# SRBRD-15 ## Boundary Parity-Imbalance / Semiprime Transport Capacity Closure ### RootRough Row Slices、Prime-Partner Capacity、Center-Divisor Row Lock、Hall-Type Deficiency 與 Centered Liouville Coupling **母計畫：** RG-SCP / Reverse Goldbach Structural Closure Program **支線：** SRBRD — Symmetric Root-Bounded Relation Domain **輪次：** SRBRD-15 **日期：** 2026-09-30 **版本：** v0.1 **作者：** Neo.K；Aletheia（GPT-5.6 Sol） **性質：** Exact Transport-Capacity Kernel / Rough-Mass Reformulation / Partial Parity-Rescue Audit **前置：** SRBRD-00 ～ SRBRD-14 **狀態：** 建立 semiprime row 的 unsigned RootRough 表示、prime-partner capacity 與 center-divisor forced coupling；Goldbach仍未證明 --- # 0. 本輪目標 SRBRD-14 已把 cube-root RootRough boundary壓成對稱 transport identity： $$ \boxed{ M_{PP} = n_P-n_{SP}+M_{SS}. } $$ 其中： - $n_P$：ordered survivor中的 prime endpoints； - $n_{SP}$：ordered survivor中的 semiprime endpoints； - $M_{SS}$：ordered semiprime–semiprime transport mass； - $M_{PP}$：ordered Goldbach prime-pair count。 只靠 marginals： $$ n_P, \quad n_{SP} $$ 時， 最強一般 lower bound只是： $$ \boxed{ M_{PP} \ge \max(0,n_P-n_{SP}). } $$ 所以要在： $$ n_P\le n_{SP} $$ 時繼續， 必須強迫： $$ \boxed{ M_{SS}>n_{SP}-n_P. } $$ SRBRD-15 的核心問題： > 能否從 semiprime least-factor row 的 arithmetic capacity，直接逼出 internal $SS$ transport？ 本輪得到： 1. semiprime rows可以完全改寫成 RootRough + divisibility slices； 2. prime-majority可以改寫成 unsigned rough-mass inequality； 3. mixed SP/P transport有 prime-partner arithmetic-progression capacity； 4. row deficiency可轉成 forced $SS$ mass； 5. center-divisor row滿足極強： $$ M_{r,0}\le1; $$ 6. center-divisor row還有 triangular label support： $$ M_{r,s}=0 \quad (s>r); $$ 7. 因此可直接逼出 diagonal $M_{r,r}$ lower bound； 8. complement parity correlation可精確寫成 centered product： $$ \lambda(m^2-t^2). $$ 這是目前第一個： $$ \boxed{ \text{不需要 binary-prime positive lower bound， 就能強迫部分 semiprime internal coupling} } $$ 的結構。 但它仍未完成 global parity escape。 --- # 1. Ordered Cube-Root Boundary 沿用 SRBRD-14。 令： $$ \widehat\Omega_m = \left\{ x: 3\le x\le2m-3, \quad x\text{ odd} \right\}. $$ complement involution： $$ \boxed{ \tau_m(x)=2m-x. } $$ 取 integer： $$ z $$ 滿足： $$ \boxed{ z^3\ge2m-3. } $$ ordered survivor： $$ \boxed{ \widehat{\mathcal S}_z(m) = \left\{ x\in\widehat\Omega_m: \operatorname{RootRough}_z(x), \quad \operatorname{RootRough}_z(2m-x) \right\}. } $$ 由 SRBRD-13， 每個 survivor endpoint只能是： - prime； - semiprime。 --- # 2. Semiprime Least-Factor Row Without a Prime Predicate 對 odd prime： $$ r>z, $$ 定義： $$ \boxed{ \mathcal R_r(m,z) = \left\{ x\in\widehat{\mathcal S}_z(m): r\mid x, \quad x\ge r^2 \right\}. } $$ 這個定義沒有寫： $$ x/r\in\mathbb P. $$ --- # 3. RootRough Row Theorem ## Theorem SRBRD-15-T01 對： $$ x\in\widehat{\mathcal S}_z(m), $$ $$ r>z $$ prime， 有： $$ \boxed{ x\in\mathcal R_r(m,z) } $$ 當且僅當： $$ \boxed{ x\text{ semiprime} \quad\text{and}\quad \operatorname{lpf}(x)=r. } $$ --- # 4. T01 Forward Proof 因： $$ x\in\widehat{\mathcal S}_z $$ 與： $$ z^3\ge2m-3, $$ SRBRD-13 給： $$ x $$ 是 prime或semiprime。 但： $$ r\mid x, $$ $$ x\ge r^2>r, $$ 所以： $$ x $$ 不是 prime。 故： $$ x $$ semiprime。 寫： $$ x=ab, \quad a\le b $$ with primes。 因： $$ r\mid x, $$ 所以： $$ r=a $$ 或： $$ r=b. $$ 若： $$ r=b>a, $$ 則： $$ x=abz }} \mathcal R_r. } $$ --- # 7. Row Marginals as Pure Rough Counts 定義： $$ \boxed{ n_r = |\mathcal R_r|. } $$ 則： ## Corollary SRBRD-15-C01 $$ \boxed{ n_{SP} = \sum_{r>z}n_r. } $$ 而： $$ \boxed{ n_P = |\widehat{\mathcal S}_z| - \sum_{r>z}n_r. } $$ 注意： > $n_r$ 的 canonical definition只使用： > - RootRough； > - divisibility； > - square comparison。 沒有 endpoint primality predicate。 --- # 8. Prime-Majority as Rough-Mass Inequality SRBRD-14： $$ n_P>n_{SP} $$ 即可 Goldbach success。 代入 C01： ## Theorem SRBRD-15-T03 若： $$ \boxed{ |\widehat{\mathcal S}_z| > 2 \sum_{r>z} |\mathcal R_r|, } $$ 則： $$ \boxed{ R_G^{-}(2m)>0. } $$ --- # 9. Interpretation of T03 prime-majority可以完全改寫成： $$ \boxed{ \text{total RootRough pair mass} > 2\times \text{one-step semiprime row mass}. } $$ 這很接近 Buchstab-style decomposition： - survivor bulk； - 按 least factor抽出 composite layer。 但： $$ \boxed{ \text{這不表示 parity barrier已消失。} } $$ 要 uniform證 T03 的 strict inequality， sharp rough-count errors仍可能重新承載 parity difficulty。 --- # 10. Goldbach Count in Rough-Mass Form 由： $$ M_{PP} = n_P-n_{SP}+M_{SS}, $$ 以及： $$ n_P = |\widehat{\mathcal S}_z|-n_{SP}, $$ 得到： ## Theorem SRBRD-15-T04 $$ \boxed{ M_{PP} = |\widehat{\mathcal S}_z| - 2\sum_{r>z}n_r + M_{SS}. } $$ 這是： # RootRough–Transport Identity --- # 11. Mixed and Internal Row Mass 對 semiprime row： $$ r, $$ 定義 mixed mass： $$ \boxed{ m_r = M_{r,0}. } $$ 以及 internal semiprime mass： $$ \boxed{ i_r = \sum_{s>0}M_{r,s}. } $$ row sum： ## Theorem SRBRD-15-T05 $$ \boxed{ n_r = m_r+i_r. } $$ 而： $$ \boxed{ M_{SS} = \sum_{r>z}i_r. } $$ --- # 12. Prime-Partner Arithmetic Corridor 若： $$ x\in\mathcal R_r $$ 且 complement： $$ q=2m-x $$ 是 prime， 因： $$ x=rp $$ with： $$ p\ge r, $$ 有： $$ q=2m-rp. $$ 因此： $$ \boxed{ q\equiv2m\pmod r, } $$ 以及： $$ \boxed{ q\le2m-r^2. } $$ --- # 13. Prime-Partner Corridor Set 定義： $$ \boxed{ \mathcal Q_r(m) = \left\{ q\in\mathbb P: 3\le q\le2m-r^2, \quad q\equiv2m\pmod r \right\}. } $$ 這是 actual mixed-prime partners的一個 outer capacity set。 --- # 14. Row Mixed-Capacity Theorem ## Theorem SRBRD-15-T06 $$ \boxed{ m_r \le |\mathcal Q_r(m)|. } $$ 因此： $$ i_r = n_r-m_r \ge n_r-|\mathcal Q_r|. $$ 加上： $$ i_r\ge0, $$ 得到： $$ \boxed{ i_r \ge \left( n_r-|\mathcal Q_r| \right)_+. } $$ --- # 15. Row-Deficiency $SS$ Lower Bound summation： ## Theorem SRBRD-15-T07 定義： $$ \boxed{ L_{SS}^{row}(m,z) = \sum_{r>z} \left( n_r-|\mathcal Q_r(m)| \right)_+. } $$ 則： $$ \boxed{ M_{SS} \ge L_{SS}^{row}. } $$ 所以： $$ \boxed{ M_{PP} \ge |\widehat{\mathcal S}_z| - 2\sum_{r>z}n_r + L_{SS}^{row}. } $$ --- # 16. Row-Capacity Closure ## Corollary SRBRD-15-C02 若： $$ \boxed{ |\widehat{\mathcal S}_z| - 2\sum_{r>z}n_r + L_{SS}^{row} >0, } $$ 則： $$ \boxed{ R_G^{-}(2m)>0. } $$ 這比 prime-majority更強。 --- # 17. Block Prime-Partner Capacity 對一組 semiprime labels： $$ B, $$ 定義： $$ \boxed{ n_B = \sum_{r\in B}n_r, } $$ 以及 prime-partner corridor union： $$ \boxed{ \mathcal Q_B = \bigcup_{r\in B}\mathcal Q_r. } $$ actual mixed partners從 rows： $$ B $$ 流到 prime endpoints時， 每個 ordered prime endpoint只能接收一條 actual complement transport。 所以： ## Theorem SRBRD-15-T08 $$ \boxed{ \sum_{r\in B}m_r \le |\mathcal Q_B|. } $$ 因此 rows： $$ B $$ 內 forced internal mass至少： $$ \boxed{ I_B \ge (n_B-|\mathcal Q_B|)_+. } $$ --- # 18. Disjoint Block Deficiency 若： $$ B_1,\ldots,B_t $$ 為 pairwise disjoint label blocks， 則它們的 row endpoint populations disjoint。 所以： ## Theorem SRBRD-15-T09 $$ \boxed{ M_{SS} \ge \sum_{j=1}^{t} \left( n_{B_j} - |\mathcal Q_{B_j}| \right)_+. } $$ 這是： # Hall-Type Semiprime Transport Deficiency 它允許利用： > 不同 rows 的 prime-partner corridors互相重疊， 得到比 singleton row capacities更強的 forced $SS$ mass。 --- # 19. Why T09 Is Safe Despite Corridor Overlap 即使： $$ \mathcal Q_{B_i} $$ 與： $$ \mathcal Q_{B_j} $$ 互相 overlap， 每個 block inequality只是： $$ \text{該 block internal row mass} \ge n_{B_i}-|\mathcal Q_{B_i}|. $$ 不同 blocks的 row internal mass本身 disjoint。 所以 summation不會 double-count： $$ M_{SS}. $$ corridor capacity的 overlap只會讓 upper capacity較鬆， 不會破壞 soundness。 --- # 20. Center-Divisor Row Lock 現在考慮最重要的特殊情況： $$ \boxed{ r\mid m. } $$ 若： $$ x\in\mathcal R_r $$ 且 complement： $$ q=2m-x $$ prime， 因： $$ r\mid2m $$ 與： $$ r\mid x, $$ 所以： $$ r\mid q. $$ 但： $$ q $$ prime。 因此： ## Theorem SRBRD-15-T10 若： $$ r>z, \quad r\mid m, $$ 則： $$ \boxed{ m_r=M_{r,0}\le1. } $$ 而唯一可能 prime partner是： $$ \boxed{ q=r. } $$ --- # 21. Exact Center Mixed Indicator 令： $$ N_r = \frac{2m}{r}. $$ 若： $$ q=r, $$ 則： $$ x=2m-r = r(N_r-1). $$ 所以： ## Theorem SRBRD-15-T11 對： $$ r>z, \quad r\mid m, $$ $$ \boxed{ m_r = \chi_r(m) } $$ 其中： $$ \boxed{ \chi_r(m) = \mathbf1_{\{ N_r-1\in\mathbb P, \quad N_r-1\ge r \}}. } $$ 因此： $$ \boxed{ i_r = n_r-\chi_r(m). } $$ --- # 22. Center-Divisor Forced Internal Mass 立即得到： ## Corollary SRBRD-15-C03 若： $$ r>z, \quad r\mid m, $$ 則： $$ \boxed{ i_r \ge n_r-1. } $$ 這是一個非常強的 transport restriction： > center-divisor semiprime row中， > 除了最多一個 endpoint， > 其餘全部被迫和另一個 semiprime endpoint配對。 