# SRBRD-06
## Locally Acyclic Cycle-Safe Hypergraph Closure
### Offset-Wise Forests、Safe Cycles、Simultaneous Local Trees 與 Beyond-Spanning-Forest Correction

**母計畫：** RG-SCP / Reverse Goldbach Structural Closure Program  
**支線：** SRBRD — Symmetric Root-Bounded Relation Domain  
**輪次：** SRBRD-06  
**日期：** 2026-09-30  
**版本：** v0.1  
**作者：** Neo.K；Aletheia（GPT-5.6 Sol）  
**性質：** Exact Cycle-Safety Audit / Hyper-Support Compression  
**前置：** SRBRD-00 ～ SRBRD-05  
**狀態：** 建立嚴格強於 global spanning-forest 的 locally-acyclic certificate；尚未得到 uniform Goldbach closure

---

# 0. 本輪目標

SRBRD-05 已建立：

$$
S_q(m)
=
\left|
\bigcup_{J\in\mathcal J_q(m)}
H_m(J)
\right|
$$

以及 face-hyperforest upper bound：

$$
\boxed{
S_q(m)
\le
B_q(m)-F_q^{\mathrm{face}}(m).
}
$$

這裡：

$$
F_q^{\mathrm{face}}
$$

來自一個 **global spanning forest**。

但這其實比 soundness 真正需要的條件更強。

global forest要求：

> hypercell graph整體不能有 cycle。

然而 union upper bound真正怕的是：

> 某一個 offset $d$ 同時看見一個 cycle，造成 pairwise overlap被過度扣除。

所以 SRBRD-06 把條件放寬成：

$$
\boxed{
\text{graph可以 globally cyclic，
只要對每個 offset 的 induced graph 都是 forest。}
}
$$

這就是：

# Offset-Wise Local Acyclicity

由此得到一個嚴格包含 SRBRD-05 的新 certificate family。

---

# 1. q-Hypercell Vertex Family

沿用：

$$
\mathcal J_q(m)
=
\left\{
J\subseteq Q_m:
|J|=q,
\quad
H_m(J)\neq\varnothing
\right\}.
$$

