# SRBRD-09 ## Lattice-Sparsity / Moment-Polytope Dual Closure ### Finite Occupancy Caps、Polynomial Majorants、Even-Degree Certificates 與 Layered Moment LP Duality **母計畫：** RG-SCP / Reverse Goldbach Structural Closure Program **支線：** SRBRD — Symmetric Root-Bounded Relation Domain **輪次：** SRBRD-09 **日期：** 2026-09-30 **版本：** v0.1 **作者：** Neo.K；Aletheia（GPT-5.6 Sol） **性質：** Exact Finite-Moment Closure / LP-Dual Certificate / Lattice-Sparsity Compression **前置：** SRBRD-00 ～ SRBRD-08 **狀態：** 建立嚴格 stronger-than-Bonferroni 的 finite moment certificate family；尚未得到 uniform Goldbach closure --- # 0. 本輪轉向 SRBRD-08 已證明 exact danger hypercells可由： - prime-union product； - canonical side assignment； - CRT； - root-valid interval； 精確計數。 原先 SRBRD-09 預定直接 upper-bound cycle-space mass。 但正式分析後發現一條更一般、也更強的路： > 不必先選「tree / cycle / Bonferroni」某一種 combinatorial certificate。 > 只要利用 SRBRD 已有的 **finite occupancy cap**，就可以把 union upper-bound 問題本身轉成一個 finite moment polytope。 這產生： $$ \boxed{ \text{Moment-Polytope Closure}. } $$ 更重要的是，它允許： $$ \boxed{ \text{even-degree rigorous upper certificates}. } $$ 因此 Bonferroni 的 odd-order限制不再是 SRBRD finite closure 的基本限制。 --- # 1. Occupancy Recalled 對： $$ d\in\Omega_m, $$ 定義 distinct prime-group occupancy： $$ \boxed{ \mu_m(d) = \#\{r:d\in P_{m,r}\}. } $$ obstruction union indicator： $$ \boxed{ \mathbf1_{\mathcal O_m}(d) = \mathbf1_{\{\mu_m(d)\ge1\}}. } $$ 所以： $$ \boxed{ |\mathcal O_m| = \sum_{d\in\Omega_m} \mathbf1_{\{\mu_m(d)\ge1\}}. } $$ --- # 2. Occupancy Moments 對： $$ j\ge1, $$ 定義： $$ \boxed{ B_j(m) = \sum_{d\in\Omega_m} \binom{\mu_m(d)}{j}. } $$ SRBRD-02 已證： $$ B_j(m) = \sum_{\substack{ U\subseteq Q_m\\ |U|=j }} |H_m(U)|. $$ 所以： $$ B_j $$ 可以直接由 arithmetic hypercells計算， 不需要 Goldbach success label。 --- # 3. Local Occupancy Cap SRBRD-03： $$ (m-d)(m+d) = m^2-d^2. $$ 若： $$ \mu_m(d)\ge t, $$ 則前： $$ t $$ 個 odd primes乘積： $$ Q_t^{odd} $$ 滿足： $$ Q_t^{odd} \le m^2-d^2. $$ 因此： $$ \boxed{ \mu_m(d)\le\kappa_m(d), } $$ 其中： $$ \boxed{ \kappa_m(d) = \max \{t:Q_t^{odd}\le m^2-d^2\}. } $$ --- # 4. Global Occupancy Cap 定義： $$ \boxed{ \kappa(m) = \max \{t:Q_t^{odd}\le m^2\}. } $$ 則： $$ \boxed{ 0\le\mu_m(d)\le\kappa(m) } $$ 對所有： $$ d\in\Omega_m. $$ 所以 occupancy indicator只需要在有限 integer domain： $$ \boxed{ k=0,1,\ldots,\kappa(m) } $$ 上被控制。 這是本輪的核心 finite-closure入口。 --- # 5. Binomial-Basis Polynomial 考慮 degree： $$ s $$ 的 binomial-basis polynomial： $$ \boxed{ P(k) = \sum_{j=1}^{s} \lambda_j \binom{k}{j}. } $$ 自動： $$ P(0)=0. $$ 若能證： $$ \boxed{ P(k)\ge1 \quad \text{for all } 1\le k\le\kappa(m), } $$ 則： $$ P(\mu_m(d)) \ge \mathbf1_{\{\mu_m(d)\ge1\}}. $$ --- # 6. Moment-Polynomial Majorant Theorem ## Theorem SRBRD-09-T01 若： $$ P(k) = \sum_{j=1}^{s} \lambda_j\binom{k}{j} $$ 滿足： $$ P(k)\ge1 $$ for： $$ 1\le k\le\kappa(m), $$ 則： $$ \boxed{ |\mathcal O_m| \le \sum_{j=1}^{s} \lambda_j B_j(m). } $$ proof： 逐 offset： $$ \mathbf1_{\{\mu\ge1\}} \le P(\mu). $$ summation： $$ |\mathcal O_m| \le \sum_d \sum_j \lambda_j \binom{\mu(d)}{j} = \sum_j \lambda_jB_j. $$ 注意： $$ \lambda_j $$ 可以為負。 