^{\mathrm{std}}
>
0.406256897064.
}
$$

所以：

## Corollary TCDC-07-C03

$$
\boxed{
\text{strict route using standard separate prime upper
cannot close for any nonnegative }C_{\mathrm{des}},C_{\mathrm{mir}}.
}
$$

這是 TCDC-06 no-go 的 ledger form。

---

# 46. Failure Prime Capacity Threshold

若 analytic prime upper不使用，

branch-neutral route需要：

$$
\boxed{
C_P^{\mathrm{fail}}
+
C_{\mathrm{mir}}
<
0.406256897064
-
C_{\mathrm{des}}.
}
$$

所以如果未來：

$$
C_{\mathrm{des}}
$$

可壓到：

$$
0.10,
$$

則需要：

$$
\boxed{
C_P^{\mathrm{fail}}
+
C_{\mathrm{mir}}
<
0.306257.
}
$$

這是具體的 TCDC capacity target。

---

# 47. Ideal Prime Benchmark Shows a Plausible Window

ideal standalone prime density：

$$
0.25.
$$

若：

$$
C_{\mathrm{des}}=0.10,
$$

則剩：

$$
0.306257.
$$

所以只有：

$$
\boxed{
0.056257
}
$$

mirror room。

這顯示：

> 即使 prime branch做到 ideal density，
> $E_1$ + mirror constants仍需非常 sharp。

所以 branch-neutral route也不是自動容易。

---

# 48. Why Coupled Support Function Is Potentially Essential

separate capacities：

$$
C_P+C_{\mathrm{mir}}
$$

可能 double-count：

> 同一 receiver / prime resource不能同時被所有 rows用滿。

真正：

$$
\mathcal H_B
$$

會看到 competition。

所以：

$$
\boxed{
\mathcal H_B
<
C_P+C_{\mathrm{mir}}
}
$$

可能產生正 gap，

即使 scalar separate ledger失敗。

這是 TCDC failure-polytope相對普通 weighted sieve最可能的真正新來源。

---

# 49. A Simple Shared-Capacity Example

假設 two sender classes：

$$
B_1,
B_2
$$

都可流向同一 receiver pool capacity：

$$
C.
$$

separate upper會給：

$$
C+C=2C.
$$

但 coupled polytope只允許：

$$
\boxed{
C
}
$$

總流量。

因此 dual support function能自動 recovery：

$$
C
$$

的 overcount。

這正是 mirror receiver與 prime sink共享結構可能提供的 gain。

---

# 50. Prime Sink Is Globally Shared

failure exact：

$$
\boxed{
\sum_rc_r=n_P.
}
$$

所以不同 suffix / dyadic rows不可能各自使用：

$$
n_P
$$

prime capacity。

任何 per-block upper：

$$
P_B\le n_P
$$

若分 block summation，

會巨大 double-count。

LP support function會自動只支付一次 global prime sink。

---

# 51. Mirror Receivers Are Also Shared

對 nested suffix cuts：

$$
B_{R_1},
B_{R_2},
$$

其 mirror prefixes：

$$
P_{R_1},
P_{R_2}
$$

nested。

同一 low row：

$$
s
$$

不能無限次接收同一 internal mass。

所以 blockwise mirror capacities也可能嚴重重複。

這再次支持：

# coupled support function

而非 independent cut sums。

---

# 52. Natural Multi-Slice Model

partition high semiprime labels：

$$
\boxed{
B_1,\ldots,B_J
}
$$

例如 dyadic / normalized：

$$
r/\sqrt m
$$

bands。

對每個：

$$
j,
$$

可選：

$$
\eta_j.
$$

weighted lower：

$$
\boxed{
\sum_j
\mathcal L_j(\eta_j).
}
$$

failure support：

$$
\boxed{
\mathcal H(
\eta_1,\ldots,\eta_J
)
}
$$

由同一 global transport polytope計。

這是下一個最自然 computational / analytic object。

---

# 53. Multi-Slice Dual Certificate

## Theorem TCDC-07-T11

若對 partition：

$$
B_1,\ldots,B_J
$$

存在：

$$
\boldsymbol\eta
$$

使：

$$
\boxed{
\sum_j
\mathcal L_j(\eta_j)
>
\mathcal H(
\boldsymbol\eta
),
}
$$

則：

$$
\boxed{
\text{Goldbach failure impossible}.
}
$$

這只是 T08 在 partition lower bounds下的直接 corollary。

---

# 54. Why This Is More Natural Than One $\lambda$

TCDC-02 / 03 使用 single mirror threshold：

$$
\lambda.
$$

但 actual capacity geometry：

$$
\mathscr S_m(r)
=
\sqrt{2m-r^2}
$$

continuous變化。

multi-slice model可以：

- high rows給高 transport price；
- near-self-dual rows給不同 price；
- center rows special；
- terminal cap separate。

