# SRBRD-11
## Square-Root Completion / Sieve-Parity Interface
### 固定因子截斷、Root-Complete Prime Certification、Bulk–Frontier Geometry 與 Parity-Barrier Audit

**母計畫：** RG-SCP / Reverse Goldbach Structural Closure Program  
**支線：** SRBRD — Symmetric Root-Bounded Relation Domain  
**輪次：** SRBRD-11  
**日期：** 2026-09-30  
**版本：** v0.1  
**作者：** Neo.K；Aletheia（GPT-5.6 Sol）  
**性質：** Exact Structural Audit / External Sieve Interface / Barrier Localization  
**前置：** SRBRD-00 ～ SRBRD-10  
**狀態：** 建立 fixed-cutoff sieve core與 dynamic root-completion 的精確分界；Goldbach仍未證明

---

# 0. 為什麼這一輪要暫停「再多算一階 moment」

SRBRD-10 已把目前 uniform gap定位成：

$$
\boxed{
\text{positive-moment CRT phase-hit discrepancy}.
}
$$

但如果這一 gap 其實只是經典 sieve difficulty 的另一種表示，那繼續機械增加：

- moment order；
- hypercell order；
- forest / cycle correction；

可能只是在重新逼近一個已知 barrier。

因此本輪做一個必要的 source audit：

> SRBRD 的 root-bounded relation，和 classical sieve 到底在哪裡相同，又在哪裡真正不同？

本輪得到的核心答案是：

$$
\boxed{
\text{固定 cutoff }z
\text{ 的 SRBRD bulk，精確退化成 residue sieve；}
}
$$

但：

$$
\boxed{
\text{prime certification需要 endpoint-dependent square-root completion。}
}
$$

而這兩者之間的 gap，正好對應：

> small-factor-free 不等於 prime。

這與 sieve theory的 parity barrier高度相關。

---

# 1. Fixed Cutoff Divisor Domain

對：

$$
x>1,
$$

與 integer cutoff：

$$
z\ge2,
$$

定義：

$$
\boxed{
\mathcal D_z(x)
=
\left\{
r\in\mathbb P:
r\le z,
\quad
r\mid x
\right\}.
}
$$

如果：

$$
x
$$

odd，也可以只考慮：

$$
r\ge3.
$$

---

# 2. z-Rough Number

定義：

$$
\boxed{
\operatorname{Rough}_z(x)
:
\Longleftrightarrow
\mathcal D_z(x)=\varnothing.
}
$$

