# SRBRD-13
## Semiprime Boundary / Bilinear Capacity Closure
### RootRough Canonical Correction、$P_2$ Boundary Identity、Semiprime Cells、Same-Factor Recursion 與 Affine-Prime Barrier

**母計畫：** RG-SCP / Reverse Goldbach Structural Closure Program  
**支線：** SRBRD — Symmetric Root-Bounded Relation Domain  
**輪次：** SRBRD-13  
**日期：** 2026-09-30  
**版本：** v0.1  
**作者：** Neo.K；Aletheia（GPT-5.6 Sol）  
**性質：** Exact $P_2$ Boundary Kernel / Bilinear Capacity Audit / Parity-Escape Test  
**前置：** SRBRD-00 ～ SRBRD-12  
**狀態：** 建立 canonical semiprime boundary identity 與 affine-prime cell decomposition；Goldbach仍未證明

---

# 0. 本輪任務

SRBRD-12 已將 endpoint composite state canonicalize：

$$
x=r\,a,
\qquad
r=\operatorname{lpf}(x),
\qquad
a\ge r.
$$

並定義 division depth：

$$
\delta(x)
=
\Omega_{\mathrm{mult}}(x)-1.
$$

因此：

- prime：
  $$
  \delta=0;
  $$
- semiprime：
  $$
  \delta=1;
  $$
- deeper composite：
  $$
  \delta\ge2.
  $$

SRBRD-13 只攻：

$$
\boxed{
\delta=1
\longrightarrow
0.
}
$$

也就是：

# Semiprime Boundary

本輪建立：

1. RootRough canonical correction；
2. cube-root cutoff後的 exact P / SP pair-state partition；
3. canonical left / right semiprime cells；
4. double-semiprime $(r,s)$ disjoint cells；
5. same-factor cell的 recursive Goldbach bijection；
6. cross-factor cell的 affine-prime lattice；
7. single-semiprime channels同樣是 two-linear-form prime correlations；
8. 一條重要 no-go：
   $$
   \boxed{
   \text{cofactorization本身沒有自動突破 parity barrier。}
   }
   $$

---

# 1. Canonical Correction to SRBRD-11

SRBRD-11 曾使用：

> $z$-rough = 沒有 prime divisor $r\le z$。

這個寫法若直接套用到 prime：

$$
p\le z,
$$

會把：

$$
p
$$

本身錯誤視為 obstruction。

所以正式 canonical definition改成：

# RootRough

---

# 2. RootRough Predicate

對：

$$
x\ge2,
$$

定義：

$$
\boxed{
\operatorname{RootRough}_z(x)
:
\Longleftrightarrow
\neg\exists r\in\mathbb P,
\quad
r\le z,
\quad
r^2\le x,
\quad
r\mid x.
}
$$

也就是：

> 沒有 cutoff內且同時位於 proper square-root range 的 prime divisor。

---

# 3. Prime Preservation

## Theorem SRBRD-13-T01

若：

$$
x\in\mathbb P,
$$

則對任意：

$$
z,
$$

$$
\boxed{
\operatorname{RootRough}_z(x).
}
$$

即使：

$$
x\le z.
$$

因唯一 prime divisor：

$$
r=x,
$$

但：

$$
x^2>x.
$$

所以不符合：

$$
r^2\le x.
$$

---

# 4. Composite Characterization

## Theorem SRBRD-13-T02

若：

$$
x
$$

composite，

則：

$$
\boxed{
\operatorname{RootRough}_z(x)
\Longleftrightarrow
\operatorname{lpf}(x)>z.
}
$$

