# SRBRD-08
## Congruence–Load Exact-Danger / Maximal-Face Closure
### Canonical Endpoint CRT、Sparse-Lattice Hypercells、Exact Danger Decider 與 Maximal-Face Generation

**母計畫：** RG-SCP / Reverse Goldbach Structural Closure Program  
**支線：** SRBRD — Symmetric Root-Bounded Relation Domain  
**輪次：** SRBRD-08  
**日期：** 2026-09-30  
**版本：** v0.1  
**作者：** Neo.K；Aletheia（GPT-5.6 Sol）  
**性質：** Exact Congruence–Load Closure / Danger-Complex Decider / Maximal-Face Compression  
**前置：** SRBRD-00 ～ SRBRD-07  
**狀態：** 將 load→exact 的剩餘 gap 壓成單一 CRT-lattice landing test；尚未得到 uniform Goldbach closure

---

# 0. 本輪問題

SRBRD-07 已建立：

$$
\boxed{
\mathfrak D_m^{\mathrm{exact}}
\subseteq
\mathfrak D_m^{\mathrm{load}}
\subseteq
\mathfrak D_m^{\mathrm{prod}}.
}
$$

其中：

- `ProductDanger` 只檢：
  $$
  P(U)\le m^2;
  $$
- `LoadDanger` 再檢左右 endpoints是否至少有足夠 cofactor / root capacity；
- `ExactDanger` 則要求：
  $$
  H_m(U)\neq\varnothing.
  $$

本輪原先要尋找：

$$
\mathfrak D_m^{\mathrm{cong}}
$$

作為：

$$
\mathfrak D_m^{\mathrm{exact}}
\subseteq
\mathfrak D_m^{\mathrm{cong}}
\subseteq
\mathfrak D_m^{\mathrm{load}}
$$

的中間層。

但正式展開後得到一個更乾淨的結果：

$$
\boxed{
\text{一旦 canonical side assignment、root interval 與 CRT residue 同時加入，
Congruence–Load feasibility 本身就與 ExactDanger 等價。}
}
$$

換句話說：

> load 與 exact 之間真正剩下的 gap，不是另一個神秘數論條件，而只是「唯一 CRT lattice 是否真的落進合法 endpoint interval」。

這是本輪第一個核心結論。

---

# 1. Canonical Side Assignment

對 finite witness-prime set：

$$
U\subseteq Q_m,
$$

沿用 SRBRD-07：

$$
\Sigma_m(r)
=
\begin{cases}
\{R\},
&
r\mid m,
\\
\{L,R\},
&
r\nmid m.
\end{cases}
$$

canonical side assignment：

$$
\boxed{
\alpha\in\mathcal A_m(U)
=
\prod_{r\in U}\Sigma_m(r).
}
$$

令：

$$
L_\alpha
=
\{r\in U:\alpha(r)=L\},
$$

$$
R_\alpha
=
\{r\in U:\alpha(r)=R\}.
$$

兩者 disjoint，且：

$$
L_\alpha\sqcup R_\alpha=U.
$$

---

# 2. Endpoint Variable

令：

$$
\boxed{
x=m-d
}
$$

為 left endpoint。

則：

$$
\boxed{
y=m+d=2m-x.
}
$$

對：

$$
d\in\Omega_m,
$$

有：

$$
\boxed{
3\le x\le m,
}
$$

且：

$$
x
$$

odd。

right endpoint自動：

$$
m\le y\le2m-3
$$

且 odd。

因此 oriented hypercell可完全改寫成：

> 尋找合法 odd left endpoint $x$。

---

# 3. Side Products

定義：

$$
\boxed{
A_\alpha
=
P(L_\alpha)
=
\prod_{r\in L_\alpha}r,
}
$$

$$
\boxed{
B_\alpha
=
P(R_\alpha)
=
\prod_{r\in R_\alpha}r.
}
$$

空積為：

$$
1.
$$

因：

$$
L_\alpha,
R_\alpha
$$

分割 distinct primes：

$$
\boxed{
\gcd(A_\alpha,B_\alpha)=1,
}
$$

以及：

$$
\boxed{
A_\alpha B_\alpha=P(U).
}
$$

---

# 4. Root Thresholds

定義：

$$
\boxed{
\rho_L(\alpha)
=
\max
\left(
\{r:r\in L_\alpha\}\cup\{1\}
\right),
}
$$

$$
\boxed{
\rho_R(\alpha)
=
\max
\left(
\{r:r\in R_\alpha\}\cup\{1\}
\right).
}
$$