所以更貼近 actual failure polytope。

---

# 55. Target for a First Computational Experiment

取 finite：

$$
m
$$

且 active labels：

$$
r_1<\cdots<r_J.
$$

可以直接：

1. exact計：
   $$
   n_r;
   $$
2. exact建立：
   $$
   U_{r,s};
   $$
3. exact / certified：
   $$
   U_r^P;
   $$
4. build failure LP；
5. choose simple lower surrogate：
   $$
   L_r(\eta_r);
   $$
6. optimize：
   $$
   \boldsymbol\eta.
   $$

目標不是 finite proof Goldbach，

而是：

> 看 optimal dual price是否有 stable scaling pattern。

---

# 56. Possible Stable Patterns

例如 optimal：

$$
\eta_r
$$

可能接近：

### Step Function

$$
\eta_r=
1
$$

for large / center-locked rows，

$$
0
$$

elsewhere。

### Mirror Function

$$
\eta_r
=
f
\left(
r/\sqrt m
\right).
$$

### Capacity Ratio

$$
\eta_r
=
f
\left(
U_r^P/n_r
\right).
$$

任何 stable pattern都可變成 uniform theorem target。

---

# 57. AI Role

這一輪的方法非常適合 AI：

### Solver

找 finite LP support / dual。

### Pattern Agent

從：

$$
\eta_r
$$

與 dual coefficients提取 scaling law。

### Proof Agent

將 scaling law轉成：

- cut theorem；
- integral inequality；
- analytic capacity bound。

所以 TCDC 開始真正形成：

# AI-searchable proof certificate space

---

# 58. Formal Theorem Queue

```yaml
TCDC_07:

  T01:
    analytic_eta_lower

  T02:
    failure_eta_upper

  T03:
    scalar_eta_affine_deficit

  T04:
    scalar_endpoint_principle

  T05:
    prime_cost_minimum_principle

  T06:
    normalized_scalar_constant_gate

  T07:
    failure_support_function_convexity

  T08:
    support_function_closure_theorem

  T09:
    rowwise_prime_cost_minimum

  T10:
    three_cost_ledger

  T11:
    multislice_dual_certificate
```

---

# 59. Barrier Queue

```yaml
TCDC_07_Barriers:

  B01:
    E1_descent_constant_not_proved

  B02:
    failure_prime_sink_constant_not_proved

  B03:
    mirror_capacity_constant_not_proved

  B04:
    coupled_support_function_not_analyzed_uniformly

  B05:
    no_positive_dual_gap_yet

  B06:
    finite_dual_pattern_not_yet_mined
```

---

# 60. Acceptance Gate

TCDC-07 formal core前需：

1. distinguish analytic prime upper from failure prime capacity；
2. scalar deficit affine algebra；
3. endpoint principle；
4. minimum-cost identity；
5. no claim intermediate scalar $\eta$ helps under separable capacities；
6. define support function on proof-admissible outer polytope；
7. convexity；
8. separating certificate proof；
9. rowwise vector pricing only under appropriate lower decomposition；
10. coupled polytope may permit interior prices；
11. normalized constants labeled diagnostic where providers not proved；
12. no positive dual gap claim；
13. no Goldbach proof claim。

---

# 61. Verdict

本輪可以正式給：

$$
\boxed{
\mathrm{TCDC\mbox{-}07\ DUAL\mbox{-}PRICE\ SUPPORT\mbox{-}FUNCTION\ PASS}.
}
$$

最重要 scalar result：

$$
\boxed{
\max_{\eta\in[0,1]}
\Delta_\eta
=
L_N
-
C_{\mathrm{mir}}
-
\min
\left(
U_P^{\mathrm{ana}},
C_P^{\mathrm{fail}}
\right).
}
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{separable model下 scalar $\eta$ 的最優值一定在 }0\text{ 或 }1.
}
$$

真正 interior dual price只有在：

$$
\boxed{
\text{failure-polytope coupling被保留}
}
$$

時才可能有意義。

因此定義：

$$
\boxed{
\mathcal H_B(\boldsymbol\eta)
=
\sup_{M\in\mathfrak F_B}
\mathcal S_B(\boldsymbol\eta),
}
$$