因 composite的 least prime factor自動滿足：

$$
\operatorname{lpf}(x)^2\le x.
$$

---

# 5. Root Completion Restored

因此 SRBRD-11 的 root-completion theorem正式改寫為：

## Theorem SRBRD-13-T03

若：

$$
x\ge2,
$$

$$
z^2\ge x,
$$

則：

$$
\boxed{
\operatorname{RootRough}_z(x)
\Longleftrightarrow
x\in\mathbb P.
}
$$

這一版沒有 small-prime boundary bug。

---

# 6. Cube-Root Boundary

固定：

$$
m\ge3.
$$

令 integer：

$$
z
$$

滿足：

$$
\boxed{
z^3\ge2m-3.
}
$$

可以取最小：

$$
\boxed{
z_3(m)
=
\min\{z\in\mathbb N:z^3\ge2m-3\}.
}
$$

---

# 7. RootRough Endpoint Is Prime or Semiprime

## Theorem SRBRD-13-T04

若：

$$
3\le x\le2m-3,
$$

$$
\operatorname{RootRough}_z(x),
$$

以及：

$$
z^3\ge2m-3,
$$

則：

$$
\boxed{
x
\text{ is prime or semiprime}.
}
$$

---

# 8. T04 Proof

若：

$$
x
$$

composite，

T02給：

$$
r=\operatorname{lpf}(x)>z.
$$

若：

$$
\Omega_{\mathrm{mult}}(x)\ge3,
$$

則所有 prime factors：

$$
>z.
$$

所以：

$$
x>z^3.
$$

但：

$$
z^3\ge2m-3\ge x.
$$

矛盾。

因此：

$$
\Omega_{\mathrm{mult}}(x)=2.
$$

所以 semiprime。

---

# 9. RootRough Symmetric Survivor Set

定義：

$$
\boxed{
\mathcal S_z(m)
=
\left\{
d\in\Omega_m:
\operatorname{RootRough}_z(m-d),
\quad
\operatorname{RootRough}_z(m+d)
\right\}.
}
$$

當：

$$
z^3\ge2m-3,
$$

每個：

$$
d\in\mathcal S_z(m)
$$

的兩 endpoints都只可能：

- prime；
- semiprime。

---

# 10. Four P2 Boundary States

定義：

$$
\mathcal S_{PP},
$$

$$
\mathcal S_{SP},
$$

$$
\mathcal S_{PS},
$$

$$
\mathcal S_{SS},
$$

分別表示：

- Prime / Prime；
- Semiprime / Prime；
- Prime / Semiprime；
- Semiprime / Semiprime。

---

# 11. Exact P2 Partition

## Theorem SRBRD-13-T05

若：

$$
z^3\ge2m-3,
$$

則：

$$
\boxed{
\mathcal S_z(m)
=
\mathcal S_{PP}
\bigsqcup
\mathcal S_{SP}
\bigsqcup
\mathcal S_{PS}
\bigsqcup
\mathcal S_{SS}.
}
$$

---

# 12. Prime-Pair State Is Exactly Residual

因 prime endpoint永遠 RootRough：

## Theorem SRBRD-13-T06

$$
\boxed{
\mathcal S_{PP}(m,z)
=
\operatorname{Res}(m).
}
$$

所以：

$$
\boxed{
R_G^{-}(2m)
=
|\mathcal S_{PP}|.
}
$$

---

# 13. Semiprime Boundary Identity

定義：

$$
C_L(m,z)
=
\{d\in\mathcal S_z:
m-d\text{ semiprime}\},
$$

$$
C_R(m,z)
=
\{d\in\mathcal S_z:
m+d\text{ semiprime}\}.
$$

則：

$$
C_L
=
\mathcal S_{SP}
\bigsqcup
\mathcal S_{SS},
$$

$$
C_R
=
\mathcal S_{PS}
\bigsqcup
\mathcal S_{SS}.
$$

因此：

## Theorem SRBRD-13-T07

$$
\boxed{
R_G^{-}(2m)
=
|\mathcal S_z(m)|
-
|C_L(m,z)|
-
|C_R(m,z)|
+
|\mathcal S_{SS}(m,z)|.
}
$$

這是：

# P2-Boundary Canonical Coverage Identity

---

# 14. Failure at the P2 Boundary

Goldbach failure：

$$
R_G^{-}(2m)=0.
$$

由 T07：

$$
\boxed{
|\mathcal S_z|
=
|C_L|
+
|C_R|
-
|\mathcal S_{SS}|.
}
$$

也就是：

> 所有 cube-root RootRough survivors都被至少一個 semiprime endpoint吃滿。

---

# 15. Canonical Semiprime Split

若：

$$
x
$$

odd semiprime，

存在唯一：

$$
\boxed{
x=rp,
}
$$

其中：

$$
r,p\in\mathbb P,
$$

$$
r\le p,
$$

且：

$$
r=\operatorname{lpf}(x).
$$

如果：

$$
x
$$

又 RootRough：

$$
z,
$$

則：

$$
\boxed{
r>z,
\qquad
p\ge r>z.
}
$$

---

# 16. Left Semiprime Cell

對 prime：

$$
r>z,
$$

定義：

$$
\boxed{
L_r(m,z)
}
$$

為：

$$
d\in\mathcal S_z(m)
$$

滿足：

$$
m-d=rp,
$$

其中：

$$
p\in\mathbb P,
\quad
p\ge r.
$$

因 canonical least factor唯一：

## Theorem SRBRD-13-T08

$$
\boxed{
C_L(m,z)
=
\bigsqcup_{\substack{
r\in\mathbb P\\
r>z
}}
L_r(m,z).
}
$$