其中：

$$
H_m(J)
=
\bigcap_{r\in J}
P_{m,r}.
$$

每個：

$$
J
$$

視為一個 graph vertex。

---

# 2. Offset-Visible Vertex Set

對：

$$
d\in\Omega_m,
$$

定義：

$$
\boxed{
V_q(m,d)
=
\left\{
J\in\mathcal J_q(m):
d\in H_m(J)
\right\}.
}
$$

若：

$$
\mu_m(d)=k,
$$

則：

$$
\boxed{
|V_q(m,d)|
=
\binom{k}{q}.
}
$$

當：

$$
k<q,
$$

則：

$$
V_q(m,d)=\varnothing.
$$

---

# 3. Candidate Overlap Graph

令：

$$
G=(V,E)
$$

為 graph，

其中：

$$
V=\mathcal J_q(m).
$$

SRBRD-06 主要考慮 face-adjacent edge：

$$
|J\cap K|=q-1.
$$

edge overlap weight：

$$
\boxed{
w(J,K)
=
|H_m(J)\cap H_m(K)|
=
|H_m(J\cup K)|.
}
$$

所以 edge weight只需要：

$$
q+1
$$

-prime hypercell。

---

# 4. Offset-Induced Graph

對：

$$
d,
$$

令：

$$
\boxed{
G_d
=
G[V_q(m,d)].
}
$$

也就是只保留所有：

$$
d
$$

實際可見的 q-hypercell vertices。

---

# 5. Locally Acyclic Graph

## Definition SRBRD-06-D01

稱：

$$
G
$$

為：

# SRBRD Locally Acyclic

若：

$$
\boxed{
\forall d\in\Omega_m,
\quad
G_d
\text{ is a forest}.
}
$$

注意：

$$
G
$$

本身可以有很多 global cycles。

只要沒有單一：

$$
d
$$

能在其 visible vertices中形成 cycle即可。

---

# 6. Weighted Overlap of a Graph

定義：

$$
\boxed{
W(G)
=
\sum_{\{J,K\}\in E}
|H_m(J)\cap H_m(K)|.
}
$$

交換 counting：

$$
\boxed{
W(G)
=
\sum_{d\in\Omega_m}
|E(G_d)|.
}
$$

因每條 edge對每個共同可見 offset貢獻 $1$。

---

# 7. Vertex Mass

SRBRD-05：

$$
\boxed{
B_q(m)
=
\sum_{J\in V}|H_m(J)|.
}
$$

交換 counting：

$$
\boxed{
B_q(m)
=
\sum_{d\in\Omega_m}
|V_q(m,d)|.
}
$$

---

# 8. Local-Acyclic Support Upper Bound

## Theorem SRBRD-06-T01

若：

$$
G
$$

locally acyclic，

則：

$$
\boxed{
S_q(m)
\le
B_q(m)-W(G).
}
$$

---

# 9. T01 Pointwise Proof

對每個：

$$
d
$$

若：

$$
V_q(m,d)=\varnothing,
$$

則：

$$
d
$$

不屬 q-support。

若：

$$
V_q(m,d)\neq\varnothing,
$$

且：

$$
G_d
$$

forest，

則：

$$
|V_q(m,d)|
-
|E(G_d)|
=
c(G_d)
\ge1,
$$

其中：

$$
c(G_d)
$$

是 connected component數。

所以：

$$
\mathbf1_{\{\mu_m(d)\ge q\}}
\le
|V_q(m,d)|
-
|E(G_d)|.
$$

對全部：

$$
d
$$

求和：

$$
S_q
\le
B_q-W(G).
$$

證畢。

---

# 10. SRBRD-05 Is a Special Case

如果：

$$
G
$$

本身就是 global forest，

那麼任意 induced subgraph：

$$
G_d
$$

當然也 forest。

所以：

$$
\boxed{
\text{global forest}
\Longrightarrow
\text{locally acyclic}.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{SRBRD-05 hyperforest certificate}
}
$$

只是 SRBRD-06 的特例。

---

# 11. Local-Acyclic Maximum Correction

定義：

$$
\boxed{
F_q^{\mathrm{local}}(m)
=
\max
\left\{
W(G):
G\text{ locally acyclic}
\right\}.
}
$$

則：

$$
\boxed{
F_q^{\mathrm{local}}(m)
\ge
F_q^{\mathrm{face}}(m).
}
$$

因任何 global spanning forest都是合法 locally-acyclic graph。

---

# 12. Stronger Support Bound

## Corollary SRBRD-06-C01

$$
\boxed{
S_q(m)
\le
B_q(m)
-
F_q^{\mathrm{local}}(m).
}
$$

這是 SRBRD-05 support bound的嚴格一般化。

---

# 13. Stronger Bonferroni Error Correction

SRBRD-04：

$$
qE_q
\ge
B_q-S_q.
$$

由 C01：

$$
B_q-S_q
\ge
F_q^{\mathrm{local}}.
$$

所以：

## Theorem SRBRD-06-T02

$$
\boxed{
E_q(m)
\ge
\left\lceil
\frac{
F_q^{\mathrm{local}}(m)
}{q}
\right\rceil.
}
$$

---

# 14. Cycle-Safe Union Upper Bound

因此：

## Theorem SRBRD-06-T03

$$
\boxed{
|\mathcal O_m|
\le
U_q(m)
-
\left\lceil
\frac{
F_q^{\mathrm{local}}(m)
}{q}
\right\rceil.
}
$$

只要：

$$
\boxed{
U_q
-
\left\lceil
F_q^{\mathrm{local}}/q
\right\rceil
<
|\Omega_m|,
}
$$

就證：

$$
\operatorname{Res}(m)\neq\varnothing.
$$

---

# 15. Why Global Cycles Can Be Safe

假設：

$$
G
$$

有一個 cycle：

$$
C.
$$

global graph theory會因此拒絕它作 forest。

但如果不存在任何：

$$
d
$$

同時屬於 cycle 上所有 hypercells，

那麼：

$$
G_d
$$

永遠看不到完整 cycle。

所以：

$$
C
$$

對 pointwise inclusion-exclusion subtraction其實是安全的。

這就是：

$$
\boxed{
\text{global cycle}
\not\Rightarrow
\text{local over-subtraction}.
}
$$

