# SRBRD-07
## Cycle-Rank / Product-Budget Danger-Complex Closure
### Prime-Union Budget、Cycle Danger Radius、Cofactor-Load Filter、Downward-Closed Danger Complex 與 Maximal-Face Acyclicity

**母計畫：** RG-SCP / Reverse Goldbach Structural Closure Program  
**支線：** SRBRD — Symmetric Root-Bounded Relation Domain  
**輪次：** SRBRD-07  
**日期：** 2026-09-30  
**版本：** v0.1  
**作者：** Neo.K；Aletheia（GPT-5.6 Sol）  
**性質：** Exact Cycle-Safety / Product-Cofactor Budget / Danger-Complex Audit  
**前置：** SRBRD-00 ～ SRBRD-06  
**狀態：** 建立 cycle-danger 的有限外逼近層級；尚未得到 uniform Goldbach closure

---

# 0. 本輪目標

SRBRD-06 已把 sound cycle correction 的真正條件壓成：

$$
\boxed{
\forall d\in\Omega_m,
\quad
G_d\text{ is acyclic}.
}
$$

等價地：

$$
\boxed{
\forall\text{ graph cycle }C,
\quad
H_m(U(C))=\varnothing,
}
$$

其中：

$$
U(C)
=
\bigcup_{J\in V(C)}J
$$

是 cycle vertices使用的全部 distinct obstruction primes。

SRBRD-07 的問題是：

> 能不能不用逐 offset 或逐 exact hypercell判定，就先用乘積與 cofactor budget排除大量 unsafe cycles？

答案是可以，而且形成一個非常乾淨的三層 danger-complex hierarchy：

$$
\boxed{
\mathfrak D_m^{\mathrm{exact}}
\subseteq
\mathfrak D_m^{\mathrm{load}}
\subseteq
\mathfrak D_m^{\mathrm{prod}}.
}
$$

三個 family全部：

$$
\boxed{
\text{downward closed}.
}
$$

所以它們都是有限 abstract simplicial complexes。

這使 cycle-safety可以重新描述成：

> 只需對 danger complex 的 maximal faces 檢查 induced q-hypercell graph 是否 acyclic。

這是本輪最重要的結構升級。

---

# 1. Cycle Prime Union

對 q-hypercell graph中的 simple cycle：

$$
C,
$$

定義：

$$
\boxed{
U(C)
=
\bigcup_{J\in V(C)}J.
}
$$

其中每個：

$$
J
$$

是 q-prime hypercell index。

若 cycle被某個 offset：

$$
d
$$

完整看見，

則：

$$
d\in H_m(U(C)).
$$

---

# 2. Prime-Union Product

對 finite odd-prime set：

$$
U,
$$

定義：

$$
\boxed{
P(U)
=
\prod_{r\in U}r.
}
$$

且：

$$
P(\varnothing)=1.
$$

---

# 3. Product Divisibility Theorem

若：

$$
d\in H_m(U),
$$

則每個：

$$
r\in U
$$

至少整除：

$$
m-d
$$

或：

$$
m+d.
$$

因：

$$
r
$$

distinct prime，

所以：

## Theorem SRBRD-07-T01

$$
\boxed{
P(U)
\mid
(m-d)(m+d).
}
$$

而：

$$
(m-d)(m+d)
=
m^2-d^2.
$$

因此：

$$
\boxed{
P(U)
\le
m^2-d^2
\le
m^2.
}
$$

---

# 4. Cycle-Specific Danger Radius

由 T01：

若：

$$
d\in H_m(U),
$$

則：

$$
\boxed{
d^2+P(U)\le m^2.
}
$$

所以定義：

$$
\boxed{
\mathcal C_m(U)
=
\left\{
d\in\Omega_m:
d^2+P(U)\le m^2
\right\}.
}
$$

則：

## Theorem SRBRD-07-T02

$$
\boxed{
H_m(U)
\subseteq
\mathcal C_m(U).
}
$$

這是 cycle-specific center zone。

---

# 5. Product-Safe Prime Union

如果：

$$
\boxed{
P(U)>m^2,
}
$$

則：

$$
\mathcal C_m(U)=\varnothing.
$$

所以：

## Corollary SRBRD-07-C01

$$
\boxed{
P(U)>m^2
\Longrightarrow
H_m(U)=\varnothing.
}
$$

因此任何 cycle：

$$
C
$$

若：

$$
\boxed{
P(U(C))>m^2,
}
$$

就是 globally arithmetic-safe cycle。

---

# 6. Product Danger Complex

令：

$$
Q_m
$$

為 SRBRD-00 的 global witness prime domain。

定義：

$$
\boxed{
\mathfrak D_m^{\mathrm{prod}}
=
\left\{
U\subseteq Q_m:
P(U)\le m^2
\right\}.
}
$$