若 left side上的所有 primes都要作 root witnesses，

必須：

$$
x\ge\rho_L(\alpha)^2.
$$

right side則要求：

$$
y=2m-x\ge\rho_R(\alpha)^2.
$$

---

# 5. Exact Endpoint Box

所以 oriented assignment的合法 left-endpoint interval為：

$$
\boxed{
a_\alpha
=
\max
\left(
3,\rho_L(\alpha)^2
\right),
}
$$

$$
\boxed{
b_\alpha
=
\min
\left(
m,
2m-\max(m,\rho_R(\alpha)^2)
\right).
}
$$

因：

$$
y\ge m
$$

本來就由：

$$
x\le m
$$

保證。

如果：

$$
a_\alpha>b_\alpha,
$$

該 orientation立即 impossible。

---

# 6. Divisibility Congruences

assignment要求：

$$
A_\alpha\mid x,
$$

以及：

$$
B_\alpha\mid y=2m-x.
$$

所以：

$$
\boxed{
x\equiv0\pmod{A_\alpha},
}
$$

$$
\boxed{
x\equiv2m\pmod{B_\alpha}.
}
$$

endpoint還必須 odd：

$$
\boxed{
x\equiv1\pmod2.
}
$$

---

# 7. Unique CRT Lattice

因：

$$
2,
A_\alpha,
B_\alpha
$$

pairwise coprime，

Chinese Remainder Theorem給唯一 residue：

$$
\boxed{
c_{m,U,\alpha}
\pmod{M_U},
}
$$

其中：

$$
\boxed{
M_U
=
2A_\alpha B_\alpha
=
2P(U).
}
$$

最重要的是：

$$
\boxed{
M_U
\text{ 與 side assignment }\alpha\text{ 無關。}
}
$$

orientation只改變 residue：

$$
c_{m,U,\alpha},
$$

不改變 lattice spacing：

$$
2P(U).
$$

---

# 8. Exact Oriented Hypercell

定義：

$$
\boxed{
K_m(U,\alpha)
}
$$

為由 assignment：

$$
\alpha
$$

實現的 offsets。

用 endpoint variable：

## Theorem SRBRD-08-T01

$$
\boxed{
K_m(U,\alpha)
\longleftrightarrow
\left\{
x:
a_\alpha\le x\le b_\alpha,
\quad
x\equiv c_{m,U,\alpha}\pmod{2P(U)}
\right\}.
}
$$

offset回復：

$$
\boxed{
d=m-x.
}
$$

這是一個 exact bijection。

---

# 9. Next-Residue Operator

對 modulus：

$$
M>0,
$$

residue：

$$
c\in[0,M-1],
$$

與 lower bound：

$$
a,
$$

定義：

$$
\boxed{
\operatorname{Next}(c,M,a)
}
$$

為：

> 大於等於 $a$ 的最小整數 $x$，使：
> $$
> x\equiv c\pmod M.
> $$

closed form：

$$
\boxed{
\operatorname{Next}(c,M,a)
=
c
+
M
\max
\left(
0,
\left\lceil
\frac{a-c}{M}
\right\rceil
\right).
}
$$

formal Nat實作可用 Euclidean quotient避免 real ceiling。

---

# 10. Oriented Feasibility Criterion

由 T01：

## Theorem SRBRD-08-T02

$$
\boxed{
K_m(U,\alpha)\neq\varnothing
}
$$

當且僅當：

$$
\boxed{
a_\alpha\le b_\alpha
}
$$

且：

$$
\boxed{
\operatorname{Next}
\left(
c_{m,U,\alpha},
2P(U),
a_\alpha
\right)
\le
b_\alpha.
}
$$