---

# 17. Right Semiprime Cell

同理定義：

$$
R_s(m,z)
$$

由：

$$
m+d=sq,
$$

$$
q\in\mathbb P,
\quad
q\ge s>z.
$$

則：

$$
\boxed{
C_R(m,z)
=
\bigsqcup_{\substack{
s\in\mathbb P\\
s>z
}}
R_s(m,z).
}
$$

---

# 18. Double-Semiprime Cell

定義：

$$
\boxed{
D_{r,s}(m,z)
=
L_r(m,z)\cap R_s(m,z).
}
$$

因左右 least factors唯一：

## Theorem SRBRD-13-T09

$$
\boxed{
\mathcal S_{SS}(m,z)
=
\bigsqcup_{\substack{
r,s\in\mathbb P\\
r,s>z
}}
D_{r,s}(m,z).
}
$$

所以 semiprime overlap現在是完全 disjoint 的 canonical $(r,s)$ cells。

---

# 19. Double-Semiprime Bilinear Equation

若：

$$
d\in D_{r,s},
$$

則存在 primes：

$$
p\ge r,
\quad
q\ge s
$$

使：

$$
m-d=rp,
$$

$$
m+d=sq.
$$

所以：

## Theorem SRBRD-13-T10

$$
\boxed{
rp+sq=2m,
}
$$

$$
\boxed{
sq-rp=2d,
}
$$

並且：

$$
\boxed{
rp\le m\le sq.
}
$$

---

# 20. Same-Factor Cell

先考慮：

$$
r=s.
$$

則：

$$
r(p+q)=2m.
$$

因：

$$
r
$$

odd prime，

得到：

$$
\boxed{
r\mid m.
}
$$

以及：

$$
\boxed{
p+q
=
\frac{2m}{r}.
}
$$

---

# 21. Same-Factor Recursive Bijection

定義：

$$
R_{G,\ge r}^{-}(M)
$$

為：

> reduced Goldbach representations：
> $$
> M=p+q,
> \quad
> p\le q,
> \quad
> p,q\in\mathbb P,
> \quad
> p\ge r.
> $$