稱：

# Product-Budget Danger Complex

它是所有「單靠乘積 budget 尚未能排除」的 prime-union sets。

---

# 7. Downward Closure of Product Danger

若：

$$
V\subseteq U
$$

且：

$$
P(U)\le m^2,
$$

則：

$$
P(V)\le P(U)\le m^2.
$$

所以：

## Theorem SRBRD-07-T03

$$
\boxed{
U\in\mathfrak D_m^{prod},
\quad
V\subseteq U
\Longrightarrow
V\in\mathfrak D_m^{prod}.
}
$$

因此：

$$
\mathfrak D_m^{prod}
$$

是 finite downward-closed simplicial complex。

---

# 8. Odd-Primorial Rank Bound

令：

$$
q_1=3,
\quad
q_2=5,
\quad
q_3=7,
\ldots
$$

並定義：

$$
Q_t^{odd}
=
\prod_{i=1}^{t}q_i.
$$

以及：

$$
\boxed{
\kappa(m)
=
\max
\left\{
t:
Q_t^{odd}\le m^2
\right\}.
}
$$

若：

$$
U\in\mathfrak D_m^{prod},
$$

則：

$$
P(U)\ge Q_{|U|}^{odd}.
$$

所以：

## Theorem SRBRD-07-T04

$$
\boxed{
U\in\mathfrak D_m^{prod}
\Longrightarrow
|U|\le\kappa(m).
}
$$

---

# 9. Dangerous Cycle Length Cutoff

一個 simple cycle：

$$
C
$$

具有：

$$
\ell=|V(C)|
$$

個 distinct q-subset vertices。

它們全部是：

$$
U(C)
$$

的 q-subsets。

所以：

$$
\ell
\le
\binom{|U(C)|}{q}.
$$

若 cycle product-dangerous：

$$
P(U(C))\le m^2,
$$

則：

$$
|U(C)|\le\kappa(m).
$$

因此：

## Theorem SRBRD-07-T05

若：

$$
\boxed{
|V(C)|
>
\binom{\kappa(m)}{q},
}
$$

則：

$$
\boxed{
P(U(C))>m^2,
}
$$

故 cycle automatically safe。

也就是：

> 只有 bounded-length cycles可能 arithmetic-dangerous。

---

# 10. Cofactor-Load Motivation

product budget：

$$
P(U)\le m^2
$$

只是必要條件。

它完全忽略：

- 哪些 primes必須作用 left；
- 哪些作用 right；
- root bound；
- left endpoint必須：
  $$
  \le m;
  $$
- right endpoint必須：
  $$
  \ge m.
  $$

因此可以建立更強的：

# Cofactor-Load Filter

---

# 11. Canonical Side Options

沿用 SRBRD-05：

$$
\Sigma_m(r)
=
\begin{cases}
\{R\},
&
r\mid m,
\\
\{L,R\},
&
r\nmid m.
\end{cases}
$$

原因：

若：

$$
r\mid m,
$$

則：

$$
O_{L,r}\subseteq O_{R,r}.
$$

所以 center-divisor prime可以 canonicalize 到 right side。

---

# 12. Side Assignment

對 finite prime set：

$$
U,
$$

定義 canonical side assignments：

$$
\boxed{
\mathcal A_m(U)
=
\prod_{r\in U}
\Sigma_m(r).
}
$$

每個：

$$
\alpha\in\mathcal A_m(U)
$$

把：

$$
U
$$

分成 disjoint：

$$
L_\alpha,
\quad
R_\alpha.
$$

---

# 13. Prime-Set Product and Maximum

對 finite odd-prime set：

$$
S,
$$

定義：

$$
\boxed{
P(S)=\prod_{r\in S}r,
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\rho(S)
=
\begin{cases}
1,
&
S=\varnothing,
\\
\max S,
&
S\neq\varnothing.
\end{cases}
}
$$

---

# 14. Odd Multiple Ceiling

對 odd：

$$
P\ge1
$$

與 threshold：

$$
T,
$$

定義：

$$
\boxed{
\operatorname{OddMulCeil}(P,T)
}
$$

為：

> 大於等於 $T$ 的最小 odd multiple of $P$。

也就是：

$$
P\cdot k,
$$

其中：

$$
k
$$

是滿足：

$$
Pk\ge T
$$

的最小 positive odd integer。

---

# 15. Minimal Left Load

定義：

$$
\boxed{
\lambda_L(S)
=
\operatorname{OddMulCeil}
\left(
P(S),
\max(3,\rho(S)^2)
\right).
}
$$