即：

> $x$ 沒有不超過 $z$ 的 prime factor。

注意：

$$
\operatorname{Rough}_z(x)
$$

不等價於：

$$
x\in\mathbb P
$$

除非 cutoff已到 square-root completeness。

---

# 3. Root-Completion Lemma

## Theorem SRBRD-11-T01

若：

$$
x\ge2,
$$

以及：

$$
z^2\ge x,
$$

則：

$$
\boxed{
\operatorname{Rough}_z(x)
\Longleftrightarrow
x\in\mathbb P.
}
$$

---

# 4. T01 Proof

若 $x$ prime，當然：

$$
\mathcal D_z(x)=\varnothing
$$

只要我們只計 proper-factor range。

反之若 $x$ composite，

存在 prime：

$$
r
$$

使：

$$
r^2\le x.
$$

由：

$$
x\le z^2,
$$

得：

$$
r\le z.
$$

所以：

$$
r\in\mathcal D_z(x),
$$

與 rough矛盾。

---

# 5. Incomplete Cutoff Leaves a Second-Division State

若：

$$
\operatorname{Rough}_z(x)
$$

但：

$$
x
$$

composite，

則：

$$
\operatorname{lpf}(x)>z.
$$

因此：

$$
\boxed{
x>
z^2.
}
$$

更精確：

若：

$$
x=ab
$$

且：

$$
a=\operatorname{lpf}(x),
$$

則：

$$
a>z,
$$

而：

$$
b\ge a>z.
$$

所以：

$$
\boxed{
x
=
ab,
\qquad
a,b>z.
}
$$

這就是「第二次除法尚未被關閉」的精確形式。

---

# 6. 與最初直覺的連接

偶數：

$$
N=2m
$$

先給 compulsory division：

$$
N\xrightarrow{/2}m.
$$

對 endpoint：

$$
x=m\pm d,
$$

fixed cutoff：

$$
z
$$

只排除：

$$
r\le z
$$

的 division actions。

若：

$$
x>z^2,
$$

即使所有這些 action都被排除，

仍可能存在：

$$
\boxed{
x=ab,
\quad
a,b>z.
}
$$

所以 prime certification真正需要：

$$
\boxed{
z\ge\sqrt x.
}
$$

---

# 7. Symmetric Bulk for a Fixed Cutoff

令：

$$
N=2m,
$$

以及：

$$
z^2\le m.
$$

定義：

$$
\boxed{
\Omega_m^{\mathrm{bulk}}(z)
=
\left\{
d\in\Omega_m:
d\le m-z^2
\right\}.
}
$$

對：

$$
d\in\Omega_m^{bulk}(z),
$$

left endpoint：

$$
m-d\ge z^2.
$$

right endpoint：

$$
m+d\ge m\ge z^2.
$$

---

# 8. Bulk Root-Automatic Theorem

## Theorem SRBRD-11-T02

若：

$$
d\in\Omega_m^{bulk}(z),
$$

且：

$$
3\le r\le z
$$

為 prime，

則：

$$
\boxed{
r^2\le m-d
}
$$

以及：

$$
\boxed{
r^2\le m+d.
}
$$

所以在 bulk中：

> 對所有 $r\le z$，root condition 完全自動。

---

# 9. Bulk Left Obstruction = Residue Class

由 T02：

$$
r
$$

在 left endpoint產生 obstruction當且僅當：

$$
r\mid(m-d).
$$

即：

## Theorem SRBRD-11-T03

$$
\boxed{
d\in O_{L,r}
\Longleftrightarrow
d\equiv m\pmod r
}
$$

對：

$$
d\in\Omega_m^{bulk}(z),
\quad
r\le z.
$$

---

# 10. Bulk Right Obstruction = Residue Class

同理：

## Theorem SRBRD-11-T04

$$
\boxed{
d\in O_{R,r}
\Longleftrightarrow
d\equiv -m\pmod r
}
$$

對：

$$
d\in\Omega_m^{bulk}(z),
\quad
r\le z.
$$

---

# 11. Collapse for Center Divisors

若：

$$
r\mid m,
$$

則：

$$
m\equiv-m\equiv0\pmod r.
$$

所以 bulk中 obstruction residues由兩個 collapse成一個：

$$
\boxed{
d\equiv0\pmod r.
}
$$

若：

$$
r\nmid m,
$$

則：

$$
\boxed{
d\equiv\pm m\pmod r
}
$$

是兩個 distinct residue classes。

---

# 12. Bulk Sieve Survivor

定義：

$$
\boxed{
\mathcal S_z(m)
=
\left\{
d\in\Omega_m^{bulk}(z):
d\not\equiv\pm m\pmod r
\text{ for every odd prime }r\le z
\right\},
}
$$