則：

## Theorem SRBRD-13-T11

若：

$$
r>z,
$$

$$
r\mid m,
$$

則：

$$
\boxed{
|D_{r,r}(m,z)|
=
R_{G,\ge r}^{-}
\left(
\frac{2m}{r}
\right).
}
$$

---

# 22. T11 Forward

若：

$$
d\in D_{r,r},
$$

有：

$$
m-d=rp,
$$

$$
m+d=rq,
$$

$$
p,q\in\mathbb P,
$$

$$
r\le p\le q.
$$

所以：

$$
p+q=2m/r.
$$

---

# 23. T11 Reverse

若：

$$
p+q=2m/r,
$$

$$
r\le p\le q,
$$

令：

$$
x=rp,
$$

$$
y=rq.
$$

則：

$$
x+y=2m,
$$

$$
x\le y,
$$

且：

$$
\operatorname{lpf}(x)=
\operatorname{lpf}(y)=r.
$$

因：

$$
r>z,
$$

兩 endpoints RootRough$_z$。

所以對應一個：

$$
d\in D_{r,r}.
$$

---

# 24. Multiplicative Goldbach Transport

T11表示：

$$
\boxed{
\text{較小 even target }
2m/r
\text{ 的 Goldbach pair}
}
$$

可以 multiplicatively lift成：

$$
\boxed{
2m
\text{ 的 same-lpf double-semiprime state}.
}
$$

這是新的 exact transport：

# Multiplicative Goldbach Transport

它不是 failure-preserving transport，

而是 success-state到 composite-pair state的結構映射。

---

# 25. Minimal-Counterexample Interpretation

若假設：

$$
2m_*
$$

為最小 Goldbach反例，

則對：

$$
r\mid m_*,
\quad
r>1,
$$

較小 even：

$$
\frac{2m_*}{r}
$$

若為 integer：

$$
\ge4,
$$

必 Goldbach-success。

但要 lift到：

$$
D_{r,r}
$$

還需要其某個 reduced representation滿足：

$$
p\ge r.
$$

所以 minimality只給：

$$
\boxed{
\text{smaller success},
}
$$

不自動給：

$$
\boxed{
\text{same-factor semiprime cell nonempty}.
}
$$

這是重要 logical boundary。

---

# 26. Control：$m=105$

取 cube-root cutoff：

$$
z=6.
$$

center divisor：

$$
r=7.
$$

較小 target：

$$
\frac{2m}{r}
=
30.
$$

Goldbach representations with smaller prime：

$$
\ge7:
$$

$$
7+23,
$$

$$
11+19,
$$

$$
13+17.
$$

所以：

$$
\boxed{
|D_{7,7}(105,6)|=3.
}
$$

對應：

$$
91+119,
$$

$$
77+133,
$$

$$
49+161.
$$

三個 same-lpf double-semiprime states。

---

# 27. Control：$m=84$

$$
z=6,
$$

$$
r=7,
$$

$$
2m/r=24.
$$

representations：

$$
7+17,
$$

$$
11+13.
$$

所以：

$$
\boxed{
|D_{7,7}(84,6)|=2.
}
$$

對應：

$$
49+119,
$$

$$
77+91.
$$

---

# 28. Cross-Factor Cell

現在：

$$
r\neq s.
$$

由：

$$
rp+sq=2m
$$

與：

$$
\gcd(r,s)=1,
$$

有：

$$
\boxed{
p
\equiv
2m\,r^{-1}
\pmod s.
}
$$

一旦：

$$
p
$$

給定：

$$
\boxed{
q
=
\frac{2m-rp}{s}.
}
$$

所以 fixed：

$$
(r,s)
$$

cell是一維 affine lattice上的 simultaneous primality問題。

---

# 29. Finite $p$ Interval

canonical constraints：

$$
p\ge r.
$$

又：

$$
rp\le m,
$$

所以：

$$
\boxed{
p
\le
\left\lfloor
\frac mr
\right\rfloor.
}
$$

right least-factor condition：

$$
q\ge s
$$

等價：

$$
2m-rp\ge s^2,
$$

所以：

$$
\boxed{
p
\le
\left\lfloor
\frac{2m-s^2}{r}
\right\rfloor.
}
$$

因此：

## Theorem SRBRD-13-T12

cross cell只需考慮 prime：

$$
p
$$

滿足：

$$
\boxed{
r
\le
p
\le
P_{\max}
}
$$

其中：

$$
\boxed{
P_{\max}
=
\min
\left(
\left\lfloor\frac mr\right\rfloor,
\left\lfloor
\frac{2m-s^2}{r}
\right\rfloor
\right),
}
$$

以及：

$$
p\equiv2m r^{-1}\pmod s.
$$

並要求：

$$
q=(2m-rp)/s
$$

prime。

---

# 30. Odd Affine Cofactor Lattice

因：

$$
r,s,p,q
$$

全 odd，

可選一個 odd prime-candidate solution：

$$
(p_*,q_*).
$$

全部 odd integer solutions：

## Theorem SRBRD-13-T13

$$
\boxed{
p
=
p_*+2sn,
}
$$

$$
\boxed{
q
=
q_*-2rn,
}
$$

for：

$$
n\in\mathbb Z.
$$

再截到：

$$
p\ge r,
$$

$$
q\ge s,
$$

$$
rp\le m.
$$

得到 finite lattice。

---

# 31. Cross Cell as Two-Affine-Prime Problem

所以：

$$
\boxed{
D_{r,s}
}
$$

對：

$$
r\neq s
$$

的 exact counting問題是：

> 在 finite integer interval內，找 $n$ 使：
> $$
> p_*+2sn
> $$
> 與：
> $$
> q_*-2rn
> $$
> 同時 prime。

這是標準形式的：

$$
\boxed{
\text{two affine linear forms simultaneous primality problem}.
}
$$

---

# 32. Single-Semiprime / Prime Channel

考慮：

$$
d\in\mathcal S_{SP}.
$$

有：

$$
m-d=rp,
$$

$$
m+d=q,
$$

其中：

$$
r,p,q
$$

primes，

$$
r\le p.
$$

所以：

$$
\boxed{
rp+q=2m.
}
$$

固定：

$$
r,
$$

這要求：

$$
\boxed{
p
}
$$

與：

$$
\boxed{
2m-rp
}
$$

同時 prime。

---

# 33. One-Sided Channel Is Also Binary Prime Correlation

## Theorem SRBRD-13-T14

固定：

$$
r,
$$

left-semiprime/right-prime channel等價於：

$$
\boxed{
L_1(p)=p,
}
$$

$$
\boxed{
L_2(p)=2m-rp
}
$$

兩個 affine forms同時 prime，

在 finite interval：

$$
r\le p\le m/r.
$$

right-semiprime/left-prime同理。

---

# 34. Parity Barrier Recurses into Cofactors

這是本輪最重要的 negative diagnosis。

原問題：

$$
m-d,
\quad
m+d
$$

是否同時 prime。

進到 semiprime boundary後，

cross cells變成：

$$
p_*+2sn,
\quad
q_*-2rn
$$

是否同時 prime。

one-sided cells變成：

$$
p,
\quad
2m-rp
$$

是否同時 prime。

所以：

$$
\boxed{
\text{cofactorization並沒有自動消除 binary-prime correlation；
它把 primality問題下推到較小 cofactor variables。}
}
$$