不需要 positive binary-prime lower bound。 --- # 23. Triangular Support of a Center-Divisor Row 假設： $$ r\mid m, $$ 以及： $$ M_{r,s}>0 $$ for semiprime label： $$ s>0. $$ row： $$ r $$ 的 endpoint： $$ x $$ 被： $$ r $$ 整除。 complement： $$ y=2m-x $$ 也被： $$ r $$ 整除。 若： $$ y $$ semiprime且 least factor： $$ s, $$ 因： $$ r\mid y, $$ 則： $$ r $$ 是： $$ y $$ 兩個 prime factors之一。 least factor： $$ s $$ 不可能大於： $$ r. $$ 所以： ## Theorem SRBRD-15-T12 若： $$ r>z, \quad r\mid m, $$ 則： $$ \boxed{ M_{r,s}=0 \quad \text{for all }s>r. } $$ center-divisor row只可流向： - prime label $0$； - semiprime labels： $$ s\le r. $$ --- # 24. Center-Divisor Diagonal Lower Bound row identity： $$ n_r = m_r + M_{r,r} + \sum_{zz\\ r\mid m }} \left( n_r - \chi_r - \sum_{\substack{ s\in\mathbb P\\ zz}n_r + L_{\mathrm{diag}}^{center}. } $$ 因此若右側 positive， Goldbach success。 --- # 27. Center Row as Smaller-Target Prime Pair T11還可以更精確展開。 對： $$ r\mid m, $$ 令： $$ N_r=2m/r. $$ row endpoint： $$ x=rp, \quad p\in\mathbb P, \quad p\ge r. $$ complement： $$ y=rh, $$ 其中： $$ \boxed{ h=N_r-p. } $$ --- # 28. Internal Center Row Characterization 如果 complement： $$ y $$ 也是 semiprime RootRough， 則： $$ h $$ 必為 prime且： $$ h>z. $$ 反之若： $$ h\in\mathbb P, \quad h>z, $$ 則： $$ y=rh $$ 為 RootRough semiprime。 所以： ## Theorem SRBRD-15-T16 $$ \boxed{ i_r = \# \left\{ p\in\mathbb P: p\ge r, \quad N_r-p\in\mathbb P, \quad N_r-p>z \right\}. } $$ 而 mixed state： $$ m_r $$ 正是： $$ \boxed{ N_r-p=1. } $$ --- # 29. Relation to SRBRD-14 Diagonal Recursion 若： $$ N_r-p\ge r, $$ 則 complement semiprime least factor仍是： $$ r, $$ 所以落在： $$ M_{r,r}. $$ 若： $$ zr, $$ 可取： $$ \boxed{ U_r^{BT} = \frac{ 2X_r }{ (r-1)\log(X_r/r) }. } $$ 作 mixed-row upper provider。 這是 external classical theorem interface。 --- # 32. Why This Interface Is Different from a Prime-Pair Lower Bound SRBRD 不要求 Brun–Titchmarsh： > 證某兩個 linear forms同時 prime。 只用它： $$ \boxed{ \text{upper-bound 一個 semiprime row可流向 prime sink 的容量}. } $$ upper-bound sieve本來就是 classical sieve的強項。 所以 row-deficiency route避開了： $$ \boxed{ \text{直接索取 binary-prime positive lower bound}. } $$ 但仍需要足夠強的： $$ n_r $$ rough-row lower information。 --- # 33. Rough Row Lower-Bound Interface 由 T01： $$ n_r $$ 本身是： $$ \boxed{ \text{RootRough pair} + r\mid x + x\ge r^2 } $$ 的 unsigned count。 所以未來可以用： - combinatorial sieve； - Buchstab decomposition； - level-of-distribution estimates； 嘗試建立： $$ \boxed{ L_r^{rough} \le n_r. } $$ 若： $$ L_r^{rough}>U_r^{mix}, $$ 則： $$ \boxed{ i_r>0. } $$ 這是目前最清楚的 analytic transport-capacity interface。 --- # 34. Rough-Mass + Mixed-Capacity Closure 假設已有： $$ L_S \le |\widehat{\mathcal S}_z|, $$ $$ n_r \le U_r^{row} $$ for the negative semiprime term， 以及 internal lower： $$ i_r\ge L_r^{int}. $$ 由 T04： $$ M_{PP} = |\widehat{\mathcal S}_z| - 2\sum_rn_r + \sum_ri_r. $$ 所以： ## Theorem SRBRD-15-T17 若： $$ \boxed{ L_S - 2\sum_rU_r^{row} + \sum_rL_r^{int} >0, } $$ 則： $$ \boxed{ R_G^{-}(2m)>0. } $$ 這是一個完全 aggregate 的 sieve–transport closure contract。 --- # 35. Centered Coordinate 令： $$ \boxed{ t=x-m. } $$ 則 complement： $$ 2m-x=m-t. $$ ordered survivor coordinate set： $$ \boxed{ \mathcal T_z(m) = \left\{ t: m+t\in\widehat{\mathcal S}_z \right\}. } $$ 並有： $$ \boxed{ (m+t)(m-t) = m^2-t^2. } $$ --- # 36. Liouville Sign on the P2 Boundary 令： $$ \lambda(n) = (-1)^{\Omega_{\mathrm{mult}}(n)}. $$ 在 cube-root boundary： - prime： $$ \lambda=-1; $$ - semiprime： $$ \lambda=+1. $$ 所以 SRBRD-14 的 boundary sign： $$ \varepsilon_z(x) $$ 正好： $$ \boxed{ \varepsilon_z(x)=\lambda(x). } $$ --- # 37. Centered Product Correlation SRBRD-14： $$ C_z = \sum_{x\in\widehat{\mathcal S}_z} \varepsilon_z(x) \varepsilon_z(2m-x). $$ Liouville完全乘法： $$ \lambda(a)\lambda(b) = \lambda(ab). $$ 因此： ## Theorem SRBRD-15-T18 $$ \boxed{ C_z(m) = \sum_{t\in\mathcal T_z(m)} \lambda(m^2-t^2). } $$ 這把 two-point endpoint parity correlation壓成： # Centered Quadratic Liouville Sum --- # 38. Full Centered Liouville Goldbach Identity 定義： $$ \boxed{ A_z(m) = \sum_{t\in\mathcal T_z} \lambda(m+t). } $$ 由 complement symmetry： $$ \sum_t\lambda(m-t) = A_z. $$ SRBRD-14： $$ M_{PP} = \frac{ |\mathcal T_z| - 2A_z + C_z }{4}. $$ 代入 T18： ## Theorem SRBRD-15-T19 $$ \boxed{ M_{PP} = \frac14 \left[ |\mathcal T_z| - 2 \sum_{t\in\mathcal T_z} \lambda(m+t) + \sum_{t\in\mathcal T_z} \lambda(m^2-t^2) \right]. } $$ 這是： # Centered Liouville Closure Identity --- # 39. Interpretation SRBRD semiprime boundary現在有兩種 exact aggregate語言。 ## Transport Language $$ \boxed{ M_{PP} = |\widehat{\mathcal S}_z| - 2\sum_rn_r + M_{SS}. } $$ ## Liouville Language $$ \boxed{ M_{PP} = \frac14 \left( |\mathcal T_z| - 2A_z + C_z \right). } $$ 兩者完全等價。 transport語言保留： - least-factor rows； - capacities； - center divisibility。 Liouville語言保留： - parity sign； - centered product correlation。 --- # 40. A New Parity-Source Localization T18顯示： parity correlation不是任意： $$ \lambda(x)\lambda(2m-x). $$ 而是： $$ \boxed{ \lambda(m^2-t^2). } $$ 也就是 square-difference product的 parity。 這可能提供： - factor-pair geometry； - centered product budget； - divisor/cofactor decomposition； 與 parity sign之間更直接的接口。 但目前沒有 uniform sign theorem。 --- # 41. Center-Divisor Row Is a Genuine Coupling Source 對： $$ r\mid m, $$ row lock： $$ m_r\le1 $$ 並不是： - prime-density heuristic； - random residue assumption； - binary-prime lower bound。 