也就是：

> load interval存在還不夠；唯一 CRT lattice必須真的擊中 interval。

---

# 11. Exact Oriented Cardinality

若：

$$
x_0
=
\operatorname{Next}
\left(
c_{m,U,\alpha},
2P(U),
a_\alpha
\right),
$$

則：

## Theorem SRBRD-08-T03

$$
\boxed{
|K_m(U,\alpha)|
=
\begin{cases}
0,
&
x_0>b_\alpha,
\\
1+
\left\lfloor
\dfrac{
b_\alpha-x_0
}{
2P(U)
}
\right\rfloor,
&
x_0\le b_\alpha.
\end{cases}
}
$$

因此每個 oriented hypercell cardinality可以用一次 CRT + 一次 finite interval arithmetic精確求出。

---

# 12. Canonical Orientations Are Disjoint

SRBRD-05 已建立：

- center-divisor prime強制 canonical right；
- noncenter prime的 left / right cells disjoint。

所以對固定：

$$
U,
$$

不同 canonical assignments：

$$
\alpha\neq\beta
$$

有：

$$
\boxed{
K_m(U,\alpha)
\cap
K_m(U,\beta)
=
\varnothing.
}
$$

因此：

## Theorem SRBRD-08-T04

$$
\boxed{
|H_m(U)|
=
\sum_{\alpha\in\mathcal A_m(U)}
|K_m(U,\alpha)|.
}
$$

---

# 13. Congruence–Load Exactness Theorem

定義：

$$
\boxed{
\operatorname{CRTLoadDanger}(m,U)
}
$$

當：

> 存在 canonical assignment $\alpha$，使：
> $$
> \operatorname{Next}
> \left(
> c_{m,U,\alpha},
> 2P(U),
> a_\alpha
> \right)
> \le b_\alpha.
> $$

則：

## Theorem SRBRD-08-T05

$$
\boxed{
\operatorname{CRTLoadDanger}(m,U)
\Longleftrightarrow
H_m(U)\neq\varnothing.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
\mathfrak D_m^{CRT}
=
\mathfrak D_m^{exact}.
}
$$

---

# 14. Interpretation of T05

這是一個重要的 negative / positive result。

### Negative

不存在另一個介於：

$$
\text{load}
$$

與：

$$
\text{exact}
$$

之間、還需要某個未知 primality condition 的 gap。

### Positive

load→exact 的全部剩餘資訊就是：

$$
\boxed{
\text{CRT residue lattice 是否落入 root-valid endpoint interval。}
}
$$

這完全是 finite arithmetic。

---

# 15. Updated Danger Hierarchy

因此 canonical hierarchy更新為：

$$
\boxed{
\mathfrak D_m^{exact}
=
\mathfrak D_m^{CRT}
\subseteq
\mathfrak D_m^{load}
\subseteq
\mathfrak D_m^{prod}.
}
$$

而 exact danger可以不掃描 offsets，直接由：

- side assignment；
- CRT；
- interval landing；

判定。

---

# 16. Free-Side Count

定義：

$$
\boxed{
f_m(U)
=
\#\left\{
r\in U:
r\nmid m
\right\}.
}
$$

因：

- $r\mid m$ 時只有 canonical right；
- $r\nmid m$ 時有 left / right兩選擇；

所以：

## Theorem SRBRD-08-T06

$$
\boxed{
|\mathcal A_m(U)|
=
2^{f_m(U)}.
}
$$

---

# 17. Orientation-Independent Lattice Spacing

對所有：

$$
\alpha\in\mathcal A_m(U),
$$

modulus皆：

$$
\boxed{
2P(U).
}
$$

因此 prime-union product不只控制：

- product budget；
- danger radius；

還直接控制：

$$
\boxed{
\text{oriented solution lattice density}.
}
$$

prime-union越大，candidate endpoint lattice越稀疏。

---

# 18. Oriented Cardinality Upper Bound

由：

$$
a_\alpha\ge3,
$$

$$
b_\alpha\le m,
$$

可知：

$$
b_\alpha-a_\alpha
\le
m-3.
$$

所以 T03立即給：

## Theorem SRBRD-08-T07

$$
\boxed{
|K_m(U,\alpha)|
\le
1+
\left\lfloor
\frac{
m-3
}{
2P(U)
}
\right\rfloor.
}
$$