---

# 16. Cycle Common Intersection

對 graph cycle：

$$
C
$$

其 vertex sets：

$$
J_1,\ldots,J_t.
$$

由 hypercell definition：

$$
\bigcap_{i=1}^{t}
H_m(J_i)
=
\bigcap_{r\in\cup_iJ_i}
P_{m,r}.
$$

所以：

## Theorem SRBRD-06-T04

$$
\boxed{
\bigcap_{J\in V(C)}
H_m(J)
=
H_m
\left(
\bigcup_{J\in V(C)}J
\right).
}
$$

---

# 17. Exact Cycle-Safety Criterion

## Theorem SRBRD-06-T05

graph：

$$
G
$$

locally acyclic，

當且僅當對每一個 graph cycle：

$$
C,
$$

有：

$$
\boxed{
H_m
\left(
\bigcup_{J\in V(C)}J
\right)
=
\varnothing.
}
$$

---

# 18. T05 Forward

若某 cycle：

$$
C
$$

的 union hypercell非空，

取：

$$
d
$$

在此 hypercell。

則：

$$
d
$$

屬 cycle所有 vertices，

所以：

$$
G_d
$$

包含 cycle，

與 local acyclicity矛盾。

---

# 19. T05 Reverse

若：

$$
G
$$

不是 locally acyclic，

則某：

$$
d
$$

的 induced graph：

$$
G_d
$$

含 cycle：

$$
C.
$$

因 cycle所有 vertices都含：

$$
d,
$$

所以：

$$
d
\in
\bigcap_{J\in V(C)}H_m(J)
=
H_m(\cup J).
$$

故 cycle union hypercell非空。

---

# 20. Arithmetic Meaning of Cycle Safety

T05非常重要：

$$
\boxed{
\text{cycle是否安全}
}
$$

不是 abstract graph property。

它等價於：

> 一個更高階 prime union hypercell是否 arithmetic empty。

而 SRBRD-05 已能用：

- canonical side assignments；
- CRT；
- root intervals；
- AP count；

exact判定：

$$
H_m(U)=\varnothing
$$

或 nonempty。

所以 safe cycle是：

$$
\boxed{
\text{proof-admissible finite arithmetic certificate}.
}
$$

---

# 21. Safe Edge Augmentation Criterion

假設：

$$
G
$$

目前 locally acyclic。

考慮加入 edge：

$$
e=\{J,K\}.
$$

此 edge只對：

$$
d\in H_m(J)\cap H_m(K)
$$

可見。

---

# 22. Exact Safe-Edge Theorem

## Theorem SRBRD-06-T06

加入：

$$
e=\{J,K\}
$$

後仍 locally acyclic，

當且僅當對所有：

$$
d\in H_m(J)\cap H_m(K),
$$

$$
J
$$

與：

$$
K
$$

在原：

$$
G_d
$$

中位於不同 connected components。

即：

$$
\boxed{
\forall d\in H_J\cap H_K,
\quad
J\not\sim_{G_d}K.
}
$$

---

# 23. T06 Proof

新增一條 edge只可能形成包含該 edge的新 cycle。

對 fixed：

$$
d,
$$

新 edge在：

$$
G_d
$$

中可見的條件正是：

$$
d\in H_J\cap H_K.
$$

在 forest：

$$
G_d,
$$

加入 edge產生 cycle當且僅當：

$$
J,K
$$

原本已連通。

所以 theorem成立。

---

# 24. Greedy Locally-Acyclic Augmentation

T06給出一個直接 finite certificate construction：

1. 先取 SRBRD-05 maximum spanning forest；
2. 將剩餘 edge按 weight排序；
3. 對每個 edge：
   - 檢查其所有 support offsets；
   - 若 endpoints在每個相關 $G_d$ 中都尚未連通，則加入；
4. 直到無法再安全加入。

產生：

$$
\boxed{
G_q^{\mathrm{greedy-local}}(m).
}
$$

它不保證 maximum：

$$
F_q^{local},
$$

但 sound。

---

# 25. Greedy Correction

定義：

$$
\boxed{
F_q^{\mathrm{greedy}}(m)
=
W
\left(
G_q^{\mathrm{greedy-local}}(m)
\right).
}
$$