因： $$ B_j $$ 在 theorem中是 exact structural quantity。 --- # 7. Polynomial Non-Cover Certificate ## Corollary SRBRD-09-C01 若： $$ \boxed{ \sum_{j=1}^{s} \lambda_jB_j(m) < |\Omega_m|, } $$ 則： $$ \boxed{ \operatorname{Res}(m)\neq\varnothing. } $$ 因此： $$ \boxed{ R_G^{-}(2m)>0. } $$ --- # 8. Bonferroni Is a Special Case 對 odd： $$ q, $$ 取： $$ \boxed{ \lambda_j=(-1)^{j+1}, \qquad 1\le j\le q. } $$ 則： $$ P_q(k) = \sum_{j=1}^{q} (-1)^{j+1} \binom{k}{j} \ge \mathbf1_{\{k\ge1\}}. $$ 所以： $$ \boxed{ U_q = B_1-B_2+\cdots+B_q } $$ 只是 T01 的一個 special polynomial majorant。 --- # 9. Why SRBRD Can Beat Bonferroni Parity 一般 Bonferroni partial sum若直接使用： $$ 1,-1,+1,-1,\ldots $$ 係數， 只有 odd truncation是 union upper bound。 但 SRBRD 已知： $$ \boxed{ \mu\le\kappa(m)<\infty. } $$ 所以我們不需要 polynomial在所有： $$ k\in\mathbb N $$ 上 majorize indicator。 只需： $$ \boxed{ k=0,\ldots,\kappa(m). } $$ 因此可以構造： $$ \boxed{ \text{even-degree upper majorants}. } $$ 這是本輪真正的新 freedom。 --- # 10. Degree-2 Cap Majorant 對： $$ \kappa\ge2, $$ 定義： $$ \boxed{ P_{\kappa}^{(2)}(k) = 1- \frac{ (k-1)(k-\kappa) }{\kappa}. } $$ 有： $$ P_{\kappa}^{(2)}(0)=0. $$ 對 integer： $$ 1\le k\le\kappa, $$ $$ (k-1)(k-\kappa)\le0. $$ 所以： $$ \boxed{ P_{\kappa}^{(2)}(k)\ge1. } $$ --- # 11. Degree-2 Moment Bound 將： $$ P_{\kappa}^{(2)} $$ 寫成 binomial basis： $$ \boxed{ P_{\kappa}^{(2)}(k) = \binom{k}{1} - \frac{2}{\kappa} \binom{k}{2}. } $$ 因此： ## Theorem SRBRD-09-T02 $$ \boxed{ |\mathcal O_m| \le B_1(m) - \frac{2}{\kappa(m)} B_2(m). } $$ 這是一個 even-degree rigorous upper bound。 --- # 12. Degree-4 Cap-Majorant Family 現在選 integer： $$ a $$ 滿足： $$ \boxed{ 2\le a\le\kappa-2. } $$ 定義： $$ \boxed{ P_{\kappa,a}^{(4)}(k) = 1- \frac{ (k-1)(k-a)(k-a-1)(k-\kappa) }{ \kappa a(a+1) }. } $$ --- # 13. Degree-4 Majorant Theorem ## Theorem SRBRD-09-T03 對 integer： $$ 0\le k\le\kappa, $$ 有： $$ P_{\kappa,a}^{(4)}(0)=0, $$ 且對： $$ 1\le k\le\kappa, $$ $$ \boxed{ P_{\kappa,a}^{(4)}(k)\ge1. } $$ --- # 14. T03 Sign Proof roots： $$ 1, \quad a, \quad a+1, \quad \kappa. $$ 在 integer interval： $$ 1,\ldots,\kappa, $$ product： $$ (k-1)(k-a)(k-a-1)(k-\kappa) $$ 永遠： $$ \le0. $$ 唯一可能變成 positive 的 open interval： $$ (a,a+1) $$ 不包含任何 integer。 所以 polynomial majorizes occupancy indicator。 --- # 15. Degree-4 Binomial Coefficients 可寫： $$ P_{\kappa,a}^{(4)}(k) = \lambda_1\binom{k}{1} + \lambda_2\binom{k}{2} + \lambda_3\binom{k}{3} + \lambda_4\binom{k}{4}, $$ 其中： $$ \boxed{ \lambda_1=1, } $$ $$ \boxed{ \lambda_2 = \frac{ -4\kappa a + 2\kappa - 2a^2 + 6a - 4 }{ \kappa a(a+1) }, } $$ $$ \boxed{ \lambda_3 = \frac{ 6(\kappa+2a-4) }{ \kappa a(a+1) }, } $$ $$ \boxed{ \lambda_4 = -\frac{ 24 }{ \kappa a(a+1) }. } $$ 因此得到 explicit 4-moment upper bound。 --- # 16. General Even-Degree Cap Majorant 選： $$ s\ge1. $$ 取： $$ s-1 $$ 個 disjoint consecutive root pairs： $$ (a_1,a_1+1), \ldots, (a_{s-1},a_{s-1}+1) $$ 滿足： $$ 2\le a_1, $$ $$ a_i+10. } $$ 這是一個 rigorous continuous-LP certificate。 不需要 integrality。 --- # 24. Layered Dual Certificate primal dual給一個非常簡潔的 certificate。 選： - layer potentials： $$ \alpha_t\in\mathbb Q; $$ - moment coefficients： $$ \lambda_1,\ldots,\lambda_s\in\mathbb Q. $$ 要求： $$ \boxed{ \alpha_t + \sum_{j=1}^{s} \lambda_j \binom{k}{j} \ge \mathbf1_{\{k\ge1\}} } $$ 對每個： $$ t $$ 與： $$ 0\le k\le t. $$ --- # 25. Layered Dual Upper Bound ## Theorem SRBRD-09-T06 若上述 finite inequalities全部成立， 則： $$ \boxed{ |\mathcal O_m| \le \sum_t \alpha_tN_t + \sum_{j=1}^{s} \lambda_jB_j. } $$ proof： 對每個 offset： $$ d\in Z_t, $$ 代入： $$ k=\mu(d)\le t. $$ summation即可。 --- # 26. Dual Non-Cover Certificate 如果： $$ \boxed{ \sum_t \alpha_tN_t + \sum_{j=1}^{s} \lambda_jB_j < |\Omega_m|, } $$ 則： $$ \boxed{ \operatorname{Res}(m)\neq\varnothing. } $$ 所有 certificate只需要 rational arithmetic驗證。 --- # 27. Global Polynomial Is a Special Dual 取： $$ \alpha_t=0 $$ for all： $$ t. $$ 就回到 T01： $$ P(k) = \sum_j\lambda_j\binom{k}{j} \ge1 $$ on： $$ 0 49999. $$ 但 degree-6 paired-root pattern： $$ \boxed{ (2,3), \quad (5,6) } $$ 也就是 roots： $$ 1,2,3,5,6,9, $$ 給： $$ \boxed{ |\mathcal O| \le \frac{441524}{9} \approx 49058.22 < 49999. } $$ 所以 degree-6 certificate成功。 --- # 35. Computational Control：$m=10^6$ $$ |\Omega|=499999. $$ moments： $$ B_1=1573938, $$ $$ B_2=2303946, $$ $$ B_3=2095573, $$ $$ B_4=1292747, $$ $$ B_5=550290, $$ $$ B_6=159137. $$ global cap： $$ \boxed{ \kappa(10^6)=10. } $$ degree-6 paired roots： $$ \boxed{ 1,3,4,5,6,10 } $$ 即 pairs： $$ (3,4), \quad (5,6), $$ 得到 polynomial： $$ \boxed{ P(k) = 1- \frac{ (k-1)(k-3)(k-4)(k-5)(k-6)(k-10) }{ 3600 }. } $$ binomial-basis coefficients： $$ \boxed{ 1, -\frac{71}{75}, \frac{21}{25}, -\frac{17}{25}, \frac{7}{15}, -\frac15. } $$ 所以： $$ \boxed{ |\mathcal O| \le \frac{12476427}{25} = 499057.08 < 499999. } $$ 因此只使用： $$ \boxed{ B_1,\ldots,B_6 } $$ 就證 fixed： $$ m=10^6 $$ non-cover。 --- # 36. Comparison with Ordinary Bonferroni at $m=10^6$ SRBRD-02 audit： $$ U_5=623108 $$ 失敗。 $$ U_7=492799 $$ 成功。 所以 ordinary Bonferroni需要 moments到： $$ B_7. $$ Moment-polytope cap polynomial只需： $$ \boxed{ B_6. } $$ 這是實際一階 moment-order reduction。 --- # 37. Degree-6 Exactness at $\kappa=6$ 若： $$ \kappa=6, $$ 取 roots： $$ 1,2,3,4,5,6. $$ 則 polynomial在： $$ k=1,\ldots,6 $$ 全部： $$ =1. $$ 因此： $$ \boxed{ P(k)=\mathbf1_{\{k\ge1\}} } $$ on the entire occupancy domain。 所以： $$ \boxed{ |\mathcal O| = \sum_{j=1}^{6} \lambda_jB_j. } $$ 這只是 finite binomial interpolation。 它說明： > degree達 occupancy cap時，moment polynomial可以 exact recover union。 --- # 38. Exact Finite Interpolation Principle 更一般： 如果 moments取得到： $$ B_1,\ldots,B_{\kappa}, $$ 則 indicator： $$ \mathbf1_{\{k\ge1\}} $$ 在 finite set： $$ k=0,\ldots,\kappa $$ 可以 exact用 binomial basis表示： $$ \boxed{ \mathbf1_{\{k\ge1\}} = \sum_{j=1}^{\kappa} (-1)^{j+1} \binom{k}{j}. } $$ 所以： $$ |\mathcal O| $$ 最終一定 finite exact closure。 真正 proof compression問題是： > 能不能用： > $$ > s\ll\kappa > $$ > 的低 degree certificate就得到 strict non-cover？ --- # 39. Layered LP Can Only Improve global polynomial使用： $$ \mu\le\kappa(m). $$ layered dual還知道： $$ d\in Z_t \Longrightarrow \mu(d)\le t. $$ 所以： $$ U_s^{MP} $$ 不會比最佳 global degree-$s$ majorant差。 因此： $$ \boxed{ \text{Global Cap Polynomial} \subseteq \text{Layered Moment Polytope}. } $$ --- # 40. LP Dual Is a Formal Certificate, Not an Oracle solver可以搜尋： $$ \alpha_t, \lambda_j. $$ 但正式證明不需要信任 solver。 只需要輸出 rational coefficients， 然後 machine-check： 1. 所有： $$ \alpha_t+\sum_j\lambda_j\binom{k}{j} \ge\mathbf1_{\{k\ge1\}}; $$ 2. moment values / rigorous moment bounds； 3. 最終 rational sum： $$ <|\Omega|. $$ 所以 solver只是 certificate searcher。 --- # 41. Local-Cap Dual Interpretation 對每個 layer： $$ t, $$ function： $$ \boxed{ P_t(k) = \alpha_t + \sum_j\lambda_j\binom{k}{j} } $$ 只需要 majorize indicator於： $$ 0\le k\le t. $$ frontier layers： $$ t $$ 小， 所以可以允許一個 global polynomial在高 $k$ 處不夠強， 再用： $$ \alpha_t $$ 局部修補。 這正式把 SRBRD-03 center–frontier geometry接入 LP dual。 --- # 42. Moment Bounds Can Replace Exact Moments T01 / T06 目前使用 exact： $$ B_j. $$ 但若： $$ \lambda_j>0, $$ 只需要 rigorous upper bound： $$ B_j\le U_j. $$ 若： $$ \lambda_j<0, $$ 需要 rigorous lower bound： $$ L_j\le B_j. $$ 因此： $$ \boxed{ \sum_{\lambda_j>0} \lambda_jU_j + \sum_{\lambda_j<0} \lambda_jL_j } $$ 仍是合法 union upper bound。 這是走向 uniform theorem的關鍵接口。 --- # 43. Signed Moment Provider Contract 定義： $$ \boxed{ \operatorname{MomentEnvelope}_j = \begin{cases} U_j, & \lambda_j>0, \\ L_j, & \lambda_j<0. \end{cases} } $$ 那麼只要： $$ P $$ 是 occupancy majorant， 即可得到： $$ \boxed{ |\mathcal O_m| \le \sum_j \lambda_j \operatorname{MomentEnvelope}_j. } $$ 這把「uniform moment bounds」直接接到 finite polynomial certificate。 --- # 44. Why Signs Matter 例如 degree-4 polynomial通常： $$ \lambda_1>0, $$ $$ \lambda_2<0, $$ $$ \lambda_3>0, $$ $$ \lambda_4<0. $$ 所以要 uniform upper-bound union： 需要： - $B_1$ upper； - $B_2$ lower； - $B_3$ upper； - $B_4$ lower。 這和 SRBRD-03 對 Bonferroni polarity的警告完全一致。 --- # 45. Relation to Forest / Cycle Certificates forest methods產生： $$ E_q $$ lower bound。 moment polynomial則直接 majorize： $$ \mathbf1_{\{\mu\ge1\}}. $$ 兩者不是互斥。 可以： 1. 用 forest / danger complex提供某些 negative-sign moment lower bounds； 2. 用 lattice sparsity提供 positive-sign moment upper bounds； 3. 最終由 polynomial dual組裝。 