對 empty orientation可視為更強的 $0$。

---

# 19. Total Hypercell Cardinality Bound

由 T04、T06、T07：

## Theorem SRBRD-08-T08

$$
\boxed{
|H_m(U)|
\le
2^{f_m(U)}
\left(
1+
\left\lfloor
\frac{
m-3
}{
2P(U)
}
\right\rfloor
\right).
}
$$

這是一個完全不需逐 offset的 structural hypercell upper bound。

---

# 20. Sparse-Lattice Regime

若：

$$
\boxed{
2P(U)>m-3,
}
$$

則：

$$
\left\lfloor
\frac{
m-3
}{
2P(U)
}
\right\rfloor
=
0.
$$

所以每個 canonical orientation至多一個 endpoint。

---

# 21. Sparse-Lattice Theorem

## Theorem SRBRD-08-T09

若：

$$
2P(U)>m-3,
$$

則：

$$
\boxed{
|K_m(U,\alpha)|\le1
}
$$

對所有：

$$
\alpha.
$$

進而：

$$
\boxed{
|H_m(U)|
\le
2^{f_m(U)}.
}
$$

---

# 22. Center-Divisor Extreme

若：

$$
U
$$

中所有 primes都整除：

$$
m,
$$

則：

$$
f_m(U)=0.
$$

所以在 sparse-lattice regime：

$$
\boxed{
|H_m(U)|\le1.
}
$$

也就是：

> 一個完全由 center-divisor primes構成、且 product夠大的 danger face，最多只能由單一 offset實現。

---

# 23. Dangerous but Sparse Window

product danger只要求：

$$
P(U)\le m^2.
$$

sparse lattice則只要求：

$$
P(U)>
\frac{m-3}{2}.
$$

所以存在非常寬的區間：

$$
\boxed{
\frac{m-3}{2}
<
P(U)
\le
m^2
}
$$

其中：

- product budget仍無法排除 danger；
- 但 oriented exact hypercells已最多各一點。

這正是 load→exact candidate數快速崩縮的一個機制。

---

# 24. Load vs CRT Gap

`LoadDanger`只問：

> 左右是否各自存在某個 sufficiently large odd multiple，總量不超過 $2m$？

`CRTLoadDanger`再要求：

> 這兩個 side products必須由**同一個** left endpoint $x$ 滿足：
> $$
> x\equiv0\pmod A,
> $$
> $$
> x\equiv2m\pmod B.
> $$

所以 load failure之外的主要 pruning來源就是：

$$
\boxed{
\text{residue-lattice miss}.
}
$$

---

# 25. Congruence Miss

對 load-feasible assignment：

$$
\alpha,
$$

定義：

$$
\boxed{
\delta_\alpha
=
\operatorname{Next}
\left(
c_{m,U,\alpha},
2P(U),
a_\alpha
\right)
-
b_\alpha.
}
$$

若 Nat formalization使用 truncated subtraction，可改成 signed integer或 predicate。

概念上：

- $\delta_\alpha\le0$：
  feasible；
- $\delta_\alpha>0$：
  lattice misses interval。

---

# 26. Union-Level Congruence Miss

若：

$$
\boxed{
\forall\alpha\in\mathcal A_m(U),
\quad
\delta_\alpha>0,
}
$$

則：

$$
\boxed{
U\notin\mathfrak D_m^{exact}.
}
$$

即使：

$$
U\in\mathfrak D_m^{load}.
$$

這精確描述 SRBRD-07 finite audit中：

$$
\text{LoadDanger}
\gg
\text{ExactDanger}
$$

的剩餘差距。

---

# 27. Exact Danger Is Still Downward Closed

由：

$$
\mathfrak D^{CRT}
=
\mathfrak D^{exact},
$$

以及 SRBRD-07 exact danger downward closure：

$$
\boxed{
U\in\mathfrak D^{CRT},
\quad
V\subseteq U
\Longrightarrow
V\in\mathfrak D^{CRT}.
}
$$