---

# 35. This Is the Correct Parity-Escape Audit

因此：

> 只把 endpoint寫成 factor × cofactor，
> 但最後仍逐 channel要求兩個 affine forms同時 prime，

不應算成：

$$
\boxed{
\text{parity barrier escape}.
}
$$

真正 escape必須使用：

- 不同 $(r,s)$ channels之間的耦合；
- recursive multiplicative transport；
- bilinear global capacity；
- or another non-sieve source。

---

# 36. Canonical Boundary Identity in Cell Form

由 T07 ～ T09：

$$
|C_L|
=
\sum_r|L_r|,
$$

$$
|C_R|
=
\sum_s|R_s|,
$$

$$
|\mathcal S_{SS}|
=
\sum_{r,s}|D_{r,s}|.
$$

所以：

## Theorem SRBRD-13-T15

$$
\boxed{
R_G^{-}(2m)
=
|\mathcal S_z|
-
\sum_r|L_r|
-
\sum_s|R_s|
+
\sum_{r,s}|D_{r,s}|.
}
$$

所有 sums只取：

$$
r,s>z.
$$

這是 semiprime boundary的 canonical demand–coverage identity。

---

# 37. Why the Positive Overlap Term Matters

如果只 upper-bound：

$$
|L_r|,
|R_s|,
$$

會重複吃掉：

$$
\mathcal S_{SS}.
$$

所以要證 residual positive，

double-semiprime overlap：

$$
\boxed{
\sum_{r,s}|D_{r,s}|
}
$$

是合法的 positive correction。

這與 SRBRD 前面 occupancy overlap完全平行。

但現在 overlap cells已 canonical化成：

$$
\boxed{
\text{bilinear prime cells}.
}
$$

---

# 38. Same vs Cross Double-Semiprime Split

定義：

$$
\boxed{
D_{\mathrm{same}}
=
\bigsqcup_rD_{r,r},
}
$$

$$
\boxed{
D_{\mathrm{cross}}
=
\bigsqcup_{r\neq s}D_{r,s}.
}
$$

則：

$$
\boxed{
\mathcal S_{SS}
=
D_{\mathrm{same}}
\bigsqcup
D_{\mathrm{cross}}.
}
$$

---

# 39. Same Channel Is Recursive Goldbach

由 T11：

$$
\boxed{
|D_{\mathrm{same}}|
=
\sum_{\substack{
r>z\\
r\mid m
}}
R_{G,\ge r}^{-}
\left(
\frac{2m}{r}
\right).
}
$$

這完全由 smaller Goldbach problems構成。

---

# 40. Cross Channel Is Affine Prime Pair

$$
\boxed{
|D_{\mathrm{cross}}|
=
\sum_{r\neq s}
\#\left\{
n:
p_*+2sn\in\mathbb P,
\quad
q_*-2rn\in\mathbb P
\right\}.
}
$$