因此 SRBRD-09 開始把前面不同支線統一到： $$ \boxed{ \text{signed finite moment certificate}. } $$ --- # 46. Moment-Polytope Barrier 即使 finite LP對每個 fixed： $$ m $$ 都可以求， 這仍不是 uniform Goldbach proof。 因為： - moments： $$ B_j(m) $$ 隨 $m$ 變動； - occupancy cap： $$ \kappa(m) $$ 緩慢成長； - 最佳 polynomial / dual coefficients也可能變。 所以真正下一步是： $$ \boxed{ \text{uniformize moment envelopes and dual polynomials}. } $$ --- # 47. New Research Target 我們現在可以把 uniform Goldbach closure target壓成： 找到某個 degree： $$ s(m) $$ 與 rigorous moment envelopes，使存在 dual certificate： $$ \boxed{ \sum_t\alpha_tN_t + \sum_j \lambda_j \operatorname{MomentEnvelope}_j < |\Omega_m| } $$ for all： $$ m\ge3. $$ 理想情況： $$ s(m) $$ 為常數。 次佳： $$ s(m) $$ 只需極慢成長。 --- # 48. Why This Is Potentially Stronger Than Raising Bonferroni Order Bonferroni只允許固定係數： $$ +1,-1,+1,-1,\ldots $$ Moment polytope允許： $$ \boxed{ \text{任何 rational coefficients} } $$ 只要 finite occupancy domain上 majorant成立。 所以可以針對： - $\kappa(m)$； - local cap layers； - moment sizes； 搜尋更有效的 signed combination。 這是一個真正更大的 proof-certificate class。 --- # 49. Formal Theorem Queue ```yaml SRBRD_09: T01: finite_occupancy_polynomial_majorant_union_bound T02: degree2_cap_majorant T03: degree4_paired_root_majorant T04: general_even_degree_paired_root_majorant T05: moment_polytope_primal_upper_bound T06: layered_LP_dual_certificate T07: global_polynomial_as_dual_special_case T08: exact_interpolation_at_degree_kappa T09: signed_moment_envelope_substitution ``` --- # 50. Acceptance Gate SRBRD-09 formal core前需： 1. global occupancy cap theorem； 2. polynomial majorant theorem； 3. rational signed summation proof； 4. degree-2 sign proof； 5. general paired-root sign proof； 6. degree-4 binomial coefficient derivation； 7. cap-layer partition； 8. moment-polytope primal； 9. LP dual weak-duality theorem或直接 finite summation proof； 10. exact interpolation； 11. signed moment envelope polarity； 12. finite numerical certificates用 exact rational重新驗證； 13. no solver-trust assumption； 14. no uniform Goldbach claim。 --- # 51. Verdict 本輪可正式給： $$ \boxed{ \mathrm{SRBRD\mbox{-}09\ MOMENT\mbox{-}POLYTOPE\ DUAL\ PASS}. } $$ 原因： SRBRD 的 finite occupancy cap使： $$ \boxed{ \text{union upper bound不再受 Bonferroni odd-order形式限制。} } $$ 我們得到： - degree-2 even certificate； - general degree-$2s$ paired-root majorants； - layered moment-polytope LP； - rational dual certificate； - signed moment-envelope interface。 而 finite controls已顯示實質 moment-order reduction： - $m=5000$： degree $4$成功，而 ordinary Bonferroni需 $5$； - $m=10^6$： degree $6$成功，而 ordinary Bonferroni需 $7$。 但： $$ \boxed{ \mathrm{UNIFORM\ GOLDBACH\ CLOSURE\ STILL\ OPEN}. } $$ --- # 52. 下一輪建議 # SRBRD-10 ## Uniform Moment Envelope / Dual-Polynomial Closure 現在最值得攻擊的不是再做更高 exact moments。 而是： 1. 為 positive-coefficient moments找 uniform upper bounds； 2. 為 negative-coefficient moments找 uniform lower bounds； 3. 使用 CRT / root interval / cofactor load來界： $$ B_j; $$ 4. 