其中：

$$
r\mid m
$$

時：

$$
\pm m
$$

視為同一 residue。

---

# 13. Bulk Sieve Equivalence

## Theorem SRBRD-11-T05

對：

$$
d\in\Omega_m^{bulk}(z),
$$

有：

$$
\boxed{
d\in\mathcal S_z(m)
}
$$

當且僅當：

$$
\boxed{
m-d
\text{ 與 }
m+d
\text{ 都是 }z\text{-rough}.
}
$$

所以 fixed-cutoff SRBRD bulk精確退化成：

$$
\boxed{
\text{two-linear-form residue sieve}.
}
$$

---

# 14. Classical Sieve Core

在 bulk中，

對每個：

$$
r\le z,
$$

offset只需避開：

$$
\boxed{
1\text{ or }2
}
$$

個 residue classes modulo：

$$
r.
$$

因此：

$$
\mathcal S_z(m)
$$

是非常標準的 finite sieve object。

SRBRD 的：

- hypercells；
- moments；
- CRT intersections；

在此區域都可以被看成 sieve inclusion-exclusion / residue intersection的重新組織。

---

# 15. Root Frontier

定義：

$$
\boxed{
\Omega_m^{\mathrm{front}}(z)
=
\Omega_m
\setminus
\Omega_m^{bulk}(z).
}
$$

也就是：

$$
d>m-z^2.
$$

在 frontier中：

$$
m-d<z^2.
$$

所以 left endpoint的 root domain開始比：

$$
[3,z]
$$

更短。

這裡才出現 SRBRD 特有的 moving root truncation。

---

# 16. Fixed Cutoff Cannot Complete a Wide Symmetric Bulk

若 bulk包含某個：

$$
d>0,
$$

則：

$$
z^2<m.
$$

因：

$$
d\le m-z^2.
$$

但 right endpoint：

$$
m+d
>
m
>
z^2.
$$

所以：

$$
\boxed{
z
<
\sqrt{m+d}.
}
$$

因此 fixed cutoff $z$ 對 right endpoint不是 root-complete。

---

# 17. Bulk-vs-Completion Theorem

## Theorem SRBRD-11-T06

若：

$$
d>0
$$

且：

$$
d\in\Omega_m^{bulk}(z),
$$

則：

$$
\boxed{
z^2<m+d.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
\operatorname{Rough}_z(m+d)
}
$$

不能單獨推出：

$$
m+d\in\mathbb P.
$$

---

# 18. No Wide Fixed-Cutoff Prime-Certification Zone

若希望同一 fixed：

$$
z
$$

對整個：

$$
\Omega_m^{bulk}(z)
$$

的左右 endpoints都 root-complete，

則必須對 maximum right endpoint：

$$
2m-z^2
$$

有：

$$
z^2\ge2m-z^2.
$$

即：

$$
\boxed{
z^2\ge m.
}
$$

但 nontrivial bulk radius要求：

$$
z^2<m.
$$

所以：

## Theorem SRBRD-11-T07

$$
\boxed{
\text{不存在同時具有正 bulk radius與雙端 root completeness 的 fixed cutoff。}
}
$$

boundary：

$$
z^2=m
$$

時 bulk退化到：

$$
d=0
$$

附近。

---

# 19. 這就是 Dynamic Root Cutoff 必要性

Goldbach prime-pair certification不能靠一個固定：

$$
z
$$

在整個 offset domain完成。

真正 exact criterion必須讓 cutoff隨 endpoint移動：

$$
\boxed{
z_L(d)
=
\sqrt{m-d},
}
$$

$$
\boxed{
z_R(d)
=
\sqrt{m+d}.
}
$$

formal core則使用：

$$
r^2\le m\pm d
$$

避免 real square root。

這就是 SRBRD 相較 classical fixed sieve真正結構不同的地方之一。

---

# 20. False Survivors

定義 fixed-cutoff false survivor：

$$
\boxed{
d\in
\mathcal S_z(m)
\setminus
\operatorname{Res}(m).
}
$$

則至少一個 endpoint：

$$
x=m\pm d
$$

是：

$$
z\text{-rough composite}.
$$

所以：

$$
\boxed{
x=ab,
\quad
a,b>z.
}
$$

這些 states正是 fixed-cutoff sieve與 primality之間的 gap。

---

# 21. Second-Division Interpretation

對 false survivor endpoint：

$$
x,
$$

所有：

$$
r\le z
$$

division actions都失敗。

但 composite性仍來自：

$$
x=ab,
$$

$$
a,b>z.
$$

所以：

> fixed-cutoff sieve只排除了「第一層小除法」；
> root completion才排除全部可能的第二層 factorization witness。