所以 CRT exact decider可以直接用於 maximal-face branch-and-bound。

---

# 28. Maximal Danger Face

定義：

$$
\boxed{
U\in\operatorname{MaxDanger}_m
}
$$

若：

1. $U\in\mathfrak D_m^{exact}$；
2. 不存在：
   $$
   U\subsetneq V\subseteq Q_m
   $$
   且：
   $$
   V\in\mathfrak D_m^{exact}.
   $$

---

# 29. Maximal Faces Generate Exact Danger

由 downward closure：

## Theorem SRBRD-08-T10

$$
\boxed{
\mathfrak D_m^{exact}
=
\bigcup_{M\in\operatorname{MaxDanger}_m}
2^M.
}
$$

所以 local-acyclic graph verification只需：

$$
\boxed{
\text{inclusion-maximal exact danger faces}.
}
$$

---

# 30. Maximal-Face Acyclicity

沿用 SRBRD-07：

## Theorem SRBRD-08-T11

graph：

$$
G
$$

locally acyclic當且僅當：

$$
\boxed{
\forall
M\in\operatorname{MaxDanger}_m,
\quad
G[V_q(M)]
\text{ is a forest}.
}
$$

現在 MaxDanger可以由 CRT-load arithmetic exact產生，

不需要逐 offset建立 occupancy sets。

---

# 31. Branch-and-Bound Exact Generator

可建立以下 exact search：

### Step 1

依序加入 witness primes：

$$
r\in Q_m.
$$

### Step 2 — Product Prune

若：

$$
P(U)>m^2,
$$

則所有 supersets也不可能 exact-danger。

prune整個 branch。

### Step 3 — Load Prune

若：

$$
\Lambda_m(U)>2m,
$$

則所有 supersets也不可能 exact-danger。

prune。

### Step 4 — CRT Exact Test

檢：

$$
\exists\alpha:
\operatorname{Next}(c,2P(U),a_\alpha)\le b_\alpha.
$$

若 false，

由 exact danger downward closure的 contrapositive：

> 任意 superset也不可能 feasible。

所以也可 prune。

### Step 5

若 $U$ feasible但所有 one-prime extensions infeasible，

輸出 maximal face。

---

# 32. Why Exact Failure Prunes Supersets

若：

$$
V\supseteq U
$$

feasible，

downward closure會推出：

$$
U
$$

feasible。

所以：

$$
U
$$

infeasible：

$$
\boxed{
\Longrightarrow
\text{所有 supersets infeasible}.
}
$$

因此 CRT exact decider非常適合 branch-and-bound。

---

# 33. No Offset Enumeration Needed

上述 maximal-face generator不需要：

- 枚舉所有 $d\in\Omega_m$；
- 判定 endpoint primality；
- 先構造完整 obstruction graph。

它只需要：

- witness-prime subsets；
- products；
- side assignments；
- CRT；
- root-valid intervals。

所以是一個真正的：

$$
\boxed{
\text{finite arithmetic danger-face generator}.
}
$$

---

# 34. Exact Danger Maximal Faces vs Occupancy Faces

SRBRD-07 已證：

exact danger maximal faces等於 inclusion-maximal distinct occupancy sets：

$$
R_m(d).
$$

SRBRD-08 現在提供另一種生成方式：

$$
\boxed{
\text{CRT maximal-face search}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{offset occupancy maximal faces}
}
$$

應產生同一 family。

這可以作 E0 identity test。

---

# 35. Computational Audit：$m=199$

witness primes：

$$
3,5,7,11,13,17,19.
$$

cycle-relevant subset counts：

| $|U|$ | Product danger | Load danger | CRT / Exact danger | Load-danger sparse |
|---:|---:|---:|---:|---:|
| 4 | 34 | 5 | 1 | 5 |
| 5 | 7 | 0 | 0 | 0 |