若 endpoint：

$$
x=m-d
$$

同時接受：

$$
S
$$

中所有 primes作 root witnesses，

則：

$$
\boxed{
x\ge\lambda_L(S).
}
$$

---

# 16. Minimal Right Load

right endpoint：

$$
y=m+d
$$

還有：

$$
y\ge m.
$$

所以定義：

$$
\boxed{
\lambda_R(m,S)
=
\operatorname{OddMulCeil}
\left(
P(S),
\max(m,3,\rho(S)^2)
\right).
}
$$

若 right endpoint同時接受：

$$
S
$$

中所有 primes作 witnesses，

則：

$$
\boxed{
y\ge\lambda_R(m,S).
}
$$

---

# 17. Oriented Load

對：

$$
\alpha\in\mathcal A_m(U),
$$

定義：

$$
\boxed{
\Lambda_m(U;\alpha)
=
\lambda_L(L_\alpha)
+
\lambda_R(m,R_\alpha).
}
$$

再定義最小 canonical load：

$$
\boxed{
\Lambda_m(U)
=
\min_{\alpha\in\mathcal A_m(U)}
\Lambda_m(U;\alpha).
}
$$

---

# 18. Load Necessity Theorem

## Theorem SRBRD-07-T06

若：

$$
H_m(U)\neq\varnothing,
$$

則：

$$
\boxed{
\Lambda_m(U)\le2m.
}
$$

---

# 19. T06 Proof

取：

$$
d\in H_m(U).
$$

對每個：

$$
r\in U,
$$

選它實際作用的一側。

若：

$$
r\mid m,
$$

則由：

$$
O_{L,r}\subseteq O_{R,r},
$$

可 canonicalize 到 right。

因此得到：

$$
\alpha\in\mathcal A_m(U).
$$

令：

$$
x=m-d,
\qquad
y=m+d.
$$

則：

$$
x+y=2m.
$$

而：

$$
x\ge\lambda_L(L_\alpha),
$$

$$
y\ge\lambda_R(m,R_\alpha).
$$

所以：

$$
2m
\ge
\Lambda_m(U;\alpha)
\ge
\Lambda_m(U).
$$

證畢。

---

# 20. Load-Safe Prime Union

如果：

$$
\boxed{
\Lambda_m(U)>2m,
}
$$

則：

$$
\boxed{
H_m(U)=\varnothing.
}
$$

所以它是一個比 product budget更強的 sufficient safety certificate。

---

# 21. Load Danger Complex

定義：

$$
\boxed{
\mathfrak D_m^{load}
=
\left\{
U\subseteq Q_m:
\Lambda_m(U)\le2m
\right\}.
}
$$

這是：

> 通過 minimal endpoint/cofactor load test 的 candidate dangerous prime-union sets。

---

# 22. Monotonicity of Minimal Loads

若：

$$
S\subseteq T,
$$

則任何滿足 $T$ 的 odd endpoint也滿足 $S$。

因此：

$$
\boxed{
\lambda_L(S)\le\lambda_L(T).
}
$$

對 right同理：

$$
\boxed{
\lambda_R(m,S)\le\lambda_R(m,T).
}
$$

---

# 23. Downward Closure of Load Danger

若：

$$
V\subseteq U
$$

且：

$$
\Lambda_m(U)\le2m,
$$

取一個 feasible assignment：

$$
\alpha
$$

達到：

$$
\Lambda_m(U;\alpha)\le2m.
$$

限制到：

$$
V
$$

後，左右 prime sets只變小。

由 load monotonicity：

$$
\Lambda_m(V)\le2m.
$$

因此：

## Theorem SRBRD-07-T07

$$
\boxed{
U\in\mathfrak D_m^{load},
\quad
V\subseteq U
\Longrightarrow
V\in\mathfrak D_m^{load}.
}
$$