with finite interval restrictions。

所以 double-semiprime overlap本身自然分成：

$$
\boxed{
\text{recursive diagonal}
+
\text{affine-prime off-diagonal}.
}
$$

---

# 41. Finite Audit: $m=100$

取：

$$
z=6,
$$

因：

$$
6^3=216\ge197.
$$

RootRough pair-state counts：

$$
|\mathcal S_z|=14.
$$

partition：

$$
PP=8,
$$

$$
SP/P=2,
$$

$$
P/SP=4,
$$

$$
SP/SP=0.
$$

所以：

$$
\boxed{
8
=
14-2-4+0.
}
$$

與：

$$
R_G^{-}(200)=8
$$

一致。

---

# 42. Finite Audit: $m=199$

$$
z=8.
$$

$$
|\mathcal S_z|=15.
$$

partition：

$$
PP=7,
$$

$$
SP/P=3,
$$

$$
P/SP=5,
$$

$$
SP/SP=0.
$$

所以：

$$
\boxed{
7=15-3-5.
}
$$

---

# 43. Finite Audit: $m=1000$

$$
z=13.
$$

$$
|\mathcal S_z|=68.
$$

partition：

$$
PP=37,
$$

$$
SP/P=6,
$$

$$
P/SP=21,
$$

$$
SP/SP=4.
$$

所以：

$$
\boxed{
37
=
68-6-21+4.
}
$$

四個 double-semiprime states全部是：

$$
r\neq s
$$

cross cells。

selected examples：

$$
841+1159
=
29^2+19\cdot61
=
2000,
$$

$$
667+1333
=
23\cdot29+31\cdot43
=
2000.
$$

---

# 44. Finite Audit: $m=5000$

$$
z=22.
$$

$$
|\mathcal S_z|=262.
$$

partition：

$$
PP=127,
$$

$$
SP/P=40,
$$

$$
P/SP=78,
$$

$$
SP/SP=17.
$$

所以：

$$
\boxed{
127
=
262-40-78+17.
}
$$

17個 double-semiprime states全部為 cross-factor cells。

---

# 45. Finite Audit: Same-Factor Rich Center $m=105$

$$
z=6.
$$

$$
|\mathcal S_z|=27.
$$

partition：

$$
PP=19,
$$

$$
P/SP=5,
$$

$$
SP/SP=3.
$$

三個：

$$
SP/SP
$$

全部來自：

$$
r=s=7.
$$

且精確對應較小 target：

$$
30
$$

的：

$$
7+23,
$$

$$
11+19,
$$

$$
13+17.
$$

這直接驗證 T11。

---

# 46. RootRough Correction Audit

使用 corrected：

$$
\operatorname{RootRough}
$$

後，

finite PP count會與：

$$
R_G^{-}(2m)
$$

一致。

例如：

$$
m=1000
$$

得到：

$$
PP=37,
$$

與 SRBRD 先前 exact residual：

$$
37
$$

一致。

舊「ordinary z-rough」若把 small prime endpoint本身排除，會少算：

- $m=100$：
  $$
  7\to8;
  $$
- $m=1000$：
  $$
  34\to37.
  $$

所以本 correction是必要的 canonical fix。

---

# 47. Semiprime Cell Ranges

若 left endpoint：

$$
rp\le m,
$$

且：

$$
r\le p,
$$

則：

$$
\boxed{
r^2\le m.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
z<r\le\sqrt m.
}
$$

因此 left semiprime least factors只落在：

$$
(z,\sqrt m].
$$

right least factors則可到：

$$
\sqrt{2m-3}.
$$

這保留 SRBRD 的 left/right root asymmetry。

---

# 48. Cross Cell Parameter Count Before Primality

對 fixed：

$$
r\neq s,
$$

odd lattice step：

$$
2s
$$

in：

$$
p.
$$

所以 raw candidate count：

$$
\boxed{
N_{r,s}^{raw}
}
$$

可由 finite AP interval exact計算。

actual：

$$
|D_{r,s}|
$$

只保留：

$$
p,q
$$

雙 prime candidates。

因此：

$$
\boxed{
|D_{r,s}|
\le
N_{r,s}^{raw}.
}
$$

這是 proof-admissible bilinear capacity upper bound。

---

# 49. But Raw Bilinear Capacity Is Usually Too Weak

因 raw lattice不分：

- prime cofactor；
- composite cofactor。

它可能遠大於：

$$
|D_{r,s}|.
$$

若再對：

$$
p,q
$$

使用 local sieve，

就回到：

$$
\boxed{
\text{two-linear-form parity problem}.
}
$$

所以 raw bilinear capacity本身不構成 parity escape。

---

# 50. Recursive Diagonal Is Structurally Different

same-factor：

$$
r=s
$$

完全不需要重新做 affine-prime sieve。

它直接變成：

$$
\boxed{
\text{smaller Goldbach representation count}.
}
$$

所以 diagonal channel帶有真正的 recursive information。

這是 off-diagonal沒有的結構。

---

# 51. Potential Minimality Interface

若：

$$
2m_*
$$

是 minimal counterexample，

對：

$$
r\mid m_*,
$$

smaller target：

$$
2m_*/r
$$

已知 Goldbach成功。

如果能額外證：

$$
\boxed{
\text{存在一個 smaller representation的兩 primes皆 }\ge r,
}
$$

就會強迫：

$$
D_{r,r}\neq\varnothing.
$$

但這只產生一個：

$$
CC
$$

state，

不是 Goldbach contradiction。

所以它更適合作：

- overlap lower bound；
- semiprime capacity correction；

而不是直接 closure。

---

# 52. Semiprime Boundary Closure Template

由 T15，

若能提供：

$$
|\mathcal S_z|
\ge
L_S,
$$

$$
\sum_r|L_r|
\le
U_L,
$$

$$
\sum_s|R_s|
\le
U_R,
$$

以及：

$$
\sum_{r,s}|D_{r,s}|
\ge
L_D,
$$

且：

$$
\boxed{
L_S-U_L-U_R+L_D>0,
}
$$

則：

$$
\boxed{
R_G^{-}(2m)>0.
}
$$

這是：

# Semiprime Boundary Demand–Capacity Closure

---

# 53. Why This Could Be Better Than Outer Sieve

outer sieve直接嘗試證：

$$
PP>0.
$$

semiprime boundary改成：

1. 先 lower-bound全部 P/P2 survivors；
2. upper-bound one-sided semiprime contamination；
3. lower-bound double-semiprime overlap。