它純粹來自： $$ \boxed{ r\mid x, \quad r\mid2m \Longrightarrow r\mid(2m-x). } $$ 再加： > prime divisible by $r$只能等於 $r$。 因此這是一個真正 arithmetic forced-coupling source。 --- # 42. But It Is Not Yet Uniformly Sufficient 很多： $$ m $$ 沒有任何： $$ r>z $$ prime divisor。 例如 selected controls： $$ m=1000, $$ $$ m=5000. $$ 此時 center-divisor provider給： $$ 0, $$ 但 actual： $$ M_{SS}>0. $$ 所以 global closure仍需要： - noncenter row capacity； - block corridor overlap； - or centered Liouville correlation。 --- # 43. Finite Audit：$m=105$ $$ z=6. $$ ordered boundary： $$ |\widehat{\mathcal S}_z|=54. $$ $$ n_P=43, $$ $$ n_{SP}=11. $$ semiprime rows： $$ n_7=7, $$ $$ n_{11}=3, $$ $$ n_{13}=1. $$ center divisor： $$ 7\mid105. $$ row： $$ r=7 $$ 有： $$ M_{7,0}=1. $$ 所以： $$ \boxed{ i_7=7-1=6. } $$ 而： $$ M_{7,7}=6. $$ 因此： $$ L_{SS}^{row}=6, $$ $$ L_{\mathrm{diag}}^{center}=6. $$ Goldbach ordered count： $$ \boxed{ M_{PP} = 54-2(11)+6 = 38. } $$ exact。 --- # 44. Finite Audit：$m=96$ $$ z=6. $$ $$ |\widehat{\mathcal S}_z|=38. $$ $$ n_P=29, $$ $$ n_{SP}=9. $$ actual： $$ M_{SS}=2. $$ row： $$ r=11 $$ 具有： $$ n_{11}=3, $$ actual mixed： $$ M_{11,0}=2. $$ prime-partner corridor capacity也只有： $$ |\mathcal Q_{11}|=2. $$ 所以： $$ \boxed{ i_{11}\ge1. } $$ 此 forced coupling來自 noncenter row capacity， 不是 center divisor。 --- # 45. Finite Audit：$m=255$ $$ z=8. $$ $$ |\widehat{\mathcal S}_z|=98. $$ $$ n_P=78, $$ $$ n_{SP}=20. $$ actual： $$ M_{SS}=6. $$ row-capacity provider： $$ \boxed{ L_{SS}^{row}=5. } $$ 所以它抓到大部分 actual internal semiprime transport。 center-divisor： $$ 17\mid255 $$ 但該 row前面已有大量 smaller-label capacity， 所以簡單 diagonal lower： $$ L_{\mathrm{diag}}^{center}=0. $$ 這顯示： > row-deficiency與diagonal-lock是互補 providers。 --- # 46. Finite Audit：$m=1000$ $$ z=13. $$ $$ |\widehat{\mathcal S}_z|=136. $$ $$ n_P=101, $$ $$ n_{SP}=35. $$ actual： $$ M_{SS}=8. $$ 但 simple prime-partner corridor： $$ \mathcal Q_r $$ 對每個 row都仍太寬， 得到： $$ \boxed{ L_{SS}^{row}=0. } $$ center-divisor provider亦為： $$ 0. $$ 所以： $$ \boxed{ \text{simple AP capacity仍不能捕捉全部 cross coupling。} } $$ --- # 47. Finite Audit：$m=5000$ $$ z=22. $$ $$ |\widehat{\mathcal S}_z|=524. $$ $$ n_P=372, $$ $$ n_{SP}=152. $$ actual： $$ M_{SS}=34. $$ 但： $$ L_{SS}^{row}=0, $$ $$ L_{\mathrm{diag}}^{center}=0. $$ 所以較大 target仍需要更細： - RootRough-filtered mixed capacity； - block corridor compression； - or analytic transport estimates。 --- # 48. Finite Scan：$3\le m\le5000$ computational audit： exact prime-partner corridor row deficiency： $$ L_{SS}^{row}>0 $$ 出現在： $$ \boxed{ 1671 } $$ 個： $$ m $$ 值。 