則：

$$
\boxed{
F_q^{\mathrm{greedy}}
\le
F_q^{\mathrm{local}}.
}
$$

但仍有：

$$
\boxed{
S_q
\le
B_q-F_q^{\mathrm{greedy}}.
}
$$

所以 finite proof只需提供 greedy graph certificate，

不必證 global optimum。

---

# 26. Locally Spanning Tree Condition

local acyclicity只要求：

$$
G_d
$$

forest。

若進一步對每個：

$$
d
$$

with：

$$
\mu_m(d)\ge q,
$$

有：

$$
\boxed{
G_d
\text{ connected},
}
$$

那麼：

$$
G_d
$$

就是 tree。

此時：

$$
|V_q(d)|-|E(G_d)|=1
$$

pointwise exact。

---

# 27. Simultaneous Local-Tree Theorem

## Theorem SRBRD-06-T07

若：

$$
G
$$

滿足：

1. locally acyclic；
2. 對每個 q-support offset：
   $$
   G_d\text{ connected},
   $$

則：

$$
\boxed{
S_q(m)
=
B_q(m)-W(G).
}
$$

也就是：

> 一個 globally cyclic graph仍可能 simultaneous-exact 地恢復 q-support，只要每個 offset看到的是一棵 tree。

---

# 28. Component Support Separation

考慮完整 face-adjacent q-hypercell graph：

$$
\mathcal G_q^{\mathrm{face}}(m).
$$

若兩個 hypercells：

$$
J,K
$$

包含同一 offset：

$$
d,
$$

則它們都是：

$$
R_d
=
\{r:d\in P_{m,r}\}
$$

的 q-subsets。

所有 fixed-size q-subsets在 Johnson adjacency：

$$
|J\cap K|=q-1
$$

下 connected。

因此：

## Theorem SRBRD-06-T08

若：

$$
H_m(J)\cap H_m(K)\neq\varnothing,
$$

則：

$$
J,K
$$

位於 full face graph同一 connected component。

---

# 29. Distinct Components Have Disjoint Support

由 T08：

## Corollary SRBRD-06-C02

full face graph的 distinct connected components：

$$
C_1,C_2
$$

滿足：

$$
\boxed{
\left(
\bigcup_{J\in C_1}H_J
\right)
\cap
\left(
\bigcup_{K\in C_2}H_K
\right)
=
\varnothing.
}
$$