所以 load danger也是 simplicial complex。

---

# 24. Product Danger Contains Load Danger

## Theorem SRBRD-07-T08

$$
\boxed{
\mathfrak D_m^{load}
\subseteq
\mathfrak D_m^{prod}.
}
$$

---

# 25. T08 Proof

若：

$$
\Lambda_m(U)\le2m,
$$

則存在 partition：

$$
U=L\sqcup R
$$

使：

$$
\lambda_L(L)+\lambda_R(m,R)\le2m.
$$

又：

$$
\lambda_L(L)\ge P(L),
$$

$$
\lambda_R(m,R)\ge P(R).
$$

所以：

$$
\lambda_L(L)\lambda_R(m,R)
\ge
P(L)P(R)
=
P(U).
$$

由 AM-GM：

$$
\lambda_L\lambda_R
\le
\left(
\frac{\lambda_L+\lambda_R}{2}
\right)^2
\le
m^2.
$$

故：

$$
P(U)\le m^2.
$$

---

# 26. Exact Danger Complex

定義：

$$
\boxed{
\mathfrak D_m^{exact}
=
\left\{
U\subseteq Q_m:
H_m(U)\neq\varnothing
\right\}.
}
$$

這就是所有真正可被某個 offset同時實現的 prime-group sets。

---

# 27. Exact Danger Is Downward Closed

若：

$$
H_m(U)\neq\varnothing
$$

並：

$$
V\subseteq U,
$$

任何：

$$
d\in H_m(U)
$$

也屬：

$$
H_m(V).
$$

所以：

## Theorem SRBRD-07-T09

$$
\boxed{
\mathfrak D_m^{exact}
}
$$

也是 simplicial complex。

---

# 28. Danger-Complex Hierarchy

由 T06 與 T08：

## Theorem SRBRD-07-T10

$$
\boxed{
\mathfrak D_m^{exact}
\subseteq
\mathfrak D_m^{load}
\subseteq
\mathfrak D_m^{prod}.
}
$$

這是本輪主 structural hierarchy。

---

# 29. Occupancy Faces Generate Exact Danger

對：

$$
d\in\Omega_m,
$$

定義：

$$
\boxed{
R_m(d)
=
\left\{
r\in Q_m:
d\in P_{m,r}
\right\}.
}
$$

也就是 offset的完整 obstruction-prime occupancy set。

則：

$$
H_m(U)\neq\varnothing
$$

當且僅當存在：

$$
d
$$

使：

$$
U\subseteq R_m(d).
$$

所以：

## Theorem SRBRD-07-T11

$$
\boxed{
\mathfrak D_m^{exact}
=
\bigcup_{d\in\Omega_m}
2^{R_m(d)}.
}
$$

這表示 exact danger complex由 occupancy sets作為 faces生成。

---

# 30. Maximal Exact Danger Faces

由 T11，

exact danger complex的 maximal faces正是：

$$
\boxed{
\text{inclusion-maximal distinct }R_m(d).
}
$$

也就是只需要保留那些沒有被另一個 occupancy set包含的 offsets。

這對 exact certificate verification提供大量去重。

---

# 31. Graph Acyclicity Over a Danger Complex

令 graph：

$$
G
$$

的 vertices是 q-hypercell indices：

$$
J.
$$

對 prime set：

$$
U,
$$

令：

$$
\boxed{
V_q(U)
=
\left\{
J:
|J|=q,
\quad
J\subseteq U
\right\}
}
$$

與實際 vertex family取交集。

---

# 32. Product-Budget Acyclic Graph

定義：

$$
\boxed{
G\text{ is product-acyclic}
}
$$

若：

$$
\forall U\in\mathfrak D_m^{prod},
\quad
G[V_q(U)]
\text{ is a forest}.
$$

---

# 33. Load-Budget Acyclic Graph

定義：

$$
\boxed{
G\text{ is load-acyclic}
}
$$

若：

$$
\forall U\in\mathfrak D_m^{load},
\quad
G[V_q(U)]
\text{ is a forest}.
$$

---

# 34. Exact-Danger Acyclicity

定義：

$$
\boxed{
G\text{ is exact-danger-acyclic}
}
$$

若：

$$
\forall U\in\mathfrak D_m^{exact},
\quad
G[V_q(U)]
\text{ is a forest}.
$$

---

# 35. Exact-Danger Acyclicity Equals Local Acyclicity

## Theorem SRBRD-07-T12

$$
\boxed{
G\text{ exact-danger-acyclic}
\Longleftrightarrow
G\text{ locally acyclic}.
}
$$

因每個 offset：

$$
d
$$

的 visible q-hypercell graph就是：

$$
G[V_q(R_m(d))].
$$

而所有 exact danger sets都是：

$$
R_m(d)
$$

的 subsets。

---

# 36. Conservative Acyclicity Hierarchy

由 danger inclusion：

$$
\mathfrak D^{exact}
\subseteq
\mathfrak D^{load}
\subseteq
\mathfrak D^{prod},
$$