並得到 exact TCDC certificate：

$$
\boxed{
\exists\boldsymbol\eta:
\mathcal L_B(\boldsymbol\eta)
>
\mathcal H_B(\boldsymbol\eta)
}
$$

$$
\Longrightarrow
$$

$$
\boxed{
\text{failure polytope empty}
\Longrightarrow
M_{PP}>0.
}
$$

在：

$$
u=8
$$

baseline，

剩餘 normalized sink / descent budget是：

$$
\boxed{
C_{\mathrm{des}}
+
C_{\mathrm{prime}}
+
C_{\mathrm{mir}}
<
0.406256897064.
}
$$

standard standalone prime upper：

$$
\boxed{
0.742113507496
}
$$

已超過全部 budget，

所以真正希望只能來自：

- transport prime discount；
- coupled sink competition；
- sharper $E_1$ descent；
- 或其組合。

目前：

$$
\boxed{
\mathrm{NO\ POSITIVE\ DUAL\ GAP\ YET}.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\mathrm{GOLDBACH\ STILL\ OPEN}.
}
$$

---

# 62. 下一輪建議

# TCDC-08
## Failure-Support LP / Multi-Slice Dual Certificate Mining

下一輪不再增加新的手工 inequality。

直接建立 finite / symbolic LP。

### Part A — Exact Failure Polytope

對 selected：

$$
m,
$$

建立：

- row totals；
- mixed prime cells；
- mirror support；
- center locks；
- exact cell capacities。

### Part B — Sender Slices

按：

$$
r/\sqrt m
$$

切：

$$
B_1,\ldots,B_J.
$$

### Part C — Dual Prices

求：

$$
\eta_j
$$

與 LP dual multipliers。

### Part D — Pattern Mining

比較不同：

$$
m
$$

的 optimal：

- $\eta_j$；
- active cuts；
- shadow prices。

### Part E — Uniform Candidate

若 stable，

反推：

$$
\boxed{
\eta(\rho)
}
$$

或 finite cut family，

再回 analytic proof。

這會是 TCDC 第一次真正把：

# weighted sieve lower

與：

# failure-transport LP dual

直接交給 solver共同尋找 closure certificate。

---

# 附錄 A：Scalar $\eta$ Ledger

```yaml
lower:
  L_eta:
    L_N
    -(1-eta)*U_P_analytic

failure_upper:
  H_eta:
    C_mirror
    +eta*C_P_failure

deficit:
  Delta_eta:
    L_N
    -C_mirror
    -U_P_analytic
    +eta*(U_P_analytic-C_P_failure)

optimum:

  if:
    U_P_analytic > C_P_failure
  then:
    eta:
      1

  else_if:
    U_P_analytic < C_P_failure
  then:
    eta:
      0

optimized_prime_cost:
  min(
    U_P_analytic,
    C_P_failure
  )
```

---

# 附錄 B：$u=8$ Constant Budget

```yaml
u:
  8

neutral_core:
  0.406256897064

standard_prime_upper:
  0.742113507496

ideal_prime_density:
  0.25

closure_budget:
  C_descent
  + C_prime_effective
  + C_mirror
  <
  0.406256897064
```

---

# 附錄 C：Failure Support Function

```yaml
sender_set:
  B

dual_prices:
  eta_r:
    0_to_1

weighted_sender:
  S_B_eta:
    sum_r_in_B(
      i_r + eta_r*c_r
    )

failure_support:
  H_B_eta:
    max_over_failure_polytope(
      S_B_eta
    )

weighted_lower:
  L_B_eta:
    <= actual_S_B_eta

certificate:
  if:
    L_B_eta > H_B_eta
  then:
    failure_impossible
```

---

# 附錄 D：Three-Cost Budget

```yaml
at_u_8:

  available:
    0.406256897064

  costs:

    descent:
      C_E/2

    prime:
      min(
        analytic_prime_upper,
        failure_prime_capacity
      )

    mirror:
      failure_mirror_capacity

  closure:
    sum_costs < available
```

---

# 附錄 E：Commit Decision

```yaml
research_round:
  TCDC-07

decision:

  scalar_eta_optimized:
    true

  endpoint_principle:
    true

  prime_cost_minimum_principle:
    true

  rowwise_dual_prices:
    formalized

  failure_support_function:
    formalized

  support_function_certificate:
    proved

  positive_uniform_dual_gap:
    not_proved

  Goldbach_proved:
    false

next:
  TCDC-08_FailureSupportLP_MultiSlice_DualCertificate_Mining
```