所以：

$$
S_q
$$

可以 componentwise exact相加。

---

# 30. Why Component Decomposition Matters

local-forest optimization可以分 component獨立做。

因此：

$$
\boxed{
F_q^{local}
=
\sum_C
F_{q,C}^{local}
}
$$

如果每個 component獨立求 optimum。

這降低 certificate complexity，

也使 cofactor / center structure可以 componentwise分析。

---

# 31. Local Johnson Structure

若：

$$
\mu_m(d)=k\ge q,
$$

則：

$$
V_q(m,d)
$$

正是 covering prime set：

$$
R_d
$$

的全部 q-subsets。

full face graph在：

$$
V_q(m,d)
$$

上的 induced graph是 Johnson graph：

$$
\boxed{
J(k,q).
}
$$

因此：

$$
G_d^{\mathrm{full}}
$$

connected。

---

# 32. Local Vertex and Edge Counts

Johnson graph：

$$
J(k,q)
$$

具有：

$$
\boxed{
v_q(k)=\binom{k}{q}
}
$$

個 vertices。

每個 vertex degree：

$$
q(k-q).
$$

所以 edge count：

$$
\boxed{
e_q(k)
=
\frac12
\binom{k}{q}
q(k-q).
}
$$

也等價：

$$
\boxed{
e_q(k)
=
\binom{q+1}{2}
\binom{k}{q+1}.
}
$$

---

# 33. Local Cycle Rank

因 Johnson graph connected，

cycle rank：

$$
\beta_q(k)
=
e_q(k)-v_q(k)+1.
$$

所以：

$$
\boxed{
\beta_q(k)
=
\binom{q+1}{2}
\binom{k}{q+1}
-
\binom{k}{q}
+
1.
}
$$

對：

$$
k=q,
$$

$$
\beta_q(q)=0.
$$

對：

$$
k>q,
$$

通常 positive。

---

# 34. Exact Full-Face Graph Identity

令 full face graph所有 edge都納入。

edge overlap總 mass：

$$
\boxed{
M_q^{edge}(m)
=
\binom{q+1}{2}
B_{q+1}(m).
}
$$

因每個：

$$
(q+1)
$$

-prime hypercell產生：

$$
\binom{q+1}{2}
$$

條 face edges。

---

# 35. Cycle-Space Mass

定義：

$$
\boxed{
Z_q(m)
=
\sum_{d:\mu_m(d)\ge q}
\beta_q(\mu_m(d)).
}
$$

則 pointwise：

$$
v-e+\beta=1.
$$

所以：

## Theorem SRBRD-06-T09

$$
\boxed{
S_q(m)
=
B_q(m)
-
\binom{q+1}{2}
B_{q+1}(m)
+
Z_q(m).
}
$$

這是 full face graph的 exact topological support identity。

---

# 36. Meaning of $Z_q$

$$
Z_q
$$

不是新的 independent source。

它正是：

> full face graph over-subtract 的 cycle-space correction。

如果忽略：

$$
Z_q,
$$

就會錯把所有 pairwise face intersections都扣掉。

所以：

$$
\boxed{
\text{cycle redundancy不能被免費多扣。}
}
$$

只有 arithmetic-safe cycles，或對：

$$
Z_q
$$

有 rigorous upper bound時，才能增加 correction。

---

# 37. Forest vs Local-Forest vs Full Graph

三個層級：

### Global Forest

所有 global cycles禁止。

最容易 sound。

### Locally Acyclic Graph

允許 global cycles，

但每個 offset看不到 cycle。

更強。

### Full Face Graph

每個 offset看到完整：

$$
J(\mu,q),
$$

cycle很多。

必須補：

$$
Z_q.
$$

不能直接作 subtraction certificate。

---

# 38. This Resolves the Cycle Question

所以 SRBRD-05 留下的問題：

> forest沒利用 cycle，cycle redundancy能不能直接加進 correction？

答案：

$$
\boxed{
\text{不能把 cycle overlap直接全扣。}
}
$$

正確做法是：

1. 如果 cycle arithmetic-empty：
   - 它是 safe cycle，可以免費保留 edges；
2. 如果 cycle被某些 offsets共同實現：
   - 必須支付 cycle-space correction；
3. 最乾淨的 stronger certificate是：
   - 找 maximum locally-acyclic subgraph。