這直接對應本系列最初提出的：

$$
\boxed{
\text{第二次除法作用域}.
}
$$

---

# 22. Almost-Prime Bridge

如果：

$$
z
$$

取得夠大，

一個：

$$
z\text{-rough}
$$

且：

$$
x\le X
$$

的 composite數不可能有太多 prime factors。

例如若：

$$
z^3>X,
$$

則：

$$
x
$$

不可能有三個都：

$$
>z
$$

的 prime factors。

所以：

$$
\boxed{
z\text{-rough}
+
z^3>X
}
$$

迫使：

$$
x
$$

為：

- prime；
- 或 product of two primes。

這是 elementary factor-count bridge。

---

# 23. Relation to Prime + $P_2$

這解釋為什麼：

> 「排除足夠多 small factors」

很自然先到：

$$
P_2
$$

而不是直接 prime。

在外部 sieve literature中，Chen theorem正是這個層級的重要成果：

> sufficiently large even integer 可以表示成 prime 加一個至多含兩個 prime factors的數。

這不是本文件的 theorem，而是 external benchmark。

---

# 24. External Sieve-Parity Audit

經典 sieve theory存在：

$$
\boxed{
\text{parity problem}.
}
$$

粗略說：

> 僅靠某類 local divisibility / Type-I sieve information，很難區分 prime 與具有不同 prime-factor parity 的 almost-prime states。

binary Goldbach是 parity problem的典型場景之一。

因此：

$$
\boxed{
\text{SRBRD bulk residue data本身不應被預期自動突破 Goldbach。}
}
$$

---

# 25. Important Qualification

這不表示：

$$
\boxed{
\text{SRBRD 已被證明等同於傳統 sieve，因而不可能成功。}
}
$$

因為 SRBRD 還有 classical fixed-cutoff bulk沒有的結構：

1. dynamic root boundary；
2. left/right asymmetric truncation；
3. centered product：
   $$
   m^2-d^2;
   $$
4. factor/cofactor hypergraph；
5. exact cycle danger complexes；
6. occupancy / moment dual constraints。

真正問題是：

> 這些 extra structures是否提供了足夠的 Type-II / bilinear-like information逃離 parity barrier？

目前仍未知。

---

# 26. Source-Class Interpretation

可以把 SRBRD information拆成：

## Sieve-Core Information

- residues：
  $$
  d\equiv\pm m\pmod r;
  $$
- fixed-cutoff survivor；
- finite intersection counts；
- Type-I-like local divisibility data。

## Root-Dynamic Information

- endpoint-specific：
  $$
  r^2\le m\pm d;
  $$
- left/right moving frontier。

## Cofactor Coupling

- 
  $$
  m-d=ar;
  $$
- 
  $$
  m+d=bs;
  $$
- 
  $$
  2m=ar+bs.
  $$

## Centered Product Coupling

$$
\boxed{
(m-d)(m+d)
=
m^2-d^2.
}
$$

這些後兩類更可能是 parity escape source。

---

# 27. A Formal Parity-Risk Flag

建議對未來 theorem加 metadata：

```yaml
parity_risk:
  local_residue_only: high
  fixed_cutoff_only: high
  dynamic_root_used: medium
  cofactor_bilinear_used: lower
  centered_product_cross_side_used: lower
```