如果：

$$
SS
$$

overlap很大，

可以抵銷兩個 one-sided semiprime capacities的雙重計數。

這和 SRBRD occupancy correction同一哲學。

---

# 54. But Parity Barrier Remains in the Needed Bounds

問題是：

- $L_S$：
  sieve可以處理；
- $U_L,U_R$：
  仍涉及 prime cofactor / rough opposite endpoint；
- $L_D$ cross part：
  直接是 binary affine prime correlation。

所以目前 template本身並未 escape parity。

它只是把最後 barrier定位到非常具體的 cells。

---

# 55. Exact Parity-Escape Gate

SRBRD-13 後，

只有下列任一種結果才可算真正的 parity-escape evidence：

### Gate A

對 cross：

$$
D_{r,s}
$$

得到不依賴 ordinary two-linear-form sieve parity的 positive lower bound。

### Gate B

證 diagonal recursive term：

$$
D_{r,r}
$$

在 aggregate上足以關閉 semiprime boundary。

### Gate C

利用不同：

$$
(r,s)
$$

cells之間的 bilinear coupling，

得到 cross-cell aggregate lower bound，

而不是逐 cell求兩 primes。

### Gate D

找到 cofactor recursion invariant直接排除全部 semiprime contamination cover。

目前：

$$
\boxed{
A,B,C,D
\text{ 均未完成。}
}
$$

---

# 56. External Benchmark Audit

外部已知 Chen-type theorem：

> sufficiently large even integer可表示為 prime加一個至多兩個 prime factors的數。  
> 這正對應「至少一個 endpoint division depth $0$，另一側 depth $\le1$」的層級。 citeturn312950search0turn312950search2

Tao 對 general parity obstruction的 exposition明確把 binary Goldbach寫成兩個 affine linear forms同時 prime的問題，並把 Chen theorem視為把其中一側放寬為 almost prime。 citeturn312950search3turn312950search4

因此本輪 cross-cell重新出現 two-affine-prime problem，正是需要高度警惕的 parity-risk訊號。

---

# 57. Source Classification

## New / Useful

- canonical RootRough correction；
- P2 survivor partition；
- unique semiprime least-factor cells；
- same-factor multiplicative Goldbach recursion；
- cross-factor affine lattice；
- semiprime boundary identity。

## Not Yet New Enough

- 對 fixed $(r,s)$ 用普通 sieve數 simultaneous prime cofactors。

這仍屬：

$$
\boxed{
\text{parity-sensitive binary prime correlation}.
}
$$

---

# 58. Formal Theorem Queue

```yaml
SRBRD_13:
  T01: prime_is_RootRough_for_all_z
  T02: composite_RootRough_iff_lpf_gt_z
  T03: root_completion_with_RootRough
  T04: cube_root_RootRough_prime_or_semiprime
  T05: exact_P2_pair_state_partition
  T06: PP_state_equals_residual
  T07: semiprime_boundary_identity
  T08: left_semiprime_disjoint_lpf_partition
  T09: double_semiprime_disjoint_rs_partition
  T10: double_semiprime_bilinear_equation
  T11: same_factor_recursive_Goldbach_bijection
  T12: cross_factor_prime_cofactor_range
  T13: cross_factor_odd_affine_lattice
  T14: one_sided_semiprime_channel_is_two_affine_prime_problem
  T15: canonical_semiprime_cell_identity
```

---

# 59. Acceptance Gate

SRBRD-13 formal core前需要：

1. RootRough correction；
2. small prime preservation；
3. cube-root P2 theorem；
4. exact survivor partition；
5. residual equality；
6. unique semiprime lpf cell；
7. same-factor recursion theorem；
8. cross-factor affine lattice；
9. one-sided affine-prime equivalence；
10. semiprime boundary cardinal identity；
11. finite audits recomputed under RootRough；
12. old z-rough bug append-only documented；
13. no parity-escape claim；
14. external Chen / parity benchmark clearly separated。