---

# 39. Computational Control：$m=199,\ q=3$

finite audit：

$$
B_3=21,
$$

$$
S_3=15.
$$

global forest correction：

$$
F_3^{face}=6.
$$

greedy locally-acyclic correction：

$$
\boxed{
F_3^{greedy}=6.
}
$$

所以這個 case沒有額外 safe cycle gain。

support upper：

$$
21-6=15
$$

already exact。

---

# 40. Computational Control：$m=1000,\ q=3$

$$
B_3=259,
$$

$$
S_3=124.
$$

SRBRD-05 forest：

$$
F_3^{face}=105.
$$

greedy locally-acyclic augmentation：

$$
\boxed{
F_3^{greedy}=133.
}
$$

新增 safe edges：

$$
25.
$$

因此：

$$
S_3
\le
259-133
=
126.
$$

actual：

$$
124.
$$

相比 forest upper：

$$
154,
$$

大幅收緊。

---

# 41. $m=1000$ Union Certificate

SRBRD-02：

$$
U_3=511.
$$

local-cycle correction：

$$
\left\lceil
\frac{133}{3}
\right\rceil
=
45.
$$

所以：

$$
\boxed{
|\mathcal O|
\le
511-45
=
466
<
499=|\Omega|.
}
$$

actual union：

$$
462.
$$

---

# 42. Computational Control：$m=1094,\ q=3$

這是 SRBRD-05 q=3 scan的第一個 failure point。

數值：

$$
|\Omega|=546,
$$

$$
B_3=415,
$$

$$
S_3=173,
$$

$$
U_3=608.
$$

global forest correction：

$$
185.
$$

但 greedy locally-acyclic correction：

$$
\boxed{
222.
}
$$

新增 safe edges：

$$
33.
$$

因此：

$$
S_3
\le
415-222
=
193.
$$

error correction：

$$
\left\lceil
\frac{222}{3}
\right\rceil
=
74.
$$

所以：

$$
\boxed{
608-74
=
534
<
546.
}
$$

因此 SRBRD-06 q=3 certificate重新證成 non-cover。

actual union：

$$
515.
$$

actual residual：

$$
31.
$$

---

# 43. Computational Control：$m=2000,\ q=3$

finite audit：

$$
|\Omega|=999,
$$

$$
U_3=1113.
$$

forest correction：

$$
325.
$$

local greedy correction：

$$
\boxed{
444.
}
$$

所以：

$$
|\mathcal O|
\le
1113-
\left\lceil
444/3
\right\rceil
=
965.
$$

因此：

$$
965<999.
$$

q=3 certificate成功。

---

# 44. Computational Control：$m=5000,\ q=3$

$$
|\Omega|=2499,
$$

$$
B_3=2870,
$$

$$
S_3=908,
$$

$$
U_3=3159.
$$

forest correction：

$$
1275.
$$

local greedy correction：

$$
\boxed{
1809.
}
$$

support upper：

$$
2870-1809
=
1061.
$$

actual：

$$
908.
$$

union correction：

$$
\left\lceil
1809/3
\right\rceil
=
603.
$$

所以：

$$
3159-603
=
2556.
$$

仍：

$$
2556>2499.
$$

因此：

$$
\boxed{
q=3
\text{ locally-acyclic cycle gain仍不足以 universal close}.
}
$$

---

# 45. q=5 at $m=5000$

SRBRD-05 已有：

$$
B_5=175,
$$

$$
S_5=85.
$$

global forest correction：

$$
90.
$$

此 case greedy local augmentation沒有增加：

$$
\boxed{
F_5^{greedy}=90.
}
$$

forest已 exact support：

$$
175-90=85.
$$

這顯示：

> cycle-safe gain不一定出現在每一階。

---

# 46. Practical Certificate Hierarchy

現在可形成：

### Provider A — Global Forest

$$
F_q^{face}.
$$

### Provider B — Greedy Local-Acyclic

$$
F_q^{greedy}.
$$

### Provider C — Maximum Local-Acyclic

$$
F_q^{local}.
$$

有：

$$
\boxed{
F_q^{face}
\le
F_q^{greedy}
\le
F_q^{local}
\le
B_q-S_q.
}
$$

最後一項是 exact ideal correction，但含 truth-adjacent support。

---

# 47. Arithmetic Cycle-Emptiness Certificate

使用 T05，

一個 locally-acyclic graph certificate可改成：

> 對 graph每個 cycle $C$，證其 prime-union hypercell empty。

而：

$$
H_m(U(C))
$$

可以透過 SRBRD-05：

- canonical side assignment；
- CRT；
- root interval；

逐一證 empty。

所以這是一個：

$$
\boxed{
\text{finite symbolic certificate}
}
$$

不是 empirical graph heuristic。