所以：

$$
\boxed{
5\to1
}
$$

的 load→exact pruning完全來自 CRT-lattice landing。

而所有 load-danger size-4 sets都已在 sparse-lattice regime。

---

# 36. Computational Audit：$m=1000$

| $|U|$ | Product danger | Load danger | CRT / Exact danger | Load-danger sparse |
|---:|---:|---:|---:|---:|
| 4 | 700 | 181 | 37 | 181 |
| 5 | 571 | 115 | 4 | 115 |
| 6 | 43 | 28 | 0 | 28 |

所以：

$$
\boxed{
1314
\to
324
\to
41
}
$$

與 SRBRD-07 exact audit完全一致。

更重要：

$$
\boxed{
324/324
}
$$

個 load-danger cycle-relevant sets都已是 sparse-lattice。

所以對它們每個 canonical orientation：

$$
\boxed{
\text{最多只需檢查一個 CRT endpoint candidate}.
}
$$

---

# 37. Computational Audit：$m=5000$

| $|U|$ | Product danger | Load danger | CRT / Exact danger | Sparse among load |
|---:|---:|---:|---:|---:|
| 4 | 10476 | 3982 | 543 | 3976 |
| 5 | 18193 | 5519 | 160 | 5519 |
| 6 | 5492 | 3008 | 18 | 3008 |
| 7 | 117 | 104 | 0 | 104 |

所以：

$$
34278
\to
12613
\to
721.
$$

而 load-danger中：

- size 5；
- size 6；
- size 7；

全部 sparse-lattice。

size 4也只有：

$$
6
$$

個 load-danger sets不在 global sparse regime。

這表示高階 cycle-danger的 exact CRT test在實務上接近：

$$
\boxed{
\text{one-candidate-per-orientation}.
}
$$

---

# 38. Exact Danger Family Compression：$m=199$

所有 nonempty exact-danger subsets總數：

$$
\boxed{
29.
}
$$

但 inclusion-maximal exact danger faces只有：

$$
\boxed{
7.
}
$$

maximal-face size distribution：

- size 1：
  $$
  1;
  $$
- size 3：
  $$
  5;
  $$
- size 4：
  $$
  1.
  $$

所以 acyclicity constraint不需要在 29 個 danger sets上重複驗證。

只需 maximal 7 faces。

---

# 39. Exact Danger Family Compression：$m=1000$

所有 nonempty exact-danger subsets：

$$
\boxed{
186.
}
$$

inclusion-maximal faces：

$$
\boxed{
39.
}
$$

size distribution：

- size 2：
  $$
  2;
  $$
- size 3：
  $$
  15;
  $$
- size 4：
  $$
  18;
  $$
- size 5：
  $$
  4.
  $$

所以 exact local-acyclic constraints可以從：

$$
186
$$

個 downward-closed faces壓到：

$$
39
$$

個 maximal faces。

---

# 40. Sparse-Lattice Hypercell Bound and Cycle Weights

SRBRD-06 graph edge weight：

$$
|H_m(J\cup K)|.
$$

如果 union prime set：

$$
U=J\cup K
$$

滿足：

$$
2P(U)>m-3,
$$

則：

$$
\boxed{
|H_m(U)|
\le
2^{f_m(U)}.
}
$$

所以 high-prime-union cycle edges有天然 small weight。

這可以在未來提供：

- graph edge-weight upper bounds；
- cycle-space mass upper bounds；
- danger-complex sparsity estimates。