這不是數學 theorem。

它是 research-method audit：

> 防止我們把同一套 sieve information換語言後誤認為新 source。

---

# 28. Large Sieve Interface

large sieve 類 theorem可以對：

> 避開指定 residue classes的整數集合

給上界。

這可能用於：

- phase-hit discrepancy；
- residual candidate count；
- CRT lattice packing。

但 SRBRD 最終需要：

$$
\boxed{
\text{residual nonempty 的 lower bound}.
}
$$

所以 large-sieve upper control本身仍不是 Goldbach closure。

---

# 29. Larger Sieve Interface

Gallagher larger sieve考慮：

> 一個 interval中的集合若 modulo很多 prime powers只佔少數 residue classes，集合能有多大？

這與 SRBRD 的：

- sparse CRT hypercells；
- lattice hit sets；

在形式上有接口。

但 larger sieve也是：

$$
\boxed{
\text{upper-bound technology}.
}
$$

不能直接替代 prime-pair lower bound。

---

# 30. Why the Sieve Comparison Is Useful

它告訴我們：

SRBRD-11 之後不應只繼續追：

$$
\boxed{
\text{更精細的 residue density estimate}.
}
$$

因為這極可能仍停留在 parity-sensitive sieve core。

下一步更值得攻：

$$
\boxed{
\text{cofactor coupling / bilinear structure}.
}
$$

---

# 31. Cofactor Pair Equation

如果：

$$
r
$$

作用 left，

$$
s
$$

作用 right，

可寫：

$$
m-d=ar,
$$

$$
m+d=bs.
$$

相加：

$$
\boxed{
ar+bs=2m.
}
$$

相減：

$$
\boxed{
bs-ar=2d.
}
$$

其中：

$$
a\ge r,
\quad
b\ge s
$$

由 root condition。

這不是單純 residue statement。

它是一個 bilinear/cofactor coupling。

---

# 32. Root Conditions in Cofactor Form

若：

$$
m-d=ar,
$$

且：

$$
r^2\le m-d,
$$

則：

$$
\boxed{
a\ge r.
}
$$

同理：

$$
\boxed{
b\ge s.
}
$$

所以 obstruction relation可以重寫成：

$$
\boxed{
ar+bs=2m,
\qquad
a\ge r,
\quad
b\ge s,
}
$$

with odd prime：

$$
r,s.
$$

如果 endpoint有多個 witness primes，

會得到多重 cofactor constraints。

---

# 33. Why This May Be Type-II-Like

local sieve只問：

$$
r\mid(m-d).
$$

cofactor form則保留：

$$
m-d=ar
$$

中的：

$$
\boxed{
a
}
$$

並和另一側：

$$
bs
$$

透過：

$$
ar+bs=2m
$$

耦合。

也就是同時保留：

- divisor；
- quotient；
- additive relation。

這比只記 residue classes多了一個乘法變數。

---

# 34. Candidate Escape Principle

若 SRBRD 最終能突破 local sieve barrier，

最可能不是靠：

$$
\boxed{
\text{更多單邊 residue classes}.
}
$$

而是靠：

$$
\boxed{
\text{divisor–cofactor–opposite-side 三方耦合}.
}
$$

這和使用者最初「第二次除法」的直覺重新接上：

> 不只知道能不能除；還要把除完後剩下的 cofactor 保留下來。

---

# 35. Root-Complete vs Cofactor-Complete

可以區分：

### Root-Complete

對 endpoint：

$$
x
$$

檢查所有：

$$
r^2\le x
$$

的 prime divisors。

### Cofactor-Complete

若：

$$
r\mid x,
$$

同時保留：

$$
\boxed{
a=x/r.
}
$$

以及：

$$
a\ge r.
$$

SRBRD-00 ～ 10 主要在 root / incidence側。

SRBRD-12 應正式把：

$$
\boxed{
\text{cofactor state}
}
$$

升成 primary variable。

---

# 36. New No-Go Criterion

未來如果某個 proposed theorem：

1. 只使用：
   $$
   d\bmod r;
   $$
2. 只使用 fixed cutoff；
3. 不讀 cofactor；
4. 不使用 cross-side bilinear relation；