---

# 48. Certificate Verification Modes

### Mode A — Offset-Wise

對每個：

$$
d,
$$

驗：

$$
G_d
$$

acyclic。

適合 finite machine audit。

### Mode B — Cycle-Arithmetic

對每個 graph cycle：

$$
C,
$$

驗：

$$
H_m(U(C))=\varnothing.
$$

適合 symbolic / formal certificate。

兩者 exact等價。

---

# 49. Why This Is a Genuine New Compression Layer

global forest拒絕所有 cycle。

SRBRD-06只拒絕：

$$
\boxed{
\text{arithmetically realizable cycles}.
}
$$

所以它真正使用：

- number-theoretic hypercell emptiness；
- not merely graph topology。

這就是 SRBRD-06 相較 SRBRD-05 的 proof-compression來源。

---

# 50. Remaining Gap

即使取理論 optimum：

$$
F_q^{local},
$$

仍不能保證：

$$
U_q-
\lceil F_q^{local}/q\rceil
<
|\Omega|
$$

對 fixed low：

$$
q
$$

uniform成立。

$m=5000,q=3$ 已證明：

> 至少 greedy local correction還不夠。

而 maximum optimum尚未在此文件求出。

所以：

$$
\boxed{
\mathrm{UNIFORM\ GOLDBACH\ CLOSURE\ STILL\ OPEN}.
}
$$

---

# 51. Next Structural Question

現在剩下兩條自然路：

## Route A — Optimize Local Acyclicity

研究：

$$
F_q^{local}
$$

是否有：

- matroid；
- biased-graph；
- componentwise optimization；
- symbolic lower bound。

## Route B — Allow Locally Cyclic Graph with Paid Cycle Term

使用 exact：

$$
S_q
=
B_q
-
M_q^{edge}
+
Z_q
$$

再 upper-bound：

$$
Z_q
$$

而不是完全禁止 local cycles。

---

# 52. Cofactor Interpretation of Unsafe Cycles

cycle：

$$
C
$$

unsafe iff：

$$
H_m(U(C))\neq\varnothing.
$$

這表示存在：

$$
d
$$

使 union prime set：

$$
U(C)
$$

全部同時作用。

所以兩 endpoints的 factor/cofactor decomposition必能容納：

$$
\prod_{r\in U(C)}r.
$$

因此 unsafe cycle需要消耗 centered product budget：

$$
m^2-d^2.
$$

這可能提供：

$$
\boxed{
\text{cycle-rank vs product-budget}
}
$$

的下一輪 inequality。

---

# 53. Potential Uniform Direction

若能證：

> 高 weight cycles通常需要大 prime-union product，因此只能在很小 center zone被實現，

那就可能：

1. 大量 global cycles其實 arithmetic-safe；
2. $F_q^{local}$ 接近 ideal：
   $$
   B_q-S_q;
   $$
3. low-order certificate進一步接近 exact union。

這是目前最自然的研究方向。

---

# 54. Formal Theorem Queue

```yaml
SRBRD_06:
  T01: locally_acyclic_graph_support_upper_bound
  T02: local_acyclic_error_lower_bound
  T03: local_acyclic_union_upper_bound
  T04: cycle_common_intersection_equals_union_hypercell
  T05: local_acyclic_iff_every_cycle_union_hypercell_empty
  T06: safe_edge_augmentation_iff_endpoint_disconnected_on_each_support_offset
  T07: simultaneous_local_tree_implies_exact_support
  T08: overlapping_hypercells_lie_in_same_face_component
  T09: full_face_graph_cycle_space_identity
```

---

# 55. Acceptance Gate

SRBRD-06 formal core前需：

1. offset-visible vertex set；
2. locally-acyclic definition；
3. pointwise forest count proof；
4. weighted double counting；
5. cycle common-intersection theorem；
6. cycle-safety iff theorem；
7. safe-edge theorem；
8. global forest special-case bridge；
9. component support disjointness；
10. Johnson induced graph theorem；
11. full face edge-mass theorem；
12. cycle-space exact identity；
13. computational greedy certificate和 theoretical maximum清楚分離；
14. 不把 greedy數值當 optimal；
15. no uniform Goldbach claim。

---

# 56. Verdict

本輪可給：

$$
\boxed{
\mathrm{SRBRD\mbox{-}06\ CYCLE\mbox{-}SAFE\ LOCAL\ ACYCLICITY\ PASS}
}
$$