得到：

## Corollary SRBRD-07-C02

$$
\boxed{
\text{product-acyclic}
\Longrightarrow
\text{load-acyclic}
\Longrightarrow
\text{locally acyclic}.
}
$$

product constraints最多、最保守。

load constraints較少。

exact local最強但最接近完整 relation truth。

---

# 37. Cycle Form of Product Acyclicity

## Theorem SRBRD-07-T13

$$
\boxed{
G\text{ product-acyclic}
}
$$

當且僅當每個 graph cycle：

$$
C
$$

都滿足：

$$
\boxed{
P(U(C))>m^2.
}
$$

---

# 38. T13 Proof

若某 cycle有：

$$
P(U(C))\le m^2,
$$

則：

$$
U(C)\in\mathfrak D^{prod},
$$

而：

$$
G[V_q(U(C))]
$$

含該 cycle。

反之若某：

$$
U\in\mathfrak D^{prod}
$$

的 induced graph有 cycle：

$$
C,
$$

則：

$$
U(C)\subseteq U.
$$

所以：

$$
P(U(C))\le P(U)\le m^2.
$$

矛盾 product-safe cycle condition。

---

# 39. Cycle Form of Load Acyclicity

由 load complex downward closure，同理：

## Theorem SRBRD-07-T14

$$
\boxed{
G\text{ load-acyclic}
}
$$

當且僅當每個 cycle：

$$
C
$$

都有：

$$
\boxed{
\Lambda_m(U(C))>2m.
}
$$

這是一個完全不需逐 offset 的 cofactor-load cycle certificate。

---

# 40. Maximal-Face Reduction

因 danger complexes downward closed，

若：

$$
U\subseteq M
$$

且：

$$
G[V_q(M)]
$$

是 forest，

則其 induced subgraph：

$$
G[V_q(U)]
$$

也是 forest。

因此：

## Theorem SRBRD-07-T15

要驗某個 danger complex上的 acyclicity，

只需驗：

$$
\boxed{
\text{其 inclusion-maximal faces}.
}
$$

這可大幅減少 certificate constraints。

---

# 41. Maximum Correction Hierarchy

定義：

$$
F_q^{prod}(m)
$$

為所有 product-acyclic graphs中最大 overlap weight。

同理：

$$
F_q^{load}(m),
$$

以及：

$$
F_q^{local}(m).
$$

global forest correction：

$$
F_q^{face}(m)
$$

仍是 baseline。

因 graph classes逐步放寬：

$$
\boxed{
F_q^{face}
\le
F_q^{prod}
\le
F_q^{load}
\le
F_q^{local}.
}
$$

---

# 42. Corresponding Error-Correction Hierarchy

對任何一層：

$$
F,
$$

只要 graph locally acyclic，

SRBRD-06給：

$$
E_q
\ge
\left\lceil
\frac Fq
\right\rceil.
$$

因此：

$$
\boxed{
L_{E,q}^{face}
\le
L_{E,q}^{prod}
\le
L_{E,q}^{load}
\le
L_{E,q}^{local}.
}
$$

這建立 cycle-safety proof provider hierarchy。

---

# 43. Product-Specific Center Localization

若 cycle：

$$
C
$$

有：

$$
P_C=P(U(C)),
$$

即使：

$$
P_C\le m^2,
$$

它也只能被：

$$
d
$$

實現在：

$$
\boxed{
d^2+P_C\le m^2.
}
$$

所以 cycle越「prime-heavy」，

危險 support越靠近 center。

這比只看：

$$
|U(C)|
$$

的 odd-primorial zone更精確。

---

# 44. Cardinality-Based Center Zone as Corollary

若：

$$
|U|=t,
$$

則：

$$
P(U)\ge Q_t^{odd}.
$$

所以：

$$
\mathcal C_m(U)
\subseteq
\left\{
d:
d^2+Q_t^{odd}\le m^2
\right\}.
$$

也就是 SRBRD-03 的：

$$
t
$$

-center zone只是 product-specific zone的 outer approximation。

---

# 45. Product Budget vs Load Budget

product test只知道：

$$
P(U)\le m^2.
$$

load test還要求：

> primes能被分配到 left/right endpoints，並且各端至少能承載其 product與 root-square thresholds，總 load不超過 $2m$。