其中： - 只由 center-divisor row或含 center contribution的 cases很多； - 另有： $$ \boxed{ 611 } $$ 個 cases出現 noncenter row deficiency。 所以 row-capacity mechanism不是罕見特例。 --- # 49. Center-Diagonal Scan 在： $$ 3\le m\le5000, $$ simple center-divisor triangular diagonal lower： $$ L_{\mathrm{diag}}^{center}>0 $$ 出現在： $$ \boxed{ 286 } $$ 個 cases。 其中部分 cases： $$ L_{\mathrm{diag}}^{center} $$ 直接等於 actual： $$ D_{\mathrm{diag}}. $$ 這仍只是 finite evidence。 --- # 50. What Is Still Missing 目前最強 exact architecture： $$ \boxed{ M_{PP} = |\widehat{\mathcal S}_z| - 2\sum_rn_r + M_{SS}. } $$ 已經把 problem分成： ### Unsigned rough quantities $$ |\widehat{\mathcal S}_z|, $$ $$ n_r=|\mathcal R_r|. $$ ### Forced coupling quantity $$ M_{SS}. $$ 而： $$ M_{SS} $$ 已有： - row deficiency； - block deficiency； - center row lock； - diagonal triangular lower； 等 providers。 但還沒有 uniform證： $$ \boxed{ |\widehat{\mathcal S}_z| - 2\sum_rn_r + L_{SS} >0 } $$ 對全部： $$ m. $$ --- # 51. Why This Is Progress Relative to SRBRD-14 SRBRD-14 的 prime-majority： $$ n_P>n_{SP} $$ 看起來直接要求 prime-vs-semiprime sign。 SRBRD-15 將它改寫： $$ \boxed{ |\widehat{\mathcal S}_z| > 2\sum_r|\mathcal R_r|. } $$ 所有 quantities都能用： - RootRough； - divisibility； - square thresholds； 定義。 同時如果 inequality差一點， transport capacity可以提供： $$ \boxed{ M_{SS} } $$ positive correction。 所以 research target已從： > 直接 lower-bound binary prime pairs 變成： > **lower-bound rough-pair mass、upper-bound semiprime-row mass、強迫 internal transport。** 這是一個實質不同的 proof architecture。 --- # 52. Parity Warning Remains 但是： $$ \boxed{ \text{重新用 unsigned counts表示 parity quantity} } $$ 不代表 parity difficulty自動消失。 如果要在 critical cube-root cutoff證 sharp inequality： $$ |\widehat{\mathcal S}_z| > 2\sum_rn_r, $$ 所需誤差控制可能重新等價於很強的 parity-sensitive information。 因此目前只可說： $$ \boxed{ \text{parity source已被重新定位， 不是已被突破。} } $$ --- # 53. Formal Theorem Queue ```yaml SRBRD_15: T01: RootRough_divisor_square_slice_iff_semiprime_lpf_row T02: semiprime_rows_disjoint T03: rough_mass_prime_majority_criterion T04: RootRough_transport_identity T05: row_mixed_internal_partition T06: mixed_row_prime_partner_corridor_upper T07: singleton_row_deficiency_SS_lower T08: block_prime_partner_capacity T09: disjoint_block_transport_deficiency T10: center_divisor_mixed_row_at_most_one T11: exact_center_mixed_indicator T12: center_divisor_row_triangular_support T13: center_divisor_diagonal_lower T14: aggregate_center_diagonal_provider T15: center_diagonal_Goldbach_closure T16: center_row_smaller_target_characterization T17: rough_mass_mixed_capacity_closure T18: centered_product_Liouville_correlation T19: centered_Liouville_Goldbach_identity ``` --- # 54. Acceptance Gate SRBRD-15 formal core前需： 1. RootRough semiprime-row