---

# 60. Verdict

本輪應給：

$$
\boxed{
\mathrm{SRBRD\mbox{-}13\ SEMIPRIME\ BOUNDARY\ KERNEL\ PASS}.
}
$$

因為：

$$
\boxed{
\text{cube-root RootRough domain}
}
$$

已被 exact壓成：

$$
\boxed{
P/P,\ SP/P,\ P/SP,\ SP/SP
}
$$

四態有限閉包，

並且：

$$
\boxed{
SP/SP
}
$$

被 canonical分成：

- same-factor recursive Goldbach cells；
- cross-factor affine-prime cells。

但同時本輪也得到重要 no-go：

$$
\boxed{
\text{cofactorization alone does not eliminate the parity problem.}
}
$$

off-diagonal與one-sided channels仍然重新產生兩 affine forms simultaneous primality。

所以：

$$
\boxed{
\mathrm{GOLDBACH\ STILL\ OPEN}.
}
$$

---

# 61. 下一輪建議

# SRBRD-14
## Aggregate Semiprime-Cell Coupling / Diagonal–Off-Diagonal Closure

下一輪不要逐個解：

$$
D_{r,s}.
$$

應該研究 aggregate：

$$
\boxed{
\sum_{r,s}|D_{r,s}|
}
$$

能否由：

- diagonal recursive Goldbach；
- off-diagonal cell overlap；
- center divisibility；
- factor-range geometry；
- bilinear lattice packing；

得到 lower bound。

核心目標：

$$
\boxed{
L_D
}
$$

足夠回灌：

$$
L_S-U_L-U_R+L_D>0.
$$

特別優先：

1. same-factor diagonal recursion aggregate；
2. cross-factor cell graph；
3. $(r,s)$ 對稱 / transpose structure；
4. one-sided semiprime cell與 double-cell的 incidence；
5. bilinear cell occupancy moments；
6. 尋找「不逐 cell要求兩 primes」的 aggregate lower bound。

只有這一層出現新 aggregate source，

才可能真正跨過 SRBRD-13 暴露的 affine-prime parity recursion。

---

# 附錄 A：Canonical RootRough Correction

```yaml
old_term:
  z_rough:
    problem:
      prime_x_le_z_can_be_false_negative: true

canonical:
  RootRough_z_x:
    no_prime_r_satisfying:
      r <= z
      r*r <= x
      r divides x

properties:
  prime:
    RootRough_for_all_z: true

  composite:
    RootRough_iff_lpf_gt_z: true
```

---

# 附錄 B：P2 Boundary Contract

```yaml
cutoff:
  z^3 >= 2m-3

survivor:
  both_endpoints_RootRough_z: true

endpoint_states:
  - Prime
  - Semiprime

pair_partition:
  - PP
  - SP
  - PS
  - SS

residual:
  equals: PP
```

---

# 附錄 C：Semiprime Boundary Identity

```yaml
identity:
  RGminus_2m:
    card(S_z)
    - left_semiprime_count
    - right_semiprime_count
    + double_semiprime_count

canonical_cells:
  left:
    by_lpf_r: disjoint
  right:
    by_lpf_s: disjoint
  double:
    by_pair_r_s: disjoint
```

---

# 附錄 D：Same-Factor Recursion

```yaml
if:
  r > z
  r divides m

double_cell:
  D_r_r

bijection:
  D_r_r:
    reduced_Goldbach_pairs_of:
      2m/r
    constraint:
      smaller_prime >= r

cardinality:
  card(D_r_r):
    R_G_ge_r_minus(2m/r)
```

---

# 附錄 E：Cross-Factor Lattice

```yaml
r_not_equal_s:
  equation:
    r*p + s*q = 2m

prime_cofactors:
  p >= r
  q >= s

congruence:
  p == 2m*r_inverse mod s

odd_lattice:
  p: p_star + 2s*n
  q: q_star - 2r*n

actual_cell:
  require:
    p_prime: true
    q_prime: true
```

---

# 附錄 F：Selected RootRough Audit

| $m$ | $z$ | $|\mathcal S_z|$ | PP | SP/P | P/SP | SP/SP | Same | Cross |
|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| 100 | 6 | 14 | 8 | 2 | 4 | 0 | 0 | 0 |
| 199 | 8 | 15 | 7 | 3 | 5 | 0 | 0 | 0 |
| 1000 | 13 | 68 | 37 | 6 | 21 | 4 | 0 | 4 |
| 5000 | 22 | 262 | 127 | 40 | 78 | 17 | 0 | 17 |
| 105 | 6 | 27 | 19 | 0 | 5 | 3 | 3 | 0 |

---

# 附錄 G：Commit Decision

```yaml
research_round: SRBRD-13

decision:
  RootRough_canonical_correction: true
  P2_boundary_exact_partition: true
  same_factor_recursive_Goldbach_bridge: true
  cross_factor_affine_prime_cells: true
  parity_escape_proved: false
  goldbach_proved: false

main_no_go:
  cofactorization_reduces_but_recurses_binary_prime_correlation

next:
  SRBRD-14_Aggregate_SemiprimeCell_DiagonalOffDiagonal_Closure
```