所以 load filter理論上應比 product filter顯著更緊。

本輪 finite audit確認這一點。

---

# 46. Computational Audit Setup

以下 audit只作：

$$
\boxed{
\text{finite computational evidence}.
}
$$

對 selected：

$$
m,
$$

枚舉：

$$
U\subseteq Q_m
$$

並比較：

1. ProductDanger：
   $$
   P(U)\le m^2;
   $$
2. LoadDanger：
   $$
   \Lambda_m(U)\le2m;
   $$
3. ExactDanger：
   $$
   H_m(U)\neq\varnothing.
   $$

這不是 Goldbach proof。

---

# 47. $m=199$

對 q=3 cycle-relevant union sizes：

| $|U|$ | Product-danger | Load-danger | Exact-danger |
|---:|---:|---:|---:|
| 4 | 34 | 5 | 1 |
| 5 | 7 | 0 | 0 |

所以：

$$
\boxed{
\text{load filter把 41 個 product candidates壓成 5 個。}
}
$$

而真正 exact-danger只有：

$$
1.
$$

---

# 48. $m=1000$

| $|U|$ | Product-danger | Load-danger | Exact-danger |
|---:|---:|---:|---:|
| 4 | 700 | 181 | 37 |
| 5 | 571 | 115 | 4 |
| 6 | 43 | 28 | 0 |

所以：

$$
\boxed{
1314
\to
324
\to
41
}
$$

依次為：

- product outer danger；
- cofactor-load danger；
- exact realizable danger。

這顯示 load layer有非常實質的 pruning。

---

# 49. $m=5000$

| $|U|$ | Product-danger | Load-danger | Exact-danger |
|---:|---:|---:|---:|
| 4 | 10476 | 3982 | 543 |
| 5 | 18193 | 5519 | 160 |
| 6 | 5492 | 3008 | 18 |
| 7 | 117 | 104 | 0 |

總體 cycle-candidate union sets：

$$
34278
\to
12613
\to
721.
$$

load filter仍大幅縮小 danger family。

---

# 50. Dangerous Cycle-Length Controls

對：

$$
q=3,
$$

selected：

### $m=199$

$$
\kappa(199)=5.
$$

所以 product-dangerous simple cycle最多：

$$
\boxed{
\binom53=10
}
$$

個 vertices。

### $m=1000$

$$
\kappa(1000)=6,
$$

所以：

$$
\boxed{
|C|\le\binom63=20.
}
$$

### $m=5000$

$$
\kappa(5000)=7,
$$

所以：

$$
\boxed{
|C|\le\binom73=35.
}
$$

更長 cycles自動 product-safe。

---

# 51. Exact Danger Maximal Faces

由：

$$
\mathfrak D^{exact}
=
\bigcup_d2^{R_m(d)},
$$

只需取：

$$
\boxed{
R_m(d)
}
$$

中 inclusion-maximal的 distinct sets。

所以 exact local-acyclic certificate不必：

- 檢全部 offsets；
- 檢全部 exact-danger subsets。

只需檢 maximal occupancy faces。

這是 exact certificate的 canonical compression。

---

# 52. Product / Load Maximal Faces

同樣地：

$$
\mathfrak D^{prod},
\quad
\mathfrak D^{load}
$$

都 downward closed。

因此可以先枚舉 inclusion-maximal dangerous prime sets，

再對每個 maximal face：

$$
U
$$

要求：

$$
G[V_q(U)]
$$

forest。

這比列舉所有 cycles更適合 formal certificate。

---

# 53. Why Danger Complex Is a Better Object Than Cycle List

cycle list依 graph而變。

danger complex只依：

$$
m
$$

與 arithmetic filter。

所以可以：

1. 先建立：
   $$
   \mathfrak D_m;
   $$
2. 再搜尋最大 weight graph：
   $$
   G;
   $$
3. subject to：
   $$
   G[V_q(U)]\text{ forest}
   $$
   for maximal danger faces。

這把 arithmetic與 graph optimization明確分層。

---

# 54. Proof-Admissibility

### Product Danger

只使用：

- $m$；
- witness primes；
- multiplication。

屬：

$$
\boxed{
\text{ProofInput}.
}
$$

### Load Danger

再使用：

- center divisors；
- root-square threshold；
- odd cofactor multiple；
- side assignment。

仍屬：

$$
\boxed{
\text{ProofInput}.
}
$$

### Exact Danger

使用 exact relation realizability：

$$
H_m(U)\neq\varnothing.
$$

雖不直接詢問 endpoint primality，

但完整 exact danger complex可以識別 zero-occupancy offsets與 residual structure，

所以應標：

$$
\boxed{
\text{truth-adjacent structural diagnostic / certificate}.
}
$$

---

# 55. New Closure Architecture

SRBRD cycle correction現在可寫成：

$$
\boxed{
\text{Danger Complex}
+
\text{Maximum Acyclic Weight}
+
\text{Bonferroni Error Conversion}.
}
$$