即使 notation非常新，

也應先視為：

$$
\boxed{
\text{sieve-core reformulation}
}
$$

而不是自動算 source escape。

---

# 37. Dynamic Root Still Matters

這並不是要丟掉 SRBRD-03 ～ 10。

相反：

dynamic root使：

- bulk逐步縮小；
- frontier逐步擴大；
- large witness變 right-only；
- occupancy order下降；
- danger complex稀疏化。

這些可以和 cofactor method結合。

真正新主線應該是：

$$
\boxed{
\text{Dynamic Root Geometry}
+
\text{Cofactor Bilinear Coupling}.
}
$$

---

# 38. Bulk–Frontier Hybrid Strategy

未來可將：

$$
\Omega_m
$$

拆成：

$$
\Omega_m^{bulk}(z)
\bigsqcup
\Omega_m^{front}(z).
$$

### Bulk

使用：

- sieve / large-sieve / moment envelope；
- 但警惕 parity barrier。

### Frontier

使用：

- root truncation；
- occupancy cap；
- exact finite closure；
- one-sided large witnesses。

### Coupling

使用：

$$
ar+bs=2m
$$

把兩區信息重新連接。

---

# 39. External Benchmark: Chen-Type Endpoint

已知篩法的重要 benchmark是：

$$
\boxed{
\text{prime}+P_2.
}
$$

所以 SRBRD 若只重新導出：

> 一側 prime，另一側至多兩 prime factors，

它仍然沒有突破 known sieve frontier。

真正新結果至少要能排除最後：

$$
P_2
$$

false survivor layer，

或找到一個不同的 exact source完成這一步。

---

# 40. Parity-Escape Test

對未來 SRBRD theorem，建議增加：

```yaml
ParityEscapeAudit:
  uses_only_local_divisibility: false?
  preserves_cofactor: true?
  uses_cross_side_product: true?
  uses_bilinear_relation: true?
  distinguishes_prime_from_rough_P2: true?
```

只有最後一項真的得到 theorem支援，

才可能宣稱：

$$
\boxed{
\text{parity escape evidence}.
}
$$

---

# 41. Formal Theorem Queue

```yaml
SRBRD_11:
  T01: rough_plus_square_completion_iff_prime
  T02: bulk_small_prime_root_condition_automatic
  T03: bulk_left_obstruction_iff_plus_residue
  T04: bulk_right_obstruction_iff_minus_residue
  T05: bulk_survivor_iff_both_endpoints_z_rough
  T06: positive_bulk_radius_implies_right_not_root_complete
  T07: no_positive_radius_fixed_cutoff_double_root_completion
  T08: rough_composite_implies_two_large_factors
  T09: z_cubed_gt_X_implies_z_rough_is_prime_or_P2
```

---

# 42. External Literature Audit

本輪只把外部 literature作：

$$
\boxed{
\text{barrier comparison / source audit}.
}
$$

不把外部 theorem偷偷當成 SRBRD 已證結果。

外部核對：

1. P. Gallagher, **A larger sieve**, *Acta Arithmetica* 18 (1971), 77–81.
2. Classical large / larger sieve frameworks control sets by residue-class occupancy or avoidance.
3. Sieve literature明確記錄 binary Goldbach的 parity problem。
4. Chen-type methods可證 sufficiently large even integer為：
   $$
   p+P_2.
   $$

---

# 43. Research Verdict

本輪不是：

$$
\boxed{
\text{SRBRD-11 PROOF PASS}.
}
$$

而是更重要的：

$$
\boxed{
\mathrm{SRBRD\mbox{-}11\ SIEVE\mbox{-}PARITY\ BOUNDARY\ IDENTIFIED}.
}
$$

我們現在知道：

### 已經不是問題的部分

- finite representation；
- root-bounded primality equivalence；
- CRT exactness；
- finite closure；
- moment polynomial certificates。