建立 degree-4、degree-6 polynomial的 symbolic inequality； 5. 研究： $$ \kappa(m) $$ 隨 $m$ 緩慢成長時 paired-root pattern如何選； 6. 嘗試讓： $$ \text{dual upper}<|\Omega| $$ 對整個 family成立。 這是目前第一次把： $$ \boxed{ \text{Goldbach non-cover} } $$ 壓成： $$ \boxed{ \text{有限 degree 的 signed moment inequalities}. } $$ --- # 附錄 A：Degree-4 Contract ```yaml inputs: kappa: integer >= 4 a: 2 <= a <= kappa-2 polynomial: P(k): 1 - ((k-1)(k-a)(k-a-1)(k-kappa))/(kappa*a*(a+1)) integer_majorant: P(0): 0 P(k)>=1: for: 1..kappa binomial_coefficients: lambda1: 1 lambda2: (-4*kappa*a + 2*kappa - 2*a^2 + 6*a - 4)/(kappa*a*(a+1)) lambda3: 6*(kappa+2*a-4)/(kappa*a*(a+1)) lambda4: -24/(kappa*a*(a+1)) ``` --- # 附錄 B：General Even-Degree Contract ```yaml roots: - 1 - paired_consecutive_integer_roots: - [a1,a1+1] - [a2,a2+1] - ... - kappa normalization: P(0): 0 property: product_term <= 0 on every integer k in [1,kappa] therefore: P(k) >= 1 on occupied integer states ``` --- # 附錄 C：Selected Exact-Rational Certificates ### $m=1094$ ```yaml Omega: 546 kappa: 6 degree: 4 paired_root_a: 3 moments: B1: 1114 B2: 921 B3: 415 B4: 108 coefficients: - 1 - -8/9 - 2/3 - -1/3 union_upper: 536 noncover: true ``` ### $m=5000$ ```yaml Omega: 2499 kappa: 7 degree: 4 paired_root_a: 3 moments: B1: 5495 B2: 5206 B3: 2870 B4: 944 union_upper: exact: 52165/21 decimal: 2484.047619... noncover: true ``` ### $m=100000$ ```yaml Omega: 49999 kappa: 9 degree: 6 paired_roots: - [2,3] - [5,6] moments: B1: 139168 B2: 176344 B3: 136402 B4: 69743 B5: 23674 B6: 5170 union_upper: exact: 441524/9 decimal: 49058.222222... noncover: true ``` ### $m=1000000$ ```yaml Omega: 499999 kappa: 10 degree: 6 paired_roots: - [3,4] - [5,6] moments: B1: 1573938 B2: 2303946 B3: 2095573 B4: 1292747 B5: 550290 B6: 159137 coefficients: - 1 - -71/75 - 21/25 - -17/25 - 7/15 - -1/5 union_upper: exact: 12476427/25 decimal: 499057.08 noncover: true ``` --- # 附錄 D：Moment-Polytope Dual Contract ```yaml cap_layers: Z_t: local_occupancy_cap_equals: t N_t: card(Z_t) dual_variables: alpha_t: rational: true lambda_j: rational: true finite_constraints: for_each_t: for_k_in_0_to_t: alpha_t + sum(lambda_j*choose(k,j)) >= indicator(k>=1) union_upper: sum(alpha_t*N_t) + sum(lambda_j*B_j) certificate: if_union_upper_lt_card_Omega: residual_nonempty: true ``` --- # 附錄 E：Commit Decision ```yaml research_round: SRBRD-09 decision: finite_occupancy_polynomial_majorants: true even_degree_upper_certificates: true moment_polytope_duality: true moment_order_reduction_observed: true uniform_goldbach_closure: false new_exact_structures: - degree2_cap_majorant - paired_root_even_degree_majorants - layered_moment_polytope - rational_dual_certificate - signed_moment_envelope_interface next: SRBRD-10_Uniform_MomentEnvelope_DualPolynomial_Closure ```