即：

$$
\mathfrak D
\to
F_q^{\mathfrak D}
\to
L_{E,q}
\to
|\mathcal O_m|\text{ upper bound}.
$$

---

# 56. Product-Budget Closure Provider

取：

$$
\mathfrak D
=
\mathfrak D^{prod}.
$$

求任一 graph：

$$
G
$$

使所有 maximal product-danger faces上的 induced graph forest。

則：

$$
G
$$

locally acyclic。

所以：

$$
\boxed{
|\mathcal O_m|
\le
U_q
-
\left\lceil
\frac{W(G)}q
\right\rceil.
}
$$

完全不需要 offset-wise exact relation。

---

# 57. Load-Budget Closure Provider

更強：

$$
\mathfrak D
=
\mathfrak D^{load}.
$$

因 constraints更少，

可允許更多 safe global cycles，

通常：

$$
W(G)
$$

可更大。

所以 load danger complex是目前最有希望的：

$$
\boxed{
\text{symbolic cycle-safety provider}.
}
$$

---

# 58. Exact Local Provider

最強：

$$
\mathfrak D^{exact}.
$$

理論 optimum等於：

$$
F_q^{local}.
$$

但研究上它較接近完整 factor relation。

所以理想目標是：

> load danger已足以逼近 exact local correction。

finite candidate-count audit顯示 load比 product明顯接近 exact。

---

# 59. Remaining Gap

load danger仍只是必要條件。

例如：

$$
m=1000
$$

cycle-relevant candidate unions：

$$
324
$$

個通過 load，

但真正 exact-danger只有：

$$
41.
$$

所以仍有大量：

- CRT incompatibility；
- interval incompatibility；
- exact cofactor incompatibility；

尚未被 load捕捉。

---

# 60. Next Natural Refinement

可以在：

$$
\mathfrak D^{load}
$$

與：

$$
\mathfrak D^{exact}
$$

之間插入：

# Congruence-Load Danger Complex

要求：

1. load feasible；
2. left/right product congruence對：
   $$
   x+y=2m
   $$
   有 CRT solution；
3. solution class落入 endpoint interval。

這其實會逐步逼近 SRBRD-05 exact oriented hypercell criterion。

問題是：

> 能否找到仍然簡單、uniform、但比 load強很多的中間層？

---

# 61. Formal Theorem Queue

```yaml
SRBRD_07:
  T01: prime_union_product_divides_centered_product
  T02: hypercell_subset_product_danger_radius
  T03: product_danger_downward_closed
  T04: product_danger_rank_le_kappa
  T05: dangerous_cycle_length_cutoff
  T06: exact_danger_implies_load_feasible
  T07: load_danger_downward_closed
  T08: load_danger_subset_product_danger
  T09: exact_danger_downward_closed
  T10: exact_subset_load_subset_product
  T11: exact_danger_generated_by_occupancy_faces
  T12: exact_danger_acyclic_iff_local_acyclic
  T13: product_acyclic_iff_all_cycle_products_gt_m_squared
  T14: load_acyclic_iff_all_cycle_loads_gt_2m
  T15: maximal_danger_faces_suffice
```

---

# 62. Acceptance Gate

SRBRD-07正式化前需：

1. product divisibility theorem；
2. product-specific danger radius；
3. odd-primorial rank bound；
4. dangerous cycle length bound；
5. OddMulCeil存在與唯一性；
6. left/right minimal load theorem；
7. load necessity；
8. load monotonicity；
9. exact/load/product inclusion；
10. three complexes downward closure；
11. occupancy-face generator theorem；
12. maximal-face reduction；
13. graph danger-acyclicity theorem；
14. cycle-form equivalences；
15. proof/data-role separation；
16. no claim of uniform Goldbach closure。

---

# 63. Verdict

本輪可給：

$$
\boxed{
\mathrm{SRBRD\mbox{-}07\ DANGER\mbox{-}COMPLEX\ PASS}.
}
$$

理由：

cycle safety現在不再只有：

- global forest；
- offset-wise local check。

而形成：

$$
\boxed{
\mathfrak D^{exact}
\subseteq
\mathfrak D^{load}
\subseteq
\mathfrak D^{prod}
}
$$