equivalence； 2. disjoint row partition； 3. rough-mass prime-majority identity； 4. mixed/internal row partition； 5. prime-partner corridor soundness； 6. block capacity theorem； 7. center-divisor row lock； 8. exact $0/1$ center mixed indicator； 9. triangular center-row support； 10. diagonal lower bound； 11. smaller-target center-row identity； 12. Brun–Titchmarsh interface only作 external provider； 13. centered Liouville product identity； 14. finite audit與 theorem claims分離； 15. no universal prime-majority claim； 16. no parity-escape claim； 17. no Goldbach proof claim。 --- # 55. Verdict 本輪可以給： $$ \boxed{ \mathrm{SRBRD\mbox{-}15\ TRANSPORT\mbox{-}CAPACITY\ KERNEL\ PASS}. } $$ 最重要的新 theorem family是： $$ \boxed{ \text{semiprime rows} = \text{RootRough + divisibility + square slices}. } $$ 因此： $$ \boxed{ n_{SP} = \sum_r|\mathcal R_r| } $$ 不需要顯式 prime predicate。 再加： $$ \boxed{ M_{SS} \ge L_{SS}^{row}, } $$ 以及 center-divisor： $$ \boxed{ M_{r,0}\le1, } $$ $$ \boxed{ M_{r,s}=0 \quad (s>r), } $$ 提供真正 arithmetic forced internal transport。 但： $$ \boxed{ \mathrm{UNIFORM\ PARITY\ RESCUE\ NOT\ YET\ PROVED}. } $$ 而： $$ \boxed{ \mathrm{GOLDBACH\ STILL\ OPEN}. } $$ --- # 56. 下一輪建議 # SRBRD-16 ## Buchstab-Row Mass / Upper-Bound Mixed-Flow Closure 下一輪最值得正式攻 analytical inequality： $$ \boxed{ |\widehat{\mathcal S}_z| - 2\sum_rn_r + L_{SS} >0. } $$ 分成三個 provider： ### A. Total Rough-Pair Lower Bound $$ L_S \le |\widehat{\mathcal S}_z|. $$ ### B. Semiprime-Row Upper Bound $$ \sum_rn_r \le U_{SP}. $$ ### C. Forced Internal-Flow Lower Bound $$ L_{SS} \le M_{SS}. $$ 目標： $$ \boxed{ L_S-2U_{SP}+L_{SS}>0. } $$ 優先工具接口： 1. Buchstab decomposition； 2. dimension-2 rough sieve； 3. Brun–Titchmarsh row mixed capacity； 4. block prime-partner corridor compression； 5. center-divisor exact rows； 6. dyadic $r$-layers； 7. 不直接索取 binary-prime positive lower bound。 如果這一層能 closing， 才可能構成真正的 parity-rescue theorem。 --- # 附錄 A：Semiprime Row Contract ```yaml Row_r: conditions: x_in_ordered_RootRough_survivor: true r_prime: true r > z r divides x x >= r^2 theorem: iff: x_semiprime: true lpf_x: r row_count: n_r: card(Row_r) semiprime_total: n_SP: sum_r(n_r) ``` --- # 附錄 B：Prime-Partner Capacity ```yaml PrimeCorridor_r: q: prime: true 3 <= q <= 2m-r^2 q == 2m mod r mixed_row: M_r_0 <= card(PrimeCorridor_r) internal_row: i_r: n_r-M_r_0 lower: i_r >= max(0,n_r-card(PrimeCorridor_r)) ``` --- # 附錄 C：Center-Divisor Lock ```yaml if: r > z r divides m then: prime_partner: only_possible_q: r M_r_0: <= 1 exact_indicator: M_r_0: 1 iff: 2m/r - 1 is prime 2m/r - 1 >= r semiprime_partner_labels: s <= r diagonal_lower: M_r_r >= max( 0, n_r - M_r_0 - sum_{z