### 真正危險的部分

若 uniform proof只靠：

- local residues；
- fixed small-factor cutoff；
- phase density；

它很可能停留在 classical parity-sensitive sieve information。

### 下一個 source target

$$
\boxed{
\text{cofactor-preserving cross-side bilinear structure}.
}
$$

---

# 44. 下一輪建議

# SRBRD-12
## Cofactor-State / Bilinear Division Closure

正式把 obstruction state從：

$$
(r,\sigma)
$$

升成：

$$
\boxed{
(r,a,\sigma)
}
$$

其中：

$$
m+\sigma d=ar,
\qquad
a\ge r.
$$

並研究雙側：

$$
\boxed{
ar+bs=2m.
}
$$

核心問題：

1. fixed $r,s$ 下 cofactor pair有多少？
2. root condition如何變成：
   $$
   a\ge r,\ b\ge s;
   $$
3. cofactor parity / gcd constraints；
4. 同一 $d$ 多 factor witnesses如何共享 cofactors；
5. 是否存在 bilinear capacity upper bound；
6. 能否區分：
   - prime；
   - rough semiprime；
   - higher composite；
7. 是否真的產生 parity-escape information。

這將直接回到最初那個問題：

$$
\boxed{
\text{「可以再除一次」之後，除完剩下什麼？}
}
$$

---

# 附錄 A：Bulk Sieve Contract

```yaml
cutoff:
  z:
    integer: true
    z^2 <= m

bulk:
  d:
    d <= m-z^2

for_prime_r_le_z:
  left_root_condition:
    automatic: true
  right_root_condition:
    automatic: true

obstruction:
  left:
    d == m mod r
  right:
    d == -m mod r

survivor:
  both_endpoints_z_rough: true
```

---

# 附錄 B：Root Completion Contract

```yaml
Rough_z(x):
  no_prime_factor_le_z: true

if:
  z^2 >= x

then:
  Rough_z(x) iff Prime(x)

false_survivor:
  rough_and_composite:
    implies:
      lpf(x) > z
      x = a*b
      a > z
      b > z
```

---

# 附錄 C：Bulk–Completion Conflict

```yaml
nontrivial_bulk:
  exists_d_positive:
    requires:
      z^2 < m

double_endpoint_completion_over_bulk:
  requires:
    z^2 >= max_right_endpoint
    max_right_endpoint:
      2m-z^2

therefore:
  requires:
    z^2 >= m

conclusion:
  positive_radius_bulk_and_uniform_double_root_completion:
    impossible: true
```

---

# 附錄 D：External Barrier Notes

```yaml
classical_sieve:
  bulk_relation:
    residue_avoidance: true

parity_problem:
  relevance:
    binary_Goldbach: high

known_benchmark:
  Chen_type:
    sufficiently_large_even:
      representation:
        prime_plus_P2: true

SRBRD_escape_candidate:
  - dynamic_root_boundary
  - cofactor_state
  - cross_side_bilinear_relation
  - centered_product_coupling
```

---

# 附錄 E：Commit Decision

```yaml
research_round: SRBRD-11

decision:
  fixed_cutoff_bulk_equals_residue_sieve: true
  root_completion_requires_dynamic_cutoff: true
  parity_risk_identified: true
  cofactor_source_promoted_for_next_round: true
  uniform_goldbach_closure: false

main_barrier:
  local_sieve_information_cannot_be_assumed_to_distinguish_prime_from_rough_almost_prime

next:
  SRBRD-12_CofactorState_Bilinear_Division_Closure
```

---

# References

- P. Gallagher, “A larger sieve,” *Acta Arithmetica* 18 (1971), 77–81, DOI 10.4064/aa-18-1-77-81.
- Encyclopedia of Mathematics, “Sieve method.”
- Terence Tao, “The parity problem obstruction for the binary Goldbach problem with bounded error” (2014).
- Terence Tao, “254A, Supplement 5: The linear sieve and Chen’s theorem” (2015).