三層 arithmetic danger complexes。

其中 load filter在 finite audits中大幅壓縮 product-danger candidate sets，

而且完全不讀 Goldbach residual truth。

但：

$$
\boxed{
\mathrm{UNIFORM\ GOLDBACH\ CLOSURE\ STILL\ OPEN}.
}
$$

---

# 64. 下一輪建議

# SRBRD-08
## Congruence–Load Danger Complex / Maximal-Face Closure

優先研究：

1. 在 load feasibility上加入：
   $$
   x+y=2m
   $$
   的 product-modulus congruence；
2. 建立 cheap CRT feasibility test；
3. 將 load-danger进一步壓成：
   $$
   \mathfrak D^{cong};
   $$
4. 比較：
   $$
   \mathfrak D^{exact}
   \subseteq
   \mathfrak D^{cong}
   \subseteq
   \mathfrak D^{load};
   $$
5. 只枚舉 maximal danger faces；
6. 在 maximal faces上求 maximum forest / sparse graph；
7. 嘗試取得接近：
   $$
   F_q^{local}
   $$
   的 symbolic correction。

這將直接攻擊本輪 finite audit暴露的最大差距：

$$
\boxed{
\text{load feasible}
\not\Rightarrow
\text{CRT/root interval realizable}.
}
$$

---

# 附錄 A：Danger Complex Hierarchy

```yaml
ProductDanger:
  condition:
    product(U) <= m*m

LoadDanger:
  condition:
    min_canonical_orientation_load(U) <= 2*m

ExactDanger:
  condition:
    H_m(U) nonempty

inclusion:
  ExactDanger_subset_LoadDanger: true
  LoadDanger_subset_ProductDanger: true

all:
  downward_closed: true
```

---

# 附錄 B：Minimal Load Contract

```yaml
PrimeSetProduct:
  P_empty: 1

PrimeSetMax:
  rho_empty: 1

LeftLoad:
  lambda_L:
    smallest_odd_multiple_of_P_at_least:
      max(3, rho^2)

RightLoad:
  lambda_R:
    smallest_odd_multiple_of_P_at_least:
      max(m, 3, rho^2)

CanonicalOrientation:
  if_r_divides_m:
    force: right
  else:
    allow:
      - left
      - right

Load:
  Lambda_m_U:
    min_over_orientations:
      lambda_L + lambda_R

necessary:
  H_m(U)_nonempty:
    implies:
      Lambda_m_U <= 2*m
```

---

# 附錄 C：Candidate-Danger Audit

### q = 3 relevant union sizes

| $m$ | $|U|$ | Product danger | Load danger | Exact danger |
|---:|---:|---:|---:|---:|
| 199 | 4 | 34 | 5 | 1 |
| 199 | 5 | 7 | 0 | 0 |
| 1000 | 4 | 700 | 181 | 37 |
| 1000 | 5 | 571 | 115 | 4 |
| 1000 | 6 | 43 | 28 | 0 |
| 5000 | 4 | 10476 | 3982 | 543 |
| 5000 | 5 | 18193 | 5519 | 160 |
| 5000 | 6 | 5492 | 3008 | 18 |
| 5000 | 7 | 117 | 104 | 0 |

**注意：**
- Product / Load counts為 proof-admissible outer danger filters。
- Exact danger count只作 finite audit / certificate對照。
- 此表不是 Goldbach proof。

---

# 附錄 D：Cycle Length Cutoff

```yaml
q: 3

m_199:
  kappa: 5
  max_product_danger_cycle_vertices: 10

m_1000:
  kappa: 6
  max_product_danger_cycle_vertices: 20

m_5000:
  kappa: 7
  max_product_danger_cycle_vertices: 35
```

---

# 附錄 E：Correction Hierarchy

```yaml
correction:
  F_face:
    graph_class: global_forest

  F_prod:
    graph_class: product_danger_acyclic

  F_load:
    graph_class: load_danger_acyclic

  F_local:
    graph_class: exact_locally_acyclic

ordering:
  F_face <= F_prod <= F_load <= F_local
```

---

# 附錄 F：Commit Decision

```yaml
research_round: SRBRD-07

decision:
  product_budget_cycle_filter: true
  cofactor_load_cycle_filter: true
  danger_complex_hierarchy: true
  maximal_face_reduction: true
  uniform_goldbach_closure: false

new_exact_structures:
  - cycle_specific_product_danger_radius
  - product_danger_complex
  - cofactor_load_danger_complex
  - exact_danger_complex
  - danger_complex_inclusion
  - maximal_face_acyclicity_reduction
  - cycle_length_cutoff

next:
  SRBRD-08_Congruence_Load_DangerComplex_MaximalFace_Closure
```