理由：

$$
\boxed{
\text{global spanning forest不是必要條件。}
}
$$

真正 sound condition只是：

$$
\boxed{
\forall d,\quad G_d\text{ acyclic}.
}
$$

這允許大量 arithmetic-safe global cycles，

並在 finite controls中實際提升 correction。

尤其：

$$
m=1094,q=3
$$

原 SRBRD-05 forest certificate失敗，

但 SRBRD-06 greedy locally-acyclic certificate重新成功。

不過：

$$
m=5000,q=3
$$

仍失敗，

所以：

$$
\boxed{
\mathrm{GLOBAL\ NONCOVER\ NOT\ YET\ CLOSED}.
}
$$

---

# 57. 下一輪建議

# SRBRD-07
## Cycle-Rank / Product-Budget Closure

優先研究：

1. unsafe cycle的 prime-union product；
2. cycle rank：
   $$
   \beta_q(\mu);
   $$
3. center product budget：
   $$
   m^2-d^2;
   $$
4. unsafe cycles只能在哪些 center zones存在；
5. upper-bound full cycle-space mass：
   $$
   Z_q;
   $$
6. 或 lower-bound maximum safe correction：
   $$
   F_q^{local};
   $$
7. 嘗試：
   $$
   S_q
   \le
   B_q
   -
   L_{\mathrm{safe}}(m,q)
   $$
   的 uniform symbolic form。

這會直接攻擊 SRBRD-06 剩下的唯一 graph-theoretic gap：

$$
\boxed{
\text{哪些 cycles是真的 arithmetic-realizable？}
}
$$

---

# 附錄 A：Local-Acyclic Certificate Contract

```yaml
vertices:
  q_hypercells: true

graph:
  edges:
    face_adjacent_preferred: true

local_condition:
  for_each_offset_d:
    induced_graph_on_visible_hypercells:
      acyclic: true

correction:
  W_G:
    sum_edge_intersection_cardinality

theorem:
  S_q <= B_q - W_G
```

---

# 附錄 B：Cycle-Safety Contract

```yaml
cycle_C:
  vertex_prime_union:
    U_C: union(J for J in C)

safe_iff:
  H_m(U_C):
    empty: true

equivalence:
  graph_locally_acyclic:
    iff_every_cycle_arithmetic_empty: true
```

---

# 附錄 C：Selected Numerical Audit

| $m$ | $q$ | $|\Omega|$ | $B_q$ | Exact $S_q$ | Forest correction | Greedy local correction | Forest support upper | Local support upper | $U_q$ | Local-corrected union upper | Exact union |
|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| 199 | 3 | 99 | 21 | 15 | 6 | 6 | 15 | 15 | 94 | 92 | 92 |
| 1000 | 3 | 499 | 259 | 124 | 105 | 133 | 154 | 126 | 511 | 466 | 462 |
| 1094 | 3 | 546 | 415 | 173 | 185 | 222 | 230 | 193 | 608 | 534 | 515 |
| 2000 | 3 | 999 | — | — | 325 | 444 | — | — | 1113 | 965 | — |
| 5000 | 3 | 2499 | 2870 | 908 | 1275 | 1809 | 1595 | 1061 | 3159 | 2556 | 2372 |
| 5000 | 5 | 2499 | 175 | 85 | 90 | 90 | 85 | 85 | 2390 | 2372 | 2372 |

**注意：**
- `Greedy local correction` 是一個 sound certificate，但不宣稱等於 theoretical maximum $F_q^{local}$。
- Exact support / exact union只作 truth-channel audit。

---

# 附錄 D：Full-Face Topology

```yaml
if_mu_equals_k:
  visible_q_hypercells:
    count: choose(k,q)
  induced_full_face_graph:
    type: Johnson_J(k,q)
    connected: true
    edge_count:
      choose(q+1,2) * choose(k,q+1)
    cycle_rank:
      edge_count - choose(k,q) + 1

global:
  full_face_edge_mass:
    choose(q+1,2) * B_(q+1)

identity:
  S_q:
    B_q - full_face_edge_mass + cycle_space_mass
```

---

# 附錄 E：Commit Decision

```yaml
research_round: SRBRD-06

decision:
  global_forest_not_necessary: true
  locally_acyclic_certificate: true
  arithmetic_safe_cycles_usable: true
  greedy_local_augmentation_improves_finite_controls: true
  uniform_goldbach_closure: false

new_exact_structures:
  - offset_wise_local_acyclicity
  - arithmetic_cycle_safety
  - safe_edge_augmentation
  - simultaneous_local_tree_exactness
  - face_component_support_partition
  - Johnson_local_graph
  - cycle_space_identity

next:
  SRBRD-07_CycleRank_ProductBudget_Closure
```