---

# 41. Lattice-Density Interpretation

對 fixed：

$$
U,
$$

所有 canonical orientations共享 lattice spacing：

$$
2P(U).
$$

offset / endpoint interval尺度最多：

$$
O(m).
$$

因此 hypercell expected candidate count的 exact deterministic upper scale為：

$$
\boxed{
\frac{m}{2P(U)}.
}
$$

這不是 probabilistic heuristic。

它來自：

$$
\boxed{
\text{arithmetic progression spacing}.
}
$$

prime-union product快速成長時，danger faces自然 lattice-sparse。

---

# 42. Product Budget vs Lattice Sparsity

兩個 threshold不同：

### Danger Threshold

$$
P(U)\le m^2.
$$

### One-Point-Per-Orientation Threshold

$$
2P(U)>m-3.
$$

因此高階 hypercells可以：

- 完全合法通過 product danger；
- 但同時非常稀疏。

這解釋：

$$
\mathfrak D^{prod}
$$

為什麼比：

$$
\mathfrak D^{exact}
$$

大很多。

---

# 43. Updated Cycle-Safety Pipeline

現在 cycle safety可以用：

### Layer 1

product danger：

$$
P(U)\le m^2.
$$

### Layer 2

cofactor load：

$$
\Lambda_m(U)\le2m.
$$

### Layer 3

CRT-lattice landing：

$$
\exists\alpha:
\operatorname{Next}(c,2P(U),a_\alpha)\le b_\alpha.
$$

而 Layer 3 已 exact。

所以：

$$
\boxed{
\text{Product}
\to
\text{Load}
\to
\text{Exact CRT}
}
$$

形成完整 finite decision cascade。

---

# 44. Formal-Theorem Queue

```yaml
SRBRD_08:
  T01: oriented_hypercell_bijection_to_CRT_endpoint_progression
  T02: oriented_nonempty_iff_next_residue_hits_interval
  T03: oriented_exact_cardinality
  T04: canonical_orientations_disjoint
  T05: CRT_load_danger_iff_exact_danger
  T06: canonical_orientation_count_eq_2_pow_free_side_count
  T07: oriented_cell_global_cardinality_upper
  T08: total_hypercell_product_spacing_upper
  T09: sparse_lattice_one_point_per_orientation
  T10: maximal_exact_danger_faces_generate_complex
  T11: maximal_face_acyclicity_iff_local_acyclicity
```

---

# 45. Acceptance Gate

SRBRD-08 formal core前需：

1. endpoint-variable bijection；
2. side product coprimality；
3. CRT unique residue；
4. modulus independence：
   $$
   2P(U);
   $$
5. root-valid endpoint interval；
6. NextResidue existence / uniqueness；
7. exact oriented feasibility theorem；
8. exact oriented cardinality；
9. canonical orientation disjointness；
10. CRTLoadDanger = ExactDanger；
11. sparse-lattice theorem；
12. hypercell cardinality upper bound；
13. downward closure；
14. maximal-face generator soundness；
15. maximal-face acyclicity reduction；
16. finite computational audit clearly separated from theorem claims；
17. no uniform Goldbach claim。

---

# 46. Verdict

本輪可正式給：

$$
\boxed{
\mathrm{SRBRD\mbox{-}08\ CRT\mbox{-}LOAD\ EXACT\ DANGER\ PASS}.
}
$$

最重要的結論不是多加一個 outer approximation。

反而是：

$$
\boxed{
\mathfrak D_m^{CRT}
=
\mathfrak D_m^{exact}.
}
$$

也就是：

> SRBRD danger realizability 在 canonical orientation後，完整縮成一條有限 CRT arithmetic progression是否擊中 root-valid endpoint interval。

因此 exact danger已不需要逐 offset enumeration。

同時：

$$
\boxed{
2P(U)
}
$$

成為新的核心尺度：

- product danger看：
  $$
  P(U)\le m^2;
  $$
- hypercell density看：
  $$
  2P(U)
  $$
  相對 endpoint interval寬度。

這個 lattice spacing可能是下一輪把 cycle-space mass做成 uniform upper bound的真正入口。

但：

$$
\boxed{
\mathrm{UNIFORM\ GOLDBACH\ CLOSURE\ STILL\ OPEN}.
}
$$

---

# 47. 下一輪建議

# SRBRD-09
## Lattice-Sparsity / Cycle-Space Mass Closure

優先研究：

1. 用：
   $$
   |H_m(U)|
   \le
   2^{f_m(U)}
   \left(
   1+\left\lfloor
   \frac{m-3}{2P(U)}
   \right\rfloor
   \right)
   $$
   upper-bound hypercell weights；
2. 對 cycle union sets按：
   $$
   P(U)
   $$
   分 dyadic / primorial layers；
3. upper-bound total unsafe cycle-space mass；
4. 將 SRBRD-06：
   $$
   Z_q
   $$
   或：
   $$
   F_q^{local}
   $$
   用 product-spacing直接估計；
5. 搜尋：
   $$
   U_q-L_{E,q}^{lattice}<|\Omega_m|
   $$
   的 uniform inequality。

這會第一次把：

$$
\boxed{
\text{prime-union product growth}
}
$$

直接轉成：

$$
\boxed{
\text{cycle overlap weight decay}.
}
$$

---

# 附錄 A：Exact Oriented CRT Contract

```yaml
PrimeUnion:
  U: finite_odd_primes

CanonicalOrientation:
  center_divisor_prime:
    side: right
  noncenter_prime:
    sides:
      - left
      - right

Products:
  A: product(left_primes)
  B: product(right_primes)
  A_times_B: product(U)

Endpoint:
  x: m-d

Congruences:
  x_mod_A: 0
  x_mod_B: 2m
  x_mod_2: 1

CRT:
  modulus: 2*product(U)
  unique_residue: true

Interval:
  lower:
    max(3, max_left_prime_squared)
  upper:
    min(m, 2m-max(m,max_right_prime_squared))

Feasible:
  Next(residue,modulus,lower) <= upper
```

---

# 附錄 B：Danger Cascade

```yaml
ProductDanger:
  test:
    product(U) <= m^2

LoadDanger:
  test:
    Lambda_m(U) <= 2m

CRTExactDanger:
  test:
    exists canonical orientation:
      CRT_lattice_hits_root_interval

inclusion:
  Exact_equals_CRT: true
  Exact_subset_Load: true
  Load_subset_Product: true
```

---

# 附錄 C：Sparse-Lattice Contract

```yaml
FreeSideCount:
  f_m_U:
    count:
      r_in_U_and_r_not_divide_m

OrientationCount:
  2^f_m_U

GlobalCellBound:
  H_U <= 2^f * (1 + floor((m-3)/(2*product(U))))

SparseRegime:
  if:
    2*product(U) > m-3
  then:
    each_orientation_cardinality <= 1
    H_U <= 2^f
```

---

# 附錄 D：Selected Danger Audit

| $m$ | $|U|$ | Product | Load | CRT/Exact | Load sets in sparse regime |
|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| 199 | 4 | 34 | 5 | 1 | 5 |
| 199 | 5 | 7 | 0 | 0 | 0 |
| 1000 | 4 | 700 | 181 | 37 | 181 |
| 1000 | 5 | 571 | 115 | 4 | 115 |
| 1000 | 6 | 43 | 28 | 0 | 28 |
| 5000 | 4 | 10476 | 3982 | 543 | 3976 |
| 5000 | 5 | 18193 | 5519 | 160 | 5519 |
| 5000 | 6 | 5492 | 3008 | 18 | 3008 |
| 5000 | 7 | 117 | 104 | 0 | 104 |

---

# 附錄 E：Maximal Exact Danger Faces

```yaml
m_199:
  exact_nonempty_danger_sets: 29
  maximal_faces: 7
  maximal_size_distribution:
    size_1: 1
    size_3: 5
    size_4: 1

m_1000:
  exact_nonempty_danger_sets: 186
  maximal_faces: 39
  maximal_size_distribution:
    size_2: 2
    size_3: 15
    size_4: 18
    size_5: 4
```

---

# 附錄 F：Commit Decision

```yaml
research_round: SRBRD-08

decision:
  congruence_load_intermediate_collapses_to_exact: true
  exact_danger_CRT_decidable_without_offset_scan: true
  sparse_lattice_hypercell_bound: true
  maximal_face_branch_and_bound: true
  uniform_goldbach_closure: false

new_exact_structures:
  - orientation_independent_modulus_2P(U)
  - exact_CRT_interval_landing
  - sparse_lattice_regime
  - product_spacing_hypercell_bound
  - CRT_maximal_face_generator

next:
  SRBRD-09_LatticeSparsity_CycleSpace_Mass_Closure
```